Tan¬m 1. x ba¼ g¬ms¬z, y ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸ sken olmak üzere n-inci basamaktan lineer diferensiyel denklem

Yüksek Basamaktan Lineer Diferensiyel Denklemler

Tan¬m 1. x ba¼ g¬ms¬z, y ba¼ g¬ml¬de¼ gi¸ sken olmak üzere n-inci basamaktan lineer diferensiyel denklem

a 0 (x) d ⁿ y

dx ⁿ + a 1 (x) d ^{n 1} y

dx ^{n 1} + ::: + a n 1 (x) dy

dx + a n (x) y = F (x) (1) ile verilir. Burada a 0 katsay¬s¬ a¸ sikar olarak s¬f¬r olamaz. Ayr¬ca, a 0 ; :::; a n

katsay¬lar¬ ve F fonksiyonu a x b aral¬¼ g¬ üzerinde tan¬ml¬ sürekli reel fonksiyonlar oldu¼ gu kabul edilmektedir. Lineer diferensiyel operatör cinsinden (1) denklemi

L (D) = a ₀ (x) D ⁿ + a ₁ (x) D ^{n 1} + ::: + a _{n 1} (x) D + a _n (x) olmak üzere

L (D) y = F (x)

¸ seklinde yaz¬labilir. F (x) fonksiyonuna homogen olmayan terim denir. F (x) = 0 ise bu durumda (1) denklemi

a ₀ (x) d ⁿ y

dx ⁿ + a ₁ (x) d ^{n 1} y

dx ^{n 1} + ::: + a _{n 1} (x) dy

dx + a _n (x) y = 0 (2) denklemine indirgenir. (2) denklemine (1) denklemine kar¸ s¬l¬k gelen homogen denklem denir.

Örnek 1.

y

+ 3xy

+ x ³ y = e ^x

ikinci basamaktan de¼ gi¸ sken kats¬y¬l¬ homogen olmayan lineer bir diferensiyel denklemdir.

Tan¬m 2. f 1 ; :::; f m m tane fonksiyon ve c 1 ; :::; c m m tane sabit olsun. Bu durumda c 1 f 1 + ::: + c m f m ifadesine f 1 ; :::; f m fonksiyonlar¬n¬n lineer kombi- nasyonu denir.

Teorem 1. Lineer homogen (2) diferensiyel denkleminin çözümlerinin herhangi bir lineer kombinasyonu da (2) denkleminin bir çözümüdür.

Örnek 2. sin x ve cos x fonksiyonlar¬n¬n y

+ y = 0

denkleminin çözümleri oldu¼ gu gösterilebilir. Teorem 1’den bunlar¬n lineer kom- binasyonu olan

c 1 cos x + c 2 sin x

fonksiyonu da denklemi sa¼ glar. Örne¼ gin 5 cos x + 6 sin x bir çözümdür.

Tan¬m 3. Bir I aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬ f 1 ; :::; f n fonksiyonlar¬ en az bir c j 6= 0 j = 0; 1; :::; n için

c 1 f 1 + ::: + c n f n = 0 (3)

ko¸ sulunu sa¼ gl¬yorsa, bu durumda bu fonksiyonlar I aral¬¼ g¬üzerinde lineer ba¼ g¬m- l¬d¬r denir. E¼ ger (3) denklemi ancak

c 1 = c 2 = ::: = c n = 0

olmas¬durumunda sa¼ glan¬yorsa, f ₁ ; :::; f _n I aral¬¼ g¬üzerinde lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r denir.

Örnek 3. f ₁ (x) = sin x, f (x) = sin x ve f ₃ (x) = 3 sin x fonksiyonlar¬lineer ba¼ g¬ml¬d¬r. Çünkü

c 1 sin x + c 2 ( sin x) + c 3 (3 sin x) = 0 e¸ sitli¼ gi c 1 = 1, c 2 = 4, c 3 = 1 sa¼ glan¬r.

Örnek 4. f ₁ (x) = x, f (x) = x ² fonksiyonlar¬lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r. Çünkü c 1 x + c 2 x ² = 0

olabilmesi ancak

c 1 = c 2 = 0 ile mümkündür.

Tan¬m 4. f ₁ ; :::; f _n fonksiyonlar¬bir [a; b] aral¬¼ g¬üzerinde tan¬ml¬reel de¼ gerli, (n 1) kez türevlenebilir fonksiyonlar olsun.

f ₁ f ₂ : : : f _n

f ₁

f ₂

: : : f _n

: : :

: : :

: : :

f ₁ ^{(n 1)} f ₂ ^{(n 1)} : : : f n ^{(n 1)}

determinant¬na f 1 ; :::; f n fonksiyonlar¬n¬n Wronskiyeni denir ve W (f 1 ; :::; f n ) (x) ile gösterilir.

Teorem 2. (2) denkleminin f ₁ ; :::; f _n çözümlerinin [a; b] aral¬¼ g¬üzerinde lineer ba¼ g¬ml¬olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul

W (f ₁ ; :::; f _n ) (x) = 0; x 2 [a; b]

olmas¬d¬r.

Tan¬m 5. f ₁ ; :::; f _n fonksiyonlar¬n-inci basamaktan lineer homogen (2) diferen- siyel denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleri ise, bu durumda ff ¹ ; :::; f n g küme- sine (2) denkleminin temel çözümler kümesi denir.

f (x) = c ₁ f ₁ x + ::: + c _n f _n (x)

fonksiyonuna da (2) denkleminin genel çözümü denir. Burada c 1 ; :::; c n ler key…

sabitlerdir.

Örnek 5.

y

6y

+ 5y

+ 12y = 0

diferensiyel denkleminin çözümü olan e ^3x , e ^x , e ^4x fonksiyonlar¬ lineer ba¼ g¬m- s¬zd¬r. Çünkü her x için W e ^3x ; e ^x ; e ^4x (x) = 20e ^6x 6= 0 d¬r. O halde, bu denklemin temel çözümler kümesi e ^3x ; e ^x ; e ^4x ve genel çözümü c 1 e ^3x + c 2 e ^x + c 3 e ^4x ¸ seklindedir.

¸ Simdi

L (D) y = F (x) (4)

homogen olmayan denklemini ele alal¬m.

Teorem 3. (4) homogen olmayan denkleminin bir çözümü g ve bu denkleme kar¸ s¬l¬k gelen L (D) y = 0 homogen denkleminin bir çözümü f olsun. Bu du- rumda f + g de (4) denkleminin bir çözümüdür.

Tan¬m 6. (2) denkleminin genel çözümüne (1) denkleminin tamamlay¬c¬çözümü denir. (1) denkleminin herhangi bir key… sabit içermeyen çözümüne (1) den- kleminin bir özel çözümü denir. (1) denkleminin tamamlay¬c¬ çözümü y c , bir özel çözümü de y p ile gösterilsin. Bu durumda (1) denkleminin genel çözümü y c + y p ¸ seklindedir.

Örnek 6.

y

5y

+ 6y = 1

diferensiyel denklemini ele alal¬m. f 1 (x) = e ^3x ve f 2 (x) = e ^2x bu denkleme kar¸ s¬l¬k gelen homogen

y

5y

+ 6y = 0

denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleridir. Ayr¬ca y _p = ¹ ₆ olarak bulunabilir. Bu durumda verilen denklemin genel çözümü

y (x) = c ₁ e ^3x + c ₂ e ^2x + 1

6

olur.

Sabit Katsay¬l¬Homogen Denklemler

a ₀ d ⁿ y

dx ⁿ + a ₁ d ^{n 1} y

dx ^{n 1} + ::: + a _{n 1} dy

dx + a _n y = 0 (1)

sabit katsay¬l¬homogen denklemini ele alal¬m. y (x) = e ^rx (1) denkleminin bir çözümü olsun. Bu durumda

a ₀ r ⁿ e ^rx + a ₁ r ^{n 1} e ^rx + ::: + a _{n 1} re ^rx + a _n e ^rx = 0 e ^rx a 0 r ⁿ + a 1 r ^{n 1} + ::: + a n 1 r + a n = 0 elde edilir. e ^rx 6= 0 oldu¼ gundan

a ₀ r ⁿ + a ₁ r ^{n 1} + ::: + a _{n 1} r + a _n = 0

olur. (2) denklemine (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. (2) den- kleminin köklerinin yap¬s¬na göre çözüm yaz¬l¬r. ¸ Simdi, ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homogen

y

+ ay

+ by = 0 (2)

diferensiyel denklemini ele alal¬m. (2) diferensiyel denklemine ili¸ skin karakter- istik denklem

r ² + ar + b = 0

¸ seklindedir.

Durum 1. Kökler reel ve birbirinden farkl¬ise, (r ₁ , r ₂ 2 R; r 1 6= r 2 ) y (x) = c 1 e ^r

^x + c 2 e ^r

^x

genel çözümü elde edilir.

Durum 2. Kökler reel ve birbirine e¸ sit ise, (r 1 = r 2 = r) y (x) = (c 1 + c 2 x) e ^rx genel çözümü elde edilir.

Durum 3. Kökler e¸ slenik kompleks ise, (r 1;2 = a ib) y (x) = e ^ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) genel çözümü elde edilir.

Örnek 1.

y

y

2y

= 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r ³ r ² 2r = 0

r 1 = 0; r 2 = 2; r 3 = 1

¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = c 1 + c 2 e ^2x + c 3 e ^x olarak bulunur.

Örnek 2.

y

00

+ 4y

+ 5y = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r ² + 4r + 5 = 0

r 1;2 = 2 i

¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = e ^2x (c 1 cos x + c 2 sin x) olarak bulunur.

Örnek 3.

y ⁽⁴⁾ 2y

000

+ 2y

2y

+ y = 0 diferensiyel denkleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r ⁴ 2r ³ + 2r ² 2r + 1 = 0

r 1 = r 2 = 1, r 3;4 = i

¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = (c ₁ + c ₂ x) e ^x + c ₃ cos x + c ₄ sin x olarak bulunur.

Örnek 4.

y ⁽⁴⁾ 4y

000

+ 14y

20y

+ 25y = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r ⁴ 4r ³ + 14r ² 20r + 25 = 0

r 1;2 = 1 + 2i, r 3;4 = 1 2i

¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü

y (x) = e ^x [(c ₁ + c ₂ x) cos 2x + (c ₃ + c ₄ x) sin 2x]

olarak bulunur.