(x) ile gösterilen Gamma fonksiyonu,

GammaFonksiyonu

(x) ile gösterilen Gamma fonksiyonu,

(x) = Z 1

0

t ^{x 1} e ^t dt

genelle¸ stirilmi¸ s integrali yard¬m¬yla tan¬mlan¬r.

Gamma fonksiyonu, 1) (x + 1) = x (x)

2) (n + 1) = n! = n (n 1)! = n (n)

3) 1

2 = p e¸ sitliklerini sa¼ glar.

Örnek 1.

Gamma fonksiyonundan yararlanarak a¸ sa¼ g¬daki de¼ gerleri hesaplay¬n¬z.

a) 7

2 ! b) 5

2 Çözüm:

a) Gamma fonksiyonunun 2) tan¬m¬ndan 7

2 ! = 9

2 = 7 2

7 2

= 7 2 : 5

2 : 3 2 : 1

2 1 2

= 105 6

p

bulunur.

1

b) Gamma fonksiyonunun 1) tan¬m¬ndan,

(x + 1) = x (x) = ) (x) = (x + 1) x

(x + 2) = (x + 1) (x + 1) = ) (x + 1) = (x + 2) (x + 1) (x + 3) = (x + 2) (x + 2) = ) (x + 2) = (x + 3)

(x + 2) kullan¬larak,

(x) = (x + 3) x (x + 1) (x + 2) yaz¬labilir. O halde, x = 5

2 al¬narak, 5

2 = 8

15 p

elde edilir.

Örnek 2.

Z 1

0

x ⁴ e ^x

dx integralinin de¼ gerini bulunuz.

Çözüm:

x ³ = t de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ simi yap¬l¬rsa, Z 1

0

x ⁴ e ^x

dx = 1 3

Z 1

0

t

e ^t dt

= 1 3

5 3

= 2 9

2 3 bulunur.

2

Örnek 3.

Z 1

1

ln x

x ⁺¹ dx integralinin de¼ gerini bulunuz.

Çözüm:

ln x = t de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ simi yap¬l¬rsa, Z 1

1

ln x

x ⁺¹ dx = Z 1

0

te ^t dt

= 1

2

Z 1

0

ue ^u du

= 1

2 (2)

= 1

2

bulunur.

Örnek 4.

Z 1

0

(ln x) ¹⁼³ dx integralinin de¼ gerini bulunuz.

Çözüm:

ln x = t de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ simi yap¬l¬rsa, Z 1

0

(ln x) ¹⁼³ dx = Z 0

1

( t) ¹⁼³ ( e ^t )dt

= Z 1

0

t ¹⁼³ e ^t dt

= 4

3

= 1

3 1 3 bulunur.

3