SONUÇLAR ve ÖNERİLER

5.1. Sonuçlar

Bu tezdeA = [−1, 1] × [−1, 1] olmak üzere f ∈ C(A) ç n

D_n,m(f ; x, y) = ^{n + 1} 2 m + 1 2 n ∑ k=0 m ∑ j=0 ϕ^k,j_n,m(x, y) ∫ ₂k+1 n+1−1 2_n+1^k −1 ∫ ₂j+1 m+1−1 2_m+1^j −1 ^{f (t, u)dtdu,}

genelleşt r lm ş Bernste n-Kantorov ch operatörü tanımlanmıştır. Burada n, m∈ N ϕ^k,j_n,m(x, y) = φ^k_n(x)φ^j_m(y) ve φ^k_n(x) = ¹ 2n ( n k ) (1 + x)^k(1− x)n−k

le ver lmekted r. D_n,m Bernste n-Kantorov ch operatörünün yaklaşım özell kler ncelenm şt r.

Öncel kle tanımlanan k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörünün l neer ve poz t f operatör olduğu göster lm şt r. Daha sonra 3.Bölümde ver len Korovk n teorem n n şartlarının sağlandığı kontrol ed lm şt r. Sürekl fonks yonlar uzayına a t keyf b r f fonks yonuna D_n,m Bernste n-Kantorov ch operatörü le yaklaşımın düzgün olacağı

spatlanmış ve f ∈ C(A) sürekl fonks yon ç n n, m → ∞ ken

lim

n→∞ m→∞

∥Dn,m(f ; x, y)− f∥C(A)^{= 0}

sonucu elde ed lm şt r.

Daha sonra D_n,m Bernste n-Kantorov ch operatörü ç n

ω(f ; δ) = √ max (x1−y1)2+(x2−y2)2≤δ

(x1,y1),(x2,y2)∈A

|f(x1, y₁)− f(x2, y₂)|

tam sürekl l k modülü ve

ω⁽¹⁾(f ; δ) = max (x1,y),(x2,y)∈A |x1−x2| |f(x1, y)− f(x2, y)| ω⁽²⁾(f ; δ) = max (x,y1),(x,y2)∈A |y1−y2| |f(x, y1)− f(x, y2)|

sırasıyla x ve y değ şkenler ne göre kısm sürekl l k modüller tanımlanmış ve tanımlanan bu sürekl l k modüller kullanılarak yaklaşımın hızı hesaplanmıştır.

D_n,m Bernste n-Kantorov ch operatörü ç n merkez momentler hesaplanmış ve bu momentler kullanılarak Voronovskaya teorem yardımıyla

lim

n→∞ⁿ{Dn,n(f ; x, y)− f(x, y)}

=−xfx(x, y)− yfy(x, y) + ¹

2{(1 − x2)f_xx(x, y) + (1− y2)f_yy(x, y)}

as mptot k yaklaşımı elde ed lm şt r.

Daha sonra, Dn,m operatörünün Peetre’s K-fonks yonel le yaklaşım hızı hesaplanmıştır. D_n,m operatörü ç n

R_n,m(f (t, u); x, y) := D_n,m(f (t, y) + f (x, u)− f(t, u); x, y)

şekl nde tanımlanan Rn,m GBS operatörü kurulmuş ve karışık düzgünlük modülü kullanılarak R_n,mGBS operatörünün yaklaşım hızı hesaplanıştır.

Tezde L psch tz koşulları tanımlanmış ve L psch tz koşulları le tam ve kısm sürekl l k modüller arasındak l şk ver lm şt r. Daha sonra L psch tz sınıfından olan fonks yonlara Dn,m Bernste n-Kantorov ch operatörü le yaklaşımlar hesaplanmış ve bu yaklaşımların da düzgün olduğu göster lm şt r.

Tez n son bölümünde se Maple programı kullanılarak nümer k örnekler ver lm şt r. İk farklı sürekl fonks yon ç n D_n,m Bernste n-Kantorov ch operatörünün bel rl n ve

m değerler ndek graf kler ç zd r lm şt r. [−1, 1] × [−1, 1] bölges ne a t çeş tl (x, y)

değerler ç n D_n,mBernste n-Kantorov ch operatörü le f fonks yonunun bu noktalardak hata payı hesaplanmış ve bu değerlere karşılık gelen nümer k tabloları hazırlanmıştır.

5.2. Öneriler

L neer poz t f operatörler le yaklaşım alanında yukarıdak bölümlerde gördüğümüz g b b r çok operatör üret lm ş ve yaklaşım özell kler ncelenm şt r. Günümüzde hala bu çalışmalar devam ederken matemat ğe ve d ğer d s pl nlere katkı sunmaya ve yen çalışma alanlarının oluşmasına yardımcı olmaktadır. Bu bağlamda bundan sonrak çalışmalar

ç n bu tezde ele alınan genelleşt r lm ş k değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörü ç n tanım kümes değ şt r lerek sürekl yüzeylerde geometr k açıdan yaklaşımı ve hızı hesaplanab l r. Mühend sl k ve tıp g b b rçok alandak uygulama yöntemler araştırılıp somut çalışmalar elde ed l b l r.

Tezde ele alınan Bernste n-Kantorov ch operatörü L_p uzayları veya ağırlıklı uzaylarda ele alınıp yaklaşım özell kler nceleneb l r.

İk değ şkenl Bernste n-Kantorov ch operatörü ç n son yıllarda b r çok alanda uygulaması olan ve yen çalışma alanları sunan q ve (p, q)-analog operatörler tanımlanıp bu uzaylarda yaklaşım özell kler nceleneb l r.

ABEL, U., 1998. Asymptot c approx mat on w th Kantorov ch polynom al. Approx. Theory and Its Appl., 14: 106.

ACAR, T. and KAJLA, A., 2018. Degree of approx mat on for b var ate general zed Bernste n type operators. Results n Math., 73(79):1-20

ACAR, T., ARAL, A. and Moh ud ne, S. A., 2016. On Kantorov ch mod f cat on of (p, q)-Baskakov operators. J Inequal Appl 98.

ACU, A. M. and Muraru, C. V. 2015. Approx mat on propert es of b var ate extens on of

q-Bernste n–Schurer–Kantorov ch operators. Result Math 67(3): 265–279.

AÇIKGÖZ, M., and ARACI, S., 2010. New generat ng funct on of Bernste n type polynom al for two var ables. ICNAAM, Numer cal Analys s and Appl ed Mathemat cs, Internat onal Conference. 1281: 1141-1143.

AGRANTINI, O., 2011. An approx mat on process of Kantorov ch type. Mathemat cal Notes M skolc, 2(1):3–10.

AGRAVAL, P. N., FINTA, Z. and KUMAR, A. S., 2015. B var ate q-Bernste n–Schurer– Kantorov ch operators. Result Math., 67(3): 365–380.

AKSOP, C., 2009. On a mod f cat on of operators. Internat onal Mathemat c Forum, 45(4): 2211-2215.

ALTOMARE, F. and CAMPITI, M., 1994. Korovk n-type approx mat on theory and ts appl cat ons. De Gruyter Ser es Stud es n Mathemat cs, Vol. 17, Walter De Gruyter Berl n- New York, 627s.

BADEA, C., BADEA, I. and GONSKA, H. H., 1986. A test funct on theorem and approx mat on by pseudopolynom als. Bull. Aust. Math. Soc., 34:53-64.

BALCI, M., 2012. Reel anal z, Balcı Yayınları, Ankara, 144s.

BARBOSU, D., 2004. Kantrov ch-Stancu type operators. Journal of Inequal t es n Pure and Appl ed Mathemat cs, 5(3): 53-54.

BASKAKOV, V. A., 1957. An example of a sequence of l near pos t ve operators n the space of cont nuous funct ons. Dokl. Akad. Nauk, 113: 249-251.

BAYRAKTAR, M., 2006. Fonks yonel anal z, Gaz K tapev , Ankara, 320s.

BERNSTEIN, S. N., 1912-1913. Demonstrat on du theoreme de We erstrass fondee sur le calcul des probab l tes. Commun. Soc. Math. Kharkow, 13(2): 1-2.

BLEIMANN, G., BUTZER, P. L. and HAHN, L., 1980. A Bernste n-type operator approx mat ng cont nuous funct ons on the sem -ax s. Indag. Math., 42: 255-262. BOHMAN, H., 1952. On approx mat on of cont nuous and analyt c funct ons. Ark. Mat.,

2: 43-56.

BOGEL, K., 1962-1963. Über d e mehrd mans onale d fferentat on. Jber. Deutsch. Math. Vere n, 65: 45-71.

BUTZER, P., 1953. On two-d mens onal Bernste n polynom als. Canad an Journal of Mathemat cs, 5: 107-113.

BÜYÜKYAZICI, İ., 1999. İk değ şkenl fonks yonların Bernste n pol nomları. A.Ü. Fen B l mler Enst tüsü, Yüksek L sans Tez , Ankara.

BÜYÜKYAZICI, İ., İBİKLİ, E., 2004. The approx mat on propert es of general zed Bernste n polynom als of two var ables. Appl. Math. Comput., 156(2): 367-380.

nf n en ser es de polynomes de M. S. Bernste n. Compos t o Math., 4: 380-393. COTTIN, C., 1990. M xed K−-funct onals: a measure of smoothness for blend ng-type

approx mat on. Math. Z., 204:69-83.

DEO, N., NOOR, M. A. and SIDDIQUU, M. A., 2008. On approx mat on by a class of new Bernste n type operators. Appl ed Math. and Comp., 201:604-612.

DÖKMEN, A. B., 2009. Bernste n pol nomlarının q-analogu. Kırıkkale Ün vers tes , Fen B l mler Enst tüsü, Yüksek L sans Tez , Kırıkkale, 65s.

DOĞRU, O. and DUMAN, O., 2006. Stat st cal approx mat on of Meyer-Kön g and Zeller operators based on q- ntegers. Publ. Math. Debrecen, 68: 1-2, 199-214.

DOĞRU, O., DUMAN, O. and ORHAN, C., 2003. Stat st cal approx mat on by general zed Meyer-Kön g and Zeller type operators. Stud. Sc . Math. Hun., 40: 359-371.

DUCHON, M., 2011. A general zed Bernste n approx mat on theorem. Mathemat cal Publ cat ons, 49: 99-109.

DURRMEYER, J. L., 1967. Une formule d’ nvers on de la transformee de Laplace appl cat on a la theor e des moments. These De 3e Cyele. Faculte Des Sc ences de l’Un vers te de Par s, 4: 149-150.

FAVARD, J., Sur les mult pl cateurs d’ nterpolat on. J. Math. Pures Aplll. 23(9):219-247. FINTA, Z., 1999. On approx mat on by mod f ed Kantorov ch polynom als. Mathemat ca

Balcan ca (New Ser.) 13(3-4):205-211.

GADJIEV, A. D. and ORHAN, C., 2002. Some approx mat on theorems v a stat st cal convergence. Rocky Mounta n Journal of Mathemat cs, 32: 129-138.

HACISALİHOĞLU, H. and HACIYEV, A., 1995. L neer poz t f operatör d z ler n n yakınsaklığı, A.Ü.F.F Döner Sermaye İşletme Yayınları, Ankara, 94s.

HERZOG, F. and HILL, J. D., 1946. The Bernste n polynom als for d scont nuous funct ons. Amer. J. Math., 68: 109-124.

HILDEBRANT, T. H. and SCHOENBERG, I. J., 1933. On l near funct onal operat ons and the moment problem. Ann. of Math., 34(2): 317-328.

İZGİ, A., 2009. Order of approx mat on of funct ons of two var ables by new type gamma operators. General Mathemat cs, 17(1), 23-32.

İZGİ, A., 2012. Approx mat on by compos t on of Szasz-M rakyan and Durrmeyer-Chlodowsky operators. Euras an Math. J., 3:63–71.

İZGİ, A., 2013. Approx mat on by a class of new type Bernste n polynom als of one and two var ables. Global Journal of Pure and Appl ed Mathemat cs, 9(1), p.55. İZGİ, A. and BÜYÜKYAZICI, İ., 2006. On a general zat on of Bernste n-Chlodovsky

polynom als for two var ables. Int. Math. Forum 1, 1001–1015.

İZGİ, A., BÜYÜKYAZICI, İ. and İBİKLİ, E., 2009. Rate of convergence by Chlodowsky– Taylor polynom als. Appl ed Mathemat cs and Computat on, 213(2): 426-431. KAC, M., 1938. Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernste n. Stud a Math., 7:

49-51.

KAHVECİBAŞI, İ., 2014. [−1, 1] aralığında Bernste n-Kantorov ch operatörler n n

yaklaşım özell kler . Harran Ün vers tes , Fen B l mler Enst tüsü, Yüksek L sans Tez , Şanlıurfa.

KANTOROVICH, L. V., 1930. Sur certa ns developpements su vant les polynomes de la forme de S. Bernste n I, II. C.R. Acad. Sc . URSSS, 563-568, 595-600.

Bernste n operators. Numer cal Funct onal Analys s and Opt m zat on, 39(9): 990-998.

KIVINUKK, A. and METSMAGI, T., 2011. Approx mat on n var at on by the Kantorov ch operators. Proceed ngs of the Eston an Academy of Sc ences, 60(4):201-209.

KOROVKIN, P. P., 1953. On convergence of l near pos t ve operators n the space of cont nuous funct ons. (Russ an), Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.)MR 15,236.Sc. 1.2. 90:961-964.

LORENTZ, G. G., 1953. Bernste n polynom als. Un vers ty of Toronto Press, Toronto. LUPAS, A., 1987. A q-analogue of the Bernste n operator. Un vers ty of Cluj-Napoca,

Sem nar on Numer cal and Stat st cal Calculus, 9: 85-92.

MEYER-KONIG, W., ZELLER, K., 1960. Bernste nsche otenzre hen. Stud a Math., 19:89-94.

MIRAKYAN, G. M., Approx mat on of cont nuos funct ons w th the a d of poynom als. Dokl. Acad. Nauk SSSR, 31:201-205.

MISHRA, V. N. and PANDEY, S., 2016. On Chlodowsky var ant of (p, q) Kantorov ch– Stancu–Schurer operators. Int. J. Anal. Appl. 11(1): 28–39.

MUSAYEV, B., ALP, M., MUSTAFAYEV, N. and EKİNCİOĞLU, İ., 2007. Teor ve çözümlü problemlerle anal z 1. Seçk n Yayıncılık, Ankara, 593s.

NEAMMANEE, K., 2001. Approx mat on of L psch tz funct ons on B_n by Bernste n polynom als. Sc ence As a, 27: 63-66.

ÖZARSLAN, M. A. and DUMAN, O. A., 2009. New approach n obta n ng a better est mat on n approx mat on by pos t ve l near operators. Commun. Fac. Sc . Un v. Ank. Ser es A1., 58: 17-22.

PAPANICOLAU, C. G., 1975. Some Bernste n type operators. Amer. Math. Month, 82:674-677.

PEETRE, J., 1963. A theory of nterpolat on of normed spaces lecture notes. Braz l a. PINKUS, A., 2000. We erstrass and approx mat on theory. J. Approx, Theory, 107: 1-66. PINKUS, A., 2005. We erstrass and approx mat on theory. Surveys n Approx mat on

Theory, 1: 1-37.

POP, O. T., 2007. Approx mat on of B-d fferent able funct ons by BGS operators. Anal. Unıv. Oredea Fasc. Mat., 14:53-60.

POPOVICIU, T., 1951. On the proof of We erstrass theorem us ng nterpolat on polynom als. Lucra le Ses un Gen.ġt. Acad. Romane, 2: 2-12.

PYCH-TABERSKA, P., 1997. Rate of po ntw se convergence of Bernste n polynom als for some absolutely cont nuous funct ons. J. Math. Anal. Appl., 2: 212, 9-19. SHEVCHUK, I. A., 1992. Approx mat on by polynom als and traces of funct ons

cont nuous on a segment. Naukova Dymka, K ev, 324s.

STANCU, D. D., 1968. Approx mat on of funct on by a new class of polynom al operators. Rev. Roum. Math. Pures et Appl., 13(8): 1173–1194.

STANCU, D. D., 1963. A method for obta n ng polynom als of Bernste n type of two var ables. The Amer can Mathemat cal Monthly, 70(3), 260-264.

SZASZ, O., General zat on of Bernste n’s polynom als to the nf n te nterval. J. Res. Nat.Bureau of St., 45:239-245.

VORONOVSKAJA, E., 1932. Determ nat on de la forme asymplot que d’approx mat on des fonct ons par les polynomes de M. Bernste n. C. R. Acad. Sc . URSS, 4:

79-the space of cont nuous funct ons of two var able. Math. Sb. N.S. 43(85):504 ( n Russ an).

WEIERSTRASS, K., 1885. Über d e analyt sche darstellbarke t sogenannter w llkür cher 55 funkt onen e ner reellen veranderl chen. S tzungsber chte Der Akadem e zu Berl n, 2(1): 633-639, 789-805.