ii. Elde edilen eşitlikte logaritma ve çarpım türev kuralı uygulanarak her iki tarafın x e göre türevi alınır

ÜSLÜ KUVVET FONKSİYONUNUN TÜREVİ

𝑢(𝑥) ve 𝑣(𝑥) herhangi bir aralıkta tanımlanmış fonksiyonlar ve 𝑢(𝑥) > 0 olsun. Bu takdirde 𝑦 = [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥) fonksiyonuna üslü kuvvet fonksiyonu denir. Eğer 𝑢(𝑥) ve 𝑣(𝑥) türevlenebilirse, o zaman 𝑦 = [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥) fonksiyonu da türevlenebilirdir. Bu türevi bulmak için uygulanacak olan algoritma:

i. Her iki tarafın logaritması alınır.

ii. Elde edilen eşitlikte logaritma ve çarpım türev kuralı uygulanarak her iki tarafın 𝑥’e göre türevi alınır

iii. İkinci adımda elde edilen eşitlikten 𝑦^′ türevi çekilerek istenen türev hesaplanır.

𝑦 = [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥) ⇒ 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛([𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥)) = 𝑣(𝑥)𝑙𝑛[𝑢(𝑥)]

𝑦′

𝑦 = 𝑣^′(𝑥)𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] + 𝑣(𝑥)^{𝑢′(𝑥)}

𝑢(𝑥) ⇒ 𝑦^′= 𝑦 [𝑣^′(𝑥)𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] + 𝑣(𝑥)^{𝑢′(𝑥)}

𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑦^′= [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥)[𝑣^′(𝑥)𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] + 𝑣(𝑥)^{𝑢′(𝑥)}

𝑢(𝑥)] (1) bulunur. Bu formüle üslü kuvvet fonksiyonunun türev formülü adı verilir.

Örnek:1 Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.

a) 𝑦 = 𝑥^𝑥 b) 𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)^{𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥} c) 𝑦 = (𝑐𝑜𝑠𝑥)^{𝑠𝑖𝑛𝑥} d) 𝑦 =^{(𝑙𝑛𝑥)𝑥}

𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)} e) 𝑦 = 𝑥^(𝑥𝑥) Çözüm a) 𝑦 = 𝑥^𝑥 , 𝑢(𝑥) = 𝑥 ve 𝑣(𝑥) = 𝑥 dersek, verilen fonksiyon 𝑦 = [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥) formundadır. Bu sebeple türevini Eşitlik (1) uygulanarak bulunabilir. 𝑢^′(𝑥) = 1 ve 𝑣^′(𝑥)= 1 olduğundan Eşitlik (1) gereğince;

𝑦^′= [𝑢(𝑥)]^𝑣(𝑥)[𝑣^′(𝑥)𝑙𝑛[𝑢(𝑥)] + 𝑣(𝑥)^{𝑢′(𝑥)}

𝑢(𝑥)] = 𝑥^𝑥[𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 ∗¹

𝑥] = 𝑥^𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) olarak bulunur.

b) 𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)^{𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥} fonksiyonunun türevi için yukarıda verilen algoritmayı uygulayalım.

𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛[(𝑠𝑖𝑛𝑥)^{𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥}] = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥[𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥)] ⇒ 𝑦^′

𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)^′[𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥)] + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥[𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥)]^′= 1

√1 − 𝑥²[𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥)] + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑦^′= (𝑠𝑖𝑛𝑥)^{𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥}[^{𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥)}

√1−𝑥² + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥] olarak bulunur.

c) 𝑦 = (𝑐𝑜𝑠𝑥)^{𝑠𝑖𝑛𝑥} ⇒ 𝑙𝑛𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥[𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)] ⇒ ^𝑦′

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥[𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)] + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∗ (^{−𝑠𝑖𝑛𝑥}

𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦^′= (𝑐𝑜𝑠𝑥)^{𝑠𝑖𝑛𝑥}[𝑐𝑜𝑠𝑥[𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)] − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝑥] bulunur.

d)

𝑦 =

𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)}

⇒ 𝑦

=

′

[𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)}]²

……(*)

𝑦₁ = (

𝑙𝑛𝑥

𝑙𝑛𝑦

= 𝑥𝑙𝑛(𝑙𝑛𝑥) ⇒

𝑦₁

= ln(𝑙𝑛𝑥) + 𝑥 ∗

𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑦₁^′ = [(

𝑙𝑛𝑥

(𝑙𝑛𝑥)

[ln(𝑙𝑛𝑥) +

𝑙𝑛𝑥

]

𝑦₂ =

𝑥

𝑙𝑛𝑦

= (𝑙𝑛𝑥) ∗ (𝑙𝑛𝑥) ⇒

𝑦₂

=

𝑥

∗(𝑙𝑛𝑥) + 𝑙𝑛𝑥 ∗

𝑥 ⇒ 𝑦₂^′ = [

𝑥

𝑥

[

𝑥

] =

𝑥 ….(ii)

(i) ve (ii) sonuçları (*) ifadesinde yerlerine yazılırsa;

𝑦

=

𝑥[ln(𝑙𝑛𝑥)+ ¹

𝑙𝑛𝑥]∗𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)}−(𝑙𝑛𝑥)^𝑥[2𝑥(𝑙𝑛𝑥)∗(𝑙𝑛𝑥)

𝑥 ]

[𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)}]²

=

𝑥^{(𝑙𝑛𝑥)}

[ln(𝑙𝑛𝑥) +

𝑙𝑛𝑥

−

𝑥

]

bulunur.

e) 𝑦 = 𝑥^(𝑥𝑥) ⇒ 𝑙𝑛𝑦 = (𝑥^𝑥) ∗ 𝑙𝑛𝑥 ⇒ ^𝑦′

𝑦 = (𝑥^𝑥)^′∗ 𝑙𝑛𝑥 + (𝑥^𝑥) ∗ (𝑙𝑛𝑥)^′ olup, (a) şıkkından (𝑥^𝑥)^′= 𝑥^𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) olduğu dikkate alınırsa, 𝑦^′= 𝑦 [𝑥^𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) ∗ 𝑙𝑛𝑥 + (𝑥^𝑥) ∗¹

𝑥] ⇒ 𝑦^′= 𝑥^(𝑥𝑥)[𝑥^𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) ∗ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥^𝑥−1] = 𝑥^(𝑥𝑥)∗ 𝑥^𝑥−1[𝑥𝑙𝑛𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) + 1]

𝑦^′= 𝑥^{(𝑥𝑥)+𝑥−1}[𝑙𝑛𝑥^𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) + 1] şeklinde elde edilir.

Soru: Verilen türev alma algoritmasını kullanarak aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz?

a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) (Y.G. 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = ^𝑙𝑛𝑏

𝑙𝑛𝑎 dır) b) 𝑦 = 𝑥⁵√ ^𝑥2

𝑥²+4

3 c) 𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)^𝑥2

(Cevap: a) 𝑦^′= ¹

𝑙𝑛[𝑢(𝑥)][^{𝑣(𝑥)′}

𝑣(𝑥) −^{𝑢(𝑥)′}

𝑢(𝑥) ∗^{𝑙𝑛[𝑣(𝑥)]}

𝑙𝑛[𝑢(𝑥)]] b) 𝑦^′ =^{𝑥4(15𝑥2+68)}

3(𝑥²+4) ∗ √ ^𝑥2

𝑥²+4

3

c) 𝑦^′= 𝑥(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)^𝑥2[2𝑙𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥) + ^𝑥

(1+𝑥²)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥] )

BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ

Tanım:1 𝑓: [𝑎 , 𝑏] → 𝐼𝑅 şeklinde tanımlı 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonu, ∀𝑥 ∈ (𝑎 , 𝑏) için türevlenebilen bir fonksiyon olsun. 𝑓^′(𝑥) =^𝑑𝑦

𝑑𝑥 olmak üzere, 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 ifadesine, 𝑓 fonksiyonunun 𝑥 ∈ (𝑎 , 𝑏) noktasındaki veya (𝑎 , 𝑏) aralığındaki diferansiyeli denir.

Örnek:2 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛²(3𝑥) fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz?

Çözüm Verilen fonksiyon 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛²(3𝑥) olup, 𝐷(𝑓) = 𝐼𝑅’dir. Tanım gereğince

∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 için fonksiyonun diferansiyeli;

𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑠𝑖𝑛²(3𝑥))^′𝑑𝑥 = 2 sin(3𝑥) (sin(3𝑥))^′𝑑𝑥 = 3 × 2 sin(3𝑥) cos(3𝑥) 𝑑𝑥 = 3 sin(6𝑥) 𝑑𝑥

olarak elde edilir.

Örnek:3 Aşağıdaki fonksiyonlar için verilen 𝑥 noktasındaki ∆𝑥 değişken artışına karşılık, fonksiyon artışını ve fonksiyonun diferansiyelini bulunuz?

a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥³, 𝑥 = 1 , ∆𝑥 = 𝑑𝑥 = 0,2 b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥^3/2 , 𝑥 = 4 , ∆𝑥 = 𝑑𝑥 = 0,1 Çözüm a) Fonksiyon artışı: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)³− 𝑥³ = 𝑥³+ 3𝑥²∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)²+ (∆𝑥)³− 𝑥³ = 3𝑥(𝑥 + ∆𝑥)∆𝑥 + (∆𝑥)³ olup, , 𝑥 = 1 , ∆𝑥 = 0,2 için ∆𝑦 = 0,728 bulunur.

Fonksiyonun diferansiyeli: 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 = 3𝑥²𝑑𝑥 olup, , 𝑥 = 1 , 𝑑𝑥 = 0,2 için 𝑑𝑦 = 0,6 bulunur.

b) Fonksiyon artışı: ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)³²− 𝑥³² = [𝑥 (1 +^∆𝑥

𝑥)]

3

2− 𝑥³² = 𝑥

3

2(1 +^∆𝑥

𝑥)

3 2− 𝑥

3 2 = 𝑥

3

2 [(1 +^∆𝑥

𝑥)

3

2− 1] olup, 𝑥 = 4 , ∆𝑥 = 0,1 için ∆𝑦 = 0,301864 bulunur.

Fonksiyonun diferansiyeli: 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 =³

2𝑥^1/2𝑑𝑥 olup, , 𝑥 = 4 , 𝑑𝑥 = 0,1 için 𝑑𝑦 = 0,3 bulunur.

Bu örnekten de görüldüğü üzere genellikle ∆𝑦 ≠ 𝑑𝑦 dir.

Tablo:1 Diferansiyel Hesaplama Kuralları [𝑢 = 𝑢(𝑥) ve 𝑣 = 𝑣(𝑥) fonksiyonları 𝑥 noktasında diferansiyellenebilir fonksiyonlar, yani 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 ve 𝑑𝑣 = 𝑣^′(𝑥)𝑑𝑥 ve 𝛼𝜖𝐼𝑅 bir sabit olsun.]

Sıra Fonksiyon Diferansiyeli

1 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 ± 𝑑𝑣 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑣^′(𝑥)𝑑𝑥

2 𝑦 = 𝑢. 𝑣 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑣

3 𝑦 = 𝛼𝑢 𝑑𝑦 = 𝛼𝑑𝑢

4 𝑦 = 𝑢/𝑣 ,𝑣 ≠ 0 𝑑𝑦 = ^{𝑣𝑑𝑢−𝑢𝑑𝑣}

𝑣²

5 𝑦 = (𝑢𝑜𝑣)(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)) 𝑑𝑦 = 𝑦_𝑥^′𝑑𝑥 = 𝑦_𝑢^′. 𝑢_𝑥^′𝑑𝑥 = 𝑦_𝑢^′𝑑𝑢

6 𝑦 = 𝛼 (sabit) 𝑑𝑦 = 0

7 𝑦 = 𝑢^𝛼 𝑑𝑦 = 𝛼𝑢^𝛼−1𝑑𝑢

8 𝑦 = 𝑢^1/2 , (𝛼 =¹

2) 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

2√𝑢

9 𝑦 = 𝑎^𝑢 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑑𝑦 = 𝑎^𝑢(𝑙𝑛𝑎)𝑑𝑢

10 𝑦 = 𝑒^𝑢 𝑑𝑦 = 𝑒^𝑢𝑑𝑢

11 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑢 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑑𝑦 = ^{𝑙𝑜𝑔𝑎𝑒}

𝑢 𝑑𝑢 = ¹

𝑢𝑙𝑛𝑎𝑑𝑢

12 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

𝑢

13 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢

14 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑦 = −𝑠𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢

15 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠²𝑢

16 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑑𝑦 = − ^𝑑𝑢

𝑠𝑖𝑛²𝑢

17 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

√1−𝑢²

18 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑦 = − ^𝑑𝑢

√1−𝑢²

19 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

1+𝑢²

20 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑑𝑦 = − ^𝑑𝑢

1+𝑢²

Örnek:4 Aşağıda verilen fonksiyonların diferansiyellerini bulunuz?

a) 𝑦 = √𝑒^2𝑥+ 𝑥² b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₃(𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 2) c) 𝑦 = cosh (𝑐𝑜𝑠𝑥) d) 𝑦 =^𝑥

3√4 − 𝑥²−²⁵

3 arccos ( ^𝑥

2 ) e) 𝑦 = ¹

2𝑎𝑙𝑛 (^𝑥−𝑎

𝑥+𝑎) f ) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒^2𝑥)

Çözüm a) 𝑦 = √𝑒^2𝑥+ 𝑥² , 𝑢 = 𝑒^2𝑥+ 𝑥² dersek, 𝑦 = √𝑢 olur. Bu durumda verilen fonksiyonunu diferansiyeli formül (8) gereğince; 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

2√𝑢 ve 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑒^2𝑥+ 2𝑥)𝑑𝑥 olduğundan, 𝑑𝑦 = ^{2𝑒2𝑥+2𝑥}

2√𝑒^2𝑥+𝑥²𝑑𝑥 = ^{𝑒2𝑥+𝑥}

√𝑒^2𝑥+𝑥²𝑑𝑥 bulunur.

b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₃(𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 2), 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 2 dersek 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₃𝑢 olur. Bu durumda verilen fonksiyonun diferansiyeli formül (11) gereğince; 𝑑𝑦 =^{𝑙𝑜𝑔𝑎𝑒}

𝑢 𝑑𝑢 , (𝑎 = 3)ve 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = sin (2𝑥)𝑑𝑥 olduğundan, 𝑑𝑦 = ^{sin (2𝑥)}

𝑠𝑖𝑛²𝑥+2𝑙𝑜𝑔₃𝑒𝑑𝑥 elde edilir.

c) 𝑦 = cosh (𝑐𝑜𝑠𝑥), 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 dersek, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢 olur. Bu durumda fonksiyonun diferansiyeli tanım gereğince, 𝑑𝑦 = (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢)′𝑑𝑢 ve 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 olduğundan,

𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑢𝑑𝑢 = sinh(𝑐𝑜𝑠𝑥) (−𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 bulunur.

d) 𝑦 =^𝑥

3√4 − 𝑥² −²⁵

3 arccos ( ^𝑥

2 ) , 𝑢 =^𝑥

3√4 − 𝑥² ve 𝑣 =²⁵

3 arccos ( ^𝑥

2 ) dersek, 𝑦 = 𝑢 − 𝑣 olur. O zaman formül (1) gereğince 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 − 𝑑𝑣 olup, 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 = [^√4−𝑥2

3 +

𝑥 3

(−2𝑥

2√4−𝑥²] 𝑑𝑥 =¹

3[√4 − 𝑥²− ^𝑥2

√4−𝑥²] 𝑑𝑥 =¹

3[^{4−𝑥2−𝑥2}

√4−𝑥² ] 𝑑𝑥 =²

3 (2−𝑥²)

√4−𝑥²𝑑𝑥 ve 𝑑𝑣 = 𝑣^′(𝑥)𝑑𝑥 =

25

3 (− ^1/2

√1−(𝑥/2)²) 𝑑𝑥 = −²⁵

6 1

√1−^𝑥2 4

𝑑𝑥 = −²⁵

6 2

√4−𝑥²𝑑𝑥 = − ²⁵

3√4−𝑥²𝑑𝑥 olduğundan, 𝑑𝑦 = ²

3 (2−𝑥²)

√4−𝑥²𝑑𝑥 − (− ²⁵

3√4−𝑥²𝑑𝑥) =¹

3(^4−2𝑥_√4−𝑥²⁺²⁵₂ ) 𝑑𝑥 =^29−2𝑥2

3√4−𝑥² 𝑑𝑥 bulunur.

e) 𝑦 = ¹

2𝑎𝑙𝑛 (^𝑥−𝑎

𝑥+𝑎), 𝑢 = 𝑙𝑛 (^𝑥−𝑎

𝑥+𝑎) dersek 𝑦 = ¹

2𝑎𝑢 olur. Bu durumda formül (3) gereğince 𝑑𝑦 = ¹

2𝑎𝑑𝑢 ve 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 =⁽

𝑥−𝑎 𝑥+𝑎)^′ (^𝑥−𝑎_𝑥+𝑎)𝑑𝑥 =

𝑥+𝑎−𝑥+𝑎 (𝑥+𝑎)2

(^𝑥−𝑎_𝑥+𝑎) 𝑑𝑥 = ^{2𝑎(𝑥+𝑎)}

(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)²𝑑𝑥 = ^2𝑎

𝑥²−𝑎²𝑑𝑥 olduğundan; 𝑑𝑦 = ¹

2𝑎 2𝑎

𝑥²−𝑎²𝑑𝑥 = ^𝑑𝑥

𝑥²−𝑎² bulunur.

f ) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒^2𝑥), 𝑢 = 𝑒^2𝑥 dersek 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 olur. Bu durumda formül (19) gereğince 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢

1+𝑢² ve 𝑑𝑢 = 𝑢^′(𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑒^2𝑥𝑑𝑥 olduğundan; 𝑑𝑦 = ^2𝑒2𝑥

1+(𝑒^2𝑥)²𝑑𝑥 = ^2𝑒2𝑥

1+𝑒^4𝑥𝑑𝑥 bulunur.

Örnek:5 Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini bulunuz.

a) 𝑦 = (2𝑥 + 3)³ d) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛²(5𝑥 + 𝜋) g) 𝑦 = 𝑙𝑛²𝑥 − ln (𝑙𝑛𝑥)

b) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛³(5𝑥 + 2) e) 𝑦 = 5^{√3𝑥2−𝑥+1}

h) 𝑦 = sin(3𝑥) cos (2𝑥)

c) 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥²) f) 𝑦 = 𝑙𝑛|𝑥|

ı) 𝑦 = −𝑐𝑜𝑡²(^𝑥

2) − 2𝑙𝑛 (𝑠𝑖𝑛 (^𝑥

2)) Çözümler

a) 𝑦 = (2𝑥 + 3)³ ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = 3(2𝑥 + 3)². 2𝑑𝑥 = 6(2𝑥 + 3)²𝑑𝑥 bulunur.

b) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛³(5𝑥 + 2) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛²(5𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠(5𝑥 + 2). 5𝑑𝑥 = 15𝑠𝑖𝑛²(5𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠(5𝑥 + 2)𝑑𝑥 bulunur.

c) 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥²) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = [𝑐𝑜𝑠(𝑥²) + 𝑥. 2𝑥(−𝑠𝑖𝑛(𝑥²))]𝑑𝑥 = [𝑐𝑜𝑠(𝑥²) − 2𝑥²𝑠𝑖𝑛(𝑥²)]𝑑𝑥bulunur.

d) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛²(5𝑥 + 𝜋) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛(5𝑥 + 𝜋) ⁵

𝑐𝑜𝑠²(5𝑥+𝜋)𝑑𝑥 =10𝑡𝑎𝑛(5𝑥+𝜋) 𝑐𝑜𝑠²(5𝑥+𝜋) 𝑑𝑥 =

10𝑠𝑖𝑛(5𝑥+𝜋)

𝑐𝑜𝑠³(5𝑥+𝜋) 𝑑𝑥 =10[sin(5𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜋)+𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜋)]

[𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜋)−𝑠𝑖𝑛(5𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜋)]³ 𝑑𝑥 =^{−10𝑠𝑖𝑛(5𝑥)}

−𝑐𝑜𝑠³(5𝑥) 𝑑𝑥 = ^{10𝑠𝑖𝑛(5𝑥)}

𝑐𝑜𝑠³(5𝑥) 𝑑𝑥 bulunur.

e) 𝑦 = 5^{√3𝑥2−𝑥+1} ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = ^(6𝑥−1)

2√3𝑥²−𝑥+15^{√3𝑥2−𝑥+1}(𝑙𝑛5)𝑑𝑥 =(𝑙𝑛5)(6𝑥−1)5^{√3𝑥2−𝑥+1} 2√3𝑥²−𝑥+1 𝑑𝑥 f) 𝑦 = 𝑙𝑛|𝑥|,

|𝑥| = {𝑥 , 𝑥 > 0

−𝑥 , 𝑥 < 0 olduğundan 𝑦 = 𝑙𝑛|𝑥| = {𝑙𝑛𝑥 , 𝑥 > 0

𝑙𝑛(−𝑥) , 𝑥 < 0 yazılabilir. Buna göre;

𝑥 > 0 ise; 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = ¹

𝑥𝑑𝑥 olur.

𝑥 < 0 ise; 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 = ⁻¹

−𝑥𝑑𝑥 = ¹

𝑥𝑑𝑥 olur.

g) 𝑦 = 𝑙𝑛²𝑥 − ln (𝑙𝑛𝑥) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 ….(*)

Önce fonksiyonun türevini bulalım. 𝑦^′= 2𝑙𝑛𝑥(𝑙𝑛𝑥)^′−^{(𝑙𝑛𝑥)′}

𝑙𝑛𝑥 =^{2𝑙𝑛𝑥}

𝑥 − ¹

𝑥𝑙𝑛𝑥= ^{2𝑙𝑛2𝑥−1}

𝑥𝑙𝑛𝑥 olup, bu sonuç (*) eşitliğinde yerine yazılırsa, 𝑑𝑦 =^{2𝑙𝑛2𝑥−1}

𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 elde edilir.

h) 𝑦 = sin(3𝑥) cos (2𝑥) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 ….(*)

𝑦^′= 3𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(3𝑥)[−2𝑠𝑖𝑛(2𝑥)] = 3𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑠𝑖𝑛(3𝑥)𝑠𝑖𝑛(2𝑥) olup, bu sonuç (*) eşitliğinde yerine yazılırsa;

𝑑𝑦 = [3𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑠𝑖𝑛(3𝑥)𝑠𝑖𝑛(2𝑥)]𝑑𝑥 elde edilir.

ı) 𝑦 = −𝑐𝑜𝑡²(^𝑥

2) − 2𝑙𝑛 (𝑠𝑖𝑛 (^𝑥

2)) ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑦^′𝑑𝑥 ….(*) Önce fonksiyonun türevini bulalım.

𝑦^′= −2𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) [𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2)]^′− 2^{(𝑠𝑖𝑛(}

𝑥 2))

′

𝑠𝑖𝑛(^𝑥₂) = −2𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) [−

1 2

𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂)] − 2

1 2𝑐𝑜𝑠(^𝑥

2)

𝑠𝑖𝑛(^𝑥₂) = ^{𝑐𝑜𝑡(}

𝑥 2) 𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂)−

𝑐𝑜𝑠(^𝑥₂)

𝑠𝑖𝑛(^𝑥₂) = ^{𝑐𝑜𝑡(}

𝑥 2)

𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂)− 𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) = 𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) [ ¹

𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂)− 1] = 𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) [^{1−𝑠𝑖𝑛}

2(^𝑥₂)

𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂) ] = 𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2)^𝑐𝑜𝑠

2(^𝑥₂) 𝑠𝑖𝑛²(^𝑥₂) = 𝑐𝑜𝑡 (^𝑥

2) 𝑐𝑜𝑡²(^𝑥

2) = 𝑐𝑜𝑡³(^𝑥

2) olup, bu sonuç (*) eşitliğinde yerine yazılırsa;

𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑡³(^𝑥

2) 𝑑𝑥 olarak bulunur.

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREV ve DİFERANSİYEL

Bu bölümde verilen bir fonksiyonun yüksek mertebeden türevi ve diferansiyeli tanımlanarak örnek problemler çözülecektir.

Tanım:2 𝐴 ⊂ 𝐼𝑅, 𝑓: 𝐴 → 𝐼𝑅 fonksiyonu 𝑦 = 𝑓(𝑥) şeklinde verilsin. Bu fonksiyonun bir 𝑥₀ ∈ 𝐴 noktasında (𝑛 − 1)-nci mertebeden türevi ve lim

∆𝑥→0

𝑓^(𝑛−1)(𝑥0+∆𝑥)−𝑓^(𝑛−1)(𝑥0)

∆𝑥 limiti varsa, bu limit değerine 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑥₀ noktasında 𝑛-nci mertebeden türevi denir, ve bu türev;

𝑦^(𝑛)(𝑥₀) = 𝑓^(𝑛)(𝑥₀) =^{𝑑𝑛𝑓(𝑥0)}

𝑑𝑥^𝑛 = ^{𝑑𝑛𝑦(𝑥0)}

𝑑𝑥^𝑛 ile gösterilir. Burada 𝑑𝑥^𝑛 = (𝑑𝑥)^𝑛 anlamındadır.

Bu tanıma göre 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑥₀ noktasında 𝑛-nci mertebeden türevi;

𝑦^(𝑛)(𝑥₀) = 𝑓^(𝑛)(𝑥₀) = lim

∆𝑥→0

𝑓^(𝑛−1)(𝑥₀+∆𝑥)−𝑓^(𝑛−1)(𝑥₀)

∆𝑥 (2) eşitliği ile hesaplanır. Eşitlik (2)’yi herhangi bir 𝑥 ∈ 𝐴 için;

𝑦^(𝑛) = 𝑓^(𝑛)(𝑥) = lim

∆𝑥→0

𝑓^(𝑛−1)(𝑥+∆𝑥)−𝑓^(𝑛−1)(𝑥)

∆𝑥 (3) şeklinde ifade edebiliriz. Böylece Eşitlik (3) için:

𝑛 = 1 ⇒ 𝑦^′=^𝑑𝑦

𝑑𝑥 → birinci mertebeden türev 𝑛 = 2 ⇒ 𝑦^{′ ′}= ^𝑑2𝑦

𝑑𝑥² = ^𝑑

𝑑𝑥(^𝑑𝑦

𝑑𝑥) → ikinci mertebeden türev 𝑛 = 3 ⇒ 𝑦^{′ ′ ′} =^𝑑3𝑦

𝑑𝑥³ = ^𝑑

𝑑𝑥(^𝑑2𝑦

𝑑𝑥²) → üçüncü mertebeden türev 𝑛 = 4 ⇒ 𝑦⁽⁴⁾= ^𝑑4𝑦

𝑑𝑥⁴ = ^𝑑

𝑑𝑥(^𝑑3𝑦

𝑑𝑥³) → dördüncü mertebeden türev , v.s. yazılır.

Tanım:3 𝐴 ⊂ 𝐼𝑅, 𝑓: 𝐴 → 𝐼𝑅 fonksiyonu 𝑦 = 𝑓(𝑥) şeklinde verilsin ve (𝑛 − 1)-nci mertebeden diferansiyellenebilir olsun. Bu takdirde;

𝑑^𝑛𝑦 = 𝑓^(𝑛)(𝑥)𝑑𝑥^𝑛 (4) ifadesine 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑛-nci mertebeden diferansiyeli denir.

𝑛 = 1 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 → birinci mertebeden diferansiyel 𝑛 = 2 ⇒ 𝑑²𝑦 = 𝑓^{′ ′}(𝑥)𝑑𝑥² → ikinci mertebeden diferansiyel

𝑛 = 3 ⇒ 𝑑³𝑦 = 𝑓^{′ ′ ′}(𝑥)𝑑𝑥³ → üçüncü mertebeden diferansiyel 𝑛 = 4 ⇒ 𝑑⁴𝑦 = 𝑓⁽⁴⁾(𝑥)𝑑𝑥⁴ → dördüncü mertebeden diferansiyel , v.s. yazılır.

Özellikler: 𝑢 = 𝑢(𝑥) ve 𝑣 = 𝑣(𝑥) fonksiyonlarının bir (𝑎 , 𝑏) aralığında her mertebeden türevleri olsun ve 𝑐 bir sabit kabul edelim. Bu takdirde aşağıdaki özellikler geçerlidir.

1. (𝑐𝑢)^(𝑛) = 𝑐𝑢^(𝑛) 2. (𝑢 ± 𝑣)^(𝑛) = 𝑢^(𝑛)± 𝑣^(𝑛)

3. (𝑢𝑣)^(𝑛) = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑢^{(𝑛−𝑘)}𝑣^(𝑘)

𝑛𝑘=0

Bu özelliklerden üçüncüsü LEIBNIZ formülü olarak bilinir.

Örnek:6 Aşağıda verilen fonksiyonlar için istenilen mertebeden türevleri ve diferansiyelleri bulunuz?

a) 𝛼𝜖𝐼𝑅 𝑖ç𝑖𝑛 𝑦 = 𝑥^𝛼 ⇒ 𝑦^(𝑛)=? ve 𝑑^𝑛𝑦 =?

b) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ 𝑦^(𝑛) =? ve 𝑑^𝑛𝑦 =?

c) 𝑦 = 𝑒^𝑥3 ⇒ 𝑦^{′ ′ ′} =? ve 𝑑³𝑦 =?

d) 𝑦 = 𝑥²𝑠𝑖𝑛(3𝑥) ⇒ 𝑦⁽³⁾ =? ve 𝑑³𝑦 =?

e) 𝑦 = (𝑥²+ 2𝑥)𝑒^𝑥 , 𝑛 = 15

Çözüm a) 𝛼𝜖𝐼𝑅 𝑖ç𝑖𝑛 𝑦 = 𝑥^𝛼 ⇒ 𝑦^′= 𝛼𝑥^𝛼−1 ⇒ 𝑦^{′ ′} = 𝛼(𝛼 − 1)𝑥^𝛼−2⇒ 𝑦′ ^{′ ′} = 𝛼(𝛼 − 1)(𝛼 − 2)𝑥^𝛼−3, ……., 𝑦^(𝑛) = 𝛼(𝛼 − 1)(𝛼 − 2) … [𝛼 − (𝑛 − 1)]𝑥^𝛼−𝑛 olur.

𝑑^𝑛𝑦 = 𝑦^(𝑛)𝑑𝑥^𝑛 = [𝛼(𝛼 − 1)(𝛼 − 2) … [𝛼 − (𝑛 − 1)]𝑥^𝛼−𝑛]𝑑𝑥^𝑛 bulunur.

b) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ 𝑦^′= 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +^𝜋

2) ⇒ 𝑦^′′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +^2𝜋

2) ⇒ 𝑦^′′′ = −𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +^3𝜋

2) … 𝑦^(𝑛) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +^𝑛𝜋

2) ve 𝑑^𝑛𝑦 = 𝑦^(𝑛)𝑑𝑥^𝑛 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +^𝑛𝜋

2) 𝑑𝑥^𝑛 olarak bulunur.

c) 𝑦 = 𝑒^𝑥3 ⇒ 𝑦^′= 3𝑥²𝑒^𝑥3 ⇒ 𝑦^′′= 6𝑥𝑒^𝑥3 + (3𝑥²)(3𝑥²)𝑒^𝑥3 = (9𝑥⁴+ 6𝑥)𝑒^𝑥3 ⇒ 𝑦^′′′ = (36𝑥³+ 6)𝑒^𝑥3 + (9𝑥⁴+ 6𝑥)(3𝑥²)𝑒^𝑥3 = (27𝑥⁶ + 54𝑥³+ 6)𝑒^𝑥3 ve

𝑑³𝑦 = 𝑦^′′′𝑑𝑥³ = (27𝑥⁶ + 54𝑥³+ 6)𝑒^𝑥3𝑑𝑥³ olarak bulunur.

d) 1.yol: Ardışık olarak türev alma

𝑦 = 𝑥²𝑠𝑖𝑛(3𝑥) ⇒ 𝑦^′= 2𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + 3𝑥²𝑐𝑜𝑠(3𝑥) ⇒ 𝑦^′′= 2𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + 6𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 6𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 9𝑥²𝑠𝑖𝑛(3𝑥) = (2 − 9𝑥²)𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + 12𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) ⇒ 𝑦^′′′= −18𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + 3(2 − 9𝑥²)𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 12𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 36𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) = −54𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + (18 − 27𝑥²)𝑐𝑜𝑠(3𝑥) ve 𝑑³𝑦 = 𝑦^′′′𝑑𝑥³ = [−54𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + (18 − 27𝑥²)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)]𝑑𝑥³ olur.

2.yol: Leibniz formülünü kullanma

𝑦 = 𝑥²𝑠𝑖𝑛(3𝑥), 𝑢 = 𝑥² ve 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) dersek 𝑦 = 𝑢. 𝑣 olur. Bu durumda Leibniz formülüne göre 𝑦^(𝑛)= (𝑢𝑣)^(𝑛)= ∑ (𝑛

𝑘) 𝑢^{(𝑛−𝑘)}𝑣^(𝑘)

𝑛𝑘=0 ⇒

𝑛 = 3 için 𝑦^′′′= (𝑢𝑣)⁽³⁾ = ∑ (3

𝑘) 𝑢^(3−𝑘)𝑣^(𝑘)

3𝑘=0 = (3

0) 𝑢^′′′𝑣⁽⁰⁾+ (3

1) 𝑢^′′𝑣^′+ (3

2) 𝑢^′𝑣^′′+ (3

3) 𝑢⁽⁰⁾𝑣^′′′ = 𝑢^′′′𝑣 + 3𝑢^′′𝑣^′+ 3𝑢^′𝑣^′′+ 𝑢𝑣^′′′…...(*) 𝑢 = 𝑥² ⇒ 𝑢^′= 2𝑥 ⇒ 𝑢^{′ ′}= 2 ⇒ 𝑢^′′′ = 0 ve

𝑣 = 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) ⇒ 𝑣^′= 3𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑣^′′ = −9𝑠𝑖𝑛(3𝑥) 𝑣^′′′ = −27𝑐𝑜𝑠(3𝑥) dir. Bu sonuçlar (*) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;

𝑦^′′′ = 0𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + 3.2.3𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 3.2𝑥. (−9𝑠𝑖𝑛(3𝑥)) + 𝑥²(−27𝑐𝑜𝑠(3𝑥) =

−54𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + (18 − 27𝑥²)𝑐𝑜𝑠(3𝑥) olup, böylece;

𝑑³𝑦 = 𝑦^′′′𝑑𝑥³ = [−54𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥) + (18 − 27𝑥²)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)]𝑑𝑥³ olur.

e) 𝑦 = (𝑥²+ 2𝑥)𝑒^𝑥 , 𝑛 = 15

𝑢 = 𝑥²+ 2𝑥 ve 𝑣 = 𝑒^𝑥 dersek 𝑦 = 𝑢. 𝑣 olur. Bu durumda verilen fonksiyonun 𝑛 = 15-nci mertebeden türevini bulmak için Leibniz formülü kolaylık sağlar.

𝑦^(𝑛) = (𝑢𝑣)^(𝑛) = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑢^{(𝑛−𝑘)}𝑣^(𝑘)

𝑛𝑘=0 ⇒

𝑛 = 15 için 𝑦⁽¹⁵⁾ = (𝑢𝑣)⁽¹⁵⁾ = ∑ (15

𝑘 ) 𝑢^(15−𝑘)𝑣^(𝑘)

15𝑘=0 = (15

0) 𝑢⁽¹⁵⁾𝑣⁽⁰⁾+ (15

1) 𝑢⁽¹⁴⁾𝑣^′+

⋯ + (15

15) 𝑢⁽⁰⁾𝑣⁽¹⁵⁾ ……(*)

𝑢 = 𝑥²+ 2𝑥 ⇒ 𝑢^′= 2𝑥 + 2 ⇒ 𝑢^{′ ′} = 2 ⇒ 𝑢^′′′= 𝑢⁽⁴⁾ = ⋯ = 𝑢⁽¹⁵⁾ = 0 ve

𝑣 = 𝑒^𝑥 ⇒ 𝑣^′ = 𝑣^′′ = ⋯ = 𝑣⁽¹⁵⁾ = 𝑒^𝑥 dir. Bu sonuçlar (*) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;

𝑦⁽¹⁵⁾ = 1.0. 𝑒^𝑥+ 15.0. 𝑒^𝑥+ ⋯ + (15

12) . 0. 𝑒^𝑥+ (15

13) . 2. 𝑒^𝑥+ (15

14) (2𝑥 + 2)𝑒^𝑥+ (15

15) (𝑥²+ 2𝑥 )𝑒^𝑥 = 15.14𝑒^𝑥+ 15(2𝑥 + 2)𝑒^𝑥+ 1. (𝑥²+ 2𝑥 )𝑒^𝑥 = (𝑥²+ 32𝑥 + 240)𝑒^𝑥 elde edilir. Fonksiyonun 𝑛 = 15-nci mertebeden diferansiyeli ise;

𝑑¹⁵𝑦 = 𝑦⁽¹⁵⁾𝑑𝑥¹⁵ = [(𝑥²+ 32𝑥 + 240)𝑒^𝑥]𝑑𝑥¹⁵ olarak bulunur.