6 1.2 Önemli Sürekli Dağılımlar
Bu bölümde sigortacılık ve aktüeryada sıklıkla kullanılan bazı sürekli dağılımlara yer verilmiştir.
1.2.1 Gamma Dağılımı
𝑋~γ(𝛼, 𝜆), 𝛼 > 0, 𝜆 > 0
𝑋 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
𝑓(𝑥) = 1
Γ(𝛼) 𝜆 𝑥 𝑒 , 𝑥 > 0
biçimindedir. Burada Γ(𝛼) = ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 ’dir.
Not: 𝛼 tam sayı ise dağılım Erlang dağılımı olarak bilinir ve dağılım fonksiyonu
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 (𝜆𝑥)
𝑗! , 𝑥 > 0
Gamma dağılımının 𝑛. momenti
𝐸(𝑋 ) = 𝑥 1
Γ(𝛼) 𝜆 𝑥 𝑒 𝑑𝑥
= 𝜆
Γ(𝛼) 𝑥 𝑒 𝑑𝑥
= 𝜆 Γ(𝛼)
Γ(𝛼 + 𝑛)
𝜆 = Γ(𝛼 + 𝑛)
Γ(𝛼)𝜆
7
𝐸(𝑋 ) = Γ(𝛼 + 𝑛) Γ(𝛼)𝜆
beklenen değeri
𝐸(𝑋) = Γ(𝛼 + 1)
Γ(𝛼)𝜆 = 𝛼!
(𝛼 − 1)! 𝜆 = 𝛼(𝛼 − 1)!
(𝛼 − 1)! 𝜆 = 𝛼 𝜆
ikinci momenti
𝐸(𝑋 ) = Γ(𝛼 + 2)
Γ(𝛼)𝜆 = (𝛼 + 1)!
(𝛼 − 1)! 𝜆 = (𝛼 + 1)𝛼(𝛼 − 1)!
(𝛼 − 1)! 𝜆 = 𝛼(𝛼 + 1) 𝜆
varyansı
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 ) − [𝐸(𝑋)]
= 𝛼(𝛼 + 1)
𝜆 − 𝛼
𝜆 = 𝛼
𝜆 moment çıkaran fonksiyonu
𝑀 (𝑡) = 𝑒 1
Γ(𝛼) 𝜆 𝑥 𝑒 𝑑𝑥
= 𝜆
Γ(𝛼) 𝑥 𝑒
( )𝑑𝑥 = 𝜆 Γ(𝛼)
Γ(𝛼) (𝜆 − 𝑡)
= 𝜆
𝜆 − 𝑡
biçiminde elde edilir.
8 Çarpıklık katsayısı aşağıdaki eşitlik ile verilir.
𝑆 (𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]
[𝑉𝑎𝑟(𝑋)]
/Burada
𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)] = 𝐸 𝑋 − 𝛼 𝜆
= 𝐸 𝑋 − 3𝑋 𝛼
𝜆 + 3𝑋 𝛼 𝜆 − 𝛼
𝜆
= 𝐸(𝑋 ) − 3 𝛼
𝜆 𝐸(𝑋 ) + 3 𝛼
𝜆 𝐸(𝑋) − 𝛼
𝜆
= 𝛼(𝛼 + 1)(𝛼 + 2)
𝜆 − 3 𝛼
𝜆
𝛼(𝛼 + 1)
𝜆 + 3 𝛼
𝜆 𝛼 𝜆 − 𝛼
𝜆
= 𝛼(𝛼 + 1)(𝛼 + 2) − 3𝛼 (𝛼 + 1) + 2𝛼
𝜆 = 2𝛼
𝜆
olarak elde edilir. Bu ifade çarpıklık katsayısında yerine konursa, çarpıklık katsayısı
𝑆 (𝑋) = 2𝛼
𝜆 𝛼 𝜆
/
