FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
[−1, 1] × [−1, 1] BÖLGESİ ÜZERİNDE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-KANTOROVICH POLİNOMLARININ YAKLAŞIMI
Döne KARAHAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ŞANLIURFA 2019
Sayfa No
ÖZET . . . . i
ABSTRACT . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . iii
ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . iv
ÇİZELGELER DİZİNİ . . . . v
SİMGELER DİZİNİ . . . . vi
1. GİRİŞ . . . . 1
2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR . . . . 3
3. MATERYAL ve YÖNTEM . . . . 7
3.1. Bernste n Pol nomları . . . . 7
3.2. İk Değ şkenl Fonks yonlar Uzayı . . . . 8
3.3. Sürekl l k Modülü ve Özell kler . . . . 10
3.4. L neer Poz t f Operatörler . . . . 16
3.5. L neer Poz t f Operatörler İç n Korovk n Teorem . . . . 18
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA . . . . 23
4.1. Operatörün Tanımlanması . . . . 23
4.2. Dn,mBernste n-Kantorov ch Operatörü le Yaklaşım . . . . 24
4.3. Dn,mBernste n-Kantorov ch Operatörünün Sürekl l k Modülü le Yaklaşım Hızının İncelenmes . . . . 32
4.4. Dn,mBernste n-Kantorov ch Operatörü İç n Peetre’s K-Fonks yonel . . . . 44
4.5. Dn,mBernste n-Kantorov ch Operatörü ç n GBS Operatörünün Kurulması . . . . . 46
4.6. Rn,mGBS Operatörüne Yaklaşım Hızının İncelenmes . . . . 47
4.7. Dn,m Bernste n-Kantorov ch Operatörünün L psch tz Sınıfından Fonks yonlar le Yaklaşım Hızının İncelenmes . . . . 53
4.8. Dn,mBernste n-Kantorov ch Operatörü İç n Nümer k Örnekler . . . . 55
5. SONUÇLAR ve ÖNERİLER . . . . 60
5.1. Sonuçlar . . . . 60
5.2. Öner ler . . . . 61
KAYNAKLAR . . . . 63
ÖZGEÇMİŞ . . . . 67
Doktora Tezi
[−1, 1] × [−1, 1] BÖLGESİ ÜZERİNDE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-KANTOROVICH POLİNOMLARININ YAKLAŞIMI
Döne KARAHAN
Harran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Prof. Dr. Aydın İZGİ
Yıl: 2019, Sayfa: 69
Bu tezde, kompakt b r küme üzer nde tanımlı k değ şkenl sürekl fonks yonlar uzayında genelleşt r lm ş Bernste n-Kantorov ch t p operatörler tanımlanmış ve bazı yaklaşım özell kler çalışılmıştır. Sürekl l k modülü ve L psch tz sınıfından fonks yonlar kullanılarak yakınsaklık hızı hesaplanmıştır. Voronovskaya t p teorem ver lm ş ve bazı d ferans yel özell kler spatlanmıştır. Genelleşt r lm ş Bernste n-Kantorov ch t p operatörler n GBS operatörler tanımlanmış ve karışık düzgünlük modülü yardımıyla yakınsaklık hızı ncelenm şt r. Son olarak, operatörler n bazı fonks yonlara yakınsaması ç n Maple’dak bazı örnekley c graf klerle yapılan karşılaştırmalar göster lm ş ve sayısal örnekler ver lerek yaklaşık değerdek hata tahm n ed lm şt r.
ANAHTAR KELİMELER: Bernste n-Kantorov ch pol nomları, l neer poz t f operatörler, sürekl l k modülü, L psch tz koşulu, GBS operatörler , karışık düzgünlük modülü, Peetre’s K-fonks yonel .
PhD Thesis
APPROXIMATION OF BERNSTEIN-KANTOROVICH POLYNOMIALS ON RANGE [−1, 1] × [−1, 1]
Döne KARAHAN
Harran University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor : Prof. Dr. Aydın İZGİ Year: 2019, Page: 69
In th s study, the general zed Bernste n-Kantorov ch type operators are ntroduced and some approx mat on propert es of these operators are stud ed n the space of cont nuous funct ons of two var ables on a compact set . The convergence rate of these operators are obta ned by means of the modulus of cont nu ty and L psch tz class funct on. A Voronovskaya type theorem s g ven and some d fferent al propert es of these operators are proved. The GBS operators of the general zed Bernste n-Kantorov ch type operators are ntroduced and the degree of approx mat on n terms of the m xed modulus of smoothness s nvest gated.
Lastly, compar sons by some llustrat ve graph cs n Maple for the convergence of the operators to some funct ons are showed and the error n the approx mat on by g v ng numer cal examples are est mated.
KEYWORDS: Bernste n-Kantorov ch polynom als, l near pos t ve operators, modulus of cont nu ty, L psch tz cond t on, GBS operators, m xed modulus of smoothness, Peetre’s K-funct onal.
Bu tez hazırlama sürec nde akadem k b lg s n ve manev desteğ n benden es rgemeyen ve her zaman yanımda olan çok değerl danışman hocam Prof. Dr. Aydın İZGİ’ye teşekkürü borç b l r m.
Çalışmalarım boyunca bütün sorularıma sabırla ve hoşgörüyle cevap veren kıymetl hocam Prof. Dr.
Sev lay KIRCI SERANBAY’a teşekkürler m sunarım.
Ayrıca, bu tez yazarken tekn k b lg s nden yararlandığım değerl hocam Doç. Dr. Haydar ALICI’ya teşekkür eder m.
Doktora eğ t m mde burs desteğ sağlayan TÜBİTAK’a teşekkür eder m.
Her zaman ve her koşulda yanımda olduklarını h ssett ren sevg l a leme çok teşekkür eder m.
Sayfa No Şek l 4.1. f (x, y) = ex2+y2sin(x+y2 ) k değ şkenl fonks yonu ç n Dn,mBernste n-Kantorov ch
operatörünün düzgün yaklaşımı. . . . 55 Şek l 4.2. f (x, y) = ex2+y2sin(x+y2 ) k değ şkenl fonks yonu ç n Dn,mBernste n-Kantorov ch
operatörünün düzgün yaklaşımı. . . . 56 Şek l 4.3. f (x, y) =(
(x− 1)2+ (y− 1)2)
cos(x + y) k değ şkenl fonks yonu ç n k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörünün düzgün yaklaşımı. . . . 57 Şek l 4.4. f (x, y) = (1 + x + y) cos(x + y) k değ şkenl fonks yonu ç n Dn,m Bernste n-
Kantorov ch ve Rn,mGBS operatörler n n düzgün yaklaşımı. . . . 58
Sayfa No Ç zelge 4.1. f (x, y) = ex2+y2sin(x+y2 ) fonks yonu ç n nümer k hata değerler . . . . 57 Ç zelge 4.2. f (x, y) = (1 + x + y)cos(x + y) fonks yonu ç n nümer k hata değerler . . . . 59
Simgeler Açıklama
Bn(f ; x) f fonks yonunun Bernste n pol nomu
C[a, b] [a, b] aralığında tanımlı ve sürekl fonks yonların uzayı
∥f∥C(G) C(G) fonks yon uzayı üzer nde tanımlı norm
fnm⇒ f (fnm) k nd sl fonks yon d z s n n f fonks yonuna düzgün yakınsaması A [−1, 1] × [−1, 1] kares
ω(f ; δ) f fonks yonunun tam sürekl l k modülü
ω(1)(f ; δ) f fonks yonunun x değ şken ne göre kısm sürekl l k modülü ω(2)(f ; δ) f fonks yonunun y değ şken ne göre kısm sürekl l k modülü [|λ|] λ sayısının tam kısmı
Lipα İk değ şkenl L psch tz sınıfı Lipxα x değ şken ne göre L psch tz sınıfı Lipyα y değ şken ne göre L psch tz sınıfı A A : X→ Y l neer poz t f operatör D(A) A operatörünün tanım kümes R(A) A operatörünün değer kümes Anm L neer poz t f operatörler d z s
Cb(D) D bölges nde sürekl veRmde sınırlı fonks yonlar uzayı Dn,m Genelleşt r lm ş k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörü κi,jnim Dn,moperatörünün merkez momentler
GBS General zed Boolean Sum operatörü
Rn,m Dn,moperatörünün GBS operatörü CB(A) A üzer nde B-sürekl fonks yonlar uzayı BB(A) A üzer nde B-sınırlı fonks yonlar uzayı
Kmixed f ∈ CB(A) fonks yonunun karışık K-fonks yonel
1. GİRİŞ
Herhang b r topoloj k uzayda, her b r elemanın uzayın yoğun b r alt uzayının elemanlarından oluşan d z n n yakınsadığı nokta olarak fade ed leb leceğ nden hareketle 1885 yılında Karl-We erstrass, reel sayılar kümes n n kompakt altkümeler üzer nde tanımlı P [a, b] pol nomlar uzayının, [a, b] kapalı aralığı üzer nde tanımlı ve sürekl fonks yonlar uzayında yoğun olduğunu gösterm şt r. O halde kompakt kümeler üzer nde sürekl her f fonks yonuna b r pn(x) pol nomlar d z s le düzgün olarak yaklaşılab leceğ n spatlamıştır.
Fakat topoloj k yöntemler kullanılarak spatlanan bu yöntem uzun ve karmaşık bulunduğundan dönem n Carl Runge (1885), Henr Lebesgue (1908), Charles de la Vallée-Pouss n, L pot Fejér (1916) g b b r çok matemat kç s tarafından farklı spat yöntemler ver lmeye çalışılmıştır. Bu matemat kç lerden b r olan We erstrass’ın yaklaşım teorem n n spatı ç n verd ğ yöntemler olasılık teor s ve l neer poz t f operatörlerle yaklaşım teor s g b farklı b l msel çalışma alanlarının doğmasına yardımcı olmuştur.
1912 yılında Segej N. Bernste n, We erstrass yaklaşım teor m n n spatında kullandığı yöntemde Bernste n pol nomları olarak adlandırılan yen pol nomlar tanımlamıştır. Ancak Bernste n pol nomlarının We erstrass yaklaşım teoem n n spatına bas t b r yöntem sunmasının dışında asıl önem 20. yy ortalarına kadar anlaşılamamıştır.
Paul de Faget’ n C troën f rmasında ve P erre Béz er’ n Renault f rmasında endüstr yel d zaynları yaparken Bernste n pol nomlarından faydalanmasından sonra, Bernste n pol nomlarının önem artmış ve b rçok matemat kç tarafından üzer nde çalışılmaya başlanmıştır. Bu çalışmaların ardından l neer poz t f operatörlerle yaklaşım teor s alanı ortaya çıkmıştır.
1952 ve 1953 yıllarında Bohman ve Korovk n, l neer poz t f operatörler n sürekl fonks yonlara düzgün yakınsadığını gösteren öneml b r teorem spatlamışlardır. Bu teoremde, sonlu b r aralıkta düzgün yakınsamanın gerçeklenmes ç n üç koşulun sağlanmasının yeterl olduğu göster lm şt r. Bunun sayes nde daha sonra b rçok matemat kç Meyer-Kön g ve Zeller operatörler , Szasz operatörler , Ble mann-Butzer- Hahn operatörler g b farklı l neer poz t f operatörler tanımlayarak yaklaşım özell kler n
ncelem şt r. Bernste n operatörler ve tanımlanan yen operatörler kullanılarak farklı genellemeler yapılmıştır. Örneğ n, 1930 yılında Kantorov ch, 1967 de Durrmeyer, 1981 de se Derr enn c anal z n b l nen temel teoremler n kullanarak Bernste n operatörler n n ntegral t pl genellemeler n tanımlamış ve yaklaşım özell kler n
ncelem şt r. Temel olarak Durrmeyer ve Kantorov ch t pl genellemeler şekl nde fade ed len ntegral t pl bu genellemeler, ntegralleneb l r fonks yonlar uzayındak yakınsaklığın nceleneb lmes nden ortaya çıkmıştır.
Bu çalışmada seA = [−1, 1]×[−1, 1] karesel bölges nde tanımlı ve sürekl f(x, y) fonks yonlarına bağlı k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörler tanımlanmış ve bazı yaklaşım özell kler ncelenm şt r. Tezde, k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörler n n A bölges nde bu fonks yonlara düzgün yakınsadığı göster lm ş ve f fonks yonun sürekl l k modüller n n özell kler kullanılarak yakınsamanın hızı hesaplanmıştır. Tanımlanan k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörler ç n Voronovskaya-t p teorem spatlanmıştır. İk değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörünün her k değ şkene göre de d ferans yeller n n yaklaşım özell kler ncelenm ş ve yakınsamanın düzgün olduğu göster lm şt r. İk değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörü ç n Peetre’s K-Fonks yonel tanımlanmış ve bununla lg l öneml b r teorem spat ed lm şt r. Daha sonra, k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörünün GBS (General zed Boolean Sum) operatörü nşa ed lm ş ve buna bağlı olarak karışık düzgünlük modülü tanımlanmıştır. Karışık düzgünlük modülü kullanılarak k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörünün GBS operatörü le yaklaşım hızı hesaplanmıştır.
L psch tz sınıfından olan foks yonlar ç n operatörün yaklaşım özell kler ncelenm ş ve sürekl l k modüller le arasındak bağıntılar elde ed lm şt r. Son olarak farklı sürekl fonks yonlar ç n Maple programı kullanılarak graf k ç z mler ve nümer k tablolar elde ed lm şt r.
2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
We erstrass (1885) ın sürekl fonks yonlara pol nomlar yardımıyla yaklaşmanın mümkün olduğunu spatlamasıyla yaklaşım teor s nde çalışmalar başlamıştır. We estrass tarafından ver len bu teorem n spatı d ğer matemat kç ler tarafından uzun ve karmaşık bulunmasıyla yen spat yöntemler arayışı başlamıştır. 1912 yılına gel nd ğ nde S.N.
Bernste n kend adını verd ğ Bn(f ; x) =
∑n k=0
(n k
)
xk(1− x)n−kf
(k n
)
, n∈ N, 0 ≤ x ≤ 1,
pol nomlar d z s le sürekl b r f fonks yonuna yaklaşmanın daha bas t b r spatını verm şt r (Bernste n (1912-1913)). Bernste n pol nomlarını üreten l neer poz t f Bernste n operatörler temel alınarak b r çok farklı operatör kurulmuş ve bunların farklı genelleşt rmeler yapılmıştır. Günümüzde hala bu operatörler kullanılarak çalışmalar yapılmaktadır. Bernste n operatörler n n kurulmasının ardından Kantorov ch (1930), [0, 1]
aralığı üzer nde ntegralleneb l r f fonks yonları ç n Kn(f ; x) = (n + 1)
∑n k=0
(n k
)
xk(1− x)n−k∫
k+1 n+1 k n+1
f (t)dt,
b ç m nde tanımlı Kn operatörler n tanımlamıştır. Kn operatörler ne Kantorov ch operatörler den lmekted r.
Chlodovsky (1937), Bernste n operatörler n n sınırlarını sonsuz aralıklara gen şleterek
Cn(f ; x) =
∑n k=0
(n k
) (x bn
)k(
1− x bn
)n−k
f
(k nbn
)
, n∈ N
Bernste n-Chlodowsky operatörler adı ver len Cn operatörler n tanımlamıştır. Burada 0≤ x ≤ bnve (bn) aşağıdak koşulları sağlayan poz t f ter ml artan b r reel sayı d z s d r:
n→∞lim bn=∞ lim
n→∞
bn n = 0.
M rakyan (1941), [0,∞) yarı eksen nde Bernste n pol nomlarından yararlanarak ağırlıklı uzayda f sürekl fonks yonları ç n
Sn(f ; x) = e−nx
∑∞
k=0
(nx)k k! f
(k n
)
,
Sn operatörünü tanımlamıştır. Daha sonra bu operatör Favard (1944) ve Szasz (1950) tarafından ele alınmış ve b r takım yaklaşım özell kler ncelenm şt r. Bunun üzer ne bu operatör Favard-Szasz-M rakyan operatörü olarak adlandırılmıştır. Yukarıda bahsed len l neer poz t f operatörler kurulduktan sonra bu operatörler n f sürekl fonks yonuna yaklaşımı problem ncelenm şt r. Bu yaklaşımın düzgün olması ç n gerekl kr terler spatlanmaya çalışılmıştır. Popov c u (1951), Bohman (1952) ve Korovk n (1953) b rb r nden habers z şek lde bu teorem spatlamıştır. Ancak bu üç matemat kç den P.P.
Korovk n problem n çözümüne daha büyük katkılar sunmuş ve l neer poz t f operatörler le yaklaşım teor s nde çalışmaları b r adım daha öne götürmüştür. P.P. Korovk n spatında [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekl f fonks yonuna l neer poz t f operatörler d z s
le düzgün yaklaşmak ç n gerek ve yeter koşul olarak test foks yonları adı ver len 1, t ve t2 fonks yonlarının operatör altında sırasıyla 1, x ve x2 fonks yonlarına düzgün yakınsamasının yeterl olduğunu gösterm şt r.
Yukarıda bahsed len Korovk n teorem n n spatının ardından l neer poz t f operatörler le yaklaşım teor s ndek çalışmalar hız kazanmış ve farklı l neer poz t f operatörler n üret lmes ne yardımcı olmuştur.
Baskakov (1957), [0,∞) aralığında tanımlı ve M rakyan (1941) dek le aynı koşulları sağlayan f fonks yonları ç n
Vn(f ; x) = 1 (1 + x)n
∑∞
k=0
(n + k− 1 k
) ( x x + 1
)k
f
(k n
)
Vn Baskakov operatörler n tanımlamış ve yaklaşım özell kler üzer ne ncelemeler yapmıştır.
Daha sonrak yıllarda Meyer-Kön g ve Zeller (1960) tarafından Meyer-Kön g-Zeller operatörü, Durrmeyer (1967) tarafından [0, 1] aralığında ntegralleneb l r fonks yonlar ç n Durrmeyer operatörü tanımlanmıştır.
Stancu (1968), 0≤ α ≤ β ç n Bernste n operatörünün b r genellemes olan
Pn(α,β)(f ; x) =
∑n k=0
(n k
)
xk(1− x)n−kf
(k + α n + β
)
, n ∈ N
Bernste n-Stancu operatörünü tanımlamıştır. Buradan görüldüğü g b α = β = 0 olması hal nde Pn(α,β) operatörü Bernste n operatörüne dönüşür.
Ble mann ve ark (1980) tarafından Ble mann-Butzer-Hahn operatörü ve başka d ğer operatörler de tanımlanmış ve bu operatörler kullanılarak b r çok genelleşt rmeler elde ed lm şt r.
Abel (1998) çalışmasında Kantorov ch operatörler n n as mptot k yaklaşımını ncelem şt r. K v nukk ve Metsmag (2011) se Kantorov ch operatörler n sınırlı salınımlı fonks yonlar ç n ele alıp salınımlarını araştırmıştır.
L neer poz t f operatörler teor s nde ele alınan operatörler farklı fonks yonlar ve farklı uzaylarda tanımlandığı g b bu operatörler n k değ şkenl fonks yonlar ç n de genellemeler yapılmıştır. Büyükyazıcı (1999) tez çalışmasında [0, 1; 0, 1] b r m kares nde
k değ şkenl f (x, y) fonks yonları ç n
Bn,m(f ; x, y) =
∑n k=0
∑m j=0
f
(k n, j
m
)
CnkCmj k(1− x)n−kyj(1− y)m−j
Bernste n pol nomlarını tanımlamış ve yaklaşım özell kler n ncelem şt r.
İk değ şkenl fonks yonlar ç n l neer poz t f opartörler n tanımlanması konusunda yapılmış en çok b l nen çalışmalardan b r de Volkov (1957)’un yapmış olduğu “On the convergence of sequences of l near pos t ve operators n the space of cont nuous funct ons of two var able” başlıklı çalışmasıdır.
Açıkgöz ve Aracı (2010), Büyükyazıcı ve İb kl (2004), Butzer (1953) ve Stancu (1963) çalışmalarında, k değ şkenl fonks yonlar ç n Bernste n pol nomlarının farklı genellemeler n tanımlamışlar ve yaklaşım özell kler n ncelem şlerd r.
İzg (2009), çalışmasında k değ şkenl fonks yonlara Gamma operatörler le yaklaşımı ele almıştır. İzg (2012), Szasz-M rakyan ve Durrmeyer-Chlodowsky operatörler n n b r kompoz syonunu oluşturmuş ve yaklaşım özell kler n araştırmıştır.
İzg ve Büyükyazıcı (2006), Bernste n-Chlodovsky pol nomları le k değ şkenl fonks yonlara yaklaşımı çalışmışlardır.
L neer poz t f operatörler teor s çalışılmaya başlandığından ber operatörler n farklı genelleşt rmeler ve mod f kasyonları yapılmış, fonks yonların tanımlandığı uzaylar değ şt lm ş ya da farklı bölgeler veya yüzeyler üzer nde yaklaşımlar ncelenm şt r. Bu genelleşt rmelerden b r de operatörler n q ve (p, q)-analoglarının tanımlanmasıdır.
Acu ve Muraru (2015), çalışmasında k değ şkenl fonks yonlar ç n Bernste n–
Schurer–Kantorov ch operatörünün q-analogunu tanımlamıştır.
Acar ve ark. (2016) se (p, q)-Baskakov operatörünün Kantorov ch mod f kasyonu üzer ne çalışmalar yapmıştır.
Karahan ve İzg (2018) çalışmalarında genelleşt r lm ş q-Bernste n ve (p, q)- Bernste n pol nomlarını tanımlamış ve yaklaşım özell kler n nceleyerek Voronovskaya- t p teorem spatlamışlardır.
Agraval ve ark. (2015), q-Bernste n–Schurer–Kantorov ch operatörünü k değ şkenl fonks yonlar ç n ele almıştır.
M shra ve Pandey (2016), (p, q)-Kantorov ch–Stancu–Schurer operatörünün Chlodowsky varyantı üzer ne çalışmıştır.
3. MATERYAL ve YÖNTEM
Tez n bu bölümünde, Araştırma Bulguları ve Tartışma bölümünde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler hakkında b lg ler ver lm şt r.
3.1. Bernstein Polinomları
1912 yılından ber matemat ğ n b rçok alanında kullanılan ve çalışılmaya hala devam ed len Bernste n pol nomları a ve b poz t f sayılar, n b r doğal sayı olmak üzere (a + b)n fades n n B nom formülüne dayanmaktadır.
(a + b)n=
∑n k=0
(n k
)
akbn−k
formülünde x∈ [0, 1] olmak üzere a = x ve b = 1 − x alınırsa 1 =
∑n k=0
(n k
)
xk(1− x)n−k
eş tl ğ bulunur. Bu eş tl k Bernste n pol nomlarının temel n oluşturur.
f , [0, 1] kapalı aralığında tanımlı ve sürekl b r fonks yon olsun. Bu f fonks yonunk noktalarında b l nen değerler alıyorsa o halde,
Bn(f ; x) =
∑n k=0
(n k
)
xk(1− x)n−kf
(k n
)
fades ne Bernste n pol nomları den r. Buradan görülmekted r k ; her bel rl n sayısına karşılık Bn(f ; x), n. mertebeden b r pol nomdur.
Bernste n pol nomları tanımlandıktan sonra 1930 yılında Kantorov ch, Bernste n pol nomlarından yola çıkarak kend adını verd ğ Kantorov ch operatörler n tanımlamıştır.
n doğal sayı olmak üzere f ∈ L1[0, 1] ç n Kn(f ; x) = (n + 1)
∑∞
k=0
(n k
)
xk(1− x)n−k∫
k+1 n+1 k n+1
f (t)dt
şekl nde tanımlanan Kn : L1[0, 1]→ C[0, 1] operatörüne Kantorov ch operatörü den r.
Daha sonra Kantorov ch operatörünün farklı genelleşt rmeler yapılmış ve yaklaşım özell kler çalışılmıştır.
Bu tez çalışmasında se Bernste n ve Kantorov ch opertörünün b rleş m nden oluşan genelleşt r lm ş k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörü ncelenm şt r. Operatörün tanımı ve özell kler daha sonrak bölümde ver lecekt r.
3.2. İki Değişkenli Fonksiyonlar Uzayı
Tanım 3.1 X, Y ⊂ R olmak üzere f : X × Y → R, f : (x, y) → z b ç m nde tanımlı fonks yonların oluşturduğu sınıfa X×Y üzer nde tanımlı k reel değ şkenl ve reel değerl fonks yonlar sınıfı den r. G = X × Y olarak şaretlen rse G üzer nde tanımlı ve sürekl fonks yonlar sınıfı C(G) le göster l r ve bu uzay üzer nde norm
∥f∥C(G) = sup
(x,y)∈G|f(x, y)| (3.1)
b ç m nde tanımlanır.
Tanım 3.2 A, B, C ve D reel sayılar ve G′ = [A, B]×[C, D] olmak üzere C(G′) uzayında norm
∥f∥C(G′) = max
(x,y)∈G′|f(x, y)| (3.2)
b ç m nde tanımlanır. Burada C(G′) le sınırlı kapalı bölgede tanımlı sürekl fonks yonlar uzayı göster lmekted r.
Tanım 3.3 s k nd sl b r fonks yon d z s olmak üzere
s :N × N → C(G′) s : (n, m)→ fnm
b ç m nde tanımlanır.
Tanım 3.4 fnm, C(G′) de tanımlı b r fonks yon d z s olmak üzere
nlim→∞
m→∞
∥fnm− f∥C(G′) = 0 (3.3)
eş tl ğ sağlanıyorsa, o halde fnm fonks yon d z s G′ bölges nde f sürekl fonks yonuna yakınsaktır den r.
Tanım 3.5 Eğer∀ϵ > 0 ve ∀(x, y) ∈ G′ ç n n, m > N ken
|fnm(x, y)− f(x, y)| < ϵ (3.4) olacak şek lde ∃N = N(ϵ) sayısı varsa, fnm fonks yon d z s G′ bölges nde f fonks yonuna düzgün yakınsaktır den r ve fnm ⇒ f, n, m → ∞ le göster l r.
Göster leb l r k C(G′) uzayında (3.1) normuna göre yakınsaklık le düzgün yakınsaklık çakışmaktadır; yan ,
nlim→∞
m→∞
∥fnm− f∥C(G′) = 0⇔ G′ de fnm⇒ f (3.5)
d r.
Gerçekten; Tanım 3.5 ten∀ϵ > 0 ver ld ğ nde n, m > N olmak üzere G′ bölges ne a t tüm (x, y) noktaları ç n (3.4) eş ts zl ğ sağlanacak şek lde b r N = N (ϵ) sayısı bulunursa (fnm) d z s f fonks yonuna G′ bölges nde düzgün yakınsaktır. Kabul edel m k (3.4) eş ts zl ğ sağlansın. Bu durumda, (3.4) eş ts zl ğ tüm (x, y) ∈ G′ noktaları ç n sağlandığından, n, m > N olduğunda
(x,y)max∈G′|fnm(x, y)− f(x, y)| < ϵ eş ts zl ğ sağlanır. Bu se (3.2) normuna göre n, m > N ç n
∥fnm− f∥C(G′)< ϵ (3.6)
eş ts zl ğ n n doğru olduğunu göstermekted r. Dolayısıyla (fnm) d z s G′ bölges nde f fonks yonuna düzgün yakınsak olduğunda her ϵ > 0 sayısına göre öyle b r N = N (ϵ) sayısı bulunur k n, m > N ç n (3.7) eş ts zl ğ sağlanır. Bu se (3.3) eş ts zl ğ n n sağlandığını göstermekted r ve faden n yeterl l k kısmı spatlanmış olur.
Ş md gerekl l k kısmını spatlayalım. Kabul edel m k (3.3) sağlansın. O halde l m t n tanımından∀ϵ > 0 ver ld ğ nde öyle b r N = N(ϵ) sayısı bulunur k n, m > N
ç n
max
(x,y)∈G′|fnm(x, y)− f(x, y)| < ϵ
eş ts zl ğ sağlanır. Bu durumda G′ bölges nde olan tüm (x, y) noktaları ç n (3.4) eş ts zl ğ sağlanır. O halde (fnm) fonks yon d z s G′ bölges nde f fonks yonuna düzgün yakınsaktır. Böylece (3.5) fades spatlanmış olur.
3.3. Süreklilik Modülü ve Özellikleri
Sürekl l k modülü lk olarak 1966 yılında Lorentz tarafından tanımlanmıştır.
Tanım 3.6 I ⊂ R sınırlı b r aralık ve f : I → R sınırlı b r fonks yon olsun. Herhang b r δ > 0 ç n
ω(f ; δ) := ω(δ) = sup
|x−t|≤δ x,t∈I
|f(x) − f(t)| (3.7)
b ç m nde tanımlanan fonks yona, f fonks yonunun sürekl l k modülü den r.
δ > 0 ç n ω(δ) nın, δ değ şken ne göre poz t f b r fonks yon olduğu (3.7) fades nden görülmekted r. Sürekl l k modülünün bazı özell kler n veren lemmayı fade edel m.
Lemma 3.7 I ⊂ R sınırlı b r aralık ve f, I üzer nde tanımlı ve sınırlı b r fonks yon olsun.
O halde f fonks yonunun sürekl l k modülü olan ω(δ) fonks yonu aşağıdak özell kler sağlar.
. ω(δ), δ≥ 0 ın monoton artan b r fonks yonudur.
. m∈ N ç n ω(mδ) ≤ mω(δ).
. λ > 0 ç n ω(λδ)≤ (1 + λ)ω(δ).
v. f ∈ C(I) sınırlı fonks yon se limδ→0+ω(δ) = 0.
v. f ∈ C(I) sınırlı ve düzgün sürekl fonks yon ⇔ limδ→0+ω(δ) = 0.
v . ω(δ) = 0⇔ f ≡ sabit.
v . δ1 < δ2 ken ω(δδ2)
2 ≤ 2ω(δδ11)d r. Buradan f hemen hemen her yerde sab t olmadıkça limδ→0+ ω(δ)δ > 0 dır.
v . (δn) sıfıra yakınsayan poz t f ter ml b r d z ve Cf, f fonks yonu ve (δn) d z s ne bağlı b r sab t olmak üzere ω(δn)≥ Cfδnd r.
Ş md k değ şkenl fonks yonlar ç n sürekl l k modüller n tanımlayalım ve bazı özell kler n nceleyel m.
Tanım 3.8 f fonks yonu A = [−1, 1] × [−1, 1] kares üzer nde tanımlı ve sürekl b r fonks yon ve δ > 0 olmak üzere
ω(f ; δ) = √ max
(x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ (x1,y1),(x2,y2)∈A
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| (3.8)
fonks yonuna f fonks yonunun tam sürekl l k modülü den r.
Ş md sürekl l k modülünün sonrak bölümlerde kullanılacak olan bazı özell kler n verel m.
Lemma 3.9 ω(f ; δ), δ değ şken n n b r fonks yonu olmak üzere:
1. ω(f ; δ) negat f olmayan monoton artan b r fonks yondur.
2. ω(f ; δ) = 0⇔ f ≡ sabit.
3. limδ→0+ω(f ; δ) = 0.
İspat.
1. ω(f ; δ) fonks yonu, (3.8) tanımından görüldüğü g b negat f fonks yon değ ld r.
Monoton artan olduğunu göstermek ç n δ1 < δ2kabul edersek,
Ψ1 ={(x1, y1), (x2, y2)∈ A :√(x1− y1)2+ (x2− y2)2 ≤ δ1} ve
Ψ2 ={(x1, y1), (x2, y2)∈ A :√(x1− y1)2+ (x2− y2)2 ≤ δ2}
olmak üzere Ψ1 ⊂ Ψ2 olacağından ve küme gen şled kçe maks mum azalmadığından dolayı
ω(f ; δ1)≤ ω(f; δ2) elde ed l r.
2. C keyf b r sab t sayı olmak üzere f (x, y) ≡ C olsun. Bu durumda (3.8) den ω(f ; δ)≡ 0 bulunur. D ğer taraftan ω(f; δ) ≡ 0 se bu durumda
√ max
(x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ (x1,y1),(x2,y2)∈A
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| ≡ 0
olur. O halde,|f(x1, y1)−f(x2, y2)| = 0 ve böylece f(x1, y1) = f (x2, y2) bulunur.
(xi, yi) noktalarıA karesel bölges n n keyf noktarı olduğundan f n sab t fonks yon olduğu göster lm ş olur.
3. f fonks yonuA karesel bölges nde sürekl ve A kapalı olduğundan f fonks yonu A da düzgün sürekl d r. Öyle k , ∀ϵ > 0 ç n yalnızca ϵ a bağlı b r δ1 vardır öyle k
√
(x1− y1)2+ (x2− y2)2 ≤ δ1 olduğunda
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| < ϵ kalır.
δ → 0+ olduğundan δ < δ1 seç leb l r ve böylece√(x1− y1)2+ (x2− y2)2 ≤ δ eş ts zl ğ nden
√
(x1− y1)2+ (x2− y2)2 ≤ δ1elde ed l r ve bu durumda da (3.3.) eş ts zl ğ sağlanır. Böylece
√ max
(x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ (x1,y1),(x2,y2)∈A
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| < ϵ
olur. Yan , ω(f ; δ) < ϵ elde ed l r.
Lemma 3.10 n∈ N olmak üzere
ω(f ; nδ)≤ nω(f; δ) eş ts zl ğ sağlanır.
İspat. h > 0 olmak üzere x1 = x + h, x2 = x, y1 = y + h ve y2 = y seç l rse (x1, y1) = (x + h, y + h), (x2, y2) = (x, y) ç n
√
(x1− y1)2+ (x2− y2)2 =√ 2h elde ed l r. Bu durumda (3.8) tam sürekl l k modülü tanımından
ω(f ; δ) = max
h≤ δ√ 2 (x,y)∈A
|f(x + h, y + h) − f(x, y)| (3.9)
yazılır. Böylece
ω(f ; nδ) = max
h≤ nδ√ 2 (x,y)∈A
|f(x + h, y + h) − f(x, y)|
bulunur. Son fadede h yer ne nh yazılırsa ω(f ; nδ) = max
h≤ δ√ 2 (x,y)∈A
|f(x + nh, y + nh) − f(x, y)| (3.10)
eş tl ğ elde ed l r. (3.10) eş tl ğ n n sağ tarafındak fark fades ele alınırsa f (x + nh, y + nh)− f(x, y)
= f (x + nh, y + nh)− f(x + (n − 1)h, y + (n − 1)h)
+ f (x + (n− 1)h, y + (n − 1)h) − f(x + (n − 2)h, y + (n − 2)h) + f (x + (n− 2)h, y + (n − 2)h) − ... + f(x + h, y + h) + f(x, y)
=
∑n k=1
[f (x + kh, y + kh)− f(x + (k − 1)h, y + (k − 1)h)]
bulunur. Son eş tl ğ n her k tarafından mutlak değer alınırsa
|f(x + nh, y + nh) − f(x, y) ≤ ∑n
k=1
|f(x + kh, y + kh) − f(x + (k − 1)h, y + (k − 1)h)|
eş ts zl ğ elde ed l r. Son eş ts zl kte ∀(x, y) ∈ A noktalarına ve h ≤ √δ2 eş ts zl ğ n sağlayan h değerler ne göre maks mum alınırsa (3.9) ve (3.10) fadeler nden
ω(f ; nδ)≤ ∑n
k=1
ω(f ; δ) = nω(f ; δ)
elde ed l r. Böylece spat tamamlanmıştır.
Lemma 3.11 Herhang b r λ > 0 sayısı ç n
ω(f ; λδ)≤ (λ + 1)ω(f; δ) eş ts zl ğ sağlanır.
İspat. [|λ|] le λ sayısının tam kısmı göster ls n. Bu durumda tam değer tanımından [|λ|] ≤ λ ≤ [|λ|] + 1
eş ts zl ğ yazılab l r. ω(f ; δ) fonks yonu monoton olduğundan ω(f ; λδ)≤ ω(f; ([|λ|] + 1)δ)
elde ed l r. [|λ|] + 1 sayısı b r tam sayı olduğundan Lemma 3.10 dan ω(f ; ([|λ|] + 1)δ) ≤ ([|λ|] + 1)ω(f; δ)
bulunur. Böylece son k eş ts zl kten
ω(f ; λδ)≤ ([|λ|] + 1)ω(f; δ)
elde ed l r. Burada [|λ|] < λ olduğu kullanılırsa stenen eş ts zl k elde ed lm ş olur. Aşağıda f fonksİyonuna göre kısm sürekl l k modüller n n tanımları ver lm şt r.
Tanım 3.12 f ,A karesel bölges nde sürekl fonks yon ve δ > 0 olmak üzere ω(1)(f ; δ) = max
(x1,y),(x2,y)∈A
|x1−x2|≤δ
|f(x1, y)− f(x2, y)| (3.11) ve
ω(2)(f ; δ) = max
(x,y1),(x,y2)∈A
|y1−y2|≤δ
|f(x, y1)− f(x, y2)| (3.12) fonks yonlarına sırasıyla f fonks yonun x ve y değ şkenler ne göre kısm sürekl l k modüller den r.
Tam sürekl l k modulünde olduğu g b kısm sürekl l k modüller de aynı özell kler sağlamaktadır.
Tanım 3.13 f fonks yonu A karesel bölges nde tanımlı ve (x1, y1), (x2, y2) bu bölgede keyf noktalar olsun. Eğer f fonks yonu,
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| ≤ C((x1− x2)2+ (y1− y2)2)
α
2 , 0 < α < 1 (3.13) koşulunu sağlarsa bu durumda f fonks yonunaA üzer nde L psch tz koşulunu sağlar yada Lipα sınıfındandır den r. Burada C L psch tz sab t olarak adlandırılan keyf b r sab t sayıdır.
Tanım 3.14 f fonks yonuA karesel bölges nde tanımlı ve (x1, y), (x2, y) bu bölgede keyf noktalar olsun. Eğer f fonks yonu,
|f(x1, y)− f(x2, y)| ≤ C|x1− x2|α, 0 < α < 1 (3.14) koşulunu sağlarsa bu durumda f fonks yonunaA üzer nde x değ şken ne göre L psch tz koşulunu sağlar ya da x değ şken ne göre Lipα sınıfındandır den r ve f ∈ Lipxα şekl nde göster l r. Benzer şek lde (x, y1), (x, y2) bu bölgede keyf noktalar olsun. Eğer f fonks yonu,
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ C|y1− y2|α, 0 < α < 1 (3.15)
koşulunu sağlarsa bu durumda f fonks yonunaA üzer nde y değ şken ne göre L psch tz koşulunu sağlar ya da y değ şken ne göre Lipα sınıfındandır den r ve f ∈ Lipyα şekl nde göster l r.
(3.13) eş ts zl ğ nden,
(x1,y1lim)→(x2,y2)|f(x1, y1)− f(x2, y2)| = 0
elde ed l r ve böyleceA üzer nde f ∈ Lipα se, ∀(x1, y1), (x2, y2)∈ A ç n lim
(x1,y1)→(x2,y2)f (x1, y1) = f (x2, y2)
olmasından f fonks yonunun A üzer nde sürekl olduğu görülür. Benzer şek lde f fonks yonununA üzer nde f ∈ Lipxα ve f ∈ Lipyα olması durumlarında da sırasıyla x ve y değ şken ne göre sürekl oldukları göster leb l r.
Tam sürekl l k modülünün (3.8) formülünde (3.15) L psch tz koşulu yer ne yazılırsa ω(f ; δ) = √ max
(x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ (x1,y1),(x2,y2)∈A
|f(x1, y1)− f(x2, y2)|
≤ C √ max
(x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ (x1,y1),(x2,y2)∈A
(
(x1− x2)2+ (y1− y2)2)
α 2
≤ Cδα, elde ed l r. Dolayısıyla f ∈ Lipα se
ω(f ; δ)≤ Cδα (3.16)
eş ts zl ğ doğrudur. Benzer şek lde (3.11) ve (3.12) kısm sürekl l k modüller n n tanımlarından f ∈ Lipxα ve f ∈ Lipyα olduğunda sırasıyla,
ω(1)(f ; δ)≤ Cδα (3.17)
ve
ω(2)(f ; δ)≤ Cδα (3.18)
eş ts zl kler n n doğru olduğu görülür.
Ayrıca tam ve kısm sürekl l k modüller n n tanımlarından A karesel bölges n n keyf noktalarında
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| ≤ ω(f ;
√
(x1− y1)2+ (x2− y2)2
)
(3.19)
|f(x1, y)− f(x2, y)| ≤ ω(1)(f ;|x1− x2|) (3.20)
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ ω(2)(f ;|y1− y2|) (3.21) eş ts zl kler n n doğru olduğu açıktır.
3.4. Lineer Pozitif Operatörler
Bu bölümde operatör teor s n n temel tanım ve teoremler fade ve spat ed lm şt r.
Tanım 3.15 X ve Y fonks yon uzayları ve G⊂ X olsun. G n n her b r elemanına Y n n b r elemanını karşılık get ren kurala G den Y ye b r operatör veya dönüşüm den r.
G den Y ye tanımlanan A operatörü A : G → Y le göster l r. G kümes ne operatörün tanım kümes den r ve G = D(A) le göster l r. x ∈ G elemanlarının A(x) ∈ Y operatör altındak görüntüler n n oluşturduğu kümeye de A operatörünün değer kümes den r ve
R(A) ={y ∈ Y : y = A(x), x ∈ D(A)}
şekl nde fade ed l r.
Tanım 3.16 A : D(A) ⊂ X → Y ve X, Y b r K c sm üzer nde tanımlı l neer uzaylar, D(A)l neer alt uzay olmak üzere aşağıdak k koşul sağlansın:
. ∀x1, x2 ∈ D(A) ç n A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), . ∀λ ∈ K, ∀x ∈ D(A) ç n A(λx) = λA(x) .
Bu durumda A operatörüne l neer operatör den r.
Başka b r fadeyle, A operatörü∀x1, x2 ∈ D(A) ve λ1, λ2 ∈ K ç n A(λ1x1+ λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) eş tl ğ n sağlıyorsa A operatörüne l neer operatör den r.
Bu tezde X ve Y l neer uzayları fonks yon sınıfları olarak düşünülmüştür. Bunun ç n tanım kümes U olan fonks yonlar sınıfı X ve tanım kümes V olan fonks yonlar sınıfı Y olsun. A : X → Y operatörü ç n f ∈ X fonks yonunun, A operatörü altındak görüntüsünün b r x ∈ V noktasındak göster m
A (f (t); x) = g(x)
b ç m nded r. Kolaylık olması ç n A(f ; x) = g(x) yazılab l r.
Tanım 3.17 A : X → Y operatörü, her negat f olmayan f fonks yonu ç n A(f ; x)≥ 0, x ∈ V
koşulunu sağlıyorsa A operatörüne poz t f operatör den r.
Böylece hem l neer hem de poz t f olan operatöre l neer poz t f operatör den r.
Ayrıca l neer poz t f operatörler monoton artandır. Gerçekten;∀t ∈ U ve f1, f2 ∈ X ç n f1(t) ≥ f2(t) olsun. Bu durumda f1(t)− f2(t) ≥ 0 olur. Böylece A l neer poz t f operatör se
A(f1− f2; x)≥ 0 ⇒ A(f1; x)− A(f2; x)≥ 0 olur. O halde
A(f1; x)≥ A(f2; x) (3.22)
elde ed l r.
Her t∈ U ç n, A l neer poz t f b r operatör olmak üzere
−|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)|
eş ts zl ğ ne A operatörü uygulanırsa
−A (|f|; x) ≤ A (f; x) ≤ A (|f|; x) bulunur ve böylece
|A (f; x) | ≤ A (|f|; x) elde ed l r.
Tanım 3.18 X ve Y normlu l neer uzaylar, X ve Y üzer ndek normlar sırasıyla∥.∥X ve
∥.∥Y le göster ls n. A : X → Y l neer operatör olsun. Bu durumda eğer
∥A(f)∥Y ≤ C∥f∥X
eş ts zl ğ n sağlayan b r C poz t f sayısı bulunuyorsa A operatörüne sınırlı operatör den r.
Bu koşulu sağlayan C sayılarının nf mumuna A operatörünün normu den r ve∥A∥X→Y
ya da∥A∥ le göster l r.
3.5. Lineer Pozitif Operatörler İçin Korovkin Teoremi
İlk olarak 1952 yılında H. Bohman, toplam şekl nde ver len l neer poz t f operatörler d z s le [0, 1] aralığında tanımlanan sürekl b r f fonks yonuna yaklaşım problem n
ncelem şt r.
H. Bohman, x∈ [0, 1], 0 ≤ αk,n ≤ 1 olmak üzere, genel ter m An(f ; x) =
∑n k=0
f (αk,n)pk,n(x), pk,n(x)≥ 0
olan d z n n [0, 1] üzer nde n → ∞ ken f fonks yonuna düzgün yakınsak olması ç n gerek ve yeter koşul
An(tr; x)→ xr, r = 0, 1, 2 (3.23) olduğunu spatlamıştır. Burada operatörler n değer f fonks yonunun [0, 1] aralığı dışındak değerler nden bağımsızdır.
1953 yılında P.P. Korovk n Bohman teorem n n koşullarının genel durumda da geçerl olduğunu spatlayan b r teorem verm şt r.
Teorem 3.19 (An) l neer poz t f operatörler d z s (3.23) koşullarını [a, b] aralığında düzgün alarak sağlıyorsa, bu durumda tüm reel eksende sınırlı ve C[a, b] ye a t olan her b r f fonks yonu ç n
An(f ; x)⇒ f(x) olur.
Korovk n teorem n n spatına b r çok kaynaktan ulaşmak mümkündür.
1962 yılında Baskakov, Korovk n teorem ndek koşullardan b r olan f fonks yonunun tüm reel eksende sınırlı olması koşulunun yer ne, Mf, f fonks yonuna bağlı b r sab t sayı olmak üzere,∀x ∈ R ç n
|f(x)| ≤ Mf(1 + x2) (3.24)
koşulunun sağlanması durumunda da düzgün yakınsamanın olacağını spatlamıştır.
1995 yılında Ak f HACIYEV, Korovk n teorem n n yalnızcaR uzayında değ l aynı zamandaRm uzayında da geçerl olduğunu fade ve spat etm şt r.
Teorem 3.20 D ⊂ Rm sınırlı b r bölge olmak üzere Cb(D) le D bölges nde sürekl ve tümRm uzayında sınırlı olan reel değerl fonks yonların uzayı göster ls n. Eğer (An) l neer poz t f operatörler d z s , K ⊂ D kompakt bölges nde n → ∞ ç n
An(1; x) ⇒ 1
An(ti; x) ⇒ xi i = 1, 2, 3, ..., m An(|t|2; x) ⇒ |x|2
(3.25)
(m + 2) sayıda koşulu sağlıyorsa, bu durumda keyf f ∈ Cb(D) fonks yonu ç n K üzer nde n→ ∞ ken
An(f ; x)⇒ f(x) olur. (3.25) koşullarındak |x|2 =∑mk=1x2kd r.
İspat. ∀ϵ > 0, ∀t ∈ Rm ve∀x ∈ K ç n f fonks yonu sınırlı olduğundan |f(x)| ≤ M olacak şek lde b r M > 0 sayısı vardır. O halde x, t∈ K ç n
|f(t) − f(x)| ≤ 2M (3.26)
olur. f sürekl fonks yon olduğundan her ϵ > 0 ç n öyle b r δ > 0 vardır k , x∈ K, t ∈ R ve|t − x| < δ ç n
|f(t) − f(x)| ≤ ϵ (3.27)
bulunur. 2Mδ2 (t−x)2 ≥ 0 olduğundan (3.27) eş ts zl ğ n n sağ tarafına ekleneb l r. Böylece
|f(t) − f(x)| ≤ ϵ + 2M
δ2 (t− x)2 (3.28)
elde ed l r. L neer poz t f operatörler n özell ğ nden
|An(f (t); x)− f(x)| ≤ |An(f (t)− f(x); x| + |f(x)||An(1; x)− 1|
≤ An(|f(t) − f(x)|; x) + |f(x)||An(1; x)− 1|
≤ ϵ + 2M
δ2 An(|t − x|2; x) +|f(x)||An(1; x)− 1|
≤ ϵ + 2M
δ2 {An(|t|2; x)− 2∑m
k=1
xkAn(tk; x) +|x|2An(1; x)} +|f(x)||An(1; x)− 1|
≤ ϵ + 2M
δ2 {[An(|t|2; x)− |x|2]− 2∑m
k=1
xk[An(tk; x)− xk] +|x|2[An(1; x)− 1]} + |f(x)||An(1; x)− 1|
elde ed l r. (3.25) koşullarından n→ ∞ ve ∀x ∈ K ç n son eş ts zl ğ n her k tarafından l m t alınırsa|An(f (t); x)− f(x)| ⇒ 0, yan An(f (t); x)⇒ f(x) bulunur. Yukarıda spatı ver len teorem n koşullarındak f fonks yonunun tümRmuzayında sınırlı olması koşulu yer ne f fonks younun
|f(x)| ≤ Mf(1 +|x|2) (3.29)
koşulunu sağlaması da yeterl d r. Burada Mf, f fonks yonuna bağlı sab t sayıdır.
Teorem 3.21 CMf(D), D ⊂ Rmsınırlı bölges nde sürekl ve tümRmde (3.29) koşulunu sağlayan foks yonların sınıfı olmak üzere eğer, (An) l neer poz t f operatörler d z s , K ⊂ D kompakt bölges nde n → ∞ ken (3.28) koşullarını sağlıyorsa, bu durumda herhang f ∈ CMf(D) ç n K üzer nde n→ ∞ ken
An(f ; x)⇒ f(x) olur.
İspat. Teorem n h potez nden f ∈ CMf(D) olsun. Bu durumda f sürekl olduğundan sürekl l k tanımından∀x, y ∈ D ve ∀ϵ > 0 ç n |t − x| < δ olduğunda |f(t) − f(x)| < ϵ olacak şek lde b δ > 0 sayısı vardır. t ∈ Rm ve x ∈ K olmak üzere |t − x| ≥ δ olsun.
Bu durumda (3.29) koşulundan ekle çıkar yaparak
|f(t) − f(x)| ≤ Mf(2 +|t|2+|x|2)
= Mf(2 +|t − x|2+ 2x(t− x) + 2|x|2)
≤ Mf(2 +|t − x|2+ 2
∑m k=1
xk(tk− xk) + 2|x|2)
yazılab l r. Son eş ts zl ğ n sağ tarafındak fadeye Cauchy-Schwartz eş ts zl ğ uygulanırsa
|f(t) − f(x)| ≤ Mf(2 +|t − x|2+ 2
vu ut∑m
k=1
x2k
vu ut∑m
k=1
(tk− xk)2+ 2|x|2)
≤ Mf(2 +|t − x|2+ 2|x||t − x| + 2|x|2)
bulunur.|t − x| ≥ δ ken |t−x|δ2 2 ≥ 1 olacağından
|f(t) − f(x)| ≤ Mf|t − x|2( 2
δ2 + 1 + 2
δ|x| + 2 δ2|x|2)
≤ Mf
δ2 |t − x|2(2|x|2+ 2δ|x| + 3) Mf
δ2 |t − x|2(4|x|2+ 4δ|x| + δ2+ 3)
= Mf
δ2 |t − x|2((2|x| + δ)2+ 3)
fades bulunur. x ∈ K olduğundan, |x| ≤ C1 olacak şek lde b r C1 poz t f sayısı vardır.
Yukadarıdak son eş ts zl kte eş ts zl ğ n sağ tarfındak fade ç n
C = Mδ2f ((2C1+ δ)2+ 3) seç l r ve sürekl l kten dolayı elde ed len fade göz önüne alınırsa,∀x ∈ K ve ∀t ∈ Rm ç n
|f(t) − f(x)| ≤ ϵ + C|t − x|2
bulunur.
L neer poz t f operatörler n özell kler ve
|t − x|2 =|t|2− 2∑m
k=1
xktk+|x|2
fades b rl kte değerlend r ld ğ nde,
An(f (t); x)− f(x) = An(f (t); x)− An(f (x); x) + An(f (x); x)− f(x)
= An(f (t)− f(x); x) + f(x) (An(1; x)− 1)
