Güvenlik Kstl Aktif ve Reaktif Güç Datm Probleminin Uygulanabilir Deerler Üzerinde Çalan Geniletilmi Subgradyent Yöntemiyle Çözümü
Solution to Security Constrained Economic Active and Reactive Power Dispatch Problem by Using Modified Subgradient Algorithm Based on Feasible Values
Salih Fadl
1, Burak Urazel
2,
1,2
Mühendislik Mimarlk Fakültesi, Elektrik Elektronik Mühendislii Bölümü Eskiehir Osmangazi Üniversitesi
sfadil@ogu.edu.tr, burazel@ogu.edu.tr
Özet
Makalede, uygulanabilir (feasible) deerler üzerinde çalan geniletilmi subgradyent (F-MSG) algoritmasnn, bir elektrik enerji sisteminde optimal aktif ve reaktif güç datm (ED) probleminin çözümüne uygulanmas anlatlmaktadr. Bu çözüm tekniinde üretim birimlerinin aktif ve reaktif güç alt ve üst üretim snrlar, iletim hatlarnn aktif güç tama kapasiteleri ve bara gerilim genliklerinin alt ve üst snrlar
göz önüne alnmaktadr. Algoritmann uygulanmas 5 adet termal üretim birimine ve 14 baraya sahip bir elektrik enerji sisteminde gösterilmitir. Bulunan sonuçlarn doruluunun karlatrlmas için ayn datm problemi MATPOWER® 3.2 program ile de çözülmütür. Bulunan sonuçlarn karlatrlmas ile F-MSG algoritmasnn, MATPOWER® 3.2 program ile elde edilen sonuçlara benzer saat bana toplam maliyet deerleri verdii görülmütür.
Abstract
In this paper, the modified subgradient algorithm based on feasible values (F-MSG) is applied to a security constrained economic dispatch (ED) problem. The proposed technique considers the upper and the lower generation limits of the generation units, the maximum transmission capability of the transmission lines, and the upper and the lower limits of bus voltage magnitudes. Application of the algorithm is demonstrated on a lossy electric power system that contains 14 buses and 5 thermal units. The same dispatch problem is also solved via MATPOWER® 3.2 dispatch software for comparison purpose. From the results, we see that the proposed technique give the same optimal total cost rate value as the one given by MATPOWER® 3.2 dispatch software.
1. Giri
Elektrik enerji sistemlerinde aktif ve reaktif güç datm
(ED), dorusal olmayan kstl bir optimizasyon problemi olarak da tanmlanabilir. ED probleminin çözümü, toplam saat bana aktif güç üretim maliyet deerinin baz elektrik ve iletim hatt güvenlik kstlar altnda minimize edilmesi ile gerçekletirilir. Literatürde ED problemini çözmek için birçok yöntem gelitirilmi ve uygulanmtr. Bu metotlarn bazlar;
genetik algoritma [2], parçack sürü optimizasyonu [3], tabu arama teknii [4], sözde spot maliyeti yöntemi [5], diferansiyel evrimsel algoritma [6], karma yöntemler [7] ve iç nokta yöntemleri [8] dir.
Bu çalmada ED problemi, uygulanabilir deerler üzerinde çalan geniletilmi subgradient (F-MSG) algoritmas
kullanlarak çözülmütür. F-MSG yöntemi Kasimbeyli tarafndan 2009 da gelitirilmitir [1].
2. ED Problemi
ED problemini matematiksel olarak aadaki ekilde tanmlamak mümkündür;
2
.
G G
T i Gi i i Gi i Gi
i N i N
Min F F P b c P d P
¦ ¦
(1)Elektriksel kstlar;
, 0, 1, 2, ,
Bi
G i yük i i j
j N
P P p i N
¦
" (2), 0, 1, 2, ,
Bi
G i yük i i j
j N
Q Q q i N
¦
" (3), 1, 2, ,
min max
G i G i G i
P dP dP i " N (4)
, 1, 2, ,
min max
Gi Gi Gi
Q dQ dQ i " N (5)
max,
max
l l l
p p p l L
d d (6)
, 1, 2, , ,
min max
i i i
U dU dU i " N izref (7)
Yukardaki denklemlerde kullanlan sembollerin anlamlar, semboller listesi bölümünde verilmitir.
2.1. Güç Ak Denklemleri
Çözüm algoritmamzda baralarn gerilim genlikleri ve faz açlar bamsz deikenler olarak alnmaktadr. Saat ba
maliyet fonksiyonlar birimlerin aktif çk güçlerine bal
olup, üretim birimlerinin çk güçleri de baralarn gerilim genlikleri ve faz açlar ile hesaplanmaktadr. Bundan dolay
gerilim genlikleri ve faz açlarna bal güç ak
denklemlerinin verilmesi gerekmektedir.
i ve j baralar arasnda yer alan bir iletim eleman için aktif ve reaktif güç ak denklemleri aadaki gibidir.
2 2
cos( ) sin( )
i j
i j i sh i
i
i j
i j i j i j i j
i
p U g g
a
U U g b
a G G G G
§ ·
¨ ¸
© ¹
ª º
¬ ¼
(8)
2
cos( ) sin( )
j i j i j sh j
i j
i j j i i j j i
i
p U g g
U U g b
a G G G G
ª º
¬ ¼
(9)
2 2
sin( ) cos( )
i j
i j i sh i
i
i j
i j i j i j i j
i
q U b b
a
U U g b
a G G G G
§ ·
¨ ¸
© ¹
ª º
¬ ¼
(10)
2
sin( ) sin( )
j i j i j sh i
i j
i j j i i j j i
i
q U b b
U U g b
a G G G G
ª º
¬ ¼
(11)
Verilen bu güç ak denklemleri ile üretim birimlerinin aktif ve reaktif çk güçleri, sistemin toplam aktif güç kayb
aadaki denklemler ile hesaplanabilir.
i barasndan sisteme enjekte edilen net aktif ve reaktif güçler;
B i
i i j
j N
P p
¦
(12)B i
i i j
j N
Q q
¦
(13)i barasna bal birimin ürettii aktif ve reaktif güçler;
, B i
G i yük i i j
j N
P P p
¦
(14), B i
G i yük i i j
j N
Q Q q
¦
(15)letim hatlarndaki ve enerji sistemindeki güç kayplar;
,
i j kayp i j j i
p p p (16)
,
kayp i j i j j i
p p p (17)
,
,
KAYIP kayp l i j
l L i N j N j i
P p p
z
¦ ¦ ¦
(18)Yukardaki denklemlerde kullanlan sembollerin anlamlar, semboller listesi bölümünde verilmitir.
2.2. Gevek Yapay Deikenler
F-MSG algoritmasnn yalnzca eitlik kstlarnn kullanlmasndan dolay, ED probleminde yer alan eitsizlik kstlar, eitlik kstlar halinde yazlmaldr. Bu da, aada gösterildii üzere, eitsizlik kstlarna birer gevek (slack) yapay deiken eklenmesi ile gerçekletirilebilir.
( ) ( ) 0
i i i i
h x x x d (19)
Yukarda verilen eitsizlik kst pozitif bir deiken eklenmesiyle (20) nolu eitlik kstna çevrilebilir.
( , ) ( 2) 0
i i i i i i
h x S x xS (20) burada S gevek yapay deiken olup, denklemdeki deer i pozitif olmas gerektiinden S olarak kullanlmtr. ED i2 probleminde bulunan (4), (5), (6), (7) nolu eitsizlik kstlar, F-MSG algoritmasnda kullanabilmek için, bu yöntemle birer eitlik kstna dönütürülmütür.
3. F-MSG Algoritmas
Lagrange temelli yöntemlerde, kstl optimizasyon problemlerinin çözümündeki ilk adm, birincil (primal) problemin bir kstsz ikil (dual) probleme dönütürülmesidir.
Bu da Lagrange fonksiyonlarnn kullanlmas ile gerçekletirilir [8]. Lagrange yöntemi ikil optimizasyon temelinde çözüm yaklam sunar. Lagrange çarpanlarnn deerleri bulunarak, ikil amaç fonksiyonu deeri maksimum yaplmaya çallr. Birincil problemin en iyi sonucu ile ikil problemin en iyi sonucu eit olmaldr. Aksi takdirde her iki problemin en iyi sonuçlar arasnda ikil aralk (dual gap) ad
verilen bir fark oluacaktr. Bu ikil aralk deeri, optimizasyon problemlerinde çözüm kalitesini belirlemekte, ikil aralk deeri azaldkça çözümün kalitesi artmaktadr. Klasik Lagrange fonksiyonlar sadece dbükey problemler için sfr ikil aral salarken, maliyet fonksiyonunun veya herhangi bir kstn içbükey olmamas durumunda sfr ikil araln salanmas için geniletilmi Lagrange fonksiyonu kullanlmaldr [9].
Uygulanabilir deerler üzerinde çalan geniletilmi
subgradient (F-MSG) yöntemi Kasimbeyli tarafndan 2009 da gelitirilmitir [1]. Bu yöntemde, sfr ikil aral salayan geniletilmi Lagrange fonksiyonlar kullanlmaktadr.
Yöntemin temelinde maliyet fonksiyon deerinin gerçeklenebilir olup olmadnn kontrol edilebilmesi bulunmaktadr. Burada u tanm yapmak mümkündür; “Bir maliyet fonksiyonu en iyi deerden büyükse ve bu deeri salayan bamsz deiken seti problemde verilen tüm kstlar da salyor ise, bu maliyet fonksiyonu gerçeklenebilir bir deere sahiptir. Aksi takdirde gerçeklenebilir deildir” [1].
Aada verilen genel optimizasyon problemi ifadesini ED problemine uyarlayabiliriz.
Min ( ) ( ) F
Subject to K
®
¯ 0 x
h x x
(21)
Burada x vektörü baralarn gerilim genlikleri ve faz açlar ile gevek yapay deikenleri ve nominal d çevrim oranlarn
içeren bamsz deikenler vektörüdür. Referans barann gerilim genlii ve faz açs bamsz deiken olmad, bu sebeple x vektörüne dahil edlimedii, belirlenen deerlerde sabit tutulaca unutulmamaldr. Maliyet fonksiyonuF( )x , (1) nolu denklemde verildii gibi termal birimlerin saat ba
maliyet fonksiyonlarnn toplamdr. ( )h x ise (2), (3) nolu eitlik kstlar ile (4), (5), (6), (7) nolu eitsizliklerden gevek
yapay deikenler kullanlarak elde edilen eitlik kstlarn
içeren kst vektörüdür. K seti de bamsz deikenlerin alt ve üst snrlar ile belirlenmi, olas x elemanlarn içeren set olarak tanmlanabilir.
3.1. F-MSG Algoritmas Admlar
Balangç adm: Balangçta kullanlacak deikenleri hesaplamak için seçilen aktif ve reaktif güç üretimleri ile AC güç ak çözümü yap. Bu üretimler için denklem (1) denFT' yihesapla.
1.Adm: Pozitif H1, H2 , ' ve M parametrelerini belirle. 1
Hn=FT ' , n =1, p =0, q =0 al. 1
2.Adm: (u1n,c1n)RNEQuR olacak ekilde ikil deikenleri belirle. Burada NEQ ,h x vektörünün sahip olduu eitlik ( ) kstlarnn saysdr. k =1, uk u , 1n 1n
ck c al.
3.Adm: Seçilen ikincil deikenler için aadaki kst salama problemini (CSP) çöz.
( k) k ( k) k, ( k) n
k
F c H
eitsizliini salayan bir K çözümü bul
¢ ² d
x h x u h x
x (22)
Eer (22) için bir çözüm yok ise 6.Adma git. Eer (22) için bir çözüm x bulunduysa k h x( k) dH1 doruluunu kontrol et. h x( k) dH1ise 5.Adma git. Aksi takdirde 4.Adma git.
4.Adm: ikil deikenleri aadaki ekilde yenile.
1 ( )
k kDsk k
u u h x (23)
1 (1 ) ( )
k k k k
c c D s h x (24) Burada sk pozitif adm boyutu olup aadaki ekilde tanmlanabilir;
2 2 2
( , , ) 0
(1 ) ( )
n k k k
k
k
H L c
s O D
D D
ª º
¬ ¼
x u
h x (25)
Yukardaki denklemde D ve O sabit parametreler olup D! ve 00 dr. Ayrca mevcut ikil deikenler için O 2 aadaki eitsizlik de salanmaldr.
sk h x( k) ck uk
!A( )k (26) k k 1 yap, ( )Ak fonksiyonunu ko f iken ( )Ak o f olacak ekilde yenile. Tekrar 3.Adma git.
5.Adm: p yi kontrol et. Eer p ise 0 'n1 ' yap, aksi n
takdirde 1 1
n 2 n
' ' yap. Sonrasnda ' ’i kontrol et. Eer n1
1 2
n H
' d ise burada dur. Son olas Hn deerini salayan xk optimal birincil sonuçtur. ' dn1 H2 deilse
^ `
1 min ( ), 1
n k n n
H F x H ' , 1q , 1q n yap ve n 2.Adma git.
6.Adm: q yi kontrol et. Eer q ise 0 'n1 ' yap, aksi n
takdirde 1 1
n 2 n
' ' yap. Sonrasnda ' ’i kontrol et. Eer n1
1 2
n H
' d ise burada dur. Son olas Hn deerini salayan xk optimal birincil sonuçtur. ' dn1 H2 deilse
1 1
n n n
H H ' , 1 p , 1p n yap ve 2.Adma git. n Görülecei üzere algoritma iki döngüden olumaktadr. 3. ve 4. admlar CSP probleminin (22) çözüldüü ve ikil deikenlerin yenilendii iç döngüyü oluturmaktadr.
Uygulanabilir olup olmadna bal olarak, kontrol edilen H deerinin yenilendii d döngü ise 2. , 5. ve 6. n
admlardan meydana gelmektedir. Bu döngülerde yer alan q ve p parametreleri, srasyla, algoritma boyunca elde edilen uygulanabilir (feasible) ve uygulanamaz (infeasible) deerler saysdr. H1 iç döngüde eitlik kstlarn içeren
h x vektörünün salanmas için bir kontrol kriteri, ( ) H2 de
algoritma için durma kriteridir. H deeri için d döngüde n yaplacak deiim miktar ' ’dir. M deeri ise iç döngü için n bir limit deer olup, bu limit aldnda kontrol edilen H n deeri uygulanamaz olarak kabul edilebilir.
4.
Saysal Örnek
F-MSG algoritmasnn ED problemine uygulanmasnda örnek sistem olarak 14 baral IEEE test sistemi kullanlmtr. Bu test sistemine ait bir hat diyagram ekil.1’de verilmitir.
Kullanlan sistemdeki iletim hatlarnn pu seri empedans ve pu
önt admitans deerleri Referans [11]’den elde edilebilir.
Birimlere ait saat bana maliyeti fonksiyonu katsaylar, üretim birimlerinin aktif ve reaktif güç üretim snrlar ile baralardaki aktif ve reaktif yük deerleri Ek A’da verilmitir.
Bu test sisteminde 1 nolu bara referans bara olarak kabul edilmi ve bu barann gerilim genlii 1.06 pu, faz açs ise 0.0 rad olarak alnmtr. Dier baralarn gerilim genliklerine ait snrlar ise 0.9dUid1.1 olarak seçilmitir. Ayrca bütün iletim hatlar için aktif güç tama kapasitesi 200 MW olarak belirlenmitir. F-MSG algoritmasnda kullanlan dier parametreler ise; D , 1 O , 1 H1 2.5 10u 5 , H2 0.05,
1 100 R h/
' olarak seçilmitir.
ekil 1: Örnek elektrik enerji sistemine ait bir hat diyagram.
4.1. ED Probleminin F-MSG Metodu le Çözülmesi Verilen yük deerleri için ED problemini F-MSG algoritmas
uygulayarak çözdüümüzde en düük maliyetli çözüm 8081.664 /
FT R holarak elde edilmitir. Bu maliyeti veren elektriksel deerler Tablo.1’de verilmitir. Ayrca algoritma tarafndan oluturulan uygulanabilir ve uygulanamaz deerler ile dier çeitli parametreler Tablo.2’de verilmitir. Ayn ED problemini MATPOWER3.2 yazlm ile çözdüümüzde, en düük maliyetli çözüm FT 8081.530 R h/ olarak bulunmutur. Görülecei üzere MATPOWER3.2 ile bulunan sonuçlar F-MSG algoritmas ile elde edilen sonuçlarn doruluunu kantlamaktadr.
4.2. Çözüm Noktasnda Birimlerin Üretim Snrlarna Ve
letim Hatlarnn Tama Kapasitelerine Vurmas
Bölüm 4.1’de bulmu olduumuz en düük maliyetli çözüm için PG2 36.989MW ve p12 129.551MW olarak hesaplanmtr. PGmax2 30MW ve p12max 120MW olacak
ekilde deitirilirse; 2 nolu baraya bal birim aktif güç üretim üst snrnn üzerine çkm, 1 ve 2 nolu baralar arasnda yer alan iletim hatt da aktif güç tama kapasitesini am olacaktr. Bu durum fiziksel olarak imkânsz olduundan bu sonuç artk en düük maliyetli gerçeklenebilir sonuç olmayacaktr.
Yukarda belirtilen bu deiiklikler sonrasnda ED problemini F-MSG algoritmasn uygulayarak çözdüümüzde en düük maliyetli çözüm FT 8109.0575R h/ olarak elde edilmitir.
Bu en düük maliyetli sonuçta PG2 29.99MW ve
12 119.99
p MW olarak hesaplanmtr. Görüldüü üzere
2
P ve G p yeni snr deerlerinde bulunmutur. Bu maliyeti 12 veren elektriksel deerler de Tablo.1’de verilmitir. Ayn ED problemini MATPOWER3.2 yazlm ile çözdüümüzde ise en düük maliyetli çözüm FT 8108.620 R h/ olarak bulunmutur. Görülecei üzere MATPOWER3.2 ile bulunan sonuçlar ile F-MSG algoritmas ile elde edilen sonuçlar birbirine oldukça yakndr.
5. Sonuç Ve Öneriler
Makalede termik birimlerden oluan bir elektrik enerji sisteminde optimal aktif ve reaktif güç datm (ED) probleminin uygulanabilir deerlere dayanan geniletilmi
subgradient (F-MSG) algoritmas ile çözülmesi anlatlmtr.
Bu çözüm teknii ile termal birimlerin aktif ve reaktif güç alt ve üst üretim snrlar, iletim hatlarnn aktif güç tama kapasiteleri ve bara gerilim genliklerinin alt ve üst snrlar
kolaylkla kontrol edilebilmektedir. Bamsz deikenler olarak bara gerilim genlikleri ve faz açlar alndndan çözüm yönteminde güç ak çözümü ve/veya ekstra bir reaktif güç optimizasyonu yaplmasna gerek yoktur. Güç ak
çözümü sadece bamsz deikenlerin ilk deerlerini belirlemek için seçilen aktif ve reaktif güç deerleriyle bir kere yaplmaktadr. Saylan bu avantajlarndan dolay F-MSG yönteminin ED probleminin çözümünde kullanlmas
uygundur. Anlan yöntemin dier optimal elektrik enerji sistem iletimi problemlerine uygulanmasnn aratrlmas
tarafmzdan halen devam etmektedir.
Tablo 1: Balangç durumu olarak seçilen ve Bölüm 4.1 ile 4.2 de bulunan en düük maliyeti veren elektriksel büyüklükler.
Balangç Bölüm 4.1 Bölüm 4.2
1
PG 144.9547 193.7189 179.0099
1
QG -5.5691 -4.8682 -9.7236
2
PG 10.00 36.9890 29.9979
2
QG 25.00 29.6061 37.6567
3
PG 10.00 25.5956 38.9167
3
QG 14.00 24.6149 17.6830
6
PG 50.00 0.4788 1.9062
6
QG 17.00 10.8207 9.1823
8
PG 50.00 11.4959 16.8533
8
QG 3.50 8.0273 7.2370
p12 105.379 129.551 119.9993
PLOSS 5.9547 9.2782 7.684
FT 8463.9888 8081.6640 8109.0575
( )
P MWGi , QGi(MVAR), PLOSS(MW), F R hT( / ) Tablo 2: Bölüm 4.1 için algoritma tarafndan oluturulan
çeitli parametreler.
n H n F / I Fnhesap ' n p q
0 8463.988 - 100 0 0
1 8363.988 F 8268.679 100 0 1 2 8263.988 F 8243.609 100 0 2 3 8163.988 F 8122.955 100 0 3
4 8063.988 I - 50 1 3
5 8113.988 F 8101.434 25 1 4 6 8088.988 F 8085.314 12.5 1 5
7 8076.488 I - 6.25 2 5
8 8082.738 F 8082.138 3.125 2 6
9 8079.613 I - 1.562 3 6
10 8081.175 I - 0.781 4 6
11 8081.956 F 8081.826 0.391 4 7
12 8081.565 I - 0.195 5 7
13 8081.760 F 8081.664 0.098 5 8
14 8081.662 I - 0.049 6 8
F : uygulanabilir deer, I : uygulanamaz deer
hesap
Fn : denklem (22)’nin çözülmesi ile bulunan xkK çözümü ile hesaplanan saat ba maliyet deeri
6. Makalede Kullanlan Semboller
i Gi
F P : .i termik biriminin P aktif gücünü veriyorken saat Gi bana maliyeti (R/h). Burada R hayali bir para birimini göstermektedir.
P , Gi Q : i barasna bal termik birimin ürettii, srasyla, Gi aktif ve reaktif güçler.
min
PGi , PGimax: i barasna bal termik birimin, srasyla, aktif güç alt ve üst üretim snrlar.
min
QGi , QGimax: i barasna bal termik birimin, srasyla, reaktif güç alt ve üst üretim snrlar.
p : .l l iletim hattndan akan aktif güç.
max
pl : .l iletim hattnn aktif güç tama kapasitesi.
i j i j
g jb : i ve j baralar arasnda yer alan iletim hattnn seri admitans deeri. Bu admitans deeri, ri j jxi j seri empedansna sahip iletim hatt için gi j jbi j 1/
ri j jxi j
eklinde hesaplanabilir.
sh i sh i
g jb : i ve j baralar arasna bal olan hattn .i bara tarafndaki yar kapasitif süseptans deerleri ile bu baraya dardan bal önt admitans deerinin (eer varsa) toplam.
a : i ve i j baralar arasna bal olan hattn .i bara tarafna nominal d çevirme oranna sahip bir trafonun bal olmas
durumunda, bu trafoya ait nominal d çevirim oran.
p , i j q : i ve j baralar arasna bal olan hat üzerinden i i j barasndan j barasna akan, srasyla, aktif ve reaktif güçlerin
i baras snrndaki deerleri.
pj i
, qj i: i ve j baralar arasna bal olan hat üzerinden i barasndan j barasna akan, srasyla, aktif ve reaktif güçlerin j baras snrndaki deerleri.
, kayp i j
p : i ve j baralar arasnda yer alan iletim hattndaki aktif güç kayb.
, kayp l
p ; .l iletim hattndaki aktif güç kayb.
KAYIP
P ; elektrik enerji sistemindeki toplam aktif güç kayb.
U , i Gi; i barasnn, srasyla, gerilim genlii ve faz açs.
min
Ui , Uimax; i barasnn gerilim genliinin, srasyla, alt ve üst snrlar
N ; elektrik enerji sisteminin bara says
N ; üretim birimlerinin bal olduu baralar içeren set G
N ; i barasna dorudan bal baralar içeren set Bi
L; elektrik enerji sistemindeki tüm iletim hatlarn içeren set
7. Kaynaklar
[1] Kasimbeyli R., Ustun O., Rubinov A.M., “The Modified Subgradient Algorithm Based On Feasible Values”, Optimization, 2009, 58, (5), pp. 535-560.
[2] Chiang C.L., “Genetic-Based Algorithm For Power Economic Load Dispatch”, IET Gener. Transm. Distrib., 2007, 1, (2), pp. 261-269.
[3] Selvakumar A.I., Thanushkodi K., “A New Particle Swarm Optimization Solution To Nonconvex Economic Dispatch Problems”, IEEE Transactions On Power Systems 2007, 22, (1), pp. 42-51.
[4] Pothiya S., Ngamroo I., Kongprawechnon W.,
“Application Of Multiple Tabu Search Algorithm To Solve Dynamic Economic Dispatch Considering Generator Constraints”, Energy Conversion And Management, 2008, 49, pp. 506-516.
[5] Fadil S, Sarioglu GR. “An active and reactive power dispatch technique using pseudo spot price of electricity”, Electrical Machines and Power Systems 1998;26, (4):87-9.
[6] Coelho L.S., Mariani V.C., “Improved Differential Evolution Algorithms For Handling Economic Dispatch
Optimization With Generator Constraints”, Energy Conversion And Management, 2007, 48, pp.1631-1639.
[7] Somasundaram P., Lakshmiramanan R., Kuppusamy K.,
“Hybrid Algorithm Based On EP And LP For Security Constrained Economic Dispatch Problem”, Electric Power Systems Research, 2005, 76, pp.77–85.
[8] Farhat IA, El-Hawary ME. Interior point methods application in optimum operational scheduling of electric power systems. IET Gener. Transm. Distrib.
2009;3, (11):1020-10.
[9] Gasimov R.N., “Augmented Lagrangian Duality and Nondifferentiable Optimization Methods in Nonconvex Programming”, Journal of Global Optimization, 2002, 24, pp. 187–203.
[10] A. J. Wood, B. F. Wollenberg, Power Generation Operation & Control, Second Edition, John Wiley &
Sons, 1996.
[11] http://www.ee.washington.edu/research/pstca/
Ek A
Tablo 3: Üretim birimlerine ait veriler Bara
No (i)
max
PG i PG imin QG imax QG imin b i c i d i
1 332.4 0 10 -10 0 20 0.043
2 140 0 50 -40 0 20 0.25
3 100 0 40 0 0 40 0.01
6 100 0 24 -6 0 40 0.01
8 100 0 24 -6 0 40 0.01
( )
max
PG i MW , PG imin(MW , () QG imax MVAR , ) QG imin(MVAR , ) ( / )
b R h , ( /i c R MWh , i ) d R MW h i( / 2 )
Tablo 4: Baralardaki aktif ve reaktif güçler ile önt kapasitans deerleri.
Bara no
(i) PLoad i, QLoad i, Qshunt i,
1 0.0 0.0 0
2 21.7 12.7 0
3 94.2 19 0
4 47.8 -3.9 0
5 7.6 1.6 0
6 11.2 7.5 0
7 0.0 0.0 0
8 0.0 0.0 0
9 29.5 16.6 19
10 9 5.8 0 11 3.5 1.8 0 12 6.1 1.6 0 13 13.5 5.8 0 14 14.9 5 0
,( )
Load i
P MW , QLoad i,(MVAR), Qshunt i,(MVAR enjekte)
