BENZET
BENZET İ İ M M
Prof.Dr.
Prof.Dr. Berna Berna Dengiz Dengiz
7. Ders
BENZETİM BENZETİM
İSTATİSTİK TEKRARI İSTATİSTİK TEKRARI
Olasılık ve istatistik bilgisine;Olasılık ve istatistik bilgisine;• Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde
• Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde
• Benzetim modelinin geçerliliğinde Benzetim modelinin geçerliliğinde
• Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve
• Benzetim deney tasarımındaBenzetim deney tasarımında
ihtiyaç duyulmaktadır ihtiyaç duyulmaktadır
. .
Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar burada kısaca hatırlatılacaktır.
burada kısaca hatırlatılacaktır.
BENZETİM BENZETİM
1.1. Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır.Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır.
2.
2. Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır.Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır.
3.3. Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı ( ) olarak Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı ( ) olarak tanımlanır.
tanımlanır.
4.4. Bir olay (örnek uzayının) alt setidir.Bir olay (örnek uzayının) alt setidir.
5.5. A A B = ( w B = ( w € : ( w € : ( w €€ A veya w A veya w €€ B ) B )
6.
6. A A B = ( w B = ( w € : ( w € : ( w €€ A veya w A veya w € € B )B )
7.7. A A B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan) B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan) olaylardır.
olaylardır.
BENZETİM BENZETİM
8.
8.
• A herhangi bir olay olduğunda 0A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) P(A) 11
• P( ) = 1P( ) = 1
• A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;
P(A1
P(A1 A2 A2 …..) = P(A1) + P(A2)+ …….. …..) = P(A1) + P(A2)+ ……..
Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.
BENZETİM BENZETİM
9.9. Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz)Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz) değerler alır.
değerler alır.
Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler alabilir.
alabilir.
(a,b) aralığı gibi (a,b) aralığı gibi
10.10. Kesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonuKesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonu
BENZETİM BENZETİM
Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x) f(x)
dir; dir;Sürekli rassal değişken için X, Sürekli rassal değişken için X,
BENZETİM BENZETİM
11.11. Kümülatif dağılımKümülatif dağılım fonksiyonudur.fonksiyonudur.
Kesikli değişkenler için K.D.F ;Kesikli değişkenler için K.D.F ;
Sürekli değişkenler için K.D.F ;Sürekli değişkenler için K.D.F ;
BENZETİM BENZETİM
12.12.
13.13.
BENZETİM BENZETİM
TEOREM:TEOREM: XX11 ,X,X22 ,……,X,……,Xnn rassal değişkenler ise; rassal değişkenler ise;
EE (X(X11 + X + X22 +……+ X +……+ Xnn ) = E) = E (X(X11 ) + E) + E (X(X22 ) +…….+ E) +…….+ E (X(Xnn )’)’ dir. dir.
14.14. PP (( x x a, y a, y b b )) = = P P (( x x a a ) P) P (( y y b b )) (( x ve y bağımsız olduğunda…)x ve y bağımsız olduğunda…)
15.15. VarVar (ax) =(ax) = aa22 varvar (x)(x) Var (a) = 0
Var (a) = 0 (a sabit)(a sabit) E (ax)
E (ax) = a E(x) = a E(x) E(a) = a
E(a) = a
BENZETİM BENZETİM
16.16. Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ]Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ]
Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y)Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y)
(Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın (Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın ölçüsüdür.)
ölçüsüdür.)
TEOREM:TEOREM: x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ; x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ;
Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.
Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.
BENZETİM BENZETİM
TEOREM:TEOREM: y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler.
parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler.
TEOREM:TEOREM:
ZZ ; standart normal dağılım denir.; standart normal dağılım denir.
BENZETİM
BENZETİM
BENZETİM BENZETİM
TEOREM:TEOREM:
yy11, y, y22,……,y,……,ynn ~ N ( ~ N ( µ , ) ( yµ , ) ( yii‘ler bağımsız değişkenlerdir.)‘ler bağımsız değişkenlerdir.)
BENZETİM BENZETİM
İSPAT:İSPAT:
BENZETİM BENZETİM
TEOREM:TEOREM: MERKEZİ LİMİT TEOREMİMERKEZİ LİMİT TEOREMİ y1, y2…..,yn ortalaması
y1, y2…..,yn ortalaması µ ve varyansı µ ve varyansı olan herhangi bir olan herhangi bir dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;
dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;
BENZETİM BENZETİM
TANIM:TANIM:
μμkk = E(x = E(xkk ) x rassal değişkeninin orijine göre momentidir. ) x rassal değişkeninin orijine göre momentidir.
μμkk = E(x-E(x)) = E(x-E(x))kk ortalama etrafında k. moment ortalama etrafında k. moment
1)1) μμ11'' = E(x) dağılımın ortalaması= E(x) dağılımın ortalaması
2)2) μμ22 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))22 = μ = μ22'' - (μ - (μ11')')22 dağılımın varyansı dağılımın varyansı 3)3) μμ33 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))33 = μ = μ33‘ - 3.μ‘ - 3.μ22'. μ'. μ11‘ + 2(μ‘ + 2(μ11')')33
BENZETİM BENZETİM
A herhangi bir olay olduğunda A herhangi bir olay olduğunda 00 P(A) P(A) 11
P( ) = 1P( ) = 1
A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;
P(AP(A11 A A22 …..) = P(A…..) = P(A11) + P(A) + P(A22) + …….. ) + ……..
Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.
Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.
BENZETİM BENZETİM
Çarpıklık (Asimetri) Ölçüsü Çarpıklık (Asimetri) Ölçüsü
(skewness) (skewness)
BENZETİM BENZETİM
Basıklık Ölçüsü (Kurtosis);
Basıklık Ölçüsü (Kurtosis);
4)4) μμ44 = E(x-E(x)) = E(x-E(x))44 = μ = μ44' - 4μ' - 4μ33' μ' μ11' + 6μ' + 6μ22' (μ' (μ11')')22 - 3(μ - 3(μ11')')44
BENZETİM BENZETİM
44 standart basıklık katsayısıdır. standart basıklık katsayısıdır.
( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.) ( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.)
normalnormal dağılımda dağılımda 44 = 3 = 3
uniformuniform dağılımda dağılımda 44 = 1,8 = 1,8
mmkk' = 1/n ( ' = 1/n ( xxiikk ) , ) , moment tahmin edicisi moment tahmin edicisi ( ( kk' 'nın tahmin edicisi )' 'nın tahmin edicisi )
BENZETİM BENZETİM
TANIM:TANIM:
xxii ve x ve xjj değişkenleri arasındaki değişkenleri arasındaki kovaryans kovaryans ,,
ccijij = E[(x = E[(xii - - ii ) [(x ) [(xjj - - jj )] )] E(xE(xii ) = ) = ii E(x E(xjj ) = ) = jj
xxii ve x ve xjj bağımsız değişkenler ise bağımsız değişkenler ise
ccijij = 0 dır. = 0 dır.
BENZETİM BENZETİM
TANIM: TANIM: Korelasyon KatsayısıKorelasyon Katsayısı
BENZETİM BENZETİM
TANIM: TANIM: Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar. Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar.
1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ : 1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ :
Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.
BENZETİM BENZETİM
Aynı dağılım , Yerleşim farklı Aynı dağılım , Yerleşim farklı
BENZETİM BENZETİM
2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ : 2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ :
Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda yerleşim parametresi (
yerleşim parametresi () sabitken , yükseklik parametreleri () sabitken , yükseklik parametreleri ()birbirinden )birbirinden farklıdır.
farklıdır.
Normal dağılımda ; yerleşim parametresi , yükseklik parametresi
BENZETİM BENZETİM
3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ : 3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ :
Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir.
Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir.
Gamma dağılımının şekli
Gamma dağılımının şekli değerine göre değişir. değerine göre değişir. > 0 , > 0 , > 0 > 0