• Sonuç bulunamadı

ve f (x) bir (a; b) da sürekli ve her x 2 (a; b) için a 0 (x) 6= 0 d¬r. Bu yönteme göre önce kar¸ s¬l¬k gelen homogen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ve f (x) bir (a; b) da sürekli ve her x 2 (a; b) için a 0 (x) 6= 0 d¬r. Bu yönteme göre önce kar¸ s¬l¬k gelen homogen"

Copied!
4
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Parametrelerin De¼ gi¸ simi Yöntemi Bu bölümde

a 0 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 2 (x) y = f (x) (1) denkleminin bir özel çözümü sabitlerin de¼ gi¸ simi veya parametrelerin de¼ gi¸ simi yöntemi yard¬m¬yla hesaplanmaktad¬r; burada a 0 (x) ; a 1 (x) ; a 2 (x) katsay¬lar¬

ve f (x) bir (a; b) da sürekli ve her x 2 (a; b) için a 0 (x) 6= 0 d¬r. Bu yönteme göre önce kar¸ s¬l¬k gelen homogen

a 0 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 2 (x) y = 0 (2) denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z y 1 (x) ve y 2 (x) çözümleri bulunur. Bu çözümlerin (a; b) de tan¬ml¬olduklar¬aç¬kt¬r. Buradan (2) nin genel çözümü

y h = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) dir.

¸

Simdi (1) in (a; b) de tan¬ml¬olan bir özel çözümü

y p = c 1 (x) y 1 (x) + c 2 (x) y 2 (x) (3)

dir; burada 8

<

:

c 0 1 y 1 + c 0 2 y 2 = 0 c 0 1 y 1 + c 0 2 y 2 = f (x)

a 0 (x)

(4)

dir. (4) den önce c 0 1 ve c 0 2 bulunur. Sonra integralleri al¬narak c 1 (x) ve c 2 (x) elde edilir. Bunlar¬n (3) de yerlerine yaz¬lmas¬yla verilen denklemin bir özel çözümü elde edilir. Not edelim ki burada ortaya ç¬kan integrasyon sabitleri yerine s¬f¬r al¬nmaktad¬r.

Örnek 1.

x 2 y 00 2xy 0 + 2y = x 9=2

denkleminin bir özel çözümünü bulunuz; burada kar¸ s¬l¬k gelen homogen den- kleminin ba¼ g¬ms¬z çözümleri y 1 = x ve y 2 = x 2 dir.

Çözüm

y h = c 1 x + c 2 x 2 y p = c 1 (x) x + c 2 (x) x 2 olup,

c 0 1 x + c 0 2 x 2 = 0 c 0 1 (1) + c 0 2 (2x) = x 5=2 :

Bu sistemden c 0 1 = x 5=2 ve c 0 2 = x 3=2 bulunur ve integral al¬n¬rsa c 1 = 2

7 x 7=2 ve c 2 = 2 5 x 5=2

1

(2)

elde edilir. Böylece verilen denklemin özel çözümü, c 1 ve c 2 nin yerlerine yaz¬l- mas¬yla

y p = 4 35 x 9=2 olarak bulunur.

Örnek 2.

x 2 (1 ln x) y 00 + xy 0 y = (1 ln x) 2 x

denkleminin bir özel çözümünü bulunuz; burada y 1 = x ve y 2 = ln x kar¸ s¬l¬k gelen homogen denklemin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleridir.

Çözüm

y p = c 1 (x) x + c 2 (x) ln x olup, parametrelerin de¼ gi¸ simi yönteminden

c 0 1 x + c 0 2 ln x = 0 c 0 1 + c 0 2 1

x = 1 ln x x 3 sistemi elde edilir, buradan c 0 1 = ln x

x 3 ve c 0 2 = 1

x 2 olup, integrallerinin al¬n- mas¬yla c 1 = ln x

2x 2 + 1

4x 2 ve c 2 = 1

x bulunur. Bu de¼ gerlerin yerlerine yaz¬l- mas¬yla bir özel çözüm

y p = 1 2 ln x 4x

¸ seklinde elde edilir.

2

(3)

Euler Denklemi

A) · Ikinci basamaktan bir Euler denklemi, a; b ve c sabitler olmak üzere

ax 2 y 00 + bxy 0 + cy = 0 (1)

¸ seklinde verilir. y = x r olsun. y 0 = rx r 1 ; y 00 = r (r 1) x r 2 olmak üzere bu fonksiyonlar (1) de yerlerine yaz¬l¬rsa

p (r) = ar (r 1) + br + c indisel polinomu ve

p (r) = 0

indisel denklemi elde edilir. Bu indisel denklemin köklerinin yap¬s¬na göre çözüm a¸ sa¼ g¬daki gibi yaz¬l¬r:

(i) r 1 ve r 2 farkl¬ve reel say¬lar ise, y (x) = c 1 x r

1

+ c 2 x r

2

; (ii) r 1 = r 2 = r ise, y (x) = (c 1 + c 2 ln x) x r ;

(iii) r 1;2 = i ( > 0) ise, y (x) = x [c 1 cos ( ln x) + c 2 sin ( ln x)] : Örnek 1. A¸ sa¼ g¬daki denklemleri çözünüz.

a) x 2 y 00 2xy 0 4y = 0;

b) x 2 y 00 3xy 0 + 4y = 0;

c) x 2 y 00 xy 0 + 3y = 0:

Çözüm

a) Verilen denkleme kar¸ s¬l¬k gelen indisel denklem p (r) = r 2 3r 4 = 0 olup, kökleri r 1 = 4 ve r 2 = 1 dir. O halde çözüm

y (x) = c 1 x 4 + c 2 x 1

¸ seklinde yaz¬l¬r.

b) Bu denkleme kar¸ s¬l¬k gelen indisel denklem p (r) = r 2 4r + 4 = 0 olup, kökleri r 1 = r 2 = 2 dir. Böylece çözüm

y (x) = (c 1 + c 2 ln x) x 2 olur.

c) p (r) = r 2 2r + 3 = 0 olup, r 1;2 = 1 i p

2 olur ve çözüm y (x) = x

h

c 1 cos p

2 ln x + c 2 sin p 2 ln x

i : B) n-yinci basamaktan bir Euler diferensiyel denklemi

a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + ::: + a 2 x 2 y 00 + a 1 xy 0 + a 0 y = f (x) (2)

¸ seklindedir, burada a i ; i = 1; 2; :::; n reel say¬lard¬r. (2) denklemine x = e t dönü¸ sümü uygulan¬rsa x dy

dx = dy

dt veya türev operatörleri cinsinden (xD) ! D 1 ; x 2 d 2 y

dx 2 = d 2 y

dt 2 veya x 2 D 2 ! D 1 (D 1 1) ve böyle devam edilerek (x n D n ) ! D 1 (D 1 1) (D 1 2) ::: (D 1 (n 1)) yaz¬larak, denklem de¼ gi¸ sken katsay¬l¬halden

1

(4)

sabit katsay¬l¬hale indirgenir; burada D : x e göre türev operatörü ve D 1 : t ye göre türev operatörüdür.

Örnek 2. x 2 y 00 3xy 0 + 4y = x + x 2 ln x denklemini çözünüz.

Çözüm. Denkleme x = e t dönü¸ sümü uygulan¬rsa, t ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸ sken olmak üzere

D 2 1 4D 1 + 4 y = e t + te 2t

¸ seklinde ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬,lineer, homogen olmayan bir diferen- siyel denklem elde edilir. Bu denklemin çözümü

y (t) = (c 1 + c 2 t) e 2t + e t + t 3 6 e 2t olup verilen Euler denkleminin çözümü

y (x) = (c 1 + c 2 ln x) x 2 + x + ln 3 x 6 x 2 olur.

C) n-yinci basamaktan bir Euler diferensiyel denklemi

a n (ax + b) n y (n) +a n 1 (ax + b) n 1 y (n 1) +:::+a 2 (ax + b) 2 y 00 +a 1 (ax + b) y 0 +a 0 y = f (x)

¸ seklinde verilebilir. Bu durumda ax + b = e t dönü¸ sümü uygulanarak, (ax + b) D ! aD 1

(ax + b) 2 D 2 ! a 2 D 1 (D 1 1) .. .

(ax + b) n D n ! a n D 1 (D 1 1) ::: (D 1 (n 1)) yaz¬l¬r ve denklem sabit katsay¬l¬hale getirilir.

Örnek 3. (x + 2) 2 y 00 y = 4 denklemini çözünüz.

Çözüm. Denklem (x + 2) 2 D 2 1 y = 4 ¸ seklinde yaz¬labilir. Bu denkleme x + 2 = e t dönü¸ sümü uygulan¬rsa

D 2 1 D 1 1 y = 4

sabit katsay¬l¬denklemi elde edilir, bu denklemin çözümü y (t) = c 1 e

1+p 5

2

t

+ c 2 e

1 p 5

2

t

4 olup, verilen denklemin çözümü

y (x) = c 1 (x + 2)

1+p 5

2

+ c 2 (x + 2)

1 p 5

2

4

olur.

2

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu da, f nin bilinen ∂f ∂y kısmi t¨ urevi ile

[r]

Son iki örnek göz önüne alındığında iki değişkenli DP problemlerini grafiksel çözmek için algoritmamızı aşağıdaki gibi yeniden

[r]

Eğer parabolün kolları aşağı doğru olsaydı, tepe noktasının ordinatı fonksiyonun en büyük elemanı olurdu ve en küçük eleman bilinemezdi.. Parabolün en alt ya da en

[r]

˙Istanbul Ticaret ¨ Universitesi M¨ uhendislik Fak¨ ultesi MAT121-Matematiksel Analiz I. 2019 G¨ uz D¨ onemi Alı¸ stırma Soruları 3: T¨

f fonksiyonunun ve te˘ get do˘ grusunun grafi˘ gini ¸