ÜSTEL VE LOGARİTMİK DENKLEM, EŞİTSİZLİKLER VE UYGULAMALARI TESTİ 1)
2x x 1 2
e 3e 2e 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2} B) {1, ln2} C) {2, ln2}
D) {1, ln2 1} E) {2,ln2 1}
ÇÖZÜM:
x x
2x x 1 2
x 2 x 2
e 2e e
e
x x
0 0
x x 1
x
x x
x 1
e ln2
e 3e 2e 0 denklemi düzenleyelim.
e 3e e 2e 0 şimdi çarpanlarına ayıralım.
(e e)(e 2e) 0
e e 0 e e x 1
e 2e 0 e 2e e 2
e
e 2 x 1 log 2 x ln2 1 dir.
Ç.K. {1,ln2
1} bulunur. Cevap : D
2)
x x
4 4 4
2 2
3 4 2 7 4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
1 1
A) log 3, 1 B) log 3, C) log 3,
2 2
D) log 3, 1 E) log 3, 1 2
ÇÖZÜM:
x x
x x
x x
x x
4 4
x 2 x
x
x 2 x
1 3 4 2
4
x x
0 0
x x x
1
4 4
2 3 4 2 7
3 4 7 0
4 1 4 1
3 4 2 7 4
4 0
3 4 7 4 2 0
3 4 1 4 2 0
3 4 1 0 3 4 1 4 1
3
x log 1 x log 3 log 3
4
x x 2x 1
4
3
4 2 0 4 2 2 2 x 1
2 Ç.K. log 3, 1 Cevap : B
2
3)
2
log 3xx x 3 3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) 3 B) 1, 1, 3 C) 1, 1 D) 1, 3 E) 1, 3
ÇÖZÜM:
2 x
2 3 2
x
3 2
2
2
log 3x x 3 3
x 1 ve x 0 olmalı.
log 3x 2x 6 3 x 3x x 3
x 3x x 3
x x 3 x 3
x 3 0 v x 1 dir.
x 3 v x 1 olur.
Fakat x değeri negatif ve 1 olamayacağından Ç.K. {3} bulunur.
Cevap : A
4)
2 1
x
log x log 4 1 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi- sidir?
1 1
A) B) 4 C) , 1
2 2
D) 1, 4 E) 2, 4 2
ÇÖZÜM:
1
2 1
x
2 x
2 2
2 2
2
2 2
1 2
log x log 4 1 0 log x 2 log 2 1 0
log x 2 1 0 log x t diyelim.
log x
t 2 1 0 t 2 t 0
t
t t 2 0 (t 2)(t 1) 0
t 2 ve t 1 dir.
log x 2 x 2 4
log x 1 x 2 1 dir.
2 Ç.K. 1, 4
2
Cevap : D
5)
x 2 4 y
2 e ve e 2 olduğuna göre,
x in y cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2 2y 4 2y 4 2y
A) B) C)
y y y
2 2y 4
D) E)
y y
ÇÖZÜM:
x 2 4 4
2 2
y
e
2 2
e
2 e x 2 log e x 2 4log e
e 2 y log 2 y ln2
x 2 4log e x 2 log e
4
x 2 1 4
4 log 2 ln2 x 2
Şimdi bu eşitliği diğer ifadede yerine yazalım.
y ln2 y 4 x 2
4 4 4 2y
x 2 x 2 bulunur.
y y y
Cevap : B
6)
logx 3 1000
x
x
ifadesini sağlayan x değerlerinin çarpımı aşağıdaki- lerden hangisidir?
1 1
A) B) C) 1 D) 10 E) 100
100 10
ÇÖZÜM:
logx 3
logx 3
2
2 logx 3 logx 1
x 1000 ifadesinde her tarafın 10 tabanında x
log aritmasını alalım.
log x log 1000 x
log x 3 log x log1000 log x log x 3log x 3 log x
log x 2log x 3 0
(log x 3)(log x 1) 0 log x 3 ve log x
3 1
1 x 10 1000 ve x 10 1
10
x değerlerinin çarpımı 1000 1 100 bulunur.
10 Cevap : E
7)
2 4
log 4x log 4x 1 2 ifadesinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 5, 1 6 B) 1 1, 2 2
C) 2 3, 2 3 D) 2, 2 5 E) 2, 1
2
ÇÖZÜM:
2
2 4
2
4 4
2 2
4 4
log 4x log 4x 1 2
log 4x log 4x 1 log 16
log 16x log 16
4x 1 16
x2 4x 116
2
2
2
2
x 4x 1
x 4x 1 0
x 4x 4 3 0
(x 2) 3 x 2 3 x 2 3 veya x 2 3 tür.
Ç.K. 2 3, 2 3 Cevap : C
8)
log(x2 2) log9
3 (x 1)
olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1 3 5
A) B) C) 2 D) E) 3
2 2 2
ÇÖZÜM:
b b
2
2
2
log c log a
log x 2 log9
log x 2 log(x 1)
log x 2 2 log(x 1)
2
2 2
2
Hatırlatma: a c dır.
3 (x 1)
3 9
3 3
log x 2 2log x 1 log x 2 log x 1
x
2 x2 2x 1
2x 3 x 3 bulunur. Cevap : B
9)
3
2
2 2
3 2 3
2
ln x .y 3
ln x 8
y
olduğuna göre x, y ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 1 1
A) e , B) e , C) e,
e e e
D) e ,1 E) e
3 2
e , 1 e
ÇÖZÜM:
3 32 2
ln x y 3 lnx lny 3 3lnx lny 3
ln x 8 lnx lny 4 lnx 2lny 8
y
İlk denklemi 2 ile genişletelim.
6lnx 2lny
6
lnx 2lny
2
3 3
2 3
8
7lnx 14 lnx 2 x e dir.
lnx 2 2 2lny 8 lny 3 y e 1
e x, y e ,1 bulunur. Cevap : A
e
10)
2x 1 2 x
2 27
3 8
eşitsizliğini sağlayan x in değer aralığı aşağıdakiler- den hangisidir?
A) 5, B) 3, C) 3, D) 5, E) 5,
ÇÖZÜM:
f(x) g(x)
2x 1 2 x 2x 1 3(2 x)
2x 1 6 3x
Not : a a ;
a 1 f(x) g(x) , 0 a 1 f(x) g(x) olur.
2 27 2 2
3 8 3 3
2 2
3 3
2 1 dir.
3
2x 1 6 3x olmalıdır.
1 6 3x 2x
5 x x 5 bulunur.
Ç.K. 5, bulunur. Cevap : D
11)
x2 3x 1 2x 4
9 3
eşitsizliğini sağlayan x lerin değer aralığı hangisidir?
A) , 1 B) 1, 3 C) 3, D) 3, E) 1, 3
ÇÖZÜM:
2
2
2
2 x 3x 1
x 3x 1 2x 1 2x 4
2x 6x 2 2x 4
2
2
2
2
x 1 x 1
x 3
9 3 3 3
3 3 3 1 dir. 2x 6x 2 2x 4 2x 6x 2 2x 4 0 2x 8x 6 0
x 4x 3 0 dır. (x 1)(x
x 3
3) 0 Şimdi tablo çizelim.
Ç.K. 1, 3 Cevap: E 12)
log 2x 33 2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir?
3 3
A) 5, B) , 6 C) ,
2 2
D) , 6 E) 6,
ÇÖZÜM:
a
b b
3
2
Not : log f(x) b , f(x) 0 dır.
a 1 f(x) a dir. 0 a 1 f(x) a dir.
log 2x 3 2 2x 3 0 x 3 dir.
2 3 1 olduğundan 2x 3 3 2x 3 9 2x 12
x 6 dır.
Ç.K. 3, 6 Cevap : B 2
13)
1 3
2
log log (2x 1) 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) 1, 2 B) 1, 2 C) 1, 2
1 1
D) , 1 E) , 2
2 2
ÇÖZÜM:
1 3
2
0 3
1
0
3
1 1
log log (2x 1) 0
Logaritmanın içi pozitif olmalı
log 2x 1 0 olmalı. 2x 1 3 x 1
2x 1 0 olmalı x 1 olmalı 2
1 1
Taban 1 olduğundan log 2x 1
2 2
Taban 3 1 olduğundan 2x 1 3 x 2 dir.
x 1 ve x 2
Ç.K.
1, 2 Cevap : A
14)
ln(x2 x) ln(3x 5)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5, 1 B) 5,
3
5 5
C) , 1 5, D) , 1 5,
3 3
E) 1
ÇÖZÜM:
2
2
x 0 x 1
2 2
x 5 x 1
ln(x x) ln(3x 5)
x x 0 x (x 1) 0
3x 5 0 x 5 3
x x 3x 5 x 4x 5 0 (x 5)(x 1) 0
Şimdi tablo çizelim.
x 5 ve x ( , 1) (5, ) olduğundan 3
Ç.K. 5, 1 5, olur. Cevap: C 3
15)
x 1 x 1
3
3 3
9 2 3 15 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5, 1 B) 1, C) log 5 1, 1 3
D) , log 5 1 E) log 5 1,
x 1 x 1
x 2 x
x 2 x x
2
3t 5
t 1
x x
daima pozitiftir
x 1 x 1
3
9 2 3 15 0
9 3 6 3 15 0 (3 ile sadeleştirelim.) 3 3 2 3 5 0 3 t diyelim.
3t 2t 5 0 3t 5 t 1 0
(3 3 5)(3 1) 0
3 5 0 3 5 x 1 log 5
3
3x log 5 1 dir.
Ç.K. log 5 1, Cevap : E
16)
1 log (2x 1) 2 3
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2, 5 B) 2, 5 C) 2, 5 D) 2, 5 E) 2, 5
ÇÖZÜM:
3 3 3 3
1 log (2x 1) 2 log 3 log 2x 1 log 9
3 2x 1 9 4 2x 10 2 x 5
Ç.K. 2, 5 Cevap : B
17)
t k
Yarılanma ömrü k yıl olan m gram radyoaktif bir madde t yıl sonra m 1 gram kalmaktadır.
2
Buna göre yarılanma ömrü 15 yıl olan 80 gram maddeden 45 yıl sonra kaç gram kalır?
A) 40 B) 2
0 C) 15 D) 10 E) 5
ÇÖZÜM:
45 15
Yarılanma ömrü 15 yıl olan bir madde 45 yılda 3 kez yarılanır. Her seferinde yarısı kalır.
1.yarılanma 80 40 2 2.yarılanma 40 20
2
3.yarılanma 20 10 gram kalır.
2
Kalan miktar : 80 1 2
I. yol :
II. yol :
1 3
80 80
2
10 1
8 10 gram kalır.
Cevap : D
18)
Bir ortamda bulunan bakteri sayısı her 2 dakikada bir 3 katına çıkıyor. Başlangıçta 20 bakteri olan bu ortamda kaç dakika sonra 1620 bakteri olur?
A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3
ÇÖZÜM:
t t
2 2
Bakteriler her 2 dakikada bir 3 katına çıktığına göre t sürede defa bu işlem gerçekleşir.t
2
20 3 1620 3 1620
81
20
t
2 4 t
3 3 4 t 8 dir.
2 Cevap : B
19)
Bir depremin büyüklüğü, Richter ölçeğine göre R logd formülüne göre ölçülür. Burada d depremin mikron cinsinden maksimum genliğidir. Buna göre, maksimum genliği 2430 mm olarak ölçülen bir depremin büyükl
3 üğü yaklaşık olarak kaçtır?
1mm 10 mikron, log3 0,477
A) 7,2 B) 7 C) 6,5 D) 6,4 E) 6,3
ÇÖZÜM:
3 4
5 4
5 4
0,477 1
2430mm 2430 10 243.10 mikron R logd R log 3 10
R log3 log10 R 5log3 4log10
R 2,385 4 6,385 6,4 bulunur.
Cevap : D
20)
12 2
0
0
0
İnsan kulağının duyabileceği en düşük ses şiddeti 10 watt / m dir. Sesin düzeyi olmak üzere, ses kaynağının şiddeti oranı ile bulunur. Ses şiddetinin desibel olarak değeri ;
L 10 log
14 13 14 15 16
formülü ile bulunur.
Bir ortamdaki ses düzeyi 10 desibelden 150 desibele çıkarsa sesin şiddeti kaç katına çıkar?
A) 10 B) 10 C) 10 D) 10 E) 10
ÇÖZÜM:
0 son
Başlangıçtaki sesi şiddeti olsun. Son durumda olsun.
10
10 1
0 0
log 10 olur.
150
15
10 15
son son
15 0 son 14
1 0
son
log 10
10 10 katına çıkar.
10 Cevap : C