olsun.  nın tahmini için, T 1,n  X (1)  1/ n

olsun.  nın tahmini için, T ^1, _n  X ⁽¹⁾  1/ n

ve T ^2, _n  X _n  1

tahmin edicileri önerilmiştir.

Bu tahmin edicilerin yansızlık, yeterlilik, tutarlılık özelliklerini inceleyiniz. Her iki tahmin edicinin varyanslarını hesaplayıp karşılaştırınız.

Çözüm: Faktörizasyon teoreminden T ^1,n

tahmin edicisi  için yeterlidir. X ⁽¹⁾

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 

(1)

( ) ,

; 0 , . .

n x

X n e x

f x

d y

 

 _{ } ^{    }



olup beklenen değer ve varyansı ( (1) ) 1/

E X    n

(1) 2

( ) 1/

Var X  n dir (Örnek 7.5.2a). T ^1, _n  X ⁽¹⁾  1/ n

tahmin edicisi  için yansız olup varyansı 1/ n ² _dir.

Buradan, T ^1,n yeterli, yansız ve

1, 2

lim ( _n ) lim (1/ ) 0

n Var T n n

   

olduğundan T ^1,n tahmin edicisi  için tutarlıdır (Teorem (7.5.1)). Diğer taraftan,

( )

( ) ( ) ^x 1

x x

E X x f x dx x e ^ dx

 



 

 

 

     

2 2 2 ( ) 2 2

( ) ( ) ^x 2 2 ( 1) 1

x x

E X x f x dx x e ^ dx

 

  

 

 

 

         

den

  ^{( 2 ) ( ( )) 2 [( 1) 2 1] ( 1) 2 1}

Var X  E X  E X         dir. Buradan,

( 2, _n ) ( _n 1) E T  E X   

ve Var T ( ^2, _n )  Var X ( _n   1) Var X ( _n )  Var X ( ) / n  1/ n

olur. Buna göre, T ^2,n de  için yansız ve

lim ( 2, _n ) lim (1/ ) 0

n Var T n n

   

olduğundan T ^2,n de  için tutarlıdır (Teorem (7.5.1)). Bununla birlikte, X X ¹ , ² , ,  X _n lerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

(1)

( )

{ }

( ; ) ^{n x n} _x ( )

f x   e ^{  } I _{ } x

 

olduğundan faktörizasyon teoremine göre, X ⁽¹⁾  min{ , X X ^{1 2} , ,  X _n } tahmin edicisi  için yeterlidir. Buradan, T ^1, _n  X ⁽¹⁾  1/ n

de  için yeterlidir. Ancak, T ^2, _n  X _n  1 tahmin edicisi  için yeterli değildir. Ayrıca,

1 2 2

( ) (1/ ) (1/ ) ( ) Var T  n  n  Var T

dir. Bunun nedeni, T ¹ tahmin edcicisinin yeterli olmasıdır. Ayrıca, gösterilebilir ki, T ¹ _aynı zamanda tam olup, bütün yansız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahiptir.

7.10.2 ( X Y _i , ), _i i  1, 2,3,..., n

ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

 ^{, ;}  ^{2 2 ( ) / , 0}

0 , . .

e x y x y

f x y

d y



 

      

  



olan kitleden bir örneklem olsun.

a) Y rasgele değişkeninin beklenen değerini ve varyansını bulunuz.

b) ( | E Y X  x ) koşullu beklenen değerini hesaplayınız.

c) ( X Y _i , ), _i i  1, 2,3,..., n

örneklemine bağlı olarak  için yeterli bir tahmin edici bulunuz.

d) Bu yeterli tahmin ediciye bağlı olarak  nın yansız bir tahmin edicisini bulunuz.

e) Bu yansız tahmin edici  için tutarlı mıdır?

Çözüm: a)

( )/ / 2 /

2 0

2 2

( , ; ) [ ]

X

y x y y y

x D x

f x y  dx e ^ dx e ^ e ^

 

  

 

  

 

olduğundan Y nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,

/ 2 /

2 [ ] , 0

( ; )

0 , . .

y y

Y e e y

f y

d y

 

 

 

  

  



şeklindedir. Buradan, Y nin beklenen değeri

  ^{/ 2 /}

0 0

2 3

( ) 2

y y

Y

y y

E Y y f y dy y e ^ e ^ dy 



 

 

 

 

       

ikinci momenti de

2 2 2 / 2 / 2

0 0

2 7

( ) ( )

2

y y

Y

y y

E Y y f y dy y e ^ e ^ dy 



 

 

 

 

       

olarak hesaplanmıştır. Rasgele değişkenin varyansı ise,

2 2 2 2 2

( ) ( ) [ ( )] (7 / 2) [3 / 2] (5 / 4) Var Y  E Y  E Y       dır.

b) X rasgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu x  0 _için,

  ² ₂ ^{( ) / 2 2 /}

( ; ) , ;

Y

x y x

X

y D y x

f x  f x y  dy e ^ dy e ^

 

   

 

    

olup, X  x verildiğinde Y nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu y  için, x

2 ( )/

( )/

| 2 /

( , ; ) (2 / ) 1

( | ; )

( ; ) (2 / )

x y y x

Y X x x

X

f x y e

f y x e

f x e

 



 

   

   

    

şeklindedir. Buradan, X  x verildiğinde Y nin koşullu beklenen değeri

  |

( ) / / /

| ( | ; )

1 1

Y X x y x

y x x y

y x y x

E Y X x y f y x dy

y e ^ dy e ^ y e ^ dy x



  







 

  

 

 

   



 

olarak bulunmuştur.

c) Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 

2 1

1 1

( , ) 2 ve ⁿ ( ( , ); ) _n exp ⁿ _{i i}

i

h x y g T x y  x y

  

 

     

  

   

için

2 1

1

2 1

( , ; ) ⁿ ( , ; ) _{i i} ⁿ _n exp ⁿ ( _{i i} ) ( ( , ); ) ( , )

i i

f x y  f x y  x y g T x y  h x y

  _



 

      

  

      

şeklinde yazılabildiğinden, ¹

( , ) ⁿ ( _{i i} )

i

T X Y X X



  

  tahmin edicisi  için yeterlidir.

d) X Üstel ~ ( / 2)  _{olup ( )} E X   / 2 ve ( ) 3 / 2 E Y   dir. Buradan,

     

1 1 1

( ) ( ) 2

n n n

i i i i

i i i

E T E X Y E X E Y n E X E Y n

  

     

                           

olduğundan,

 

*

1

1 2

n

n i i

i

T X Y

n _

  

tahmin edicisi  için yansızdır.

e) X ile Y arasındaki kovaryans için ( E XY beklenen değeri, )

  ₂ ^{( ) /}

0 0 0 0

/ / 2

2 0 0

( , ) 2

2

y y

x y

y x y x

y y x

y x

E X Y xy f x y dx dy x y e dx dy

ye x e dx dy



 



 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

olarak hesaplanmıştır. Ayrıca ( ) 3 / 2 E Y   , Var Y ( ) (5 / 4)   ² _ve X Üstel ~ ( / 2)  _ise

( ) / 2

E X   ve Var X ( )   ² / 4 dür. Böylece X ile Y arasındaki kovaryans

2 2 2

( , ) ( ) ( ) ( ) 3 / 4 / 4

Cov X Y  E X Y  E X E Y       olup X Y  nin varyansı

  ^{2 2 2 2}

( ) ( ) ( ) 2 , [ / 4] [5 / 4] 2[ / 4] 2

Var X Y   Var X  Var X  Cov X Y        

olarak bulunur. Buradan yansız tahmin edicinin varyansı da

  ^{*  } 2 ^{ } 2 ^{2 2}

1 1 1

1 1 1

2 4 4 2 2

n n n

n i i i i

i i i

Var T Var X Y Var X Y

n n n n

 

  

 

       

 

    

dır. T ^* tahmin edicisi yansız ve

* 2

lim ( ) _n lim ( / (2 )) 0

n Var T n  n

   

olduğundan Teorem (7.5.1) e göre, T ^{n *} tahmin edicisi  için tutarlıdır.

7.10.3 X X ¹ , ² , ,  X _n beklenen değeri  , varyansı  ² olan normal dağılımdan bir örneklem olsun. n  2 k olmak üzere  ² _için,

2 2

2 2 1

1

1 ( )

2

k

k i i

i

X X

 k _



  



tahmin edicisini yazalım.  ^{k 2} tahmin edicisi  ² için yansız ve tutarlı mıdır?

Çözüm: i  1, 2,3,..., k için Z ⁱ  X ^{2 i}  X ^{2 1 i} _

ler beklenen değeri 0 , varyansı 2 ²

olan normal dağılımlı bağımsız rasgele değişkenlerdir. Buna göre, Z _i ² / 2  ² ~  ^{1 2} _olup,

2 2

2 2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

1 1

1 2

( ) ( ) / 2 ~

2 2

k k

k i i i i k

i i

X X X X

k k k

 

 _{ }  

 

     



elde edilir. Ki-kare dağılımının özelliklerinden  ^{k 2} nin beklenen değeri ile varyansı

2 2 2 2 2

2 2 1

1

( ) 1 ( ) ( )

2

k

k i i k

i

E E X X E

k k

 _   



 

     

 

  



4 4 4

2 2 2

2 2 1 2 2

1

1 2 2

( ) ( ) ( )

2

k

k i i k

i

Var Var X X Var k

k k k k

  

 _ 



 

      

  



olup, k   _iken Var (   _k ² ) 2   ⁴ / k  0 bulunur. Buna göre,   tahmin edicisi ^{k 2}  ² _için

tutarlıdır (Teorem (7.5.1)).

7.10.4 X X ¹ , ² , ,  X _n beklenen değeri  olan Poisson dağılımından bir örneklem ve 2

n  k _olsun.  parametresinin tahmini için önerilen

2 2 1 2 1

1 ( )

2

k

k i i

i

X X

 k _



  



tahmin edicinin yansız olduğunu gösteriniz ve varyansını hesaplayınız.

Çözüm: Poisson dağılımının beklenen değeri ve varyansı birbirine eşittir. Buna göre, 1, 2,3,...,

i  k için Z ⁱ  X ^{2 i}  X ^{2 1 i} _

rasgele değişkenleri bağımsız ve E Z ( ) 0 _i  _, ( ) 2 _i

Var Z   dır. Buradan da

2 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1

( _i ) ( _{i i} ) ( _{i i} ) ( _i ) ( _i ) 2

E Z  E X  X _  Var X  X _  Var X  Var X _       bulunur. Buna göre,

2 2

2 2 1 2 2 1

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) 2

2 2 2

k k k

k i i i i

i i i

E E X X E X X

k k k

 _{ }  

  

 

       

    



olup  ^{ k}

,  için yansızdır. Benzer şekilde, Z ⁱ  X ^{2 i}  X ^{2 1 i} _

rasgele değişkenleri

bağımsız olup beklenen değerleri ve varyansları aynı olduğundan  ^{ k}

nin varyansı

2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 2 1

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) [( ) ]

2 4 4

k k

k i i i i

i i

Var Var X X Var X X k Var X X

k k k

 _{ }

 

 

       

   



dir. Buradan, Var (  ^ _k ) için

2 1 2

(( ) )

Var X  X

değerinin hesaplanması gerekir. Bunun için

2 4 2 2 4 2

2 1 2 1 2 1 2 1

(( ) ) (( ) ) [ ( ) ] (( ) ) [2 ]

Var X  X  E X  X  E X  X  E X  X  

eşitliğinden

2 1 2

(( ) )

Var X  X

için

2 1 4

(( ) )

E X  X

beklenen değerinin hesaplanması yeterlidir. X ~ Poisson ( )  _{için (} E g X  ( ))  E Xg X ( (  1)) eşitliği kullanılarak, Poisson dağılımının ilk dört momenti,

( )

E X _{ ,}  E X ( ² )     ² _,

3 3 2

( ) 3

E X       _, E X ( ⁴ )   ⁴  6  ³  7  ²  

olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, X ¹ _ve X ₂ aynı dağılımlı olduğundan E X ( ¹  X ² ) ⁴ _değeri

4 4 3 2 2 3 4

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2

4 3 2 2

1 1 2 1

4 3 2 3 2 2 2 2

( ) ( ) 4 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )

2 ( ) 8 ( ) ( ) 6[ ( )]

2[ 6 7 ] 8 [ 3 ] 6[ ] 12 2

E X X E X E X E X E X E X E X E X E X

E X E X E X E X

           

     

  

          

olarak bulunmuştur. Dolayısı ile,

  ⁴

2 2 2

2 1 1 2

(( ) ) [2 ] 8 2

Var X  X  E X  X       olup k   _iken,

2 2

2 1

2

8 2

( ) (( ) ) 0

4 4

k k

Var Var X X

k k

 

      

dır. Buna göre,  ^k tahmin edicisi  için tutarlıdır.

7.10.5 X X ¹ , ² , ,  X _n olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 ^;  ^{1/ 2 , 1 1}

0 , . . f x x

d y

 

     

  

olan kitleden bir örneklem olsun. Buna göre, a)  için yeterli bir tahmin edici bulunuz.

b)

( ) (1) 1

2 1

n n

X X n

W n

 

 

 olmak üzere bütün  lar için E W ( _n ) 0  _olduğunu gösteriniz.

Çözüm: X X ¹ , ² , ,  X _n lerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

( 1, 1) ( 1, 1)

( ; ) 2 { ⁿ (min{ })}{ _i (max{ })} _i f x   ^ I _{   } x I _{   } x



olarak yazılabilir. Ayrıca, i  1, 2,3,..., n için

1 1

( 1) min { } _{j i} max{ } ( _j 1)

j n x x j n x

 

   

     

olduğundan T X ( ) (  X ⁽¹⁾ , X ^{( )} _n )

  tahmin edicisi  için yeterlidir.

b) R  X ^{( ) n}  X ⁽¹⁾

örneklem genişliği istatistiğinin dağılımını bulalım. X in dağılım fonksiyonu,      1 x  1 _için,

1

1 1

( ) ( )

2 2

x x

F x P X x dt







       olup X ⁽¹⁾

ve X ^{( ) n}

nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu       için, 1 x y  1

(1) ( )

2 2

, ( 1)

( , ; ) ( 1) ( ) ( )[ ( ) ( )] [ ]

n 2

n n

X X n

f x y   n n  f x f y F y  F x ^  n n  y x  ^

eşitliğinden,

 

(1) ( )

2 ,

( 1)

, 1 1

( , ; ) 2

0 , . .

n

n X X n

n n y x x y

f x y

d y

 



 

      

  



olarak yazılabilir. R  X ^{( ) n}  X ⁽¹⁾

ve V  ( X ⁽¹⁾  X ^{( )} _n ) / 2

denirse ters dönüşümler,

(1) / 2

X   R V

ve X ^{( )} _n   R V / 2

olup R _ve V nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (Jacobien matrisinin determinantı 1  dir),

2

, ( , ) ( 1) / 2 , 1 / 2 1 / 2; 0 2

0 , . .

n n

R V n n r r v r r

f r v

d y

 

          

  



dir. Buradan, R nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu da

1 / 2 1 / 2

2 2

, ,

1 / 2 1 / 2

( , ) ( 1) / 2 ( , ) ( 1) (2 ) / 2

r r

n n n n

R V R V

v r v r

f r v dv n n r f r v dv n n r r

 

 

   

 

     

    

 

integralinin değerinden

1 / 2 2

, 1 / 2

( 1) (2 ) / 2 , 0 2

( ) ( , )

0 , . .

r n n

R V

v r

n n r r r

f r f r v dv

d y





  

  

    

   

 

R

olarak elde edilir. Ayrıca, R nin beklenen değeri,

  ² ₂ ^{2 1} ₂ ^{2 1 2}

0 0 0 0

1 1

2

( 1) ( 1)

( ) (2 ) 2

2 2

( 1) 2 2 1 1 1

2 ( 1) 2

1 1 1

2

n n n

R

r r r r

n n

n n n n

E r f r dr r r dr r dr r dr

n n n

n n n n n n n

 

   

 

 

   

    

 

 

 

     

                      

   

R

olup bütün  _{lar için,}

( ) (1) 1

2 1 0

X n X n

E n

   

 

  

 

elde edilir. Buradan,  için yeterli olan ( X ⁽¹⁾ , X ^{( )} _n ) 

nin öyle bir fonksiyonu vardır ki, beklenen değeri bütün  lar için sıfırdır. Buradaki beklenen değerin parametreye bağlı olmamasının nedeni, X ^{( ) n}  X ⁽¹⁾

istatistiğinin dağılımının parametreye bağlı olmamasıdır.

7.10.6 X X ¹ , ² , ,  X _n rasgele değişkenleri bağımsız, E X ( _i )  i  _ve Var X ( _i )   ² olsun.  parametresini tahmin etmek için,

1 1, 2

1 1

ˆ ^{n n}

n i

i i

i i X





 

   

    

      ve

1

2, 1 1

ˆ ^{n n}

n i

i i

i X





 

   

    

     

tahmin edicileri önerilmektedir. Bu tahmin edicilerin beklenen değerlerini ve varyanslarını hesaplayınız. Hangisinin varyansı daha küçüktür?

Çözüm: Önce beklenen değerleri hesaplayalım. Tahmin edicilerin beklenen değerleri,

  ^{1, 2 1   2 1 2 1 2 1}

1 1 1 1 1 1

ˆ ^{n n n n n n}

n i

i i i i i i

E  i i E X i i i   i i 

   

     

           

               

           

                 

 ^2,  ^{1   1 1}

1 1 1 1 1 1

ˆ ^{n n n n n n}

n i

i i i i i i

E  i E X i i   i i 

  

     

           

               

           

                  olup her iki tahmin edici de  için yansızdır. Diğer taraftan varyanslar,

2 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1, 1 1 1 1 1

ˆ 6

( ) ( )

( 1)(2 1)

n n n n n

n i

i i i i i

Var i E i X i i i

n n n

   

  

    

         

                              

ve

2   2 2 2

2 2

2, 1 1 1 1 1

ˆ 2

( )

1

n n n n n

n i

i i i i i

Var i Var X i n i

n

   

  

    

         

                              şeklindedir. a  (1, 2,3,..., ) n 

 ve b  (1,1,1,...,1) 

 için Cauchy-Schwartz eşitsizliği ( a b  ) 2  ( a a b b  ) (  )

    

şeklinde yazılır. Buradan,

2

1 1

, ,

n n

i i

a b i a a i b b n

 

       

     değerleri yerine konursa

2 2 2

2 2 2 1, 2,

2 2

1 1

1 1 1 1

1 ( ˆ ) ( ˆ )

n n

n n

n n n n

i i

i i i i

n n

i i n Var Var

i i i i

   

 

   

   

      

   

       

   

   

 

   

elde edilir. Yani, ˆ ^1,

 n

tahmin edicisi ˆ ^2,

 n

tahmin edicisine göre daha etkindir.

7.10.7 X X ¹ , ² , ,  X _n beklenen değeri  ¹ , varyansı  ² olan normal dağılımdan bir

örneklem ve bu örneklemden bağımsız Y Y ^{1 2} , , ,  Y _{m de} N (   2 , ² ) dağılımından başka bir örneklem olsun.  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicisini bulunuz. Bu tahmin edicinin beklenen değeri ile varyansını hesaplayınız.

Çözüm:  ¹ _,  _{2 ve}  ² nin olabilirlik fonksiyonu,

2 2 2

1 2 1 2

1 1

/2 /2

2 2

1 2

2 2 2 2

1 1

( , , ; , ) ( ; , ) ( ; , )

1 1 1 1

exp ( ) exp ( )

2 2 2 2

n m

X i Y j

i j

n n m m

i j

i j

L X x Y y f x f y

x y

      

 

   

 

 

  

 

 

   

                      

 

 

   

( )/2

2 2

1 2

2 2

1 1

1 1

exp ( ) ( )

2 2

n m n m

i j

i j

x  y 

 



 

   

   

                     dir. Buradan, log-olabilirlik fonksiyonu,

2 2 2 2

1 2 2 1 2

1 1

( , , ) ln(2 ) ln( ) 1 ( ) ( )

2 2 2

n m

i j

i j

n m n m

x y

      

  

 

 

        

 

   



şeklinde olup kısmi türevler,

2 2

1 2 1 2

1 2

2 2

1 1 2 1

( , , ) 1 ( , , ) 1

( ) , ( )

n m

i j

i j

x y

       

     

     

   

 

2 2 2

1 2

1 2

2 2 4

1 1

( , , ) 1

( ) ( )

2 2

n m

i j

i j

n m x y

    

    

 

         

      



şeklindedir. İlk iki türevin sıfıra eşitlenmesinden,

2 1 1

1 ⁿ ( _i ) 0

i

x 

 

 

 ₂ ²

1

1 ^m ( _j ) 0

j

y 

  _  

eşitlikleri elde edilir. Buradan,  ¹

ve  ²

parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin

edicileri (ikinci türevlere de bakılarak)   ˆ ¹ X _n

ve  ˆ ²  Y _m olarak elde edilmiştir. Bu çözümlerin üçüncü kısmi türevde yerine yazılıp sıfıra eşitlenmesi ile  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicisi de,

2 2 2

, 1 1

ˆ _{n m} 1 ⁿ ( _{i n} ) ^m ( _{j m} )

i j

X X Y Y

 n m

 

 

     

      

olarak bulunmuştur. İkinci türevlere bakıldığında bulunan sonuçların maksimum olduğu görülür. Şimdi, bu tahmin edicinin beklenen değer ve varyansını hesaplayalım. Kolayca görüldüğü gibi  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicisi basit aritmetik işlemlerden sonra,

2 2 2 2 2

, , ,

1 1

1 1

ˆ _{n m} ⁿ ( _{i n} ) ^m ( _{j m} ) ( 1) _{n X} ( 1) _{m Y}

i j

X X Y Y n S m S

n m n m



 

 

 

                   

olarak yazılır. Normal dağılımın özelliklerinden E S ( _{n X} ^{2 ,} )  E S ( _{m Y} ^{2 ,} )   ² olup varyanslar,

2 4 2 4

, ,

( _{n X} ) 2 / ( 1) , ( _{m Y} ) 2 / ( 1)

Var S   n  Var S   m 

dir. Ayrıca, iki örneklem birbirinden bağımsız olduğundan S ^{n X 2 ,} ve S ^{m Y 2 ,} de bağımsızdır.

Dolayısı ile,  ˆ _{n m} ^{2 ,} nin beklenen değeri

2 2 2 2

, 1 , , 2

( ˆ _{n m} ) ( 1) ( _{n X} ) ( 1) ( _{m Y} ) n m

E n E S m E S

n m n m

   ^     ^   ^{ }  

olur. n m  için tahmin edicinin beklenen değerinin E (  ˆ _n ² ) (  n  1)  ² / n olduğu açıktır.

Benzer şekilde,

2 2 2 2 2 2

, , ,

( ˆ _{n m} ) ( ) ( 1) ( _{n X} ) ( 1) ( _{m Y} ) Var   n n  ^   n  Var S  m  Var S  

2 2 4 2 4 4

2

2 ( 2)

( ) ( 1) 2 / ( 1) ( 1) 2 / ( 1)

( )

n m n n m m n m

n m

  

    

          

dir.

7.10.8 X X ¹ , ² , ,  X _n olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ; ) f x  olan kitleden alınan bir örneklem olsun. ( ; ) f x  olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 ^;  ^{2 / 2 , 0}

0 , . .

x x

f x d y

 

 _{ } ^{   }



şeklinde verildiğinde,

a)  için yeterli bir tahmin edici bulunuz.

b)  nın en çok olabilirlik tahmin edicisini elde ediniz. Buna T diyelim. U T  /  _ve

 önceden belirlenmiş bir sayı ( 0    1 ) olsun. ( P U  a )   / 2 ve ( P U  b )   / 2

olacak şekilde a _ve b değerlerini belirleyiniz. Ayrıca, g ¹ _ve g ₂ fonksiyonlarını öyle belirleyiniz ki, P g T ( ( ) ¹    g T ² ( )) 1    _olsun.

Çözüm: a) Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ¹ ( ) ⁿ _i

i

h x x



 

  

  

 _ve T X ( )  X ( ) _n

 ^için,

{0 } {0

( )

}

2 2

1 1 1

2 2

( ; ) ( ; ) ( ) ( )

( ( ); ) ( )

i n

n n n n

i i x i n x i

i i i

f x f x x I x I x x

g T x h x

 

 

 



   

  

 

    

 



  

 

 

şeklinde yazılabidiğinden faktörizasyon teoremine göre, X ^{( ) n}

,  için yeterlidir.

b) Benzer şekilde,  nın olabilirlik fonksiyonu,

{0 } {0 ( ) }

2 2

1 1 1

2 2

( ; ) ⁿ ( ; ) _i ^{n i} _{x i} ( ) _i ⁿ _{n x n} ( ) ⁿ _i

i i i

L  X x f x  x I _ x I _ x x

 ^{ }  ^{ }

  

 

     

 

  

  

olup, bu fonksiyon  ya göre azalandır. ( ; L  X  x )

  fonksiyonu en yüksek değerine x ^{( ) n} noktasında ulaşır (Şekil (7.10.1)).

Şekil 7.10.1 Düzgün dağılımın olabilirlik fonksiyonu

Buna göre,  nın en çok olabilirlik tahmin edicisi ˆ ^{( )}

n X n

 

dir. Yeterli istatistik aynı zamanda en çok olabilirlik tahmin edicisidir. Şimdi, bu yeterli istatistiğe bağlı yansız bir tahmin edici bulalım.

T nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 0 t    _için f t _T ( ; ) 2   nt ^{2 1 n } /  ^{2 n} _olup beklenen değeri

2 2

0 0

( ) _T ( ; ) [2 / ⁿ ] ⁿ [2 / (2 1)]

E T  ^  t f t  dt  n  ^  t dt  n n   olduğundan W _n   (2 n  1) /(2 ) n X  ( ) _n

tahmin edicisi  için yansızdır. Diğer taraftan, /

U T   nın olasılık yoğunluk fonksiyonu 0   u 1 _için f u _U ( ) 2  nu ^{2 1 n } dir. Buradan, a _ve b _değerleri

2 1 2 2 1/2

0 0

/ 2 ( ) 2 ( / 2)

a n n a n n

P U a nu du u u a a

 ^ 

        

ve

1 2 1 2 1 2 1/2

/ 2 ( ) 2 ^{n n} 1 ⁿ (1 / 2) ⁿ

b u b

P U b nu du u b b

 ^ 

          

şeklinde bulunur. Yani, a  ( / 2)  ^{1/2 n} _ve b   (1  / 2) ^{1/2 n} _{için, (} P a U b   ) 1   dır.  Ayrıca

( ) ( ) ( )

1    P a U b (   )  P a X (  _n /   b )  P X ([ _n / ] b    [ X _n / ]) a olduğundan, g ¹ _ve g ₂ fonksiyonları

1 ( ( ) _n ) ( ) _n / (1 / 2) 1//2 ⁿ

g X  X  

ve

2 ( ( ) _n ) ( ) _n / ( / 2) 1//2 ⁿ

g X  X 

olarak seçildiğinde, P g X ( ( ^{1 ( )} _n )    g X ² ( ^{( )} _n )) 1    dır.

7.10.9 X X ¹ , ² , ,  X _n olasılık yoğunluk fonksiyonu, ( ; ) f x  olan kitleden alınan bir örneklem olsun. ( ; ) f x 

2 /

(2 / ) , 0

( ; )

0 , . .

x e x x

f x d y

 

    ^ 



olarak verildiğinde  için yeterli bir tahmin edici bulunuz. Bu yeterli tahmin ediciye T ⁿ diyelim. T ⁿ ye bağlı yansız bir tahmin edici bulunuz. Bu yansız tahmin ediciyi de W ⁿ _ile gösterelim. Bu tahmin edici tutarlı mıdır?

Çözüm: X X ¹ , ² , ,  X _n lerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,



2 /

1 1

2 2

1 1

( ( ); ) ( )

( ; ) ( ; ) (2 / )

2 1

exp ( ( ); ) ( )

n n i

i i x

i i

n n n

i i

n i i

g T x h x

f x f x x e

x x g T x h x





  

 





 

 

 

 

    

 

 

 

 



 

 

olarak yazılabildiğinden faktörizasyon teoremine göre,

2 1 n

n i

i

T X



 

,  için yeterlidir. Bu tahmin edicinin beklenen değeri için E X ( ² ) değerine ihtiyaç vardır. Bu beklenen değer,

2 2 2

2 2 3 / 2 / /

0

0 0

( ) ( ; ) 2 ^x [ ^{x x} ] _x

E X x f x  dx x e ^ dx x e ^  e ^ 



 

   

        

olup

2 1

(1/ ) ⁿ

n i

i

W n X



 

tahmin edicisi  için yansızdır. Ayrıca,

2

2 2 2

4 4 5 /

0 0

4 / 2 / 2 /

2 0

( ) ( ; ) 2

2 2 2

2 2 2

x

x x x

x

E X x f x dx x e dx

x e x e e



  

 

    



 



   



 

   

   

     

     

 

 

olduğundan, X ² rasgele değişkeninin varyansı,

2 4 2 2 2 2 2

( ) ( ) [ ( )] 2

Var X  E X  E X      

olarak bulunmuştur. Buradan, Var W ( _n )   ² / n _olup W _n yansız ve lim ( _n ) 0

n Var W

 

olduğundan W ⁿ tahmin edicisi  için tutarlıdır (Teorem (7.5.1)).

7.10.10 X _{i j} ^, , i  1, 2,3,..., ve m j  1, 2 ler

( _i , 2 ) N  

dağılımından bir örneklem olsun.

1 2 3 2

( , , ,..., _m , )

       

 olmak üzere, i  1, 2,3,..., m için  ⁱ

ler ile  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicilerini bulunuz.  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicisi tutarlı mıdır?

Çözüm: Olabilirlik fonksiyonu,

2 2

, 2 2 , 2

1 1 1 1

2 2

1 2

2 2

1 1

1 1

( ; ) ( ; ) exp ( )

2 2

1 1 1

exp ( ) ( )

2 2

m m

i j i j i

i j i j

m m m m

i i i i

i i

L X x f x x

x x

  

 

 

  

   

 

 

      

 

   

   

                      

   

 



  

olup log-olabilirlik fonksiyonu da

2 2 2

1 2

2 1 1

( ) ln( ( ; )) ln( ) ln(2 ) 1 ( ) ( )

2

m m

i i i i

i i

L X x m m x x

     

 _{ }

 

          

   

    

şeklindedir. ( ) _  fonksiyonunda  ² sabit tutularak  ⁱ lere göre kısmi türevlerinin sıfıra

eşitlenmesi ile  ⁱ parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin edicileri (ikinci türevlere

bakılmıştır),

1 2 1 2 2

( ) 1 [( ) ( )] 0 ˆ 1 ( )

i i i i i 2 i i i m

i

x x X X X

   

 

         



 

olarak elde edilmiştir. Olabilirlik fonksiyonunda,   ˆ _i X _im

yazıldığında,

2 2 2

1 2

2 1 1

( ) ln( ) ln(2 ) 1 ( ) ( )

2

m m

i i m i i m

i i

m m X X X X

  

  

 

        

   

 

elde edilir. Bu fonksiyon biraz daha düzenlenerek,

2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1

2 2

1 1 2 2 1 2

1

( ) ( ) [( ) ( ) ]

[( ( ) / 2) ( ( ) / 2) ]

m m m

i i m i i m i i m i i m

i i i

m

i i i i i i

i

X X X X X X X X

X X X X X X

  



      

     

  



2 2 2

1 2 2 1 1 2

1 1

[(( ) / 2) (( ) / 2) ] 1 [( ) ]

2

m m

i i i i i i

i i

X X X X X X

 

       

şeklinde yazılabilir. Buradan, log-olabilirlik fonksiyonu,

2 2

1 2

2 1

( ) ln( ) ln(2 ) 1 ( )

4

m

i i

i

m m X X

  

 

     

 

şekline dönüşür. Bu fonksiyonunun  ² göre kısmi türevinin sıfıra eşitlenmesi ile  ² _nin en çok olabilirlik tahmin edicisi de (ikinci türeve bakıldığı dikkate alınarak)

2 2 2

1 2 1 2

2 2 4

1 1

( ) 1 ( ) 0 ˆ 1 ( )

4 4

m m

i i m i i

i i

m X X X X

m

 

    

        

 ^ _  

olarak bulunmuştur. Ayrıca, Z ⁱ  X ^{i 1}  X ^{i 2}

denirse ( Z ⁱ ler bağımsız) E Z ( ) 0 _i  _ve ( ) 2 _i 2

Var Z   olduğundan, Z _i ~ (0, 2 N  ² ) dir. Zayıf büyük sayılar kanununa göre m   _iken,

2 2 2 2

1 2 3 ... 2

P 2

Z Z Z Z m

m 

   

 veya

2 2 2 2

1 2 3 ... 2

2

m P

Z Z Z Z

m 

   



dir. Buradan,  ² nin en çok olabilirlik tahmin edicisinin  ˆ _m ² _,  ² için tutarlı olmadığı

görülür (yani olasılıkta  ² ye yakınsamaz). Ayrıca, m   _iken

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1

1 1 1 1 1

ˆ ( ) ( )

4 2 2 2 2 2

m m m P

m i i i i i

i i i

X X X X Z

m m m

 

  

   

         

   

  

dir.