Olasılık yoğunluk fonksiyonu , a b   ve a b  olmak üzere,

5.2. Tek Değişkenli Sürekli Dağılımlar 5.2.1. Sürekli Düzgün Dağılım

Olasılık yoğunluk fonksiyonu , a b   ve a b  olmak üzere,

1 ,

( )

0 , . . a x b f x b a

d y

  

   



şeklinde olan bir X rasgele değişkenine ( , ) a b aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir denir ve X U a b ile gösterilir. Sürekli düzgün dağılım yerine genellikle sadece ~ ( , ) düzgün dağılım ifadesi kullanılır.

Şekil 5.2.1 Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu Olasılık yoğunluk fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri Şekil (5.2.1) de verildiği gibi olup dağılımın ilk iki momenti ile varyansı

( ) ( ) 1

2

b b

a a

E X x f x dx x dx a b b a

   

  

,

2 2

2

1

2

( )

3

b

a

a b ab

E X x dx

b a

 

 

 

2 2

( )

2

( ) ( ) ( ( ))

12 Var X  E X  E X  b a 

olup dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ve karekteristik fonksiyonu ( ) ( )

bt at

X

e e

M t

b a t

 

 ,

( ) ( )

ibt i at

X

e e

t b a it

 

 

şeklinde hesaplanmıştır. Dikkat edilirse bu fonksiyonlar t  0 noktasında tanımlı değildir.

Dağılımın k . nci momenti ise

1 1

( ) 1

1

k k

k

b a

E X b a k







  

olarak hesaplanmıştır.

Ayrıca, a c  

¹

c

²

 b olmak üzere P c (

¹

 X  c

²

) olasılığı,

2 2

1 1

2 1

1 2

1

( ) ( )

c c

c c

c c

P c X c f x dx dx

b a b a

     

 

 

dır.

Eğer ^X rasgele değişkeninin dağılımı ^{X ~ (0, ) U}  ise dağılımın bütün momentleri ve varyansı

( )

1

k k

E X k

 

 and   ^{E X ( )}   ^{/ 2} and Var X ( )  

²

/ 12 olup merkezi momentler

0 ,

(( ) )

2 ( 1) ,

k k

k

k tek tam sayı

E X k çift tam sayı

k

 

 

  

 

 veya

0 , 2 1, 1,2,3,....

(( ) )

, 2 , 1,2,3,...

2 ( 1)

k k

k

k j j

E X k j j

k

 

  

 

       

şeklindedir. Gerçekten integralde ^y   ^x  ^{/ 2} denirse, ^{dy dx } olur ve sınırlar x  0 için ^y    ^{/ 2} ve x _{ için}  ^{y   / 2} olur. Buradan,

1 /2 /2

0 /2 /2

1 1

1 /2 1 1

/2 1

1 1 1

( ) ( / 2) ( / 2)

1

1 1 1 1

( )

( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 2

k k k k k

y

k k

k k k

y k

E X E X x dx y dy y

k

k y k k

  

 





  

  

   

  



 

 

  

 

      



       

                         

 

elde edilir. Eğer k tek tamsayı ise k  1 çift olacağından (   )

^k1

 

^k1

olur ve buradan

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

( ) ( ) 0

( 1) 2 ( 1) 2

k k k k k

k k

E X  k   k  

 

   



 



 

            

elde edilir. Bununla birlikte, k çift bir tamsayı ise k  tek olup 1 (   )

^k1

  

^k1

dir.

Dolayısı ile,

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

( ) ( )

( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1)

k k k k k k

k k k

E X k k k

     

 

   



 



 

             

bulunur.

5.2.2. Gamma Dağılımı

Bu dağılımın özelliklerine geçmeden Gamma dağılımı ile ilgili,

1 / 0

( )  

^{ }

x

^{ }

e

^{x }

d x

  

, (    , ( 1) n 1) n !       ( )  , 0! 1  eşitliklerini hatırlayalım. Buradan,

1 /

, 0

( ) ( )

0 , . .

x e

x

f x x

d y

 

 





 

 

  

 

şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun tanım kümesi üzerinden integrali

0

( ) 1

f x dx



 

olduğundan ( ) f x fonksiyonu bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. X rasgele değişkeni böyle bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip ise X Gamma dağılımına sahiptir denir ve

~ ( , )

X Gamma   ile gösterilir. X ~ Gamma ( , )   _ise n   için

1 / 1 /

0 0

1 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X

n x n x n

n n

x D

x x e x e n

E X x f x dx

^ _ ^

dx

_ ^ _ ^

dx  

      

      



     

   

  

olup dağılımın bütün momentleri E X (

ⁿ

)    (  n ) 

ⁿ

/ ( )   eşitliğinden elde edilir.

Buradan dağılımın ilk iki momenti ve varyansı,

( 1) ( )

( ) ( ) ( )

E X       

 

  

  

 

2 2 2

2

( 2) ( 1) ( ) ( 1) ( )

2

( ) ( 1)

( ) ( ) ( )

E X            

  

     

    

  

 

²

 

²

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( 1)

Var X  E X  E X           

dir. X ~ Gamma ( , )   ise dağlımın moment çıkaran fonksiyonu da Gamma fonksiyonunun özelliklerinden t  1/  için

 

1 / 0

1 (1 )/

0

( ) ( ) ( ) 1

( )

( ) / (1 )

1 1

( ) ( ) 1

X

t X t x t x x

X

x D

x t

M t E e e f x dx e x e dx

x e dx t

t

 





   

 

 

  

    

  



   

  



   

         

 



şeklinde bulunmuştur. , a b   ve a b  olmak üzere ({ : P w a  X w ( )  b }) veya kısaca

( )

P a  X  b olasılığı ( )

b a

f x dx



integrali ile hesaplanır. Örneğin, X ~ Gamma (3, 2) için

(2 4) 0.243

P  X   olarak hesaplanmıştır. Bu olasılık aşağıda (Şekil (5.2.2)) gösterilen taralı alandır.

Olasılık ve istatistikte çok karşılaşılan dağılımların bazıları (Üstel ve Ki-kare gibi) Gamma dağılımının özel halidir. Şimdi, bu özel durumları inceleyelim.

Şekil 5.2.2 ^{  3} ,   ² için Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu 2a Üstel Dağılım

~ ( , )

X Gamma   _olsun.   1 için X in olasılık yoğunluk fonksiyonu,

(1/ )

/

, 0

( ) 0 , . .

e

x

x

f x d y



^ 

 

  



şeklinde olup X rasgele değişkeni üstel dağılıma sahiptir ve X Üstel ~ ( )  ile gösterilir.

Dağılımın momentleri ve varyansı Gamma dağılımının momentlerinde   1 yazılarak bulunur. Yani,

( ) ,

E X   E X (

²

) 2  

²

_ve Var X ( )  

²

dir. X ~ Gamma ( , )   dağılımının bütün momentlerinin E X (

^k

)  

^k

  (  k ) / ( )   şeklinde olduğundan   1 _{için (} ^{   k 1) k !} olup üstel dağılımın bütün momentleri

(

^k

) !

^k

E X  k  şeklindedir. Dağılımın moment çıkaran fonksiyonu da Gamma dağılımının

moment çıkaran fonksiyonunda   1 yazılarak bulunur. Yani, X Üstel ~ ( )  dağılımının moment çıkaran fonksiyonu t  1/  için M

_X

( ) 1/ (1 t   t ) dir. Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri   için Şekil (5.2.3) de 5 verildiği gibidir.

Şekil 5.2.3   için üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu 5 Bir X rasgele değişkeninin ortancası (medyanı) ( P X  m ) 1/ 2  ve ( P X  m ) 1/ 2  koşullarını sağlayan bir m sayısıdır. Bu olasılıklar

( )

^m/

P X  m  e

^{ }

_ve P X (  m ) 1   e

^m/

olup dağılımın medyanı e

^m/

  1 e

^m/

eşitliğinden ^m    ^{ln(1/ 2)}   ^ln(2) olarak elde edilir. Yani, Üstel dağılımın medyanı m   ln(2) dir.

2b Ki-Kare Dağılımı

~ ( , )

X Gamma   _olsun.   p / 2 ve   için olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2

( /2) 1 /2

/2

, 0

( ) ( / 2) 2

0 , . .

p x

p

x e

f x p x

d y



 

 

  

 

olur. Olasılık yoğunluk fonksiyonu bu şekilde olan X rasgele değişkenine serbestlik derecesi p olan ki-kare dağılımına sahiptir denir ve X ~ 

²_p

ile gösterilir. Dağılımın momentleri Gamma dağılımının momentlerinde   p / 2 ve   yazılarak bulunur. Yani, 2

( ) ( / 2) 2

E X     p  ve p Var X ( )   

²

 ( / 2) 2 p

²

 2 p

dir. Ki-kare dağılımının beklenen değeri serbestlik derecesine, varyansı da serbestlik derecesinin iki katına eşittir. Bu dağılım, ileride göreceğimiz normal dağılan bir rasgele değişkenin fonksiyonu (karesi) olarak da karşımıza çıkmaktadır ve istatistikte çok kullanılan dağılımlardan biridir.Dağılımın bütün momentleri Gamma dağılımının özelliklerinden elde

edilir. Kısaca X rasgele değişkeni

~

2_p

X 

dağılımlı bir rasgele değişken ise, X in bütün momentleri

1

( ) 2

2 2

k

p p

k

E X k

    



  

                   

şeklinde hesaplanır. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği p  için aşağıdadır. 6 Ayrıca, X ~ 

⁶²

olmak üzere (10 P  X  14) olasılığı Şekil (5.2.4) de belirtilen taralı alandır.

Şekil 5.2.4 p  için ki-kare dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu 6

62

~

X  olmak üzere (10 P  X  14) olasılığı,  (6 / 2) 2

^6/2

 16 _olup

14 14

2 /2

10 10

(10 14) ( ) 1 0.0950158556 0.095

16

P  X    f x dx   x e

^x

dx  

olarak hesaplanmıştır. Bu dağılım istatistikte çok kullanılan dağılımlardan biri olduğu için değişik serbestlik dereceleri için olasılıklar hesaplanmış ve tablolaştırılmıştır. Bu tablolar

hemen hemen birçok istatistik kitabında bulunmaktadır. Örneğin, X ~ 

⁶²

dağılımı için (10.64 14.45)

P  X  olasılığı (Maple VIII)

14.45 14.45

2 /2

10.64 10.64

(10.64 14.45) ( ) 1 0.07516647661 0.075

16

P  X    f x dx   x e

^x

dx  

olarak hesaplanmıştır. Tablo değerleri (ki-kare dağılım tabloları) kullanılarak aynı olasılık, (10.64 14.45)

_X

(14.45)

_X

(10.64) 0.975 0.900 0.075

P  X   F  F   

olarak bulunmuştur.

2c Weibull Dağılımı

~ ( )

X Üstel  _olsun.  _{ için} 0 Y  X

^

dönüşümünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 ^/ 

^{1 /}

^{, 0 , 0, 0}

( ) 0 , . .

y e

y

y

f y d y

  

 

^{ }

 

   

  

dir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu bu şekilde olan Y rasgele değişkenine Weibull dağılımına sahiptir denir. Dağılımın bütün momentleri x  y

^

dönüşümü ile kolayca elde edilir. Gerçekten, x  y

^

_ise dx   y

^1

dy _olup y x 

^1/

dır. Buradan da,

1 / / 1

0 0 0

/ / ( / ) 1 ( / )

0

1 1

( ) ( )

1 1

1 1

k k k y k y

Y

y y y

k x k k

y

E Y y f y dy y y e dy y e y dy

k k

x e dx

 

   

   

 

 

 

   

  

   

  

  



  

   

          

   

  



dir. Burada   1 /  denirse dağılımın bütün momentleri

 

(

^k

)

^k

1

E Y  

^

 k  

şeklinde hesaplanmış olur. Buradan, dağılımın ilk iki momenti

( ) ( 1)

E Y

_

 

^

   _ve E Y

_

(

²

)  

^2

 (2   1)

şeklinde yazılır. Buradan, da dağılımın varyansı Var Y

_

( )  

^2

[ (2       1) ( (  1)) ]

²

olur.  nın bazı değerleri için dağılımın ilk dört momeni ile varyansı hesaplanarak aşağıda tablo halinde verilmiştir.

1 / 2

    1   3 / 2   2

( )

E Y (  ) / 2  (3 / 4)  

^3/2

2

²

(

2

)

E Y  2

²

6

³

24

⁴

( )

3

E Y (3 / 4)  

^3/2

6

³

(945 / 32)  

^9/2

720

⁶

(

4

)

E Y 2

²

24

⁴

720

⁶

40320 

⁸

( )

Var Y  (1   / 4) 

²

(6 9 / 16)   

³

20 

⁴

Weibull dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği de  _{ ve} 2  _{ için} 4 Şekil (5.2.5) de verilmiştir.

 _{ ,} 2   için dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, 4

2/4

0.5 , 0

( ) 0 , . .

y e

y

y

f y d y







  

şeklinde olup (3 P   Y 4) olasılığı,

4 4 2

/4

3 3

(3 4) ( ) 0.5

^y

0.08708358567 0.087

P   Y   f x dx   y e

^

dy  

olarak hesaplanmıştır. Bu olasılık da, Şekil (5.2.5) de gösterilen taralı alandır.

Şekil 5.2.5  _{ ,} 2   için Weibull dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu 4

5.2.3. Beta Dağılımı

Matematikte Beta fonksiyonu,

1 1 1

0

( , ) (1 )

Beta     x

^

 x

^

dx

olarak tanımlanır ve Beta ve Gamma fonksiyonları arasında ( ) ( )

( , )

( )

Beta    

 

 

  

şeklinde bir ilişki vardır. Buradan,

1 1

( )

(1 ) , 0 1

( ) ( ) ( )

0 , . .

x x x

f x

d y

 

 

 

^{ }

     

   



şeklinde tanımlanan fonksiyonun tanım bölgesi üzerinden integrali 1 dir. Yani, bu fonksiyon bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Böyle bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip X rasgele değişkenine Beta dağılımına sahiptir denir ve X ~ Beta ( , )   _ile gösterilir. Bütün n   için

 

   

1 1

1 1

0 0

(

ⁿ

)

ⁿ

( )

ⁿ

(1 )

E X x f x dx   x

^

x

^

dx

 

^{  }

 

  

 

 

 

       

   

   

 

n n

n n

      

      

        

 

        

olduğundan dağılımın momentleri

 

   

(

ⁿ

) n  

E X n

  

  

   

    

formülü ile hesaplanır. Bu formülden dağılımın ilk iki momenti,

 

   

   

     

   

( ) 1

E X  1       

         

      

  

        

 

   

     

2

2 ( 1)

( )

2 1

E X     

      

    

 

      

olup dağılımın varyansı da,

 

₂

( ) ( 1)

Var X  

   

   

dir. X ~ Beta ( , )   _dağılımı     için ~ (0,1) 1 X U dir. Yani düzgün dağılım, Beta dağılımının özel halidir. X ~ Beta (2, 2) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıda Şekil (5.2.6) da vwerilmiştir.

Şekil 5.2.6 Beta (2, 2) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

~ (2, 2)

X Beta ise olasılık yoğunluk fonksiyonu, 6 (1 ) , 0 1

( ) 0 , . .

x x x

f x d y

  

  



şeklinde olup (0 P  X  0.5) olasılığı

0.5 3 2 0.5

0 0

(0 0.5) 6 (1 ) (2 3 ) 0.5

P X x x dx x x

x

      





olarak hesaplanmıştır.

Örnek 5.2.1 Yukarıda, Beta ( , )   fonksiyonu ile Gamma ( , )   fonksiyonu arasındaki ilişki verildi. Beta ve Gamma dağılımları arasında da benzer bir ilişki beklenebilir. X ve Y bağımsız X ~ Gamma n ( , )  _{, ~} Y Gamma m ( , )  _olsun. U  X / ( X Y  ) dönüşümünün dağılımı U ~ Beta n m dir. Şimdi bunu gösterelim. ( , )

X ve Y bağımsız olduğundan ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 1 ( )/

( , ) 1 , 0, 0

( ) ( )

n m x y

f x y

n n

x y e x y

n m





   





 

 

şeklinde yazılır. V  X Y  yardımcı dönüşümü ile ters dönüşümler X  U V ve (1 )

Y V   U olur. Ayrıca, D

_U

 (0,1) _ve D

_V

 

^

olduğu açıktır. Jacobien matrisi ve determinantı,

 

1 det

x x

u v v u

J J v

y y v u

u v

 

 

     

 

             

   

 

olup U _ile V nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, , v  0, 0   için u 1

 

^{1 1 1 / 1 1 1 /}

,

(1 ) (1 )

( , )

( ) ( ) ( ) ( )

n m m v n m n m v

U V n m n m

v uv v u e u u v e

f u v

n m n m

 

 

        

 

 

 

   

olarak elde edilir. Buradan U nun marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun D

^V

üzerinden integrali ile bulunur. Gamma fonksiyonunun özelliğinden faydalanılarak U nun olasılık yoğunluk fonksiyonu 0   için, u 1

1 1

1 / ,

0 0

(1 )

( ) ( , )

( ) ( )

n m

n m v

U U V n m

v v

u u

f u f u v dv v e dv

n m





   

  

  

  

 

 

1 1

1 1

(1 ) ( ) ( )

(1 ) ( ) ( )

( ) ( )

n m n m

n m

n m

u u n m n m

u u

n m

n m





  

 



    

  

 

 

olarak bulunmuştur. Bu fonksiyon da U ~ Beta n m dağılımının olasılık yoğunluk ( , ) fonksiyonudur 

5.2.4. Cauchy Dağılımı

X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

2

1 1

( ) ,

1 ( )

f x x

 x 

 

  

şeklinde ise, X Cauchy dağılımına sahiptir denir ve X ~ Cauchy ( )  ile gösterilir. Bu fonksiyon,

 

2

1 1 1 1

( ) arctan( ) arctan( ) 1

2 2

1 ( )

f x dx dx

x

 

   

 

 

   

                  

 

olduğundan bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Cauchy dağılımının en belirgin özelliği hiçbir momentinin olmamasıdır. Dağılım  ya göre simetrik olup   3 için olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıda Şekil (5.2.7) de verilmiştir.

Şekil 5.2.7   3 için Cauchy dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

X rasgele değişkeni Cauchy dağılımına sahip olsun. (4 P  X  6) olasılığı,

 

6 6

6 2 4

4 4

1 1 1

(4 6) ( ) arctan( 3)

1 ( 3)

1 1 2 3

arctan(3) arctan(1) 0.15

5 4 20

P X f x dx dx x

x

 x 

 

 

     



 

 

       

 

 

olarak hesaplanmıştır. Bu olasılık Şekil (5.2.7) de belirtilen taralı bölgenin alanıdır. Benzer şeklde,

6 4

2 3 4

1 1 1

(3 4) arctan( 3)

1 ( 3)

^x

P X dx x

 x 

^

    

  

 

1 1 1

arctan(1) arctan(0) 0 0.25

4 4



 

 

         

dir.

5.2.5. Normal Dağılım

İstatistikte ve bir çok bilim alanında kuşkusuz en çok kullanılan normal dağılımdır.

Bunun nedenlerinden biri, bir sonraki bölümde inceleyeceğimiz merkezi limit teoremi ile

ilgilidir. Merkezi limit teoremine göre, ortalamada hemen hemen bütün dağılımlar normal

dağılıma yakınsar. Kitlelerin bilinmeyenleri hakkında istatistiki sonuç çıkarım için verilerin normallik varsayımı olmazsa olmaz koşullardan biridir. Normallik özelliğinin sağlanmadığı durumlarda değişik teknikler ile normallik varsayımı sağlatılmaya çalışılır. Normallik varsayımı sağlandıktan sonra analizlerin ve devamında istatistiki sonuç çıkarımların yapılması gerekir. Normal dağılımın uygulamada önemi hakkında ne yazılırsa yazılsın yine de eksik kalan bir şeyler mutlaka olacaktır.

X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu  _{  ve} ,   

^

için,

 

²

2

1 2 2

( ) 1 ,

2

x

f x e x

 

 

 

  

şeklinde ise X e beklenen değeri  , varyansı 

²

olan normal dağılıma sahiptir denir ve

~ ( ,

2

)

X N   ile gösterilir.

~ ( ,

2

)

X N   _ise Z  ( X    ) / rasgele değişkeni beklenen değeri 0 , varyansı 1 olan standart normal dağılıma sahiptir ve Z ~ (0,1) N şeklinde ifade edilir. Standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu da,

2/2

( ) 1 ,

2

f z e

z

z









şeklindedir. Standart normal dağılımın olasılıkları için tablolar düzenlenmiştir. Bu tablolar hemen hemen bütün istatistik kitaplarında bulunmaktadır. Örneğin Z ~ (0,1) N için

(0 1)

P   olasılığı normal dağılım tablosundan Z 0.3413 olarak bulunur. Bu olasılık Şekil (5.2.8) de gösterilen taralı bölgenin alanıdır.

Şekil 5.2.8 Standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

Standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu sıfır noktasına göre simetriktir.

Dolayısı ile, ( 1 P    Z 0) ile (0 P   olasılıkları aynıdır. Z 1)

Bir h fonksiyonu tanımlı olduğu her x _{için (} ^{h x   ) h x ( )} özelliğini sağlıyorsa çift,

( ) ( )

h x    h x ise tektir. İki çift fonksiyonun çarpımı çift, iki tek fonksiyonun çarpımı da çift olup, tek bir fonksiyon ile çift bir fonksiyonun çarpımı tektir. Buna göre,

2/2 ( ) /22

( )

^{z z}

( )

h z  e

^

 e

^{ }

  h z

olduğundan

2/ 2

( )

^z

h z  e

^

fonksiyonu çifttir. Ayrıca, ( ) g z  fonksiyonu ise ( ) z g z    z ( )

  g z olduğundan tektir. Buradan a  0 olmak üzere herhangi bir f fonksiyonu için

0

0 , tek bir fonksiyon ( ) 2 ( ) , çift bir fonksiyon

a a

a

f f z dz

f z dz f



 

  



 

eşitliği yazılabilir.

2/2

( )

^z

f z  z e

^

fonksiyonu tek olduğundan,

2/2

( ) ( ) 1 0

2

E Z z f z dz z e

z

dz



 



 

    

dır. Dağılımın ikinci momenti ise,

2 2

2 2 2 /2 2 /2

0

1 2 2 2

( ) ( ) 1

2 2 2 2

z z

E Z z f z dz z e dz z e dz 

  

  

 

 

       

dir (Maple VIII). Buradan standart normal dağılımın varyansı da,

2 2

( ) ( ) ( ( )) 1

Var Z  E Z  E Z 

olur. Z  ( X    ) / ise X     Z olduğundan, X ~ N ( ,  

²

) dağılımının beklenen değer ve varyansı,

( ) ( ) ( )

E X  E    Z     E Z  ve  Var X ( )  Var (    Z )  

²

Var Z ( )  

²

şeklinde bulunur.

~ ( ,

2

)

X N   ise olasılıklar standart normal dağılıma dönüştürülerek standart normal

dağılım tablosundan bulunur. Örneğin, X ~ ( N   100, 

²

 100) _ise   100 ve   10 olup Z  ( X  100) /10 ~ N (0,1) dir. Buradan ^P  ^{100  X  110}  olasılığı,

  ^{100 100} 100 110 100  

100 110 0 1 0.3413

10 10 10

P  X   P      X        P    Z

şeklinde standart normal dağılım tablosundan bulunur.

Şimdi, ~ Z N (0,1) olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu z   için

2/2

( ) 1 2

f z e

z







fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu gösterelim. ( ) f z fonksiyonu çift olup,

2/ 2 2/ 2 2/ 2

0 0

1 2 2

( ) 2 2

z z z

f z dz e dz e dz e dz

  

   

  

 

  

   

dir. Ayrıca,

2/2 0

e

z

dz







integralinin doğrudan hesaplanması zordur. İntegralin çift katlı integrale dönüştürülmesi integral hesabını kolaylaştırır.

2 2

2 2 2 2

2

/2 /2

0 0

/2 /2 ( )/2

0 0 0 0

1 ( )

2 2

2 2

z z

z u z u

f z dz e dz e dz

e dz e du e dz

 

 

  

 



   

   

 

 

    

 

 

  

  

   

  

  

  

   

denkliklerinden,

( ) 1 f z dz





 

için

2 2

( ) / 2

0 0

2

z u

e dzdu 

 

 

 



olduğunu göstermek

yeterlidir. r  0 _ve 0     / 2 _için ^{z r}  ^{cos( )}  ve u r  sin( )  kutupsal koordinat

dönüşümlerinden dz du r dr d   olup yukarıdaki çift katlı integral,

2 2 2

2 2

( )/2 /2 /2

0 0 0 0

/2 /2 /2

0 0

2

0

2

z u r

r

r r

r r

e dz du e r dr d

r e dr d r e dr











 



  

  

 

 

 

  



  

   

  

olarak hesaplanır. Yani, ( ) f z bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

~ (0,1)

Z N dağılımının moment çıkaran fonksiyonu,

2/2

( )

^t

M t

Z

 e dir. Buradan da,

~ ( ,

2

)

X N   dağılımının moment çıkaran fonksiyonu X     Z eşitliğinden,

( ) 2 2/2

( ) ( ) (

^{Z t}

)

^t

( )

^{t t}

X Z X

M t  M

_{ }

t  E e

^{ }

 e M

^

 t  e

^{ }

olarak bulunur.

Örnek 5.2.2 a) ~ Z N (0,1) ise Z nin bütün momentlerinin

 

2

/2

( 1) / 2

, çift ( )

0 , tek

n

n

n

E Z n

n



  

  

 

formülü ile hesaplanabilir. Şimdi bunu gösterelim. n   için

2

2 /2

/2 0

2 , çift

( ) ( ) 1 2

2 0 , tek

n z

n n n z

z e dz n

E Z z f z dz z e dz

n

 

 

 



 

 

   

 

  

olup çift n _{ler için} u z 

²

/ 2 dönüşümü ile z  2 u _{ve du  z dz} olduğundan E Z (

ⁿ

) _,

 

2/2 2/2 1 2/2

0 0 0

/2 1 1

( 1)/2 ( 1)/2 ( 1)/2 2

0 0 0

/2

2 2 2

( ) 2

2 2 2

2 2

2 (( 1) / 2)

n n z n z n z

n n

n u n n u u

n

E Z z e dz z e dz z e z dz

u e du u e du u e du

n

 



  



  

   

  

          

  

  

 



  

  

olarak elde edilir. n _{tek ise} z e

^{n z2/2}

fonksiyonu tek olduğundan E Z (

ⁿ

) 0  _dır.

b) X ~ ( N   100, 

²

 100) dağılımı için bazı olasılıklar aşağıda hesaplanmıştır.

 

 

90 100 100 110 100

90 110

10 10 10

1 1 2 (0 1) 2(0.3413) 0.6826

P X P X

P Z P Z

  

 

        

        

Bu olasılık Şekil (5.2.9a) da belirtilen taralı bölgenin alanıdır. Ayrıca,

 

 

110 100 100 120 100

110 120

10 10 10

1 2 (0 2) (0 1) 0.4772 0.3413 0.1359

P X P X

P Z P Z P Z

  

 

        

           

olup, bu olasılık da yine Şekil (5.2.9b) de gösterilen taralı alana eşittir. Diğer taraftan,

 ^{80 95}  ^{80 100 100 95 100}  ^{2 0.5} 

10 10 10

(0.5 2) (0 2) (0 0.5) 0.4772 0.1915 0.2857

P X P X P Z

P Z P Z P Z

  

 

             

           

dir. Bu olasılık da Şekil (5.2.9c) de belirtilen bölgenin alanıdır. Son olarak da,

     

 

| 100 | 20 20 100 20 2 2

2 0 2 2(0.4772) 0.9544

P X P X P Z

P Z

          

    

olup, bu olasılık da Şekil (5.2.9d) de gösterilmiştir.

Şekil 5.2.9 Normal dağılımda bazı olasılıklar (Örnek (5.2.2.b))

c) Bir dersten sınava giren öğrencilerin notları, beklenen değeri 70 _varyansı 100 _olan normal dağılıma sahip olsun. Sınavdan 4 öğrencinin 90 ve üzerinde not aldığı bilindiğine göre, sınava giren öğrenci sayısını yaklaşık olarak bulmak isteyelim. Bunun için

( 90)

P X  olasılığının hesaplanması yeterlidir.

Şekil 5.2.9a Normal dağılımda olasılık hesabı (Örnek (5.2.2.c)) Bu olasılık,

 

70 90 70

( 90) 2 0.0228

10 10

P X   P    X        P Z  

olup öğrencilerin yaklaşık olarak %2.5 _’i 90 ve üzerinde not almıştır. Buna göre, sınava giren öğrencilerin yaklaşık %2.5 ’i 4 kişi ise sınava giren öğrencilerin tamamı

400 /(2.5) 160  dır 

1

,

2

,...,

_k

X X X _bağımsız N ( ,  

_{i i}²

) dağılımlı rasgele değişkenler ise   

¹

  ... 

_k

ve 

²

 

_i²

  ... 

_k²

olmak üzere X  X

¹

 X

²

  ... X

_k

 N ( ,  

²

) dir. Yani, bağımsız normal dağılıma sahip rasgele değişkenlerin toplamı da normal dağılıma sahiptir.

Örnek 5.2.3 Z ~ (0,1) N olsun. Bazen, E

_^b

( ) Z  

_^b

z f z dz ( ) gibi beklenen değerlere (truncated expectation) ihtiyaç duyulabilir. Şimdi bunlardan bazılarını göstermeye çalışalım.

a) Önce,

( )

^b

( ) E

_b

Z z f z dz



 

integrali için z

²

/ 2  u _ise zdz du  dur. Buradan bir defa kısmi integrasyon sonucunda,

2/2 2/2 2/2

1 1 1

( ) ( ) ( )

2 2 2

b b b

b z z b

z

E Z z f z dz z e dz e e f b

  

  

   

 

       

elde edilir. Yani, E

_^b

( ) Z   f b ( ) _dir.

b) Benzer şekilde,

2/2 2/2 2/2

1 1 1

( ) ( )

2 2 2

z z b

b b z b

E Z z e dz e e f b

  

 

   



     

dir. Yani, E

_b^

( ) Z  f b ( ) dir. Genel olarak, E

_^b

( Z

ⁿ

)   b

^n1

f b ( ) (   n 1) E

_^b

( Z

^n2

)

eşitliği yazılabilir. Şimdi bu eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. E

_^b

( Z

ⁿ

) _değeri,

2/2 1 2/2

1 1

( ) ( )

2 2

b b b

b n n n z n z

E Z z f z dz z e dz z e z dz

 

  

   

     

şeklinde yazılabilir. Burada, u z 

^n1

_denirse ^{du  ( n  1) z}

^n2

olur. Ayrıca,

2/2 2/2

1 1

2 2

z z

e z dz dv v e

 



   



olduğundan  udv uv    v du kısmni integrasyon formülü uygulanırsa,

2

2 2

1 /2

1 /2 2 /2

1 2

( ) 1 2

( 1) 1

2 2

( ) ( 1) ( )

b n b n z

n b b

z n z

z

n b n

E Z z e z dz

z e n z e dz

b f b n E Z



 

  



   

 

 





   

   





bulunur. Sonuç olarak, E

_^b

( Z

ⁿ

)   b

^n1

f b ( ) (   n 1) E

_^b

( Z

^n2

) şeklinde aranan eşitlik elde edilir 

5.2.6. Log-Normal Dağılım

Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu  _{  ve}   

^

için

 

²

2

1 log( ) 2

2

1 1

( ) ,

2

x

f x e x

x

 

 

 

  



şeklinde ise X log-normal dağılıma sahiptir denir ve X ~ log ( , N  

²

) ile gösterilir.

~ log ( ,

2

)

X N   _ise Y  log( ) ~ ( , X N  

²

) dir. Bu dağılım için önemli uygulama alanları vardır. Örneğin, iktisadi veriler analiz edilmeden önce verilerin logaritmaları alınır.

Bunun nedenlerinden biri iktisadi verilerin log-normal dağılıma uygun olduğu varsayımıdır.

İstatistiki sonuç çıkarım için normallik varsayımı önemlidir. Normallik varsayımının sağlanması için verilerin logaritmaları alınır. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,  _{ ve} 0   1 için Şekil (5.2.10) da verilmiştir.

Şekil 5.2.10  _{ ve} 0   1 için log-normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

Şimdi, X ~ log (0,1) N olsun. (0 P  X  olasılığını hesaplamak isteyelim. Bu 1) olasılık Z ~ N (0,1) olmak üzere doğrudan

2

2

1 1

(log( )) /2

0 0

0 /2

1 1 1

(0 1) ( ) , log( )

2

1 ( 0) 0.5

2

x

u

P X f x dx e dx x u dx du

x x

e du P Z











      

     

 



olarak hesaplanır. Benzer şekilde (0 P  X  2) olasılığı

2 2 2

(log( )) /2

0 0

1 1 1

(0 2) ( ) , log( )

2

P X f x dx e

x

dx x u dx du

x x



     



  

log(2) 2

1

/2

( log(2)) ( 0.3) 0.6179

2

e

u

du P Z P Z







          

olarak bulunmuştur. Bu olasılık da, Şekil (5.2.10) da belirtilen taralı alandır. Dağılımın beklenen değeri ve varyansı,

2/ 2

( )

E X  e

^{ }

_ve Var X ( )  e

^{2(  2)}

 e

^{2  2}

dir.

5.3. İki Boyutlu Normal Dağılım

Bu kısımda, çok değişkenli normal dağılımı kısaca tanıdıktan sonra iki değişkenli

normal dağılımın bazı özellikleri ele alınacaktır.  , x  

^k

  ^ve  _da k k  _boyutlu varyans-kovaryans matrisi olsun. Buna göre | | | det( )|    olmak üzere, k -değişkenli normal dağılımın ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 /2 1/2

1 1

( ) exp ( ) ( ) , ,

(2 ) | | 2

k

f x k x  x  x 



   

           

      

şeklindedir ve X MN ~

_k

( , )  

  ile gösterilir.

~

_k

( , ) X MN  

  ve A uygun boyutlu sabit bir matris olmak üzere, Y  A X

  de çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Yani, Y A X  ~ MN

_{rank A}^{( )}

( A  , A A   )

   dır. Burada,

E Y ( )  E A X ( )  A E X ( )  A 

    ve Var Y ( )  Var A X ( )  A Var X A ( )    A A 

  

dır. Buna göre, X MN ~

_k

( , )  

  ise A matrisinin özel seçimi ile marjinallerin de normal olduğu görülür.

Şimdi, k  2 için iki değişkenli normal dağılımı ele alalım. İki boyutlu rasgele değişkenin bileşenleri X ve Y olsun.    

_x

,

_y

_,  

_x

0 _,  

_y

0

ve 1    olmak  1 üzere, iki değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu , x y   için,

2 2

2

1 2

2(1 ) 2

( , ) 1

2 1

x y x y

x y x y

x y x y

x y

f x y e

   

    



   

           

          

 

        

 

şeklindedir. Bu ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

x y

 



 

    

 

 _ve

2

2

x x y

x y y

   

   

 

 

   

 

olmak üzere, yukarıda verilen çok değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ile aynıdır. Bunu,

2

2 2

~

^x

,

^{x x y}

y x y y

X X MN

Y

    

    

     

     

                  



olarak ifade edebiliriz.

İki değişkenli normal dağılımın bazı özellikleri aşağıdaki teoremde özetlenmiştir.

Teorem 5.3.1 Bileşenleri X ve Y olan iki boyutlu X rasgele vektörü X ^~ MN

²

( , )  

 

olsun. Buna göre,

a) Marjinaller normaldir. Yani,

~ (

_x

,

_x2

) X N  

ve

~ (

_y

,

_y2

) Y N  

dir.

b) 

^{X Y,}

 

dir. Yani aralarındaki korelasyon  _dur.

c) , a b   için, aX bY N a  ~ ( 

_x

 b 

_y

, a

^{2 2}



_x

 b

^{2 2}



_y

 2 a b   

_{x y}

) dir.

d) Koşullu dağılımlar normaldir. Yani,

|

( / )( )

y x y y x

x

x

        

, 

_{x y}^|

 

_x

    (

_x

/

_y

)( y  

_y

) ,

2 2 2

|

(1 )

y x y

    

,

2 2 2

|

(1 )

x y x

     olmak üzere,

| 2|

| ~ (

_{y x}

,

_{y x}

) Y X  x N  

ve

| 2|

| ~ (

_{x y}

,

_{x y}

) X Y  y N   dir.

İspat: İşlemlerin basit yürütülebilmesi için 

_x

 

_y

 0 ve

2 2

1

x y

   

alalım. Buna göre, iki boyutlu normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu x  

²

 ^için

1 / 2 1

1/ 2 2

( ) 1

2 | |

x x

f x e



 

 

 

^{ }



olup x  ( , ) x y 

 ve

1 1





 

   

  _, ^det   ^{   1 }

²

_ve

¹

1 ¹

²

^{1 1}



 



  

       

olmak üzere,

 

1

2 2

2 2

2

1 1 1

( , ) ,

1 1 1

1 ( 2 )

1

x x

x x x y x y x y

y y

x y x y

  

  

 



      

                     

  



 

dir.

Şekil 5.3.1   0.4 için iki değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu