TRİGONOMETRİ
Birim Çember: Analitik düzlemde, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere “birim çember” denir. Birim çemberin denklemi,
2 2
x y 1 şeklindedir.
y
1 x2y2 1 r=1
1 1 x O r=1
1
Açı Ölçü Birimleri
Açı ölçü birimlerinden biri derecedir. 1 derece (1°), bir çemberin merkez açısının tamamının ölçüsünün 360 ta biridir.
Dereceden başka açı ölçü birimleri de vardır.
Yarıçapı 1 birim olan çemberi göz önüne alalım. Bu çemberde her bir merkez açıya bir çember yayı uzunluğu karşılık gelir.
N
B 1
1 β° s
O α° t O 1 1 A
M
Yukarıdaki şekillerde ölçüsü α° olan AOB ’ na, uzunluğu t birim olan bir AB yayı ve ˆ ölçüsü β° olan MON açısına, uzunluğu s birim olan bir MN yayı karşılık gelmektedir.
Ölçüsü 360° olan açıya da 2π uzunluğunda bir yay karşılık gelir.
Birim çemberde verilen bir açıya karşılık gelen yayın uzunluğuna o açının “radyan” olarak ölçüsü denir. Buna göre,
360 derece= 2π radyan
olacaktır. Bu eşitlikten yararlanarak, derece cinsinden verilen tüm ölçüler radyan, radyan cinsinden verilen tüm ölçüler derece cinsinden yazılabilir.
Dersimizle ilgili en çok kullanılan derece ve bunlara karşılık gelen radyan değerleri liste halinde aşağıda verilmiştir:
Derece 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 Radyan 0 π
6 π
4 π 3 π
2 2π
3 3π
4 5π
6 π 3π
2 2π
Trigonometrik Fonksiyonlar
Analitik düzlemde çizdiğimiz birim çember üzerinde (1,0) noktasından başlayıp saat yönünün tersi yönde t birim ilerlersek çember üzerinde bir P(x, y) noktası elde ederiz. P noktasının apsisi cos t (kosinüs t), ordinatı sin t (sinüs t) olarak tanımlanır. Böylece her bir t sayısına bir cos t ve bir sin t sayısı karşılık gelir.
y
P(x,y) x=cos t
P(x,y)=P(cos t, sin t) y=sin t
t
x O (1,0)
Yukarıdaki şekilden görüleceği gibi, 1 cos t 1 , 1 sin t1 dir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından başka en çok kullanılan diğer trigonometrik fonksiyonlar tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarıdır. Bunlar,
sin t tan t=
cos t , cot t=cos t
sin t , sec t= 1
cos t , csc t= 1 sin t
şeklinde tanımlanırlar.
Dar Açıların Trigonometrik Oranları
A Hipotenüs Karşı dik kenar b
c
α
B Komşu dik kenar C a
ABC dik üçgeninde α dar açısının trigonometrik oranları:
Karşı dik kenar uzunluğu c sin α=
Hipotenüs uzunluğu b
Komşu dik kenar uzunluğu a cos α=
Hipotenüs uzunluğu b
Karşı dik kenar uzunluğu c tan α=
Komşu dik kenar uzunluğu a
Komşu dik kenar uzunluğu a
cot α= =
Karşı dik kenar uzunluğu c
Trigonometrik Özdeşlikler 1) sin α + cos α = 12 2
2) tan α . cot α = 1 3) 1 + tan α = sec α2 2 4) 1 + cot α = csc α2 2
5) tan α = sin α
cos α tan α = 1 cot α
cot α =cos α
sin α cot α = 1 tan α
6) sec α = 1
cos α csc α = 1 sin α
7)
II. Bölge π
2 I. Bölge II. Bölge π
2 I. Bölge II. Bölge π
2 I. Bölge + + + +
π 0 π 0 π 0
2π 2π 2π
+ + III. Bölge 3π
2 IV. Bölge III. Bölge 3π
2 IV. Bölge III. Bölge 3π
2 IV. Bölge Sinüs Fonksiyonu Kosinüs Fonksiyonu Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu
8) Tümler (toplamları 90° olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına, birinin sekantı diğerinin kosekantına eşittir.
α β 90 sin α = cos β , tan α = cot β , sec α = csc β
9)
α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin α 0 1
2 2 2
3
2 1 0 1 0
cos α 1 3
2 2 2
1
2 0 1 0 1
tan α 0 1 3
3 3 1 3 Tanımsız 0 Tanımsız 0
cot α Tanımsız 3 1 1 3
3 3 0 Tanımsız 0 Tanımsız
Örnek: sin 30 cos 60 = 1
2
sin 45 cos 45 = 2
2
tan 60 cot 30 = 3
1 1 2 2 3
sec 30 csc 60 =
sin 60 3 3 3
2
Örnek: sin 50 cos 40 1 cos 40 cos 40
Örnek: cos 402 cos 502 sin 502 cos 502 1
Örnek: tan 40 . tan 50 = tan 40 . cot 40 = 1
Örnek: Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.
a)1 sin x . 1 sin x 1 sin x=cos x2 2
b) sin x4 sin x.cos x2 2 sin x.sin x2 2 sin x.cos x2 2 sin x sin x2 2 cos x2
sin x2 . 1 sin x2
c)
2
2 sin x
1 tan x 1
cos x
sin x2
1
2 2
2
cos x sin x cos x
12 cos x
sec x2
d)
cos x 1 cot x 1 sin x sin x 1 tan x
1 cos x
sin x cos x sin x cos x sin x
cos x
=sin x cos x. cos x sin x cos x sin x
cos x
sin x
cot x
e) sin x cos x sin x cos x
1 1
csc x sec x
sin x cos x
sin x2 cos x2 =1
