T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç A Y - H A Y D A R E ¸ S

C A L C U L U S

S E Ç K I N YA Y I N C I L I K

A N K A R A

Contents

1 Do˘gal Sayılar 5

Bibliography 17

Index 21

1

Do˘gal Sayılar

1.1 Do˘gal Sayıların Kurulu¸su

Do ˘gal sayılar kümesini kurmak için ya Peano belitlerini ya da kümesel yöntemi seçeriz. Sonuçta ikisi de aynı sistemi kurar. Biz, ¸simdiye dek kümelerle i¸slem yaptı ˘gımıza göre, do ˘gal sayılar kümesini de kümesel yöntemle olu¸sturmak daha uygun olacaktır. Zaten, uygulayaca ˘gımız yöntemle elde edece ˘gimiz sistemdem, Peano belitleri önerme olarak çıkarabilir.

Bo¸s(∅)kümeyi kullanarak, sonraki bir öncekini içeren a¸sa ˘gıdaki ardı¸sık kümeler dizisini olu¸sturalım. Diziye ait kümeleri istedi ˘gimiz simgelerle gösterebiliriz. Amacımıza daha hızlı ula¸smak için, onları, do ˘gal sayılar için kullandı ˘gımız simgelerle gösterelim:

0=_∅ 1= {_∅} 2= {_∅,{_∅}}

3= {_∅,{_∅},{_∅,{_∅}}} (1.1) ...

Bu kümelerden herbirisi, kendinden önce gelen kümelerin hepsini birer ö ˘ge olarak içermektedir. Bu ¸sekilde ard arda istedi ˘gimiz kadar küme kurabiliriz. Bu kümelerin kurulu¸su sürekli devam ettirilebilir,

hiç bir zaman bitirilemez. (1.1) sistemini daha kısa olarak 0=∅

1= {0} 2= {0, 1} 3= {0, 1, 2} 4= {_{0, 1, 2, 3}}

... (1.2)

k= {0, 1, 2, . . . , k−1}) ...

biçiminde yazabiliriz.

Tanım 1.1. X kümesinin X⁺ ile gösterilen ardılı

X⁺ =X∪ {X} (1.3)

e¸sitli˘gi ile tanımlanır.

X=∅ diyelim. (1.3) uyarınca, (1.2) sistemini 0=∅

1=0⁺ 2=1⁺ 3=2⁺ 4=3⁺

...

r= (r−1)⁺ _(1.4)

...

biçiminde yazabiliriz.

(1.1) ile tanımlanan kümelerin her birine bir do˘gal sayı diyece ˘giz.

Aslında, (1.1), (1.2) ve (1.4) dizileri aynıdır.

Tanım 1.2. (1.1) dizisinin her kümesi bir do˘gal sayıdır. Diziye ait bütün kümelerin olu¸sturdu˘gu küme do˘gal sayılar kümesidir.

Ne var ki, diziye ait bütün kümeleri içeren bir kümeyi olu¸stur- mak olanaksızdır. (1.1) sistemine ait kümeleri olu¸sturan ardı¸sma yönteminde, her do ˘gal sayıya er ya da geç sıra gelecektir. Ama (1.1) sisteminin bütün kümelerini içeren ω kümesini kuran son bir ardıla eri¸silemeyecektir. Ba¸ska bir deyi¸sle, (1.1) sistemine ait kümelerin kurulu¸su hiçbir zaman bitirilemeyecektir.

d o ˘g a l say i l a r 7

O nedenle, istedi ˘gimiz özeliklere sahip ω kümesinin varlı ˘gını bir belit (axiom) olarak alaca ˘gız. Konuyu biraz daha genelle¸stirmek için yeni bir kavrama gereksinim duyuyoruz.

Tanım 1.3.

∅∈W

B∈W→B⁺ ∈W özeliklerine sahip W kümesine ardı¸san küme denilir.

Ardı¸san bir küme bütün do ˘gal sayıları içerir.

Ardı¸sma yöntemiyle do ˘gal sayı olu¸sturma i¸sini asla bitiremarkeye- ce ˘gimiz için, ardı¸san bir kümenin varlı ˘gını bir belit olarak kabul edece ˘giz.

Sonsuzluk Beliti

Aksiyom 1.4. Ardı¸san bir küme vardır.

Bu belit, ardı¸san (en az) bir kümenin varlı ˘gını söylüyor. Ardı¸san her küme bütün do ˘gal sayıları içerir.

Do˘gal Sayı

A¸sa ˘gıdaki özelikler kolayca görülür:

1. Ardı¸san iki kümenin arakesiti ardı¸san bir kümedir.

2. Ardı¸san kümelerden olu¸san her ailenin arakesiti ardı¸san kümedir.

3. Özel olarak, ardı¸san bütün kümelerin arakesiti ardı¸san kümedir.

Bunların kanıtı problem olarak bırakılmı¸stır (bkz. Problemler1.1).

Tanım 1.5. Ardı¸san bütün kümelerin arakesitine do˘gal sayılar kümesi, denir.

Kapsama ba ˘gıntısına göre sıralanmı¸s olmak üzere, ardı¸san kümelerin en küçü ˘gü do ˘gal sayılar kümesidir. Bu kümeyi, ω simgesiyle temsil edece ˘giz. (Sayısal problemlerde, ço ˘gunlukla, ω yerineN simgesini kullanaca ˘gız.)

Problemler

1. Ardı¸san iki kümenin arakesitinin ardı¸san bir küme oldu ˘gunu gösteriniz.

2. Ardı¸san kümelerden olu¸san her hangi bir ailenin arakesitinin de ardı¸san bir küme oldu ˘gunu gösteriniz.

1.2 Sonlu Tümevarım ˙Ilkesi

Theorem 1.6. W⊂ω altkümesi için

(a) 0∈W

(b) n∈W ⇒n⁺∈W

ko¸sulları sa˘glanıyorsa, W=ω dır.

Kanit: Varsayımlar W kümesinin ardı¸san bir küme oldu ˘gunu söylüyor (bkz. Tanım1.3). ω do ˘gal sayılar kümesi, ardı¸san her küme tarafından kapsandı ˘gından (bkz. Tanım1.5). ω ⊂W olacaktır. Oysa W⊂ωverilmi¸stir. Öyleyse W=ωdır.

Teoremarkin anlamını sözel olarak ifade edelim:

1. ˙Ilk do ˘gal sayıyı içeren,

2. ˙Içerdi ˘gi her do ˘gal sayının ardılını da içeren küme do ˘gal sayılar kümesidir.

1.3 Peano Belitleri

Theorem 1.7. A¸sa˘gıdaki özeliklere sahip bir ω kümesi vardır:

P1. 0∈ω

P2. n∈ω ise n⁺∈ω P3. n∈ω ise n⁺6=0

P4. ω nın bir A altkümesi a¸sa˘gıdaki iki özeli˘ge sahipse A=ω dır:

(a) 0∈ A

(b) n∈A⇒n⁺ ∈ A

P5. m, n∈ω ve n⁺ =m⁺ ise m=n dir.

Varlı ˘gını kabul etti ˘gimiz ω kümesinin P1.−P5. Peano ko¸sullarını sa ˘gladı ˘gı kanıtlanabilir. Biraz uzunca olan bu kanıtlara girmeyece ˘giz.

˙Isteyen ö˘grenciler, bir çok kaynaktan bulabilecekleri bu kanıtları inceleyebilirler.

Problemler

1. Do ˘gal sayıların hiç birisinin ardı¸san küme olamayaca ˘gını gös- teriniz.

2. Hiç bir do ˘gal sayı, kendisine ait bir kümenin altkümesi olamaz.

Neden?.

d o ˘g a l say i l a r 9

3. A, B kümeleri için A=B ise A⁺ =B⁺ oldu ˘gunu gösteriniz.

4. p do ˘gal sayı ise p /∈ p oldu ˘gunu gösteriniz.

5. p, q, r do ˘gal sayıları için a¸sa ˘gıdaki özeliklerin varlı ˘gını gösteriniz:

(a) q6=q⁺

(b) p∈q ise q /∈ p olur.

(c) q∈ p ve p∈r ise q∈r olur.

(d) p∈q ise p⁺ ⊂q olur.

6. W∈n ve n∈ωise W∈ωoldu ˘gunu tüme varımla ispatlayınız.

7. W⁺∈ωise W ∈ωoldu ˘gunu gösteriniz.

8. p ∈ ωise ya p = 0 oldu ˘gunu ya da p = q olan bir q ∈ ω varoldu ˘gunu gösteriniz.

1.4 Do˘gal Sayıların Sıralanması

Do ˘gal sayılarda varlı ˘gını sezgisel olarak bildi ˘gimiz ya da alı¸skanlıkla kullandı ˘gımız küçük ya da e¸sit≤ba ˘gıntısını matematiksel olarak tanımlayacak ve(ω,≤)sisteminin iyi sıralı oldu ˘gunu kanıtlayaca ˘gız.

Tanım 1.8. Do˘gal sayılar kümesi üzerinde≤ba˘gıntısı

a≤b=⇒ (a∈b) ∨ (a=b) (1.5) biçiminde tanımlanır.

(1.5) ifadesi, "a do˘gal sayısı, b do˘gal sayısından ya küçüktür ya da e¸sittir" diye okunur.

a≤b ile b≥a simgeleri e¸s anlamda kullanılacaktır.

≤yerine<ba ˘gıntısını kullanmak istiyorsak, a<b ifadesini

a<b=⇒ (a≤b) ∧ (a6=b) (1.6) biçiminde tanımlayabiliriz.

≤ba ˘gıntısının do ˘gal sayılar kümesi üzerinde iyi sıralama ba ˘gın- tısı oldu ˘gunu göstermek için,(ω,≤)sisteminin önce tikel sıralı bir sistem oldu ˘gunu, sonra iyi sıralı bir sistem oldu ˘gunu kanıtlayca ˘gız.

Theorem 1.9. (ω,≤)tikel sıralı bir sistemdir.

Kanit: Sistemin yansımalı, geçi¸simli ve antisimetrik oldu ˘gunu gösterece ˘giz.

yansıma: Her ö ˘ge kendisine e¸sit oldu ˘gundan, a∈ωiçin a= a dır. O halde, (1.5) den a≤a yazabiliriz.

geçi¸sim: a, b, c ∈ ωverilsin. a ≤ b ve b ≤ c ise dört olası durum vardır:

(a∈b) ∧ (b∈c) → ((a∈c) ∧ (b⊂c) → (a∈c)) (a∈b) ∧ (b=c) →a∈c

(a=b) ∧ (b∈c) →a∈c (a=b) ∧ (b=c) →a=c

(1.5) uyarınca, bu dört durumun her biri için a≤c olacaktır.

antisimetrik: a≤b ve b≤a ise (1.5) uyarınca ya a=b ya da a≤b ve b∈a olacaktır. ˙Ikinci durum varsa a⊂b ve b⊂a çıkar ki bu a=b olmasını gerektirir.

Theorem 1.10. a∈ω ise0≤a olur.

Kanit:

A= {a|a∈ω, 0≤a}

kümesini dü¸sünelim. Sonlu Tüme Varım ˙Ilkesi (bkz.Teoremark1.6) uyarınca A = ωoldu ˘gunu göstermeliyiz. ≤ba ˘gıntısı yansımalı oldu ˘gundan 0 ≤ 0 çıkar. O halde, 0 ∈ A olur. Herhangi bir a ∈ A seçelim. Varsayımdan 0≤ a olur. a∈ a⁺oldu ˘gundan a ≤ a⁺yazılır.

Böylece 0 ≤ a ve a ≤ a⁺elde edilmi¸s oldu. ≤ba ˘gıntısı geçi¸simli oldu ˘gu için

(0≤a) ∧ (a≤a⁺) → (0≤a⁺)

olacaktır. Öyleyse, a⁺ ∈ A olur ve Sonlu Tüme Varım ˙Ilkesine göre A=ωsonucuna ula¸sılır.

Theorem 1.11. b<a ise b⁺≤a dir.

Kanit: b do ˘gal sayı olsun ve

An= {a∈ω| (b<a) → (b⁺≤a)}

kümesmi tanımlayalım. Sonlu Tüme Varım ˙Ilkesine göre An = ω oldu ˘gunu gösterece ˘giz. Tanımdan

a /∈An ↔ (b<a) ∧ (¬(b⁺ ≤a))

↔ (b∈a) ∧ (¬(b⁺≤a)) yazabiliriz. Buradan, özel olarak,

0 /∈ An↔b∈0∧ ¬(b⁺ ≤0)

çıkar, ki bu olanaksızdır. Öyleyse 0 ∈ An olmalıdır. ¸Simdi herhangi bir a∈An seçelim. Tanımdan b<a→b⁺≤a dir. a⁺∈ An oldu ˘gunu göstermek için

b<a⁺→b⁺≤a≤a⁺

d o ˘g a l say i l a r 11

oldu ˘gunu göstermeliyiz. b <a⁺ ise b∈ a⁺dir. O halde, ya b ∈ a dir ya da b=a dir. E ˘ger b=a ise b⁺ =a⁺çıkar ve ispat biter. E ˘ger b∈a ise b<a olur ve kabulümüzden

b⁺≤a<a⁺ çıkar ve kanıtlama biter.

Theorem 1.12. (_ω,≤)iyi sıralı bir sistemdir.

Kanit: Olmayana ergi yöntemini kullanaca ˘gız. E ˘ger(ω,≤)sis- temi iyi sıralı olmasaydı, bo¸s olmayan ve en küçük ö ˘gesi var olmayan bir A⊂ωaltkümesi var olacaktı. ¸Simdi

W = {b∈ω|a∈A⇒b≤a}

kümesini tanımlayalım. Sonlu Tüme Varım ˙Ilkesiyle W=ωoldu ˘gunu gösterece ˘giz. Teoremark1.10den 0∈ W yazabiliriz. Bir b∈ W seçe- lim. Tanımdan, her a ∈ A için b ≤ a olacaktır. E ˘ger, herhangi bir p ∈ A için b= p ise p, A nın en küçük ö ˘gesi olur, ki bu kabulümüze aykırıdır. Öyleyse, her a∈ A için b< a olacaktır.Teoremark1.11den, her a ∈ A için b⁺ ≤ a yazabiliriz, ki bu b⁺ ∈ W olmasını gerektirir.

Demek ki W =ωdır. A nın en küçük ö˘gesi olmadı ˘gından W∩A= _∅ çıkar. Öyleyse A=∅ olmalıdır.

Aritmeti ˘gin kurulması için do ˘gal sayıların kurulması ve onun üzerinde i¸slemlerin tanımlanması yeterlidir. Ondan sonraZ tam sayılar kümesinin,Q rasyonel sayılar kümesinin ve R gerçel sayılar kümesinin kurulması ve dört i¸slemin onlar üzerine geni¸sletilmesi ko- laydır. Bu i¸sler cebir, analiz ve topoloji derslerinde yapılır. O nedenle, bu geni¸slemeleri burada ayrıntılı anlatmaya gerek görmüyoruz. Yal- nızca tam sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin kurulu¸sunu söylemekle yetinece ˘giz.

1.5 Tam Sayıların Kurulu¸su

Tam sayılar, iki do ˘gal sayının farkı ya da toplamı olarak çok farklı biçimlerde yazılabilir. Örne ˘gin, 7 tam sayısını

7= −121− (−128) = −1− (−6) =0+7 =1738−1731

=17−10 =2+5=20−13 =3709−3702

=. . . (1.7)

gibi çok de ˘gi¸sik biçimlerde yazabiliriz. Tam sayıları öyle kurmalıyız ki, yukarıdaki gibi farklı yazılı¸slara izin versin ve onları tek bir tam sayı olarak kabul etsin. Bunu yapmak kolaydır. m, n, p, q ∈ N olmak üzere, iyi bilinen

m−n= p−q⇔m+q=n+p (1.8)

ba ˘gıntısını dü¸sünelim. ¸Simdi, tam sayıların ne oldu ˘gunu bilmedi ˘gimizi var sayıp, yukarıdaki (1.8) ba ˘gıntısının sol yanını unutalım. m−n yerine(m, n)sıralı ikilisini ve p−q yerine(p, q)sıralı ikilisini ko- yarak, ba ˘gıntıyı

(m, n) ≈ (p, q) ⇔m+q=n+p (1.9) biçiminde yeniden yazalım. BununN×N üzerinde bir denklik ba˘gın- tısı oldu ˘gu kolayca gösterilir.

Tanım 1.13. (1.9) ba˘gıntısının denklik sınıfları kümesine tam sayılar kümesi denilir veZ ile gösterilir.

Demek ki, do ˘gal sayılar kümesi biliniyorken, tam sayılar kümesini N×N üzerindeki (1.9) denklik ba ˘gıntısının denklik sınıfları olarak kurabiliyoruz. O nedenle, (1.7) biçiminde yazılan sayılar aynı denklik sınıfı içindedirler.

(1.9) denklik ba ˘gıntısının tanımladı ˘gı denklik sınıflarını

[(a, b)] = {(x, y) | (a, b) ≈ (x, y)} (1.10) biçiminde gösterece ˘giz.

1.6 Do˘gal Sayılarda Aritmetik

Do˘gal sayılarda E¸sitlik

Tanım 1.14. m = \(A) ve n= \(B)olmak üzere, m, n do˘gal sayılarının birbirlerine e¸sit olu¸sunu m=n simgesiyle gösterecek ve

m=n =⇒ \(A) = \(B) (1.11) ba˘gıntısıyla tanımlayaca˘gız.

Bunu, "m, n ye e¸sittir" ya da "m e¸sit n dir", diye okuyaca ˘gız.

Theorem 1.15. A¸sa˘gıdaki özelikler vardır.

1. m∈_N ⇒ m=m (Yansıma)

2. m, n∈N ⇒ m=n∨n=m (˙Ikileme)

3. m, n∈N, m=n ⇒ n=m (Simetri)

4. m, n, c∈N, m=n∧n=c ⇒ m=c (geçi¸sim)

Do˘gal Sayılarda Toplama

Tanım 1.16. a ile b do˘gal sayılarının toplamı, a+b simgesiyle gösterilir ve a+b= \(A∪B), (A∩B=∅) (1.12) e¸sitli˘gi ile tanımlanır.

d o ˘g a l say i l a r 13

Sonlu iki kümenin bile¸simi sonlu oldu ˘gundan,\(A∪B)nicelik sayısı,N ye aittir. Dolayısıyla,+(toplama) i¸slemiN×_{N den N ye} tanımlı ikili i¸slem olarak

+ : N×N⇒N, + : (a, b) ⇒a+b (1.13) biçiminde tanımlıdır.

Toplama ˙I¸sleminin Özelikleri

Theorem 1.17. Do˘gal sayılarda toplama i¸slemi a¸sa˘gıdaki özelikleri sa˘glar:

1. m, n∈_N ⇒ m+n∈_N (Kapalılık)

2. m, n∈N ⇒ m+n=n+m (Yer De˘gi¸sim)

3. m, n, r∈N ⇒ m+ (n+r) = (m+n) +r (Birle¸sme) 4. m, n, r∈N, m=n ⇒ m+r=n+r (Sadele¸sme) 5. m∈N, 0∈N ⇒ m+0=0+m=m (Birim Ö˘ge) 6. m, n∈_{N ve m}6=0 ⇒ m+n6=0 (Ters Ö˘ge yok) Kanit: bkz. Problemler1.6.

Do˘gal Sayılarda Çarpma

Tanım 1.18. m ile n nin çarpımı m×n, m.n, mn simgelerinden birisiyle gösterilir ve a¸sa˘gıdaki ba˘gıntı ile tanımlanır:

m.n= \(_A×B) _(1.14)

Sonlu iki kümenin kartezyen çarpımı sonlu oldu ˘gundan,|(A×B)|

nicelik sayısı, daimaN ye aittir. Dolayısıyla,×(çarpma) i¸slemiN× N den N ye tanımlı bir ikili i¸slem olarak

× : N×N⇒N, · : (m, n) ,→mtimesn (1.15) biçiminde tanımlıdır.(×) simgesi yerine(·)simgesi de kullanılır.

Çarpma ˙I¸sleminin Özelikleri

Theorem 1.19. Do˘gal sayılarda çarpma i¸slemi a¸sa˘gıdaki özelikler sa˘glar.

1. m, n∈N ⇒ _m.n∈N Kapalılık

2. m, n∈N ⇒ m.n=_n.m Yer De˘gi¸sim

3. m, n, r∈N ⇒ m.(_n.r) = (_m.n)_.r Birle¸sme 4. m, n, r∈N, m=n ⇒ m.r=_n.r Sadele¸sme 5. m∈_{N, 1}∈_N ⇒ _m.1=1.m=m Birim Ö˘ge 6. m∈_{N, 0}∈_N ⇒ _m.0=0.m=0 Yutan Ö˘ge 7. m, n∈_{N ve m}6=1 ⇒ _m.n6=1 Ters ö˘ge yok Kanit: bkz. Problemler1.6.

Da˘gılma Kuralları

Theorem 1.20. Do˘gal sayılarda çarpma i¸sleminin, toplama i¸slemi üzerine soldan ve sa˘gdan da˘gılma özeli˘gi vardır.

Bunun simgelerle ifadesi ¸söyledir.

a, b, c∈N⇒ a.(_b+_c) =_a.b+_a.c (soldan da ˘gılma) a, b, c∈_N⇒ (b+c).a=b.a+c.a (sa ˘gdan da ˘gılma) Kanit: bkz. Problemler1.6.

Problemler

1. E¸sitli ˘gin Teoremark1.15ile verilen özeliklerini sa ˘glayınız.

2. Toplama i¸sleminin, Teoremark1.17ile verilen özelikleri kanıt- layınız.

1.7 Rasyonel Sayılar

Tam sayılarda oldu ˘gu gibi rasyonel sayıların da . . .= −1

−2 = −4

−8 = −12

−24 = ² 4 = ⁴

8 = ⁶ 12 = ¹²

24 =. . . (1.16) . . .= −12

−24 = −8

−16 = −3

−6 = ⁵ 10 = ⁷

14 = ¹¹ 22 = ⁹

18 =. . . (1.17) gibi birden çok biçimde yazılabildi ˘gini biliyoruz. Tam sayılarda yap- tı ˘gımız gibi, rasyonel sayıları öyle kurmalıyız ki, yukarıdaki gibi farklı yazılı¸slara izin versin ve onları tek bir raqsyonel sayı olarak kabul etsin. Bunu yapmak kolaydır. m, n, p, q ∈ Z olmak üzere, iyi bilinen

m n = ^p

q ↔mq=np (1.18)

ba ˘gıntısını dü¸sünelim. ¸Simdi, rasyonel sayıların ne oldu ˘gunu bilmedi ˘gimizi var sayıp, yukarıdaki (1.18) ba ˘gıntısının sol yanını bilinenler cinsin-

den yazalım.

m

n yerine(m, n)sıralı ikilisini ve ^p_q yerine(p, q)sıralı ikilisini ko- yarak, ba ˘gıntıyı

(m, n) ≈ (p, q) ⇔mq=np (1.19) biçiminde yeniden yazalım. BununZ×Z üzerinde bir denklik ba ˘gıntısı oldu ˘gu kolayca gösterilebilir.

Tanım 1.21. (1.19) ba˘gıntısının denklik sınıfları kümesine rasyonal sayılar kümesi denilir veQ ile gösterilir.

d o ˘g a l say i l a r 15

Demek ki, tam sayılar kümesi biliniyorken, rasyonel sayılar kümesini Z×Z üzerindeki (1.19) denklik ba ˘gıntısının denklik sınıfları olarak kurabiliyoruz. toplama, çıkarma, çarpma, bölme i¸slemleri ile sıralama ba˘gıntısı, (1.19) ile verilen denklik sınıfları kümesi üzerinde kolayca tanımlanır.

Pratikte rasyonel sayılarla i¸slem yaparken, denklik sınıflarını de ˘gil, i¸sleme giren her bir denklik sınıfından seçilecek birer temsilci ö ˘geyi kullanırız.

˙Iyi Tanımlılık

Rasyonel sayıların farklı yazılı¸slarıyla i¸slem yaparken hep aynı sonuca ula¸sırız. Örne ˘gin,

1 2+³

4 = ⁵ 4 3

6+¹² 16 = ¹²⁰

96 = ⁵ 4 i¸slemleri aynı sonucu verir.

Bunu genelle¸stirebiliriz:

Denklik sınıfları üzerinde tanımlanan bir i¸slemin, denklik sınıflarını temsil etmek üzere seçilecek ö ˘gelere ba ˘glı olup olmadı ˘gı uygula- mada önem ta¸sır. Denklik sınıfları üzerinde i¸slem yaparken denklik sınıflarından hangi temsilcileri seçersek seçelim, hep aynı sonuca ula¸smalıyız. Bu özelik, i¸slemin iyi tanımlı oldu ˘gu anlamına gelir.

De ˘gilse, i¸slem yapan ki¸siler farklı temsilciler seçebilece ˘ginden, i¸slemin sonucu farklı çıkar. Böyle bir durum istenmez.

Tanım 1.22. Denklik sınıfları kümesinde tanımlı bir i¸slem, denklik sınıfını temsil etmek üzere seçilen temsilciye ba˘glı de˘gilse, o i¸slem iyi tanımlıdır.

Bu kavramı biraz açmakta yarar var. Örne ˘gin, rasyonel sayılar kümesi üzerinde

m, n∈Z olmak üzere f(^m

n) =m (1.20)

ba ˘gıntısını dü¸sünelim. (1.20) kuralına göre f(³

4) =3 f(⁶

8) =6 f(¹²

16) =12 f( ⁷⁵

100) =75 ...

olacaktır. Oysa ³₄ = ⁶₈ = ¹²₁₆ = ₁₀₀⁷⁵ =. . . oldu ˘gundan (1.20) le verilen f bir fonksiyon de ˘gildir. ˙Iyi tanımlı olması için, ³₄ rasyonel sayısının denklik sınıfından seçilecek her temsilci ^m_n sayısı için f(^m_n)de ˘gerleri aynı olmalıdır.

Uyarı 1.23.

˙Iyi tanımlı fonksiyon denilince, sanki iyi tanımlı olmayan fonksiyon varmı¸s izlenimi do ˘gmaktadır. Aslında, (1.20) kuralı bir fonksiyon tanımı de ˘gildir. Fonksiyon tanımlı ise, zaten iyi tanımlıdır; kötü tanımlı fonksiyon yoktur. O nedenle, iyi tanımlı fonksiyon deyiminin fonksiyon tanımının titizlikle yapılmadı ˘gı eski zamanlardan kalmı¸s bir terim oldu ˘gu açıktır. Ama sık sık cebirde ve analizde kar¸sınıza çıkabilir.

1.8 Alı¸stırmalar

1. m, n, r do ˘gal sayıları için, a¸sa ˘gıdaki özelikleri kanıtlayınız

1)(m<n) ∨ (m=n) ∨ (m>n) (Üç Hal Kuralı) 2)(m<n) ∧ (n<r) ⇒ m<r (geçi¸sim)

3) m<n ⇒ m+r<n+r (Toplamda Sadele¸sme) 4)(m<n) ∧ (r<s) ⇒ m+r<n+s Yan yana Toplama) 5) m<n∨ (r>0) ⇒ _m.r<_n.r (Çarpmada Sadele¸sme)

2. m, n sıfırdan farklı iki do ˘gal sayı ise, a¸sa ˘gıdaki e¸sitliklerin sa ˘g- landı ˘gını gösteriniz.

(a) m^m.mⁿ=m^m+n (b) mⁿ.nⁿ= (m.n)ⁿ (c) (m^m)ⁿ=m^mn.

3. m ile n iki do ˘gal sayı ve m ∈ n⁺ise ya m ∈ n ya da m = n oldu ˘gunu gösteriniz.

4. Ardılları e¸sit olan iki do ˘gal sayı birbirlerine e¸sittir; yani (m, n∈ω) ∧ (m⁺=n⁺) ⇒m=n olur. Gösteriniz.

5. Bölme i¸sleminin yer de ˘gi¸sim özeli ˘ginin olmadı ˘gını gösteriniz.

6. Bölme i¸sleminin birle¸sme özeli ˘ginin olmadı ˘gını gösteriniz.

7. Bölme i¸sleminin toplama üzerine da ˘gılma özeli ˘ginin olmadı ˘gını gösteriniz.

8. Çarpma i¸sleminin bölme islemi üzerine da ˘gılma özeli ˘ginin ol- madı ˘gını gösteriniz.

Bibliography

b i b l i o g r a p h y 19

Index

ardıl,5 axiom,5

belit,5

da ˘gılma kuralları,14 do ˘gal sayı,5 do ˘gal sayılar,5

do ˘gal sayıların kurulu¸su,5

do ˘gal sayıların sıralanması,9

iyi sıralama,9 iyi tanımlı,15 iyi tanımlılık,15

Peano aksiyomları,8 Peano belitleri,8

rasyonel sayılar,14

sonlu tümevarım ilkesi,8 sonsuzluk aksiyomu,7

tümevarım ilkesi,8 tam sayılar,11