DERS 6. Türev Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını

(1)

DERS 6 Türev

6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını

olarak tanımladığımızı anımsayalım.Aşağıdaki şekle bakarak bu oranı yorumlamağa çalışalım.

Eğim:

Yukarıdaki oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar ortalama değişim oranı (average rate of change) dır. Bu oran, aynı zamanda, (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimidir.

Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim.

Eğim :

h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir.

ile tanımlanan f ´(a) değerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi (derivative of f at x = a ) denir.

h a f h a

f( + )− ( )

y

x (a ,f(a))

a

(a+h , f(a+h))

a+h f(a)

f(a+h) _h

a f h a

f( + )− ( )

y

x (a , f(a))

a

(a+h , f(a+h))

a+h f(a)

f(a+h) h

a f h a

f( + )− ( )

( )

h

a f h a a f

f h

) ( ) lim (

' 0

−

= +

→

(2)

f ´(a) değeri f fonksiyonunun x = a daki anlık değişim oranını (instantaneous rate of change) verir.

Başka bir deyimle, f ´(a) değeri y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin eğimidir. Böylece, y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin denklemi

dir.

Örnek. f (x) = x² + 2 , f ´(1) = ?

Böylece, y = x² + 2 nin grafiğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki teğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3 ⇒ y = 2 x + 1

olur.

Her hangi bir f fonksiyonu için

ile tanımlanan f ´ fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir. Örneğimizde

Örnek. f (x) = |x + 2| , f ´(1) = ? , f ´(-2) = ?

Örnek. f (x) = c , f ´(x) = ?

y = f ´(a) (x - a) + f (a)

( )

h h

h

) 2 1 ( 2 ) 1 lim (

2 2

0

+

− +

= + h →

f h f f

h

) 1 ( ) 1 lim ( ) 1 (

' 0

−

= +

→

(

2

)

2 2 lim

lim 0

2

0 + = + =

= → → h

h h h

h h

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

( )

h x h

x h

x f h x x f

f

h x

) 2 ( 2 ) lim (

) ( ) lim (

) (

' ² ²

0 0

+

− +

= +

−

= +

→

→ 2 lim

(

2

)

2 .

lim

0 2

0 h x x

h xh h

h

h + = + =

= → →

1 2 lim

1 2 lim1

) 1 ( ) 1 lim ( ) 1 (

' 0 0 + + − + = 0 =

− =

= +

→

→ h

h h

f h f f

h h

h

h h

h

2 2 2 lim 2

0

+

−

− + +

= − h →

f h f f

h

) 2 ( ) 2 lim ( ) 2 (

' 0

−

− +

= −

− → lim YOK!

0 h h

=h→

0 0 lim ) lim

( ) lim (

) (

' = 0 + − = 0 − = 0 =

→

→ h h

c c h

x f h x x f

f h h h

(3)

Örnek. f(x)= x , f'(1)=?, f'(2)=?

Örnek. 1 ,

) (x x

f = f ´(1) = ? , f ´(x) = ?

Örnek. f (x) = x³ , f ´(x) = ?

Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi

varsa f fonksiyonu x te türevlenebilir (differentiable) denir.

f fonksiyonunun türevini hesaplama işlemine türev alma (differentiation) denir.

f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak (to differentiate) denir.

h h h

f h f f

h h

1 lim 1

) 1 ( ) 1 lim ( ) 1 (

' 0 0

−

= +

−

= +

→

2. 1 ) 1 1

lim ( 1 1

1 1

1 lim 1

0

0 =

+

= + + +

+

⋅ +

−

= +

→

→ h h

h h

h

h h

h h h

f h f f

h h

1 1 1 ) lim 1 ( ) 1 lim ( ) 1 (

' 0 0

+ −

− =

= +

→

( )

1 ¹^.

lim 1 1

) 1 lim1

0

0 =−

+

= − +

+

= −

→

→ h h h

h

h h

h x h x h

x f h x x f

f

h h

1 1 ) lim

( ) lim (

) (

' 0 0

+ −

− =

= +

→

( )

(

⁾

)

^lim

(

¹

)

¹^.

lim ₂

0

0 hx x h x x h x

h x x

h h

=− +

= − + +

= −

→

( )

h x h x h

x f h x x f

f

h h

3 3 0

0 ( ) ( ) lim

lim ) (

' + −

− =

= +

→

( ) ( ( ) ( ) )

h

x x h x h x x h x

h

2 2

lim0 + − + + + +

= →

( ) ( )

( )

₃ _.

lim ²

2 2

0 x

h

x x h x h x h

h + + + + =

= →

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

(4)

6.2. Türev Hesabı. Her hangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin

olduğunu anımsayalım. f´(x) yerine aşağıdaki gösterimler de kullanılır:

Sabit Fonksiyonun Türevi. f(x) = c , c sabit ⇒ f´(x) = 0. Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir:

Örnek. f(x) = 5 ⇒ f´(x) = 0 . Diğer gösterimle,

Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. f(x) = xⁿ , n ∈ R ⇒ f´(x) = nx^n-1 . Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir:

Örnek. f(x) = x5 ⇒ f´(x) = 5 x4 ; Örnek.

Örnek.

Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. y = k . f(x) ⇒ y´ = k . f´(x). Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir:

Örnek. f(x) = 3x5 ⇒ f´(x) = 3.5 x4 = 15 x4 , f(x) = 3x-2 ⇒ f´(x) = 3.(-2 )x-3 = -6x-3.

Örnek.

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

(

( )

)

,

(

( )

)

) , , (

,

' f x D f x

dx d dx

x df dx

y dy _x

. 0 ) (c = dx

d

. 0 ) 5

( =

dx d

. )

(xⁿ =nxⁿ⁻¹ dx

d

. 2 2

)

(x⁻² =− x⁻²⁻¹=− x⁻³ dx

d

( )

^.

2 1 2

1 2

1

2 1 2 1 2

1

x x x

dxx x d dx

d = = ⁻ = =

( )

¹ ¹ ² ² ¹₂

1)

( x x x x

dx d x dx

d = ⁻ =− ⁻ =− ⁻ =−

).

( ' )) (

(k f x k f x dx

d =

2 . 3 2

3 1 ) ( 3 ) 3

( x x x

dx x d

dx

d = = =

(5)

Toplam ve Farkın Türevi. y = u(x) ± v(x) ⇒ y´ = u´(x) ± v´(x) . Diğer gösterimle yazılırsa şu formüller elde edilir:

Örnek. f(x) = x⁵ + x^-2 ⇒ f´(x) = 5 x⁴ + (-2 )x^-3 .

Örnek. f(x) = x⁵ - x^-2 ⇒ f´(x) = 5 x⁴ - (-2 )x^-3 = 5 x4 +2x^-3

Elde edilen kuralları özetleyelim:

Örnek.

6.3. Türev ve Hız. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = f(x) denklemi ile verilmişse, bu nesnenin x = a anından x = a +h anına kadar ortalama hızı

ve x = a anındaki anlık hızı

dır.

).

( ' ) ( ' )) ( ) (

(u x v x u x v x dx

d + = + (u(x) v(x)) u'(x) v'(x).

dx

d − = −

( )

c =0 dx

d

( )

^x ⁼^nx ⁻¹ ^,ⁿ^<⁰^ise^x ^≠⁰

³ ^x² ² ⁶ ^x ⁰ ³^x² ¹²^x^.

dx

d − + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = −

h a f h a

f( + )− ( )

h a f h a a f

f

h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

(6)

Örnek. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = x³ - 6x² + 9 olarak veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz

a) x = 2 den x = 5 e kadar ortalama hız b) Anlık hız fonksiyonu

c) x = 2 ve x = 5 te hız d) hızın sıfır olduğu zamanlar.

Çözüm. a) 3

3 ) 7 ( 16 2

5

) 2 ( ) 5

( = − − − =−

−

− f f

b) f'(x)=3x²−12x

c) f'(2)=−12 , f'(5)=15.

d) .f'(x)=0⇒3x²−12x=0⇒ x=0veya x=4

Çarpımın Türevi. F ve S fonksiyonlar olmak üzere y = f(x) = F(x) · S(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi

formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları:

Örnek.

) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) (

' x F x S x F x S x

f = ⋅ + ⋅

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

=

⋅

⋅ +

⋅

= ' ' , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' F x

dx x d S x dxS x d F x S x dx F S d

F S F y

( ) ( )

( ) ( ) ( )

64 6 6 ) ( '

5 6 2

6 2 9 2 ) ( '

5 6 9

2 ) (

2

2 2

− +

=

⇒

− +

⋅ + +

⋅

−

=

⇒

− +

⋅

−

=

x x x f

x x x

x x f

x x x

x f

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 12 15

5 3 1 12 1 5

3 1

3 4

4 3

4

− +

=

−

⋅ +

⋅

−

=

−

⋅

−

x x

dx x d

(

⁵ ⁴

) (

² ⁴ ⁷

)

^, ^'⁽ ⁾ ^?

)

x

f'( )= 5 +4 ⋅ 21 ²⁰+12 ²+7 +5⋅ ²¹+4 ³+7 28 70 48

80 84

110 ) (

' x = x²¹+ x²⁰+ x³+ x²+ x+ f

(7)

Örnek.

Bölümün Türevi. T ve B fonksiyonlar olmak üzere

) (

) ) (

( B x

x x T

f = denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi

formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları şöyledir:

Örnek.

Bileşke Fonksiyonları(Composite Functions). f , g ve m fonksiyonları için m(x) = f(g(x))

ise, m fonksiyonuna f ve g nin bileşke fonksiyonu denir.

( ) ( )

) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ' (

' B x

x B x T x B x x T

f = ⋅ − ⋅

2

2 ( )

) , (

' ' '

B dx T dB dx BdT

x B

x T dx

d B

B T B y T

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

−

= ⋅

) 1

( ₃

2

+

= − x

x x x

f

( ) ( ) ( )

(

³

)

²

2 2

3

1

3 1

1 ) 2

(

' +

⋅

−

− +

⋅

= −

⇒

x

x x x x

x x

f

(

³

)

²

3 4

1 1 2 2

+

− + +

= −

x

x x x

? ) ( ' 1 ,

)

( ³ ₂ ² =

+

−

= + f x

x x x x x

f

( ) ( ) ( )

( ) (

²

)

²

2 4 2 2

2 3 2

2

1 1 2 4 1

2 1

1 2 ) 3

(

' +

− +

= + +

⋅

− +

⋅

−

= +

x

x x x x

x x x x x

x x x

f

? ) ( ' 3 ,

) 1

( ₅ ₂ =

+

−

= + f x

x x x x f

( ) ( )

(

⁵ ²

)

²

4 2

5

3

) 2 5 ( 1 3

) 1 (

' − +

−

⋅ +

− +

−

= ⋅

x x

x x x

f ₅ ₂ ₂

2 4 5

) 3 (

3 2 5

4

+

−

+ + +

−

=−

x x

x x x x

(8)

f ve g nin bileşkesi olan m nin tanım kümesi, g nin tanım kümesinde olan ve g(x) değeri de f nin tanım kümesinde olan tüm x sayılarıdır:

{x ∈ R : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}.

Örnek. f (x) = x¹⁰ , g(x) = (2x + 1 ) için m(x) = (2x + 1 )¹⁰. m fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir.

Örnek. f (x) = ln x , g(x) = 3x + 2 için m(x) = ln (3x+2) dir. m fonksiyonunun tanım kümesi 3x+2 > 0 olan tüm x sayılarının kümesi, yani (-2/3 , ∝ ) dur.

Örnek. İçin

Zincir Kuralı(Chain Rule). y = f (u) ve u = g(x) ise, y = m(x) = f(g(x))

bileşke fonksiyonunun türevi ( f ´(g(x)) ve g´(x) var olmak koşuluyla) y ´ = m´(x) = f ´(g(x)) · g´(x)

dir. Diğer gösterimle

Örnek. m(x) = (2x + 1 )¹⁰. m´ (x) = ?

Burada f(u) = u¹⁰ , g(x) = (2x + 1 ) . m(x) = f(g(x)) = (2x + 1 )¹⁰ . Böylece, m´ (x) = f

´(g(x)) · g´(x) = 10·(2x+1)⁹·2 = 20·(2x+1)⁹. Örnek.

Burada, Böylece,

Örnek.

v v h x

x g e u

f( )= ^u , ( )=3 ²+1, ( )=

( ) ( )

. 1 3 ) ( )) ( (

. 1 3 1 3

1 ) ( 3 )) ( (

. ))

( (

2 2 2 2

1 3 )

( ²

+

=

+

= +

=

= ⁺

x x

g x

g h

e e

u f u

f g

e e x g f

u u

x x g

dx. du du dy dx dy = ⋅

(

³^x² ^{− x}⁴ ⁺⁵

)

⁼^?

dx d

. 5 4 3

, = ²− +

= u u x x

y

( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

^.

5 4 3 2

4 4 6

2 6 5 1

4

3 2

2

+

−

= −

−

=

⋅

=

= +

−

x x x x

dx u du du dy dx x dy

dx x d

( )

(

³^x²^{− x}⁴ ⁺⁵¹²

)

⁼^?

dx

d y=u¹² , u=3x²−4x+5.

(9)

Örnek.

Türev hesabına birkaç örnek daha verelim:

( )

dx du du dy dx x dy

dx x

d 3 ²−4 +5¹² = = ⋅ =12u¹¹⋅(6x−4)

(

³ ⁴ ⁵

)

⁽⁶ ⁴⁾

12 ²− + ¹¹⋅ −

= x x x

(

³ ³^x²^{− x}⁴ ⁺⁵

)

⁼^?

dx d

. 5 4 3

, ²

3 1

+

−

=

=u u x x

y

(

²

)

¹³

3 3x2−4x+5= 3x −4x+5

( )

dx du du dy dx x dy

dx x

d ⎟= = ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 ²−4 +5³¹ (6 4)

3

1 ₃²⋅ −

= u⁻ x

(

³ ⁴ ⁵

)

⁽⁶ ⁴⁾

3

1 3

2− + 2⋅ −

= x x ⁻ x

(

³ ² ⁴ ⁵

)

³²

3

4 6

+

−

= −

x x

x

( )

3 3 2 4 52

3

4 6

+

−

= −

x x

x

( ) ( )

( )

_.

2 2

4 5 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1

2 2 2 ) 2 2 2

2

2 2

2 2 2

+

= + + + +

= +

+

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

= +

+ +

+

= +

x x x x

x x x

x

x x x

x

x x dx x

x d x

dx x d

( ) ( ) ( )

( )

( ) (

3 2

)

^.

6 3 2

3

3 2 2

3 3

2 3

3 2 3 2 2

3 3 2

3

3 2 3 3

3 2

4 2 3 2

2 3

−

= −

−

⋅

−

= ⋅

−

⋅

−

⋅

−

= ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

x x x x

x x

x

x x x

x x

x dx

d

( ) (

⁴

(

²

) )

¹²

⁽

²

⁾

² ²⁴

⁽

²

⁾

^.

2

4 2 3 2 4 2 4

2 3

−

− =− − ⋅ =− −

−

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− x x x x x

dx d dx x

d

(10)

6.4. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri. Doğal Logaritma fonksiyonunun türevi ile başlayalım.

Şimdi, üstel fonksiyonun türevini zincir kuralı yardımıyla bulabiliriz:

olduğunu kullanalım.

y = ln u , u = e

^x alınırsa,

Zincir kuralı ile birleştirilirse , ln )

(x x

f =

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

h x h

x

x h x

x h x x x

h x h x x

x h x h h

x h x

h x h x h

x f h x f

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− =

= +

− +

1 1ln 1ln

1 ln

1ln ln ln

) ( ln ) ( ) (

∞

→

⇒

→

⎟⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= → t h t

h x x

f ^h

x

h 1ln 1 , , 0

lim ) (

' 0

1. 1ln

1 1 lim 1ln 1 1

1ln lim ) (

' e x

x t

x x f

t t

t

t ⎟⎟= =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= →∞ →∞

( ) x x dx

d 1

ln =

x x e = ln

( )

⁼ ⁼ ^⇒

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⇒

=

x x

e u dx e

d

dx e d u dx

du du dy dx

x dy e u

y 1 1

1 1

ln ln

( )

^e^x ^e^x

dx

d =

( )

dx

du u u

dx

d =1⋅

ln

( )

dx e du dx e

d u = u⋅

(11)

Örnek.

in türevi:

in türevi :

Örnekler.

( )

(

^ln ^x²⁻⁴^x⁺³

) (

⁼ ^x²⁻⁴¹^x⁺³

)

^⋅

⁽

²^x⁻⁴

⁾

dx d

u dx

du

( ^e

² ³⁺⁵

) ⁼ ^e

² ³⁺⁵

^⋅ ( ⁶ ^x

²

⁺ ⁵ )

dx

d

_x _x _x _x

u _dx

du

b

x

y =

( ) ( )

^ln ^ln ^.

ln ln

ln

b b b e

dx e b d

dx d

e y b

x y b

y b

y

x b

x b x x

b x x

x

=

⋅

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

( )

^b ^b ^b

dx

d _x _x

= ln

x y = log

_b

( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

b x x

dx x d

dx b d x

dx x b d b

dx b x d

b

b b

b x

x

x _b _b

b

ln log 1

1 log

ln

1 log

ln

1 ^log

log log

= ⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⇒

=

( )

b x x

dx d

b ln

log 1

= ⋅

( )

(

^log³ ^x²⁻⁴^x⁺³

) (

⁼ ^x²⁻⁴^x¹⁺³

)

^⋅^ln³^⋅

⁽

²^x⁻⁴

⁾

dx d

( )

³ ³⁺⁵ ⁼³ ³⁺⁵ ^⋅^ln³^⋅

⁽

³^x²⁺⁵

⁾

dx

d x x x x

( ( ) ) ^{( )} ^{( ) ( )}

x x x

dx x d dx x

d 3 2 3ln ²

ln ln

3

ln = ⋅ =

(

^x² ²^x

)

²^x ²^x^ln²

dx

d + = +

(12)

Problemler 6

1. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.

a) f(x) = 12 için f´(x) b) y = π için y´ c) y = x⁵ için dy dx ç) (5x⁶)

dx

d d) 1 )

2

( ³ ₇

x dx x

d + e) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

3 2

10 dx x

d

f) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛3x²³ −5x¹³ dx

d g) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 15

x5

dx

d h) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⁻ − 6 +7

2 3 2

3

x dx x

d

2. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.

a) f(x) = (x² – 3x + 4 x )(x-2) için f´(x) b) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − +

2 3

5 4 2

x x x x dx

d

c) f(x) = 2x³(x² –2) için f´(x) ç)

3 ) 2

( ²

−

= + x x x

f için f´(x)

3. y=f(x) in grafiğine x = 2 de teğet olan doğrunun denklemini yazınız.

a) f(x)=(1+3x)(5−2x) b)

4 3 ) 8

( −

= − x x x

f c)

3 ) 2

( ²

−

= + x x x f

(13)

4. Aşağıda verilen fonksiyonların grafikleri üzerindeki hangi noktalarda teğet doğruları yataydır?

a) f(x)= x(2 −1)³ b) f(x) =(x+3)(x²−45) c) f(x)= x²(2x−15)³

5. Y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman saniye ile ve uzaklık santimetre ile ölçülsün) bulunduğu noktanın ordinatı f(x)=2x⁴ −8x³+7 olarak veriliyor.

a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz.

b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz.

c) Hızın sıfır olduğu an(lar)ı bulunuz.

6. Zincir Kuralı kullanarak f´(x) i hesaplayınız.

a) f(x)= x(2 +5)³ b) f(x)= x(3 ²+5)⁵ c) f(x) = x(2 +5)⁻³ ç) f(x)=³3x+4

7. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız

a) ((x² −1)¹²(2x+3)²¹) dx

d b) )

7 2

) 2 ((

4 3

+ + x x dx

d

8. f(x)=(x³+2x−3)⁷ olduğuna göre f fonksiyonunun grafiğine (1,0) noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazınız.