M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹
E
n
g
i
n
T
o
k
t
a
fl
m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m
Mutlu Y›llar!
Resimde verilen 2007 y›l›n›n ilk sorusu-nu yapmaya haz›r m›s›n›z? Herkese sa¤l›kl› ve mutlu yeni y›llar!
Yuvarlanan Paralar
Tamamen ayn› özelliklere sahip iki demir para, biri içeride di¤eri d›flar›da olmak üzere ABCD dikdörtgenine ayn› noktada te¤et du-ruyorlar. Dikdörtgenin uzun kenar› paran›n çevresinin 4 kat›, k›sa kenar› ise 2 kat› oldu-¤una göre, kaymadan dönerek ilerleyen ve bafllad›klar› ayn› noktaya geri gelen iki para, toplam kendi etraf›nda kaçar tur dönmüfl olur?
Keno
“Keno” ad›yla bilinen ve tombalaya çok benzeyen flans oyununda her oyuncu 1 ile 80 aras›ndaki say›lardan 28 tane seçer. Ard›n-dan 80 say›n›n bulundu¤u torbaArd›n-dan 28 tane say› rasgele seçilir. Bu say›lardan sadece ve sadece 3, 4 ya da 5 tanesini tutturanlar önce-den belirlenen ödülleri kazan›r. Acaba bu oyunda hiçbir ödül kazanamama olas›l›¤› ne-dir?
Yans›ma
fiekildeki gibi ayn› tipte üç cam levha, bir-birlerine paralel biçimde aral›kl› olarak yer-lefltiriliyorlar. Her cam levha, kendisine ge-len ›fl›¤›n (hangi yönden geldi¤i önemli de¤il) %70’ini geçiriyor, %20’sini yans›t›yor, %10’unu da so¤uruyor. Bu durumda ilk ca-m›n sol taraf›ndan gelen bir ›fl›k demetinin ttooppllaamm yüzde kaç› üç cam› da geçerek cam-lar›n öteki taraf›na ulaflabilir? (NOT: çözüm için tüm yans›malar›n hesaba kat›lmas› gere-kiyor)
Friedman Say›lar›
Bazen bir resim tablosundaki ahenk ka-dar göze hofl gelebilir bir matematiksel eflitlik. Bu ayki yaz›m›zda iflte tam da bu ahengi tüm ç›plakl›¤›yla gözler önüne sere-bilen “Friedman Say›lar›”ndan bahsedece-¤iz.
Belli bir say› taban›nda (onluk, ikilik, v.b.) yaz›lm›fl bir tamsay›m›z olsun. E¤er sa-dece toplama, ç›karma, çarpma, bölme ve üs alma ifllemlerini kullanarak say›n›n ra-kamlar›ndan say›n›n kendisini elde edebili-yorsak, bu say›ya “Friedman Say›s›” diyo-ruz. Örne¤in 25 (= 52), 121 (= 112), 126 (= 6*21), 736 (= 7 + 36) say›lar› hep Fried-man Say›lar›’d›r. Her ne kadar FriedFried-man Say›lar› çok özel bir durum gibi gözükse de tamsay›lar evreninde bu kategoriye gi-ren tahmin etti¤inizden daha çok Fried-man Say›s› bulunmaktad›r. Örne¤in bilgi-sayar yard›m›yla yap›lan analizde 10.000’den küçük toplam 837 Friedman Say›s› keflfedilmifltir. Neredeyse %10’a kar-fl›l›k gelen bir oran!
Gelin flafl›rt›c› özelliklere sahip Fried-man Say›lar›’na birkaç örnek verelim. En il-ginç Friedman Say›lar›’ndan ikisi 123456789 ve 987654321 say›lar›d›r.
Yaz›m›z›n en bafl›nda da belirtti¤imiz gi-bi Friedman Say›lar›, sadece onluk say› ta-ban›nda bulunma zorunlulu¤unda de¤ildir. Örne¤in ikilik say› taban›na göre 11001 sa-y›s› da Friedman Sasa-y›s›’d›r, çünkü (11001)2 = (10110)
2 eflitli¤i sa¤lanmaktad›r. Bir ör-nek de befllik say› taban›ndan verirsek (224)5= (22+4)
5eflitli¤i sonucunda 224 sa-y›s› da Friedman Sasa-y›s› olur.
Daha fazla bilgiye ve Friedman Say›-s›’na ulaflmak isteyen okuyucular›m›z
http://en.wikipedia.org/wiki/Fried-man_numberadresinden yaralanabilirler.
Cahit Arf’›n An›s›na...
26 Aral›k 1997 tarihinde kaybetti¤imiz büyük matematik üstad›
Ord. Prof. Dr. Cahit Arf’›
ölümünün 9. y›l›nda sayg›yla an›yoruz.
Geçen Ay›n Çözümleri
Yalanc›lar Adas›
E¤er adada yaflayan herkes do¤ru söylü-yor olsayd› toplam 100 adet “evet” cevab›n›n bulunmas› gerekirdi. Oysa yalan söyleyen bi-ri sorulara 1 tane “hay›r” 2 tane de “evet” cevab› verecektir. Yani her yalanc›, evet say›-s›n› 1 artt›rmaktad›r. O halde adada 130 – 100 = 30 tane yalanc› bulunmaktad›r.
‹ki Kule
Sorudaki kilit kelime merdivenlerin e¤imlerinin “ayn›” olmas›. Merdivenlerin e¤i-mini θ olarak kabul edersek, toplam merdi-ven uzunlu¤u (kule yüksekli¤i) / (sin θ) ola-cakt›r. Dikkat ederseniz kulenin taban›ndaki çemberin çap› sonuç üzerinde etkili de¤il. O halde her iki kulenin de merdiven uzunluk-lar› ayn›d›r.
Kay›p A¤›rl›k
Kay›p a¤›rl›k 19’a kadarki 18 a¤›rl›¤› flu flekilde efllefltirelim. 1-101, 2-100, ... , 18-84. Ard›ndan kalan say›lar› da birbirleriyle ben-zer biçimde efllefltirerek ikinci bir grup olufl-tural›m: 20-83, 21-82, ... , 51-52. fiimdi yap-mam›z gereken tek fley 18 ikilinin oldu¤u bi-rinci gruptan rasgele 9 ikili, 32 ikilinin
bu-lundu¤u ikinci gruptan da rasgele 16 ikili seçmek ve terazinin bir kefesine koymak, ka-lan a¤›rl›klar› da di¤er kefesine koymak ola-cak. Bu flekilde tüm a¤›rl›klar› a¤›rl›k ve say›ca eflit iki gruba bölmüfl olduk.
Alan› Kaç?
Öncelikle ayn› yüksek-li¤e sahip üç-g e n l e r i n alan oranla-r›n› kullana-rak CF/DF = 6/3 = 2 ve BF/EF = 6/2 = 3 eflitliklerini elde edelim. Ard›ndan AB’ye paralel olacak flekilde EX ve FY do¤ru parçalar›n› çizelim. BEX üçgeni BFY üçgeni ile benzer oldu¤u için XY/BY = EF/BF = 1/3 olur. Ayn› flek-lide CDB üçgeninin CFY üçgeni ile benzer olmas›ndan ötürü CY/BY = CF/FD = 2 eflit-li¤i oluflur. fiimdi de CEX ile CAB üçgeni aras›ndaki benzerli¤i kullanarak flu eflitli¤i yazal›m: AE/CE = BX/CX = (BY+XY) / (CY-XY) = (1 + XY/BY) / (CY/BY - XY/BY) = (1 + 1/3) / (2 - 1/3) = 4/5. Son olarak yine benzer üçgen özelli¤inden AE / CE = Alan(ABE) / Alan(BEC) = (3+x) / (6+2) =4/5 yaz›l›r ve Alan(ADFE) = x = 17/5 bulu-nur.Matemati¤in fiafl›rtan Yüzü
101
Ocak 2007 B‹L‹MveTEKN‹K
