ÇARPIM SEMBOLÜ
A. Tanım Z n ,
r ve rn olmak üzere f:ZR , ak ) k (
f
fonksiyonu tanımlanmış olsun. Bu düşünce ile oluşturulan an
,..., 2 ar 1, ar r,
a terimlerinin çarpımını,
n
r
k ak
an 2 ...
ar 1 ar
ar biçiminde
gösteririz.
Bu gösterimde kullandığımız sembolüne çarpım sembolü denir.
Örnek:
20 n
1
k ak
20 an 1....
an n. a ...
a3 2. a 1. a
Örnek:
12 1 a
a 12 ....
n ....
3 . 2 . 1
Örnek:
12 3 k
1) - (2k 23
...
11 . 9 . 7 . 5
Örnek:
30 1
k 2k 1
2k 61
...60 9 .8 7 .6 5 .4 3 2
Örnek:
25
7 a
1 225 1....
29 8 .1 2 7 .1 1 2 2a
28.29.210...225.226
Örnek:
25 12 m
75 log ...
42 log . 39 log . 36 log log(3m)
Örnek:
26 . 23 . 20 . 17 . 14
) 2 8 . 3 ).(
2 7 . 3 ).(
2 6 . 3 ).(
2 5 . 3 ).(
2 4 . 3
(
8 4 a
) 2 a 3 (
Örnek:
2 x 3 ) x (
f olduğuna göre
1
3 k
) k 2 (
f ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
2 x 3 ) x (
f olduğuna göre,
20 2 ) 6 .(
3 ) 6 (
f
14 2 ) 4 .(
3 ) 4 (
f
8 2 ) 2 .(
3 ) 2 (
f olur.
Buna göre,
) 2 ( f ).
4 ( f ).
6 ( 1 f
3 k
) k 2 (
f
(20).(14).(8)2240
Kural
1.
n
1 k
n!
k
2.
n a
k (a 1)!
k n!
Örnek:
! 50 50
1 k
.50 1.2.3.4...
k
Örnek:
57
21
k 20!
! 57 )!
1 21 ( 57 57!
...
23 . 22 . 21 k
Kural
n
1 k
2 1) k.(k k a ...
3 2 a1 ak
Örnek:
12 1 k
2234 878 2 12.13 12 8
8 ...
83 2. 8 .1 k 8 8
Örnek:
30 6
k k-2
- 1 1
ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
28 3 28 ...27 6 .5 5 .4 4 30 3
6
k k 2
3 30 k
6
k k-2
- 1 1
Örnek:
48 7 k
) 1 k k( log
ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
4849 log ...
910 log . 89 log . 78 48 log
7 k
) 1 k k( log
72 2
log7 749
log
B. Çarpımı Sembolünün Özellikleri
Özellik
1. n an
1 k
a a.a.a...
a
2. n an p 1
p k
a
Örnek:
5200 25100 100
1 k
...25 25.25.25..
25
Örnek:
338 1 ) 5 ( 332 32
5 k
3
Özellik
n
1
k ak
n. n b
1 k
k) (b.a
Örnek:
4 1 k
2) (2k
çarpımının değerini bulalım.
Çözüm:
9216 2) 4 3. 3 2. 2 2. 1 .(
16 4
1 k
k2 4. 4 2
1 k
2) (2k
Özellik
n
1 p
k ak
p .
1
k ak
n 1 k ak
Örnek:
30
13 k
k 12 .
1 k
k 30
1 k
k
Örnek:
25 7 k
1) (k
çarpımının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
25 1 k
) 1 k ( ) 25 1
7 k
k ( ).
6 1 1 k
k (
! 7
! 26 7 2.3.4.5.6.
26 . . . 5 . 4 . 3 . 2 ).
6 1 1 k
k ( 25
1 k
) 1 k ( )
25 1 7 k
k (
Özellik
1.
n 1
k bk
n . 1
k ak
n 1 k
k) b k. a (
2.
n 1
k bk
n 1
k ak
n 1
k bk
ak
Örnek:
32 1 k
k) 3 3. (k
çarpımının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
32 1 k
3k 32 .
1 k
k3 32
1 k
k) 3 3. (k
(13.23.33....323).(31.32.33....332)
32) ...
3 2 31 3.(
) 32 ....
3 . 2 . 1
(
3528 3. )
! 32
(
Örnek:
3 1
k k 1
k2
çarpımının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
2 3 4 . 3 . 2
32 2. 2 2. 1 3
1 k
) 1 k ( 3
1 k
k2 3
1
k k 1
k2
bulunur.
Özellik
1.
r n
r p
k ak r
n p
k ak
2.
r n
r p
k ak r
n p
k ak
Örnek:
17 6 k
5 )k 2
( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
17 5 5 6 k
5 5 )k 2 17 (
6 k
5 )k 2 (
)12 2 ...(
)3 2 2.(
) 2 1.(
) 2 12 (
1 k
)k 2
(
2 13 . 12 ) 2 12 ( ...
3 2 )1 2
(
239 )78 2
(
Örnek:
29
3 k
) 4 k 7(
logk işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
29
3 k
) 4 k 7( logk
3633 log ...
63 log . 52 log . 41
log
0 3633 log ...
63 log . 52 log .
0
Özellik
m
1 i
n 1 k aik n
1 k
m 1 i aki
Örnek:
3 2 m
4 3 n
n) (m
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
) 4 m ).(
3 m 3 (
2 m 3
2 m
4 3 n
n) (m
(23).(24).(33).(34)
5.6.6.71260 Örnek:
2
1 n
3 1 m
) n . m
( işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
2 1 n
n3 . 2 6
1 n
) n . 3 ).(
n . 2 ).(
n . 1 2 (
1 n
3 1 m
) n . m (
6.136.23 64854
Örnek:
2
1 a
2 1 b
2 1 a
) b a 2 (
1
b (a b) işleminin sonucu
kaçtır?
Çözüm:
2
1 a
) 2 a ( ) 1 a 2 (
1 a
2 1 b
) b a (
2 1 a
) 3 2 . 2 ).(
3 1 . 2 ( ) 3 a 2 (
5.735
2
1
b (1 b).(2 b) 2
1 b
2 1 a (a b)
(11).(21) (12).(22)
2.33.461218
17 18 2 35
1 a
2 1 b
2 1 a
) b a 2 (
1 b
) b a
(
Örnek:
9
6 m
6 4 n
3n - 22m
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
9
6 m
6 4 n
3n - 22m
9 6 m
18 m 22 15. m 22 12. m 22
9 6 m
45 m 26
0 1 45 2 254 45. 248 45. 242 45.
236
Çözümlü Sorular
1.
50
1
k 3k 1
2 k
3 çarpımının değeri kaçtır?
Çözüm:
2 76 152 149 .152 146 ...149 8 .11 5 .8 2 50 5
1
k 3k 1
2 k
3
2.
8
0 n
1 n 3 n 2
- 36 8
27 olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
8
0 n
1 n 3 n 2
- 36 8
27 olduğuna göre,
9 3 ... 2 3 3 . 2 2 3 . 2 1 3 3n 2 - 108 2
3
9 ...
3 2 1 3 108 2 - 3n 3
2
45 108 n 3 45 3 108 2 - 3n 3
2
51 n 153 n
3
bulunur.
3.
12 3
k
) 40 k 2 3 k
( ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
12
3 k
) 5 k ).(
8 k 12 (
3 k
) 40 k 2 3 k (
16
1 k
) 1 k ( 16 .
1 k
) 12 k (
(11).(10)...0....4.2.3.4...17
0 17 ...
4 . 3 . 2 .
0
4.
3
10
k 8
6 5 k
3) k 2(
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm:
63 53 43 ...
3) 4 ( 3) 5 2( 6
5 k
3) k 2(
263 2216
3 10
k
26 64 8 ).
1 10 3 ( 8
2210 26 2216 3
10
k 8
6 5 k
3) k 2(
5.
32
5 k
8 23
a a
1 -
a işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
32 5
k 8
. 9 7 ... 8 22 . 23 23 -
24 32 -
5 k
8 23
a a
1 - a
328 1 5 332 32
5 k
3 32
5
k -8
24
-
6.
2
n 1 a
n 0 b
! 20 ) 1 b
( olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm:
2
n 1 a
n 0 b
2 n
1 a
) 1 n ...(
3 . 2 . 1 )
1 b (
)!
2 n ( )!
1 n )(
2 n 2 (
n 1 a
)!
1 n
(
18 n 20 2 2 n
n 1 a
n 0 b
! 20 )!
2 n ( ) 1 b
(
7. 2 2x a 1 0
x denkleminin kökleri x1 ve
x2 dir.
12 ) n 1 x 2 (
1 n
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Kökler toplamı; 2
x2 x1 ,
Kökler çarpımı; a 1
x2 1.
x
) 2 1 x ).(
1 1 x ( ) n 1 x 2 (
1 n
) 1
x2 x1 ( 2) x 1. x
(
a121a4
8 a 12 4 a 12 ) n 1 x 2 (
1 n
olur.
8.
n 3
k )
k2 1 1
( ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
n
3 k
n 3
k k
1 . k
k 1 n k
3 k
2 ) k 2 1 (k n
3 k
2) k 1 1 (
n
1 ...n 5 .6 4 .5 3 . 4 n
1 ...n 5 .4 4 .3 3 2
n 3
2 n 2 3
1 .n n
2
9.
25
2 k
) 4 k 2 4 k 1(
logk ifadesinin sonucunu
bulunuz.
Çözüm:
25 2 k
)2 2 k 1( logk 25
2 k
) 4 k 2 4 k 1( logk
25
2 k
) 2 k 1( logk 24. 25 2
2 k
) 2 k 1( logk . 2
log34.log45...log2627
24.
2
224 . 3 3 33 log 24. 2 327 log 24.
2
10.
n 1 k
3 128 k 2
eşitsizliğini sağlayan n doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
n 1 k
3 128 k 2
olduğuna göre,
27 3 128 n 2 ...
3 4 2 3. 3 2 3. 2 2 3. 1
2
27 3
n ...
4 3 2 1
2
6 7 ) 1 n .(
7 n 3 2 . 2
) 1 n .(
n
2
0 ) 6 n ).(
7 n ( 0 42 2 n
n
6 n
7
olur.
Bu koşula uygun en büyük doğal sayı 5 tir.
