Global jeopotansiyel modeller için yüksek dereceli legendre fonksiyonlarının sayısal olarak incelenmesi

T.C.

SELC¸ UK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

Global Jeopotansiyel Modeller ˙I¸cin Y¨uksek Dereceli Legendre Fonksiyonlarının Sayısal Olarak ˙Incelenmesi

Nevin Bet¨ul AVS¸AR Y¨uksek Lisans Tezi Harita M¨uhendisli˘gi

Anabilim Dalı Konya, 2009

T.C.

SELC¸ UK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

Global Jeopotansiyel Modeller ˙I¸cin Y¨

uksek Dereceli

Legendre Fonksiyonlarının Sayısal Olarak ˙Incelenmesi

Nevin Bet¨ul AVS¸AR

Y¨uksek Lisans Tezi

Harita M¨uhendisli˘gi Anabilim Dalı

Bu tez 18.08.2009 tarihinde a¸sa˘gıdaki j¨uri tarafından oy birli˘gi ile kabul edilmi¸stir.

Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN Danı¸sman

Prof. Dr. Cevat ˙INAL ¨

Uye

Do¸c. Dr. ˙I. ¨Oztu˘g B˙ILD˙IR˙IC˙I ¨

¨ OZET

Y¨uksek Lisans Tezi

Global Jeopotansiyel Modeller ˙I¸cin Y¨uksek Dereceli Legendre Fonksiyonlarının Sayısal Olarak ˙Incelenmesi

Nevin Bet¨ul AVS¸AR

Sel¸cuk ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u

Harita M¨uhendisli˘gi

Danı¸sman: Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN

2009, 76 sayfa

J¨uri: Prof. Dr. Cevat ˙INAL J¨uri: Do¸c. Dr. ˙I. ¨Oztu˘g B˙ILD˙IR˙IC˙I

Yeryuvarının gravite alanının belirlenmesi ve modellenmesi, fiziksel jeodezinin temel konularının ba¸sında yer alır. Jeodezik g¨ozlemleri do˘grudan etkileyen ve yeryuvarının ¸seklini belirleyen gravite alanı, ¸cekim ve merkezka¸c kuvvetlerinin bile¸skesiyle olu¸san bir vekt¨or alanıdır. S¨oz konusu kuvvetler irrotasyonel oldu˘gundan skaler b¨uy¨ukl¨ukler (¸cekim ve merkezka¸c potansiyelleri) ile ifade edilebilirler. Merkezka¸c potansiyeli, astrojeodezik g¨ozlemler yardımıyla belirlenebilir. Ancak yeryuvarının kitle yo˘gunluk da˘gılımı tam olarak bilinmedi˘ginden ¸cekim potansiyelini do˘grudan belirlemek zordur. Bu zorlu˘gu a¸smanın yolu, onun matematiksel ¨ozelliklerini ortaya ¸cıkarmaktır. Yeryuvarının dı¸sında ¸cekim potansiyeli harmonik bir fonksiyondur. Bu nedenle ¸cekim potansiyelinin belirlenmesi problemini, yeryuvarının dı¸sında konuma ba˘glı harmonik bir fonksiyon bulunması ¸seklinde tanımlayabiliriz. Harmonik fonksiyonlar da seriye a¸cılabildi˘ginden, ¸cekim potansiyeli yakınsak bir seri ile ifade edilebilir.

Uygulamada yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanı ve fonksiyonellerini belirlemek i¸cin, global jeopotansiyel modeller kullanılır. Bu modellerin a¸cınım dereceleri arttık¸ca, harmonik

serilerde yer alan Legendre fonksiyonlarını hesaplamak g¨u¸cle¸sir. Yineleme ba˘gıntıları Legendre fonksiyonlarının sayısal de˘gerlerinin bulunmasını kolayla¸stırmaktadır. Ancak, sorun IEEE 754 standardına g¨ore kayan noktalı sayıların bilgisayar belle˘ginde saklanabilme sınırları ile ilgilidir. Bu ¸calı¸sma ile, g¨un¨um¨uzde EGM08 ile maksimum a¸cınım derecesi 2190’a kadar y¨ukselen global jeopotansiyel modellerin mevcut bilgisayar olanaklarıyla de˘gerlendirilmesinde Legendre fonksiyonları kaynaklı soruna, bir ¸c¨oz¨um geli¸stirilmeye ¸calı¸sılmı¸stır. Bu ama¸cla ¨oncelikle fiziksel jeodezide harmonik serilerle ili¸skili olarak Legendre fonksiyonları temel matematiksel ¨ozellikleriyle ele alınmı¸s ve sayısal davranı¸sları incelenmi¸stir. Daha sonra tam normalle¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlarının kullanılmasının, hangi derecelere kadar ba¸sarılı oldu˘gu g¨ozlemlenmi¸stir. Sonu¸c olarak, en g¨uncel jeopotansiyel model olan EGM08 baz alınarak, normalle¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonlarının de˘gerlerinin m¨umk¨un olan en geni¸s aralık ile temsiline imkan sa˘glanmı¸stır. Bunun i¸cin IEEE 754 geni¸sletilmi¸s ¸cift duyarlıklı sayı formatından yararlanılmı¸stır.

Anahtar kelimeler: Legendre fonksiyonları, K¨uresel harmonikler, Tam nor-malle¸stirme, Yineleme ba˘gıntıları, C¸ ekim potansiyeli

ABSTRACT

MSc Thesis

Numerical Analyzing Of High-Degree Legendre Functions For Global Geopotential Models

Nevin Bet¨ul AVS¸AR

Sel¸cuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Geomatic Engineering

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Aydın ¨UST ¨UN

2009, 76 pages

Jury: Prof. Dr. Cevat ˙INAL

Jury: Assoc. Prof. Dr. ˙I. ¨Oztu˘g B˙ILD˙IR˙IC˙I

Determining and modeling the gravity field of the Earth is one of the main subjects of physical geodesy. Gravity field of the Earth, affecting geodesic observations and determining the shape of the Earth, is the vector field of the gravitational and centrifugal forces. The mentioned forces can be derived from scalar quantaties (gravitational and centrifugal potentials) since they are irrotational. The centrifugal potential can be determined by astrogeodetic observations. However, it is hard to determine the gravitational potential directly, because of the irregularity of the mass density throughout the earth. Defining its mathematical properties are the way to overcome this difficulty. In outer space of the Earth, the gravitational potential is a harmonic function. Consequently, it can be expressed by harmonic functions that depend on the location of the attracted mass point. As harmonic functions can be expanded to series, gravitational potential can be represented by a convergent series. In practise, global geopotential models are used to determine the external gravity field and its functionals. Raising the degree of these models make it difficult to calculate the

Legendre functions in the harmonic series. Recurrence relations simplify to calculate the numerical values of the Legendre functions. However, the problem is the limit values of the floating point numbers on computer memory according to the standard of IEEE 754. In this study, it is aimed to give a solution for the problem caused by Legendre functions during the evaluation of the global geopotential models, whose maximum degree raises to 2190 by EGM08 with the current computing facilities. For this purpose; basic mathematical features and numerical stabilities of Legendre functions were investigated. Then the evaluation success of normalized Legendre functions, according to its degree, was observed numerically. As a result, the extended double precision of IEEE 754 that use 12 byte on computer memory provides an improvement in the computation of high degree geopotential models up to degree 2190 in all latitudes.

Keywords:Legendre functions, Spherical harmonics, Fully normalization, Recurrence relations, Gravitational potential

TES¸EKK ¨UR

Bu ¸calı¸smanın y¨ur¨ut¨ulmesinde birikim ve desteklerini esirgemeyerek bana her konuda yol g¨osteren danı¸sman hocam Sayın Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN’e,

¸calı¸smam s¨uresince yardımı ve katkıları i¸cin Ar¸s. Grv. R. Alpay ABBAK’a ve Ar¸s. Grv. E. ¨Ozg¨ur AVS¸AR’a

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER ¨ Ozet ii Abstract iv Te¸sekk¨ur vi Kısaltma Listesi ix S¸ekil Listesi x C¸ izelge Listesi xi 1 G˙IR˙IS¸ 1

2 LEGENDRE D˙IFERANS˙IYEL DENKLEM˙I VE C¸ ¨OZ ¨UMLER˙I 4

2.1 Legendre Diferansiyel Denklemi . . . 4

2.1.1 Legendre Diferansiyel Denkleminin Kuvvet Serisi Y¨ontemi ˙Ile C¸ ¨oz¨um¨u ve Legendre Polinomları . . . 8

2.2 B¨ut¨unle¸sik Legendre Fonksiyonları . . . 14

2.2.1 Uretici Fonksiyon . . . .¨ 16

2.2.2 Ortogonallik . . . 18

2.2.3 Rodrigues Form¨ul¨u . . . 21

2.2.4 Yineleme Ba˘gıntıları . . . 22

2.2.5 Normalle¸stirilmi¸s Legendre Fonksiyonları . . . 24

3 LEGENDRE FONKS˙IYONLARININ JEODEZ˙IDE KULLANIMI 27 3.1 C¸ ekim Potansiyeli ve Harmonik Serilere A¸cınım . . . 27

3.1.1 K¨ure Harmoniklerine A¸cınım . . . 36

3.1.2 Elipsoit Harmoniklerine A¸cınım . . . 42

3.2 K¨uresel Y¨uzey Harmoniklerinde Legendre Fonksiyonlarının Geometrik Anlamı . . . 45

3.3 K¨ure Harmonikleri Yardımıyla Yeryuvarının Fiziksel Referans Y¨uzeyini Belirleme . . . 49

4 Y ¨UKSEK DERECEL˙I LEGENDRE FONKS˙IYONLARININ

SAYISAL OLARAK ˙INCELENMES˙I 56

4.1 Global Jeopotansiyel Modeller . . . 56 4.2 Y¨uksek Dereceli Legendre Fonksiyonlarının Kullanılabilirli˘gi . . . 57

4.2.1 Tam Normalle¸stirilmi¸s Legendre Fonksiyonları ˙I¸cin Yineleme Ba˘gıntıları . . . 61 4.2.2 Tam Normalle¸stirilmi¸s Legendre Fonksiyonlarının T¨urevleri ˙I¸cin

Yineleme Ba˘gıntıları . . . 70

5 SONUC¸ ve ¨ONER˙ILER 72

KISALTMA L˙ISTES˙I

inf infinity

CHAMP CHAllenging Minisatellite Payload EGM Earth Gravity Model

GOCE Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer GPS Global Positioning System

GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment

IEEE The Institute of Electrical and Electronics Engineer NGA The National Geospatial-Intelligence Agency

S¸EK˙IL L˙ISTES˙I

2.1 C¸ ift ve tek Legendre polinomları (m = 0) . . . 11

2.2 C¸ ift ve tek ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları (m = 0) . . . 14

2.3 Aralarında l uzaklı˘gı bulunan iki kitle . . . 17

3.1 P noktasındaki birim k¨utle i¸cin b ivme vekt¨or¨u bile¸senleri . . . 29

3.2 r′ yarı¸caplı, dr′ kalınlıklı ve dm′ k¨utleli bir k¨uresel kabuk . . . 31

3.3 Ku¸sak harmonikleri . . . 46

3.4 6. dereceden Legendre polinomunun k¨ure y¨uzeyine etkisi . . . 46

3.5 G¨oze harmonikleri (n = 18, m = 9) . . . 47

3.6 Dilim harmonikleri(n = m = 9) . . . 47

3.7 Y¨uzey harmonikleri: Bir ¨ornek . . . 50

3.8 Jeoit y¨uksekli˘gi . . . 52

3.9 Y¨ukseklik anomalisi . . . 53

4.1 Legendre polinomlarının de˘ger aralıkları . . . 59

4.2 B¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının de˘ger aralıkları . . . 60

4.3 Standart ileri s¨utun y¨ontemi . . . 61

4.4 Standart ileri satır y¨ontemi . . . 62

4.5 Normalle¸stirilmi¸s Legendre polinomlarının de˘ger aralıkları . . . 63

4.6 C¸ ift duyarlıklı sayı formatına g¨ore normalle¸stirilmi¸s b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının de˘ger aralıkları . . . 64

4.7 Geni¸sletilmi¸s ¸cift duyarlıklı sayı formatına g¨ore normalle¸stirilmi¸s b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının de˘ger aralıkları . . . 65

4.8 n = m = 1800 i¸cin b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının sayısal do˘grulukları . . . 66

4.9 n = m = 2190 i¸cin b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının sayısal do˘grulukları . . . 67

4.10 θ = 22.5◦ _{ve θ = 45}◦ _{i¸cin 360. dereceden tam normalle¸stirilmi¸s} b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının davranı¸sları . . . 68

C¸ ˙IZELGE L˙ISTES˙I

2.1 Kuvvet serisi katsayıları . . . 9 2.2 Sekizinci dereceye kadar Legendre polinomları . . . 11

1. G˙IR˙IS¸

Fiziksel olayları, matematiksel olarak incelerken ilk akla gelen y¨ontemlerden biri t¨urev almaktır. Do˘ga olaylarının hemen hepsinin zamana ve mekana g¨ore de˘gi¸sim g¨ostermesi bunun nedenidir. Bu de˘gi¸simi ifade etmek i¸cin de t¨urev i¸ceren denklemlerden yararlanılır. Bu anlamda diferansiyel denklemler do˘ganın modellenmesinde temel bir rol ¨ustlenirler.

Fiziksel jeodezinin konusu, esas olarak yeryuvarının gravite alanını ve onun e¸s potansiyel y¨uzeylerinden biri olan jeoidi belirlemektir. Yeryuvarının gravite alanı, ¸cekim ve merkezka¸c kuvvetlerinin bile¸skesiyle olu¸san vekt¨or alanıdır. Bu vekt¨or alanının korunumlu olması, onun ¸cekim ve merkezka¸c potansiyelleri toplamı bi¸ciminde potansiyel (skaler) b¨uy¨ukl¨uklerle g¨osterilebilmesini sa˘glar.

C¸ ekim potansiyeli yeryuvarını olu¸sturan sonsuz sayıdaki nokta kitlenin yeryuvarının dı¸sındaki bir noktaya uyguladı˘gı toplam ¸cekim etkisi olarak de˘gerlendirilir. Ancak kitle da˘gılımı yeterince iyi bilinmedi˘ginden, bu potansiyel uygulamada sonsuz toplamı ifade eden integral e¸sitli˘gi yerine yakınsak serilerle ifade edilir.

C¸ ekim potansiyeli yeryuvarının dı¸sında Laplace diferansiyel denklemini sa˘glar. Yeryuvarının geometrisine uygun olarak Laplace diferansiyel denklemi k¨uresel veya elipsodal koordinatlar ile ifade edilir. Harmonik fonksiyonlardan olu¸san yakınsak bir seri Laplace diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨um¨ud¨ur.

Kısmi t¨urevli bir diferansiyel denklem olan Laplace diferansiyel denkleminin de˘gi¸skenlere ayırma y¨ontemi ile ¸c¨oz¨um¨unden elde edilen ¨u¸c adi diferansiyel denklemden biri de Legendre diferansiyel denklemidir. Legendre diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨umleri, birinci ve ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları olarak bilinir (Birinci t¨ur Legendre fonksiyonları, Legendre polinomlarını da kapsar).

18. y¨uzyılın ortalarına do˘gru yeryuvarının ¸seklinin kutuplardan basık bir d¨onel elipsoit oldu˘gunun belirlenmesinin ardından (ki 19. y¨uzyılda yeryuvarının ger¸cek fiziksel ¸sekli ¨

once Gauss tarafından tanımlanmı¸s daha sonra da bu ¸sekle Listing tarafından jeoit adı verilmi¸stir) Newton C¸ ekim Kanunu gere˘gince d¨onel elipsoitlerin (sferoitlerin) ¸cekimi bir¸cok bilim adamı tarafından ara¸stırma konusu yapılmı¸stır. Fransız bilim adamı Adrien-Marie Legendre (1752–1833), 1783 yılında Homojen Sferoitlerin C¸ ekiminin

Ara¸stırılması (Recherches sur l’attraction des spheroides homogenes) isimli bir inceleme yazısında iki kitle arasındaki ¸cekimi ve bu ¸cekimden dolayı olu¸san ¸cekim potansiyelini incelemi¸stir. Legendre bu ¸calı¸smasında, bug¨un kendi adıyla anılan polinomları tanımlamı¸stır. Legendre polinomlarının teorisi daha sonra hızla ilerleme g¨ostermi¸s hatta bu polinomlar bir diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨umleri olarak bile bulunmu¸stur. Legendre fonksiyonları, yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının harmonik serilerle ifadesinde ge¸cen y¨uzey harmoniklerinin bir par¸casıdır. Kutupsal koordinat sisteminin parametreleri ile tanımlı y¨uzey harmonikleri a¸cınımın derecesine ve mertebesine ba˘glı olarak yeryuvarını d¨uzenli par¸calara b¨olmektedir. Ku¸sak harmonikleri olarak bilinen birinci t¨ur Legendre polinomları fonksiyonun enleme ba˘glı de˘gi¸simini ifade ederken, elipsoidal harmoniklerde kar¸sımıza ¸cıkan ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları k¨uresel harmoniklerdeki radyal de˘gi¸sime kar¸sılık gelir (Heiskanen ve Moritz, 1984).

Yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının harmonik serilerle ifadesini temel alan global jeopotan-siyel modeller, yeryuvarının gravite alanını modellemek amacıyla kullanılırlar. Bu modellerin a¸cınım dereceleri, modelleri olu¸sturan harmonik katsayıların belirlenmesine y¨onelik veri sayısı, ¨ol¸cme ve de˘gerlendirme tekniklerindeki geli¸smelere ba˘glı olarak zaman i¸cinde bir artı¸s g¨ostermi¸stir. EGM08 ile maksimum a¸cınım derecesi 2190’a kadar y¨ukselmi¸stir (Pavlis vd., 2008). Bu model ile sa˘glanan veri ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u yakla¸sık 5′ iken, 1′’lık bir veri ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨un¨un elde edilebilmesi 10800. dereceye kadar bir a¸cınım gerektirir. Bu durum global jeopotansiyel modellerin a¸cınım derecelerinin zamanla daha da artaca˘gına i¸saret eder (Holmes ve Featherstone, 2002; Jekeli vd., 2007). G¨un¨um¨uzde bilgisayar teknolojisinin geli¸smesi ile birlikte y¨uksek dereceli jeopotansiyel modellerin de˘gerlendirilebilmesi m¨umk¨un olmaktadır. Ancak a¸cınım derecelerinin y¨ukselmesi ile Legendre fonksiyonlarının de˘gerleri ¸cok karma¸sık bir g¨or¨un¨um alır. Bu durum kayan noktalı sayıların, bilgisayar ortamındaki sınırlı temsili nedeniyle ¨onemli bir sorun olu¸sturur. 64 bit mikroi¸slemciler i¸cin bu sayıların atandı˘gı de˘gi¸sken t¨urlerinin sınır de˘gerleri Vickery (2008)’de bulunabilir. Y¨uksek dereceli Legendre fonksiyonlarının de˘gerleri, belirli enlemlerde s¨oz konusu sınır de˘gerlerini a¸sar. Bu sorun Legendre fonksiyonlarının normalle¸stirilmesi ile bir miktar a¸sılsa da y¨uksek dereceli a¸cınımlar i¸cin normalle¸stirme i¸slemi tek ba¸sına tam bir ¸c¨oz¨um olmaz.

Bu ¸calı¸smada ¨oncelikle Legendre fonksiyonları temel matematiksel ¨ozellikleriyle tanıtılacaktır. Daha sonra yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının harmonik serilerle

ifadesinden yola ¸cıkarak, Legendre fonksiyonlarının jeodezideki kullanımı incelenecektir. Bu ¸calı¸sma ile ama¸clanan g¨uncel jeopotansiyel modeller i¸cin y¨uksek dereceli Legendre fonksiyonlarının kullanılabilirli˘ginin ara¸stırılmasıdır. Bu do˘grultuda mevcut normalle¸stirme i¸sleminin hangi derecelere kadar uygulanabilir oldu˘gu tespit edilecek ve a¸cınımın derecesini kısıtlayan unsurlar belirlenecektir. LINUX i¸sletim sisteminde C++ programlama dilinden yararlanılarak etkin bir ¸c¨oz¨um bulunmaya ¸calı¸sılacaktır.

2. LEGENDRE D˙IFERANS˙IYEL DENKLEM˙I VE C¸ ¨OZ ¨UMLER˙I

2.1 Legendre Diferansiyel Denklemi

Bilim ve m¨uhendislik uygulamalarında sık¸ca kar¸sıla¸sılan Laplace, Poisson, Helmholtz, Schr¨odinger denklemleri gibi kısmi t¨urevli diferansiyel denklemlerin, farklı koordinat sistemlerindeki ¸c¨oz¨umleri ¨ozel fonksiyonlar yardımıyla yapılmaktadır. Ozel fonksiy-¨ onlar, tekil Sturm-Liouville sınır de˘ger probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨u veren fonksiyonlardır. Sturm-Liouville sınır de˘ger problemi, λ reel veya karma¸sık bir parametre olmak ¨uzere;

d dx  p(x)dy dx  − q(x)y + λr(x)y = 0 , (a ≤ x ≤ b) α1y (a) − α2y′(a) = 0 β1y (b) − β2y′(b) = 0 (2.1)

¸seklindedir. (2.1)’de p (x) fonksiyonunun, [a, b] aralı˘gının u¸c noktalarında sıfır olması ya da bu aralı˘gın sonsuz olması halinde tanımlanan sınır de˘ger problemi, ¨ozel olarak tekil Sturm-Liouville sınır de˘ger problemi olarak adlandırılır.

(2.1)’de p (x) = 1 − x2, q(x) = 0, r(x) = 1, a = −1 ve b = 1 olarak alınırsa; d dx  (1 − x2)dy dx  + λy = 0 , _{(−1 ≤ x ≤ 1)} (2.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme Legendre diferansiyel denklemi, ¸c¨oz¨umlerine ise Legendre fonksiyonları denir. Buna g¨ore Legendre fonksiyonları da ¨ozel fonksiyonlardan biridir (Hasanov vd., 2002). Laplace diferansiyel denkleminin k¨uresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre diferansiyel denklemi elde edilebilir.

Skaler bir V fonksiyonu,

∆V = 0 (2.3)

ile ifade edilen Laplace diferansiyel denklemini sa˘glıyor ise V harmoniktir denir. Burada V , ¸cekim potansiyelinde oldu˘gu gibi k¨uresel bir cisme ili¸skin fonksiyonun davranı¸sını ifade ediyorsa (2.3) k¨uresel koordinatlar ile g¨osterilmelidir:

∆V = 1 r2 ∂ ∂r  r2∂V ∂r  + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ  sin θ∂V ∂θ  + 1 r2_sin2_θ ∂2_V ∂λ2 = 0 (2.4)

Burada, yarı¸cap vekt¨or¨u r, kutup uzaklı˘gı θ ve jeosentrik boylam λ referans k¨ure y¨uzeyine g¨ore uzaydaki bir noktanın konumunu belirler.

Hangi koordinat sisteminde ifade edilirse edilsin Laplace diferansiyel denkleminin standart ¸c¨oz¨um¨u de˘gi¸skenlere ayırma y¨ontemine dayanır. Kendisinin harmonik bir fonksiyon olmasının sonucu olarak elde edilen ¸c¨oz¨umler ya da onların do˘grusal kombinasyonu da birer harmonik fonksiyondur. Buna g¨ore (2.4)’¨un ¸c¨oz¨um¨un¨un,

V (r, θ, λ) = f (r)g(θ)h(λ) (2.5)

oldu˘gunu kabul edelim. C¸ ¨oz¨um¨u bulmak i¸cin ∂V ∂r = df (r) dr g(θ)h(λ) (2.6a) ∂V ∂θ = dg(θ) dr f (r)h(λ) (2.6b) ∂V ∂λ = dh(λ) dr f (r)g(θ) (2.6c)

t¨urevleri, (2.4)’te yerine yazılırsa,

∆V = d dr  r2df (r) dr  g(θ)h(λ) + 1 sin θ d dθ  sin θdg(θ) dθ  f (r)h(λ) + 1 sin2θ d2h(λ) dλ2 f (r)g(θ) = 0 (2.7)

elde edilir. Elde edilen bu denklemin her iki yanı f (r)g(θ)h(λ) ile b¨ol¨un¨ur, ikinci ve ¨

u¸c¨unc¨u terimler e¸sitli˘gin kar¸sı tarafına ge¸cirilir ise, 1 f (r) d dr  r2df (r) dr  = −_{g(θ) sin θ}1 _dθd  sin θdg(θ) dθ  − 1 h(λ) sin2θ d2h(λ) dλ2 (2.8)

olur. E¸sitli˘gin sol tarafı r’nin, sa˘g tarafı ise θ’nın ve λ’nın fonksiyonu olmasına kar¸sın birbirine e¸sittir. Bu ise ancak ve ancak e¸sitli˘gin her iki yanının ayrı ayrı, aynı sabite e¸sit olması ile m¨umk¨und¨ur. Bu sabit n(n + 1) olarak alınırsa,

1 f (r) d dr  r2df (r) dr  = n (n + 1) (2.9) ve −_{g(θ) sin θ}1 _dθd  sin θdg(θ) dθ  − 1 h(λ) sin2θ d2h(λ) dλ2 = n (n + 1) (2.10)

denklemleri elde edilir. Buradan (2.9) d¨uzenlenerek, 2rdf (r) dr + r 2d2f (r) dr2 − n (n + 1) f(r) = 0 (2.11a) r2f′′(r) + 2rf′_{(r) − n (n + 1) f(r) = 0} (2.11b) diferansiyel denklemi elde edilir. Bu diferansiyel denklem, radyal Laplace denklemi olarak adlandırılır; ya da ¨ozel olarak Euler diferansiyel denklemidir ( ¨Onem, 1999). C¸ ¨oz¨um¨u de,

f (r) = c1rn+ c2r−(n+1) (2.12)

¸seklinde olacaktır.

(2.10)’da ise b¨ut¨un terimler sin2θ ile ¸carpılır, θ’ya ve λ’ya ba˘glı terimler e¸sitli˘gin her iki yanında toplanırsa;

n (n + 1) sin2θ + sin θ g(θ) d dθ  sin θdg(θ) dθ  = − 1 h(λ) d2_h(λ) dλ2 (2.13)

e¸sitli˘gi elde edilir. (2.13)’de de e¸sitli˘gin her iki yanındaki fonksiyonlar, birbirinden ba˘gımsız de˘gi¸skenler θ’nın ve λ’nın fonksiyonlarıdır. Buna kar¸sın birbirine e¸sit olmaları daha ¨once de belirtildi˘gi gibi ayrı ayrı, aynı sabite e¸sit olmaları ile m¨umk¨und¨ur. Bu sabit m2 olsun. Buna g¨ore,

n (n + 1) sin2θ + sin θ g(θ) d dθ  sin θdg(θ) dθ  = m2 (2.14) ve −_h(λ)1 d 2_h(λ) dλ2 = m 2 _(2.15)

olur. Buradan (2.15) d¨uzenlenerek, d2h(λ)

dλ2 + m

2_{h(λ) = 0 (2.16a)}

h′′(λ) + m2h(λ) = 0 (2.16b)

¸seklinde ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen do˘grusal bir diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemin ¸c¨oz¨um¨u de,

¸seklindedir.

(2.14)’de gerekli d¨uzenlemeler yapıldı˘gında,

sin θd 2_g(θ) dθ2 + cos θ dg(θ) dθ + g(θ)  n(n + 1) sin θ − m 2 sin θ  = 0 (2.18a) sin θg′′(θ) + cos θg′(θ) + g(θ)  n(n + 1) sin θ − m 2 sin θ  = 0 (2.18b)

denklemi elde edilir. Bu denklem Legendre diferansiyel denklemidir. C¸ ¨oz¨umlerinden biri de,

g(θ) = P_nm(cos θ) (2.19)

olarak verilir. Burada P_nm(cos θ), n. dereceden ve m. mertebeden birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonunu temsil eder. x = cos θ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa, Legendre diferansiyel denkleminin bilinen ¸sekli elde edilir. y, x’in fonksiyonu olmak ¨uzere Legendre diferansiyel denklemi,

(1 − x2)y′′_{(x) − 2xy}′(x) +  n(n + 1) − m 2 1 − x2  y(x) = 0 (2.20)

¸sekline d¨on¨u¸s¨ur. (2.20) ¨ozel olarak b¨ut¨unle¸sik (associated) Legendre diferansiyel denklemi olarak adlandırılır.

m = 0 olması durumunda ise (2.20);

(1 − x2)y′′_{(x) − 2xy}′(x) + n(n + 1)y(x) = 0 (2.21)

¸seklini alır ve genel Legendre diferansiyel denklemi olarak tanımlanır.

G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi kısmi t¨urevli bir diferansiyel denklem olan Laplace diferansiyel denklemi, de˘gi¸skenlere ayırma y¨ontemi ile ¨u¸c adi diferansiyel denkleme d¨on¨u¸st¨ur¨ulm¨u¸s ve bunlardan biri Legendre diferansiyel denklemi olarak elde edilmi¸stir.

˙Ikinci mertebeden de˘gi¸sken katsayılı homojen do˘grusal Legendre diferansiyel denklemi, k¨uresel simetri g¨osteren sınır de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨um¨unde kar¸sımıza ¸cıkar.

2.1.1 Legendre Diferansiyel Denkleminin Kuvvet Serisi Y¨ontemi ˙Ile C¸ ¨oz¨um¨u ve Legendre Polinomları

De˘gi¸sken katsayılı do˘grusal diferansiyel denklemler i¸cin standart ¸c¨oz¨um y¨ontemi, kuvvet serisi y¨ontemidir (Karao˘glu, 2006). Ancak bir kuvvet serisinin, diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨um¨un¨u temsil etmesi i¸cin o serinin nerede yakınsak oldu˘gunun bilinmesi gerekir. m = 0 olması durumunda Legendre diferansiyel denklemi,

(1 − x2)y′′_{− 2xy}′+ n(n + 1)y = 0 (2.22)

e¸sitli˘gi ile tanımlanmı¸stı. Bu denklem,

y′′₋ 2x 1 − x2y

′₊n(n + 1)

1 − x2 y = 0 (2.23)

¸seklinde yeniden yazılırsa y′ ve y i¸cin sırasıyla,

A(x) = − 2x

1 − x2 (2.24a)

ve

B(x) = n(n + 1)

1 − x2 (2.24b)

katsayı fonksiyonları elde edilir. Buna g¨_{ore bu fonksiyonları tanımsız yapan x = ±1} noktaları, Legendre diferansiyel denkleminin d¨uzg¨un tekil noktalarıdır. O halde (2.22)’nin kuvvet serisi ¸c¨oz¨_{umleri |x| < 1 i¸cin yakınsaktır.}

x = 0 noktası, Legendre diferansiyel denkleminin bir adi noktası oldu˘gu i¸cin ¸c¨oz¨um x = 0 noktası etrafında kuvvet serisi olarak bulunabilir. (2.24) ile ifade edilen katsayı fonksiyonları x = 0 noktasında s¨urekli oldu˘gundan y1 ve y2 gibi do˘grusal ba˘gımsız iki

seri ¸c¨oz¨um¨u vardır. Buna g¨ore;

y =

∞

X

k=0

ckxk (2.25)

¸seklinde bir ¸c¨oz¨um ¨onerilir ise

y′= ∞ X k=1 kckxk−1 y′′= ∞ X k=2 k(k − 1)ckxk−2 (2.26)

C¸ izelge 2.1: Kuvvet serisi katsayıları k ck 0 c2 = −(n)(n+1)_1·2 c0 1 c3 = −(n−1)(n+2)_2·3 c1 2 c4 = −(n−2)(n+3)_3·4 c2 = (−1)2 (n−2)n(n+1)(n+3)_1·2·3·4 c0 3 c5 = −(n−3)(n+4)_4·5 c3 = (−1)2 (n−3)(n−1)(n+2)(n+4)_2·3·4·5 c1 4 c6 = −(n−4)(n+5)_5·6 c4 = (−1)3 (n−4)(n−2)n(n+1)(n+3)(n+5)_{1·2·3·4·5·6} c0 5 c7 = −(n−5)(n+6)_6·7 c5 = (−1)3 (n−5)(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)(n+6)_{2·3·4·5·6·7} c1 .. . ...

bulunur. y, y′ _{ve y}′′_{, (2.22) ile verilen Legendre diferansiyel denkleminde yerine konulur}

ve gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa,

∞ X k=2 k(k − 1)ckxk−2− ∞ X k=2 k(k − 1)ckxk− 2 ∞ X k=1 kckxk+ n(n + 1) ∞ X k=0 ckxk= 0 (2.27)

e¸sitli˘gi elde edilir. Bu e¸sitlikte 1. toplamı +2 kaydırır, 2. ve 3. toplamı k = 0’dan ba¸slatırsak (toplamda etkisi olmayaca˘gından),

∞ X k=0 (k + 1)(k + 2)ck+2xk− ∞ X k=0 k(k − 1)ckxk− 2 ∞ X k=0 kckxk+ n(n + 1) ∞ X k=0 ckxk = 0 ∞ X k=0 [(k + 1)(k + 2)ck+2− k(k − 1)ck− 2kck+ n(n + 1)ck] xk = 0 (2.28)

olur. (2.28)’de xk’nın katsayıları sıfıra e¸sitlenirse a¸sa˘gıdaki yineleme ba˘gıntısı bulunur:

ck+2= −(n − k)(n + k + 1)

(k + 1)(k + 2) ck , (k ≥ 0) (2.29) Bu ba˘gıntının, ¸cift indisli ckkatsayılarını c0ve tek indislileri de c1cinsinden belirleyece˘gi

a¸cıktır.

Bu durumda tek indisli katsayılar i¸cin ayrı, ¸cift indisli katsayılar i¸cin ayrı ¸c¨oz¨umler olu¸sacaktır. y1= c0  1 − n(n + 1) 2! x 2₊(n − 2)n(n + 1)(n + 3) 4! x 4 −(n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5)_6! x6+ . . .  (2.30)

y2= c1  x − (n − 1)(n + 2)_3! x3+(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) 5! x 5 −(n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6)_7! x7+ . . .  (2.31)

Buna g¨ore Legendre diferansiyel denkleminin sonsuz seri olarak genel ¸c¨oz¨um¨u, iki birbirinden ba˘gımsız ¸c¨oz¨um¨un toplamı olarak,

y(x) = y1(x) + y2(x) (2.32)

¸seklinde olur. y1(x) ve y2(x) serileri x = ±1 noktalarında ıraksaktır (Bayın, 2000).

Sonu¸c olarak (2.32) ile verilen ¸c¨oz¨_{um, Legendre diferansiyel denkleminin |x| < 1} aralı˘gında genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur.

Legendre diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨um¨un¨un fiziksel olarak anlamlı olabilmesi i¸cin (2.22)’de n parametresinin pozitif tamsayı olması gerekir. Bu durumda, serilerden biri sonlu sayıda terim ile biter. E˘ger n pozitif ¸cift tamsayı ise y1(x), pozitif tek tamsayı

ise de y2(x), xn terimini de i¸cerecek ¸sekilde bu terime kadar sonlu sayıda terim i¸cerir.

Bu durumda serilerden biri n. dereceden bir polinom olur, di˘ger seri ise sonsuz terimli bir seri olarak kalır.

c0 ve c1 keyfi sabitler oldu˘gundan her bir n i¸cin, de˘gerleri istenildi˘gi gibi se¸cilebilir.

Her seride, x’in en y¨uksek kuvvetinin katsayısı ₂(2n)!n_(n!)2’ye e¸sit olacak ¸sekilde c0’a ve c1’e de˘ger verilir.

Bu de˘gerler, c0= (−1)n/21 · 3 · 5 · . . . · (n − 1) 2 · 4 · 6 · . . . · n = (−1) n/2 n! 2n_[(n/2)!]2 (2.33a) ve c1= (−1)(n−1)/2 1 · 3 · 5 · . . . · n 2 · 4 · 6 · . . . · (n − 1) = (−1) (n−1)/2 (n + 1)! 2n_{[(n − 1)/2]! [(n + 1)/2]!} (2.33b) ¸seklindedir (Wylie ve Barrett, 1982). c0’ın ve c1’in bu ¸sekilde se¸cilmesinin nedeni b¨ut¨un

polinomların x = 1’deki de˘gerlerinin 1 olmasını sa˘glamaktır (y(1) = 1). Bu ¸sekilde elde edilen ¸c¨oz¨umlere n. dereceden birinci t¨ur Legendre polinomları (ki bundan sonra Legendre polinomları olarak anılacaktır) ya da n. dereceden ku¸sak harmonikleri denir. Bu ¸c¨oz¨umler Pn(x) ile g¨osterilir.

c0 ve c1 de˘gerleri, y1(x) ve y2(x) serilerinde yerine yazılırsa Legendre polinomları

elde edilir. C¸ izelge 2.2’de sekizinci dereceye kadar Legendre polinomları verilmi¸s ve grafikleri, S¸ekil 2.1’de g¨osterilmi¸stir.

C¸ izelge 2.2: Sekizinci dereceye kadar Legendre polinomları n c Pn(x) 0 c0= 1 P0(x) = 1 1 c1= 1 P1(x) = x 2 c0= −1₂ P2(x) = 1₂(3x2− 1) 3 c1= −3₂ P3(x) = 1₂(5x3− 3x) 4 c0= 3₈ P4(x) = 1₈(35x4− 30x2+ 3) 5 c1= 15₈ P5(x) = 1₈(63x5− 70x3+ 15x) 6 c0= −₁₆5 P6(x) = ₁₆1(231x6 − 315x4+ 105x2− 5) 7 c1= −35₁₆ P7(x) = ₁₆1(429x7 − 693x5+ 315x3− 35x) 8 c0= ₁₂₈35 P8(x) = ₁₂₈1 (6435x8− 12012x6+ 6930x4− 1260x2+ 35) 0.5 1.0 −0.5 −1.0 0.5 1.0 −0.5 −1.0 P₀ P₂ P_{4 P} 6 P₈ x −→ cos θ ↑ Pn 0.5 1.0 −0.5 −1.0 0.5 1.0 −0.5 −1.0 P₁ P₃ P_{5 P} 7 x −→ cos θ ↑ Pn

n. dereceden bir Legendre polinomunun, n tane k¨ok¨u vardır. Di˘ger bir ifadeyle grafiklerden de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi Pn(x), −1 ≤ x ≤ 1 aralı˘gında n tane sıfır de˘geri alır

yani n defa i¸saret de˘gi¸stirir.

Legendre polinomunun genel ifadesini yazmak i¸cin (2.29) ile ifade edilen yineleme ba˘gıntısından yararlanılabilir. Bu ba˘gıntıdan ck ¸cekilirse,

ck= −

(k + 1)(k + 2)

(n − k)(n + k + 1)ck+2 (2.34)

elde edilir. Bu ifade k = n − 2 i¸cin hesaplanırsa,

cn−2= −n(n − 1)

2(2n − 1)cn (2.35)

olur. Burada cn yerine daha ¨once belirtildi˘gi gibi ₂n(2n)!_(n!)2 yazılabilir. O halde,

cn−2= −n(n − 1) 2(2n − 1) (2n)! 2n_(n!)2 = − n(n − 1)2n(2n − 1)(2n − 2)! 2(2n − 1)2n_{n(n − 1)(n − 2)!n(n − 1)!} (2.36)

ve gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa,

cn−2= − (2n − 2)!

2n_{(n − 1)!(n − 2)!} (2.37)

olarak bulunur. Aynı ¸sekilde k = n − 4 ve k = n − 6 i¸cin de hesap yapıldı˘gında,

cn−4= −(n − 3)(n − 2) 4(2n − 3) cn−2 = (2n − 4)! 2n_{2!(n − 2)!(n − 4)!} (2.38) ve cn−6= −(n − 5)(n − 4) 6(2n − 5) cn−4= − (2n − 6)! 2n_{3!(n − 3)!(n − 6)!} (2.39)

¸seklinde elde edilir. (2.37), (2.38) ve (2.39) ifadelerinden yararlanarak katsayılar i¸cin genel bir terim elde edilebilir:

cn−2j = (−1)j (2n − 2j)!

Bu durumda n. dereceden Legendre polinomları i¸cin genel ifade ¸su ¸sekilde olacaktır: Pn(x) = N X j=0 cn−2jxn−2j = N X j=0 (−1)j₂n_{j!(n − j)!(n − 2j)!}(2n − 2j)! x n−2j _{, N =}      n 2 n ¸cift ise n−1 2 n tek ise (2.41)

n’nin ¸cift ya da tek pozitif bir tamsayı olmasına g¨ore, ¸c¨oz¨umlerden biri, n. dereceden bir polinoma d¨on¨u¸st¨u˘g¨u i¸cin yakınsaklık sorunu ortadan kalkar. Sonsuz terimli bir seri olarak kalan di˘ger ¸c¨oz¨_{um ise x = ±1 sınır de˘gerlerinde ıraksak olur. Bu ikinci ¸c¨oz¨um,} ikinci t¨ur Legendre fonksiyonu olarak bilinir ve Qn(x) ile g¨osterilir.

˙Ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemin, iki ba˘gımsız ¸c¨oz¨um¨u arasında,

y2(x) = y1(x) Z x 0 e−R A(x)dx [y1(x)]2 dx (2.42)

ba˘gıntısı vardır. Burada A(x), daha ¨once (2.24) e¸sitli˘gi ile verilen katsayı fonksiyonlarından biridir (Arfken ve Weber, 2001).

O halde Legendre polinomlarından yararlanarak, ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları elde edilebilir: Qn(x) = Pn(x) Z x 0 e−R −1−x22x dx [Pn(x)]2 dx = Pn(x) Z x 0 dx (1 − x2_)[P n(x)]2 (2.43)

Bu e¸sitlikten yararlanarak ilk altı ikinci t¨ur Legendre fonksiyonu hesaplanırsa,

Q0(x) = 1 2ln 1 + x 1 − x = tanh −1_x Q1(x) = 1 2x ln 1 + x 1 − x − 1 Q2(x) = 1 2( 3 2x 2 −1₂) ln1 + x 1 − x − 3 2x Q3(x) = 1 2( 5 2x 3 −3₂x) ln1 + x 1 − x − 5 2x 2₊2 3 Q4(x) = 1 2( 35 8 x 4₋30 8 x 2₊3 8) ln 1 + x 1 − x − 35 8 x 3₊ 55 24x Q5(x) = 1 2( 63 8 x 5₋70 8 x + 15 8 x) ln 1 + x 1 − x− 63 8 x 4₊49 8 x 2₋ 8 15 (2.44)

0.5 1.0 −0.5 −1.0 0.5 1.0 −0.5 −1.0 Q0 Q2 Q4 x −→ cos θ ↑ Q_n 0.5 1.0 −0.5 −1.0 0.5 1.0 −0.5 −1.0 Q1 Q3 Q5 x −→ cos θ ↑ Q_n

S¸ekil 2.2: C¸ ift ve tek ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları (m = 0)

elde edilir. Buna g¨ore ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları i¸cin genel ifade,

Qn(x) = 1 2Pn(x) ln 1 + x 1 − x− X i=1 n1 i(Pi−1(x)Pn−i(x)) (2.45) ¸seklinde olur.

S¸ekil 2.2’de ilk altı ikinci t¨ur Legendre fonksiyonunun grafi˘gi g¨osterilmi¸stir.

2.2 B¨ut¨unle¸sik Legendre Fonksiyonları

B¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları, (2.20) ile verilen b¨ut¨unle¸sik Legendre diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨umleridir.

birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları Pnm(x) ile de g¨osterilmektedir). Alt indis

n dereceyi, ¨ust indis m ise sırayı ifade eder. Sonlu bir ¸c¨oz¨um elde edebilmek i¸cin m de n gibi bir tamsayı olmalıdır. Hobson (1931), P_nm(x)’i ¸su ¸sekilde tanımlamı¸stır:

P_nm_{(x) = (−1)}m_{(1 − x}2)m/2d

m_P n(x)

dxm , (0 ≤ m ≤ n, −1 ≤ x ≤ 1) (2.46)

Bu e¸sitlikteki (−1)m ¸carpanı her zaman yazılmaz. Bu ¸carpan kuantum mekani˘ginde k¨uresel harmoniklerin ifadesinde yaygın olarak kullanılır. Ancak jeodezide kullanılmaz. Bu konuda daha fazla bilgi Arfken ve Weber (2001)’de bulunabilir.

Birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonun tanımında m, t¨urevlenmeyi ifade etti˘gi i¸cin pozitif bir tamsayı olarak d¨u¸s¨un¨ul¨ur. Ancak b¨ut¨unle¸sik Legendre diferansiyel denkleminde m2 _{ifadesi yer aldı˘gı i¸cin, m < 0 olması e¸sitli˘gi de˘gi¸stirmez (Johnson}

ve Johnson, 1965). Yine de daha uygun olanı m ≥ 0 olarak alınmasıdır. Pozitif ve negatif m de˘gerleri arasında oransal bir ili¸ski vardır.

P_nm_{(x) = (−1)}m(n + m)! (n − m)!P

|m|

n (x) , (m < 0, −1 ≤ x ≤ 1) (2.47)

Pn(x)’de x’in en y¨uksek kuvveti n oldu˘gu i¸cin m ≤ n olmalıdır (Arfken ve Weber,

2001). Ba¸ska bir ifadeyle Pn(x), n. dereceden bir polinom oldu˘gu i¸cin en fazla n kez

t¨urev alınabilir.

Birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarının temel kullanımı, bir k¨ure y¨uzeyi ¨

uzerinde tanımlanan fonksiyonların a¸cınımındadır (Butkov, 1973). x, [−1, 1] aralı˘gında reel bir sayı ise cos mλPm

n (x) ya da sin mλPnm(x) k¨uresel y¨uzey harmonikleri (ya da

kısaca k¨uresel harmonikler) olarak adlandırılır (Hobson, 1931).

(−1)m _{¸carpanı kullanılmadan elde edilen ilk birka¸c birinci t¨ur Legendre fonksiyonu}

a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Ayrıca x = cos θ olmak ¨uzere bu fonksiyonların trigonometrik ifadeleri de g¨osterilmi¸stir.

P0 0(x) = P0(x) = 1 P0 1(x) = P1(x) = x P1(θ) = cos θ P1 1(x) = (1 − x2)1/2 P11(θ) = sin θ P0 2(x) = P2(x) = 1₂(3x2− 1) P2(θ) = 1₂(3 cos2θ − 1) P1 2(x) = 3x(1 − x2)1/2 P21(θ) = 3 cos θ sin θ P2 2(x) = 3(1 − x2) P22(θ) = 3 sin2θ P30(x) = P3(x) = 1₂(5x3− 3x) P3(θ) = 1₂(5 cos3θ − 3 cos θ) P1 3(x) = 32(5x 2_{− 1)(1 − x)}1/2 _P1 3(θ) = 32(5 cos 2_{θ − 1) sin θ} P2 3(x) = 15x(1 − x2) P32(θ) = 15 cos θ sin2θ P3 3(x) = 15(1 − x2)3/2 P33(θ) = 15 sin3θ (2.48)

Bu e¸sitliklerden de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi m = 0 olması durumunda birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları, Legendre polinomlarına kar¸sılık gelir. Ayrıca m ¸cift tamsayı oldu˘gunda da elde edilen ifadeler polinomdur. Ancak m tek tamsayı oldu˘_{gunda (1 −} x2₎1/2 _{¸carpanından dolayı polinom olmaz.}

Legendre polinomları i¸cin ge¸cerli olan b¨ut¨un ¨ozellikler, birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları i¸cin de ge¸cerlidir.

˙Ikinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları ise elipsoidal harmoniklerde kar¸sımıza ¸cıkar. n. dereceden, m. mertebeden ikinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları Qm_n(x) ile g¨osterilir. Hobson (1931), Qm_n(x)’ i de, P_nm(x) ile aynı ¸sekilde tanımlamı¸stır.

Qm_{n(x) = (−1)}m_{(1 − x}2)m/2d

m_Q n(x)

dxn (2.49)

(2.49)’da da (−1)m ¸carpanı yazılmayabilir.

P_nm(x) ve Qm_n(x), b¨ut¨unle¸sik Legendre diferansiyel denkleminin do˘grusal ba˘gımsız iki ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. Pm

n (x), −1 ≤ x ≤ 1 aralı˘gında sınırlıdır, Qmn(x) ise x = ±1

noktalarında sonsuza gider, di˘ger bir ifadeyle ıraksaktır. Bu nedenle ikinci t¨ur Legendre fonksiyonlarının k¨uresel y¨uzey harmoniklerinde kullanımı olanaksızla¸sır.

2.2.1 Uretici Fonksiyon¨

Legendre polinomları i¸cin ¨uretici fonksiyon,

G(x, t) = 1

ile tanımlanır. Uretici fonksiyon, binom teoremine g¨¨ ore a¸cılırsa, tn’nin katsayıları, Legendre polinomlarını verir (n = 0, 1, 2, 3, . . .).

1 (1 − 2xt + t2₎1/2 =1 + (t 2_{− 2xt)}−1/2 = 1 −1₂(t2_{− 2xt) +}3 8(t 2 − 2xt)2−₁₆5 (t2_{− 2xt)}3+ . . . (2.51)

Bu seri t’nin artan kuvvetlerine g¨ore d¨uzenlenirse,

G(x, t) = 1 + xt +1 2(3x 2 − 1)t2+ 1 2(5x 3 − 3x)t3+ . . . (2.52)

olur. G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi tn’nin katsayıları, Legendre polinomlarına kar¸sılık gelmektedir.

G(x, t) = 1 (1 − 2xt + t2₎1/2 = ∞ X n=0 Pn(x)tn (2.53) O r′ r l P Q ψ

S¸ekil 2.3: Aralarında l uzaklı˘gı bulunan iki kitle

Ger¸cekte ¨uretici fonksiyon, Legendre polinomlarının ilk olarak nasıl ortaya ¸cıktı˘gını da a¸cıklar. S¸ekil 2.3’de g¨osterildi˘gi gibi aralarında l uzaklı˘gı bulunan iki kitleden, P noktasında bulunan birim kitle olsun. Bu birim kitleden dolayı P noktasında, Q noktasının uyguladı˘gı bir ¸cekim potansiyeli olu¸sacaktır.

Potansiyelin ifadesinde ¨onemli olan, kitleler arasındaki l uzaklı˘gının tersidir. Buna g¨ore kitlelerin bulundu˘gu noktaların yer vekt¨orleri r′ ve r ise l uzaklı˘gı,

l = |r − r′| (2.54)

olur. Kosin¨us teoremine g¨ore;

olarak yazılabilir. x = cos ψ olarak alınır ise uzaklı˘gın tersi; 1 l = 1 pr2_{− 2rr}′ x + (r′ )2 = 1 r r 1 − 2r ′ rx +  r′ r 2 (2.56)

olur. Legendre, 1_l’yi binom teoremi yardımıyla r ′

r < 1 i¸cin seriye a¸cmı¸stır, bu ¸sekilde

¸cekim potansiyelinin harmonik bir seri ile ifade edilebilece˘gini g¨ostermi¸stir. Bu seriyi, katsayıları x’in fonksiyonu olacak ¸sekilde, r

′

r’nin artan kuvvetlerine g¨ore d¨uzenlemi¸stir.

Bu durumda katsayılar, r ′

r’nin kuvveti ile aynı dereceden polinomlar olarak elde

edilmi¸stir. Bu polinomlar, g¨un¨um¨uzde Legendre polinomları olarak bilinmektedir. 1 l = 1 r ∞ X n=0 Pn(x) r′ r !n (2.57)

Birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarında ise ¨uretici fonksiyon her bir m indisi i¸cin ayrı tanımlanır (Wylie ve Barrett, 1982; Karao˘glu, 2006).

Gm(x, t) = (2m)!(1 − x 2₎m/2 2m_{m!(1 − 2xt + t}2₎m+1/2 = ∞ X n=0 P_n+mm (x)tn (2.58) 2.2.2 Ortogonallik

Legendre polinomlarının [−1, 1] aralı˘gında tam ve ortogonal bir set olma ¨ozelli˘gi, bu polinomların en ¨onemli ¨ozelliklerinden biridir. Bu ¨ozelli˘gi kanıtlamak i¸cin n1 6= n2

olmak ¸sartıyla Pn1(x) ve Pn2(x) Legendre polinomlarını ele alalım. Bu polinomlar (2.22) ile verilen Legendre diferansiyel denklemini sa˘glar (Spiegel, 1974).

(1 − x2)P_n′′_{1(x) − 2xPn}′₁(x) + n1(n1+ 1)Pn1(x) = 0 (1 − x2)P_n′′_{2(x) − 2xPn}′₂(x) + n2(n2+ 1)Pn2(x) = 0

(2.59)

Birinci e¸sitli˘gi Pn2(x), ikinci e¸sitli˘gi Pn1(x) ile ¸carparak, birbirinden ¸cıkartırsak,

(1 − x2).[Pn2(x)P ′′ n1(x) − Pn1(x)P ′′ n2(x)] − 2x[Pn2(x)P ′ n1(x) − Pn1(x)P ′ n2(x)] = [n2(n2+ 1) − n1(n1+ 1)]Pn1(x)Pn2(x) (2.60)

e¸sitli˘gini elde ederiz. Bu e¸sitli˘gi, (1 − x2) d dxPn2(x)P ′ n1(x) − Pn1(x)P ′ n2(x) − 2x Pn2(x)P ′ n1(x) − Pn1(x)P ′ n2(x)  = [n2(n2+ 1) − n1(n1+ 1)]Pn₁(x)Pn₂(x) (2.61a) ya da d dx(1 − x 2_)[P n₂(x)Pn′1(x) − Pn1(x)P ′ n2(x)] = [n2(n2+ 1) − n1(n1+ 1)]Pn1(x)Pn2(x) (2.61b)

¸seklinde de yazabiliriz. E¸sitli˘_{gin her iki tarafının [−1, 1] aralı˘gında integrali alınırsa,}

(1 − x2)[Pn2(x)P ′ n1(x) − Pn1(x)P ′ n2(x)]     1 −1 = 0 = [n2(n2+ 1) − n1(n1+ 1)] 1 Z −1 Pn1(x)Pn2(x)dx (2.62)

olur. Buna g¨ore,

1

Z

−1

Pn1(x)Pn2(x)dx = 0 (2.63)

olarak elde edilir. (2.63), Legendre polinomlarının [−1, 1] aralı˘gında ortogonal oldu˘gunu g¨osterir. Bu e¸sitlikte a˘gırlık fonksiyonunun 1 oldu˘gu a¸cıktır. Legendre polinomlarının ortogonallik ¨ozelli˘gi kullanılarak fonksiyonların, Legendre polinomlarının serileriyle (ya da kısaca Legendre serileriyle) a¸cınımı yapılabilir.

¨

Orne˘gin herhangi bir f (x) fonksiyonu,

f (x) =

∞

X

n=0

anPn(x) (2.64)

kuvvet serisi ¸seklinde yazılabilir. E˘ger ki (2.64)’te, f (x) fonksiyonunun de˘geri biliniyorsa, an kuvvet serisi katsayıları bulunabilir. Burada ¨onemli olan n1 =

n2 = n olması durumunda (2.63)’¨un de˘geridir. Bu de˘gerin bulunmasında Legendre

polinomlarının ¨uretici fonksiyonunun karesini kullanalım: 1 1 − 2xt + t2 = "_∞ X n=0 Pn(x)tn #2 (2.65)

Elde edilen e¸sitli˘_{gin her iki tarafının [−1, 1] aralı˘gında integralini alalım.}

1 Z −1 dx (1 − 2xt + t2₎ = ∞ X n=0 t2n 1 Z −1 [Pn(x)]2dx (2.66)

E¸sitli˘_{gin sol tarafının integrali (1 − 2xt + t}2) = y de˘gi¸sken d¨on¨u¸s¨um¨u ile, 1 Z −1 dx (1 − 2xt + t2₎ = 1 2t (1+t2₎ Z (1−t2₎ dy y = 1 t ln  1 + t 1 − t  (2.67) olur. Burada, ln 1 + t 1 − t  = 2  x + x 3 3 + x5 5 + x7 7 + . . .  = 2 ∞ X n=0 t2n+1 2n + 1 (2.68)

kuvvet serisi ¸seklinde de yazılabilir. Buna g¨ore,

1 tln  1 + t 1 − t  = 2 ∞ X n=0 t2n 2n + 1 = ∞ X n=0 t2n 1 Z −1 [Pn(x)]2dx (2.69) olur. Buradan, 1 Z −1 [Pn(x)]2dx = 2 2n + 1 (2.70)

olarak elde edilir.

(2.64)’te Pn(x) = Pn1(x) olarak alınır, e¸sitli˘gin her iki tarafı Pn2(x) ile ¸carpılarak, [−1, 1] aralı˘gında integre edilirse,

1 Z −1 f (x)Pn2(x)dx = ∞ X n1=0 an1 1 Z −1 Pn1(x)Pn2(x)dx (2.71)

olur. Legendre polinomları ortogonal oldu˘gundan sa˘g taraftaki integralin de˘geri, n1 =

n2 olması durumu dı¸sında sıfırdır. Bu durumda 1 Z −1 f (x)Pn2(x)dx = an2 1 Z −1 [Pn2(x)] 2_{dx = a} n2 2 2n2+ 1 (2.72)

olur. Buradan katsayılar,

an2 = 2n2+ 1 2 1 Z −1 f (x)Pn2(x)dx (2.73)

olarak bulunur. Buna g¨ore herhangi bir f (t) fonksiyonu, f (t) = ∞ X n2=0   2n2+ 1 2 1 Z −1 f (x)Pn2(x)dx  P_n2(t) (2.74)

¸seklinde elde edilebilir.

Legendre polinomlarının t¨_{urevleri de, (1 − x}2)12 fakt¨or¨uyle ¸carpıldıktan sonra birer ortogonal fonksiyon olurlar (Karao˘glu, 2006). Bunlar birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarına kar¸sılık gelir. Her m i¸cin, birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları da [−1, 1] aralı˘gında bir tam ortogonal fonksiyonlar setidir (m, her iki fonksiyon i¸cin de aynı olmalıdır). 1 Z −1 P_nm₁(x)P_nm₂(x)dx =    0 n1 6= n2 ise, 2 2n+1 (n+m)! (n−m)! n1 = n2= n ise (2.75)

B¨ut¨un ortogonal polinomların (ve fonksiyonların), bir ¨uretici fonksiyonu vardır. Bununla birlikte tam ve ortogonal bir set i¸cin bu setin iki veya daha fazla ¨uyesi ya da onların t¨urevleri arasındaki ili¸skileri g¨osteren yineleme ba˘gıntıları kullanılabilir.

2.2.3 Rodrigues Form¨ul¨u

B¨ut¨un ortogonal polinomlar bir Rodrigues form¨ul¨u ile ifade edilebilir. Aslında bu form¨ul, Benjamin Olinde Rodrigues (1795–1851) tarafından, 1816 yılında yayınlanan Sferoitlerin C¸ ekimi ¨Uzerine Bir ˙Inceleme (Memoire sur I’attraction des spheroides) isimli yazıda, sadece Legendre polinomları i¸cin tanımlanmı¸stır (Johnson ve Johnson, 1965).

Legendre polinomları i¸cin Rodrigues form¨ul¨u,

Pn(x) =

1 2n_n!

dn(x2_{− 1)}n

dxn , (n ≥ 0) (2.76)

e¸sitli˘gi ile verilir. Rodrigues form¨ul¨u yardımıyla Legendre polinomları ardı¸sık bi¸cimde hesaplanabilir.

Legendre polinomları i¸cin verilen Rodrigues form¨ul¨u, (2.46) e¸sitli˘ginde yerine yazılırsa ((−1)m _{fakt¨or¨u olmadan), birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları i¸cin Rodrigues}

form¨ul¨u elde edilir.

P_nm(x) = 1

2n_n!(1 − x

2₎m/2dn+m(x2− 1)n

dxn+m (2.77)

2.2.4 Yineleme Ba˘gıntıları

T¨urev ifadesi nedeniyle Rodrigues form¨ul¨u, ilk birka¸c Legendre fonksiyonu dı¸sında pratikte yararlı de˘gildir. Bunun yerine y¨uksek dereceli fonksiyonlar i¸cin ardı¸sık fonksiyonlar arasındaki yineleme ba˘gıntılarını kullanmak daha uygundur.

Yineleme ba˘gıntıları ¨uretici fonksiyondan yararlanarak bulunabilir. ¨Orne˘gin; G(x, t)’nin t de˘gi¸skenine g¨ore kısmi t¨urevini alalım.

G(x, t) = 1 (1 − 2xt + t2₎1/2 = ∞ X n=0 Pn(x)tn ∂G(x, t) ∂t = x − t (1 − 2xt + t2₎3/2 = x − t 1 − 2xt + t2G(x, t) = ∞ X n=1 nPn(x)tn−1 ∂G(x, t) ∂t (1 − 2xt + t 2 ) + G(x, t)(t − x) = 0 ∂G(x,t)

∂t ve G(x, t) yerine seri e¸sitliklerini koyalım:

(1 − 2xt + t2) ∞ X n=1 nPn(x)tn−1+ (t − x) ∞ X n=0 Pn(x)tn= 0 ∞ X n=1 nPn(x)tn−1− 2 ∞ X n=1 xnPn(x)tn+ ∞ X n=1 nPn(x)tn+1 + ∞ X n=0 Pn(x)tn+1− ∞ X n=0 xPn(x)tn= 0

Bu toplamlarda katsayıları kar¸sıla¸stırmak i¸cin tn’yi i¸ceren terimler biraraya getirilir. Bu ama¸cla gerekli indis de˘gi¸siklikleri yapılırsa,

∞ X n=0 (n + 1)Pn+1(x)tn− 2 ∞ X n=1 xnPn(x)tn+ ∞ X n=2 (n − 1)Pn−1(x)tn + ∞ X n=1 Pn−1(x)tn− ∞ X n=0 xPn(x)tn= 0

elde edilir. Bu toplamlar a¸cıldı˘gında, P1(x) + 2P2(x)t + 3P3(x)t2+ 4P4(x)t3+ . . . −2xP1(x)t − 4xP2(x)t2− 6xP3(x)t3− . . . +P1(x)t2+ 2P2(x)t3+ . . . +P0(x)t + P1(x)t2+ P2(x)t3+ . . . −xP0(x) − xP1(x)t − xP2(x)t2− xP3(x)t3− . . . = 0

olur. Ortaya ¸cıkan ifade ger¸cekte bir polinomdur. Bir polinomun, sıfıra e¸sit (di˘ger bir ifadeyle sıfır polinomu) olması i¸cin her teriminin katsayısının sıfır olması gerekir. Buna g¨ore t2’nin ve t3’¨un katsayılarını inceleyelim:

3P3(x) − 5xP2(x) + 2P1(x) = 0

4P4(x) − 7xP3(x) + 3P2(x) = 0

Buna g¨ore,

(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x)

ba˘gıntısını elde ederiz.

Bu e¸sitli˘gi kullanarak P3(x)’i belirleyelim. P1(x) = x ve P2(x) = 1₂(3x2−1) idi. Burada

n = 2’ dir. Bu durumda P3(x), 3P3(x) = 5xP2(x) − 2P1(x) = 5x1 2(3x 2 − 1) − 2x P3(x) = 1 2(5x 3_{− 3x)} olarak bulunur.

Legendre polinomları i¸cin yineleme ba˘gıntılarından bazıları a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Bunlardan t¨urev i¸cerenleri, t¨urev ba˘gıntıları olarak da bilinir (P−1(x) = 0).

(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x) (2n + 1)Pn(x) = Pn+1′ (x) − Pn−1′ (x) (x2_{− 1)Pn}′(x) = nxPn(x) − nPn−1(x) P_n−1′ (x) = xP_n′_{(x) − nP}n(x) P_n+1′ (x) = xP_n′(x) + (n + 1)Pn(x) (2.78)

B¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarında, iki indis (n ve m) oldu˘gu i¸cin ¸cok farklı yineleme ba˘gıntıları olu¸sturulabilir. Birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları i¸cin bunlardan bazıları a¸sa˘gıda verilmi¸stir (Arfken ve Weber, 2001).

(n − m + 1)Pn+1m (x) = (2n + 1)xPnm(x) − (n + m)Pn−1m (x) (1 − x2₎1/2_Pm+1 n (x) = 2mxPnm(x) − (1 − x2)1/2[n(n + 1) − m(m − 1)] Pnm−1(x) P_n+1m+1(x) = (2n + 1)(1 − x2₎1/2_Pm n (x) + Pn−1m+1(x) (n − m + 1)(n − m + 2)P_n+1m−1(x) = (n + m)(n + m − 1)P_n−1m−1(x) − (2n + 1)(1 − x2₎1/2_Pm n(x) (1 − x2₎1/2dPnm(x) dx = 1 2P m+1 n (x) − 1 2(n + m)(n − m + 1)P m−1 n (x) (2.79)

˙Ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları da, birinci t¨ur Legendre fonksiyonları ile aynı yineleme ba˘gıntılarını sa˘glar (Spiegel, 1974; Zwillinger, 2003; Attar, 2006). ¨Orne˘gin (2.78)’deki birinci ve ikinci yineleme ba˘gıntıları, ikinci t¨ur Legendre fonksiyonları i¸cin,

(n + 1)Qn+1(x) = (2n + 1)xQn(x) − nQn−1(x)

(2n + 1)Qn(x) = Q′n+1(x) − Q′n−1(x)

(2.80)

¸seklinde olacaktır.

2.2.5 Normalle¸stirilmi¸s Legendre Fonksiyonları

Legendre fonksiyonlarının derecesi (n) ve sırası (m) arttık¸ca yineleme ba˘gıntılarının sayısal kararlılı˘gı bozulur. Bu nedenle bu fonksiyonların sayısal olarak u˘gra¸sılabilir de˘gerlere d¨on¨u¸st¨ur¨ulmeleri gerekir. Rakamların daha k¨u¸c¨uk, daha kararlı bir ¸sekilde kullanılması ise normalle¸stirme ile olur. Legendre fonksiyonları i¸cin normalle¸stirme, Legendre fonksiyonunun derece ve sırasına ba˘glı bir ¨ol¸cek fakt¨or¨uyle ¸carpılmasıyla elde edilir. Normalle¸stirilmi¸s b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları birinci t¨ur i¸cin Pm_n(x), ikinci

t¨ur i¸cin Qm_n(x) ile g¨osterilir.

(2.75)’te n1 = n2 = n olması durumunda ge¸cerli olan _2n+12 (n+m)!_(n−m)! sabiti, N2 olarak

tanımlanır. N , P_nm_{(x) fonksiyonunun [−1, 1] aralı˘gındaki normudur. Matematik} anlamda normalle¸stirilmi¸s fonksiyon, normu 1 olan fonksiyondur. Buna g¨ore N−1P_nm(x) normalle¸stirilmi¸s birinci t¨ur Legendre fonksiyonunu ifade eder (Boas, 1983):

Pm_n(x) = s 2n + 1 2 (n − m)! (n + m)!P m n (x) (2.81)

(2.81), bir ortonormal Legendre fonksiyonları seti olu¸sturur (Legendre polinomları da aynı ¸sekilde de˘gerlendirilebilir).

Normalle¸stirilmi¸s Legendre fonksiyonları kullanılarak yineleme ba˘gıntıları da yeniden d¨uzenlenebilir. Buna g¨ore (2.81)’den yararlanarak (2.79)’daki ilk yineleme ba˘gıntısı,

Pmn+1(x) = » (2n + 3)(2n + 1) (n + m + 1)(n − m + 1) –1/2 xPmn(x) − » (2n + 3)(n + m)(n − m) (2n − 1)(n + m + 1)(n − m + 1) –1/2 Pmn−1(x) (0 ≤ m ≤ n + 1) (2.82)

olarak elde edilir.

Normalle¸stirilmi¸s b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları, amaca uygun olarak farklı ¸sekillerde elde edilebilir. Orne˘gin jeodezide kullanılan normalle¸stirme ile kuantum¨ mekani˘gi ve manyetik alan modellenmesinde kullanılan normalle¸stirme (Schmidt yarı/tam normalle¸stirmesi, Gauss normalle¸stirmesi, Racah normalle¸stirmesi gibi) bir-birinden farklıdır. Bunun yanında, normalle¸stirme i¸cin hangi e¸sitli˘gin kullanılaca˘gının, harmonik a¸cınımın derecesine g¨ore belirlenmesi uygundur.

Jeodezide birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları (ve Legendre polinomları) i¸cin yaygın olarak kullanılan normalle¸stirme,

Pm_n(x) = s k(2n + 1)(n − m)! (n + m)!P m n (x) , k =      1 ∀ m = 0 2 ∀ m 6= 0 (2.83)

¸seklindedir (Torge, 2001). Bu ¸sekilde elde edilen Pm_n(x), tam normalle¸stirilmi¸s birinci t¨ur Legendre fonksiyonları olarak bilinir. Bunun dı¸sında Tscherning ve Poder (1982) jeodezide, yarı-normalle¸stirilmi¸s birinci t¨ur Legendre fonksiyonlarından ( ˜Pm

eder: ˜ P_nm(x) = s (n − m)! (n + m)!P m n (x) (2.84) (2.83)’e g¨ore, Pm_n(x) ve ˜Pm n (x) arasında Pm_n(x) =pk(2n + 1) ˜P_nm(x) (2.85)

ili¸skisi ge¸cerli olur.

˙Ikinci t¨ur (b¨ut¨unle¸sik) Legendre fonksiyonları i¸cin ise Sona (1995), elipsoidin ¨uzerinde sınırlı bir tabakaya kadar (b ≤ u ≤ b + 6400m),

Qm_n(u b) = Qm_n(_Eu) Qm_n(_Eb) ∼=  b u n+1 1 + e2u b − 1 (n + 1)(n + 2) + m2 2n + 3  (2.86)

e¸sitli˘gini ¨onermi¸stir ( ¨Ust¨un, 2002). Burada E, referans elipsoidinin do˘grusal dı¸s merkezli˘gidir. u noktadan ge¸cen elipsoidin k¨u¸c¨uk yarı ekseni olmak ¨uzere, u=sabit olan y¨uzeyler, do˘grusal dı¸s merkezli˘gi E olan e¸s odaklı d¨onel elipsoitleri tanımlar. b ise referans elipsoidinin k¨u¸c¨uk yarı eksenidir.

3. LEGENDRE FONKS˙IYONLARININ JEODEZ˙IDE KULLANIMI

3.1 C¸ ekim Potansiyeli ve Harmonik Serilere A¸cınım

Yeryuvarı ile birlikte d¨onen bir cisme etkiyen iki kuvvet vardır. Bu kuvvetler ¸cekim ve merkezka¸c kuvvetleridir. Bu iki kuvvetin bile¸skesiyle olu¸san vekt¨or alanı, gravite alanı olarak tanımlanır. Hemen hemen t¨um jeodezik ¨ol¸cmeler yeryuvarının gravite alanına ba˘glıdır. Daha da ¨onemlisi yeryuvarının ¸sekli gravitenin etkisi ile olu¸smu¸stur (Torge, 2001). Gravite potansiyeli de, ¸cekim ve merkezka¸c potansiyellerinin toplamına e¸sittir:

W = V + Φ = G Z Z Z yeryuvarı dm l + 1 2ω 2_p2 _(3.1)

Burada W gravite, V ¸cekim ve Φ merkezka¸c potansiyelini temsil eder. E¸sitli˘gin sa˘g tarafında kalan dm yeryuvarının diferansiyel kitle elemanının k¨utlesini, l diferansiyel kitle elemanı ile noktasal cisim P arasındaki uzaklı˘gı, p P noktasının z eksenine olan uzaklı˘gını, ω ise yeryuvarının a¸cısal hızını g¨ostermektedir.

E˘ger yeryuvarının kitle yo˘gunluk da˘gılımı biliniyorsa, gravite potansiyeli (3.1) ile bulunabilir. Ancak kitle yo˘gunluk da˘gılımı sadece yery¨uz¨une yakın b¨olgeler i¸cin bilindi˘ginden bu olanaksızdır. Bu y¨uzden yeryuvarının kitle yo˘gunluk da˘gılımının ba¸ska bir deyi¸sle V = G Z Z Z yeryuvarı dm l (3.2)

¸cekim potansiyelinin belirlenmesi jeodezinin temel problemlerinden birini olu¸sturur ( ¨Ust¨un, 2002).

Newton C¸ ekim Kanunu’na g¨ore iki cisim birbirlerini, k¨utleleriyle do˘gru aralarındaki uzaklı˘gın karesi ile ters orantılı olacak ¸sekilde ¸ceker. Buna g¨ore aralarında l uzaklı˘gı bulunan, m1 ve m2 k¨utlelerinin birbirlerine uyguladı˘gı ¸cekim kuvveti,

F = Gm1m2

l2 (3.3)

olur. Buradaki G, evrensel ¸cekim sabiti olarak tanımlanır ve de˘geri SI birim sisteminde G = 6.672 × 10−11 N m2 kg−2 olarak belirlenmi¸stir (Lide, 2004).

do˘grultusu iki cismin a˘gırlık merkezini birbirine ba˘glayan l uzaklı˘gı boyuncadır (bkz. S¸ekil 3.1). Buna g¨ore ¸cekim kuvveti, vekt¨or formunda yazılabilir.

F_{= −G}m1m2 l2

l

l (3.4)

Buradaki eksi (-) i¸sareti F ve l vekt¨orlerinin zıt y¨onde olmasından gelir.

K¨utle b¨uy¨ukl¨uklerine g¨ore cisimlerden biri ¸ceken, di˘geri ¸cekilen olarak de˘gerlendirilebilir. Bunun nedeni k¨utlelerden birinin di˘gerine do˘gru ivmelenmesidir. Daha a¸cık bir ifadeyle k¨u¸c¨uk k¨utleli cisim, b¨uy¨uk k¨utleli cisme do˘gru giderek artan bir hızla ¸cekilir. Buna g¨ore P noktasındaki cisim, birim k¨utleli olarak kabul edilirse (m1= m, m2 = 1) ¸cekim kuvveti F, ¸cekim ivmesine

b_{= −G}m l2

l

l (3.5)

d¨on¨u¸s¨ur. Ba¸ska bir ifadeyle b, birim k¨utlenin ivme vekt¨or¨ud¨ur.

C¸ eken cismin a˘gırlık merkezi ba¸slangı¸c olarak alınıp bir koordinat sistemi tanımlanarak, b’nin bile¸senleri bulunabilir. Buna g¨ore Q noktasındaki ¸ceken cismin koordinatları ξ, η, ζ, P noktasındaki ¸cekilen cismin (birim k¨utlenin) koordinatları da x, y, z olsun. Bu durumda P noktasının yer vekt¨or¨u rP ve Q noktasının yer vekt¨or¨u rQ olmak ¨uzere l

vekt¨or¨un¨un b¨uy¨ukl¨u˘g¨u,

l = |l| = |rP − rQ| =p(x − ξ)2+ (y − η)2+ (z − ζ)2 (3.6)

olarak elde edilir. P Q do˘grusunun koordinat eksenleriyle yaptı˘gı a¸cılar sırasıyla α, β, γ ise S¸ekil 3.1’den de g¨or¨uld¨u˘g¨u ¨uzere b’nin bile¸senleri,

bx = kbk cos α = kbk x − ξ l  = −Gmx − ξ_l3 by = kbk cos β = kbk y − η l  = −Gmy − η l3 bz = kbk cos γ = kbk z − ζ l  = −Gmz − ζ_l3 (3.7) olur.

x y z ||x ||y ||z l b z − ζ y − η x − ξ P Q b b α β γ

S¸ekil 3.1: P noktasındaki birim k¨utle i¸cin b ivme vekt¨or¨u bile¸senleri

vekt¨orleri aynı y¨on¨u g¨osterdi˘gi i¸cin bir d¨onme hareketinden s¨oz edilemez. Bu durumda,

rot b = 0 (3.8)

olur.

E˘ger bir vekt¨orel alanın rotasyoneli yok ise vekt¨orel alan herhangi bir skaler alanın gradyentidir; b, bir skaler alanın gradyenti olarak alınabilir:

b= grad V (3.9)

V skaler b¨uy¨ukl¨u˘g¨u, ¸cekim potansiyeli olarak bilinir ve ¸cekim alanındaki bir birim k¨utleyi sonsuzdan, P noktasına getirmek i¸cin ¸cekim kuvvetinin yapması gereken i¸s olarak tanımlanır; birimi m2_/s2_{’dir. Bir nokta kitle i¸cin ¸cekim potansiyeli,}

V = Gm

l , l→∞lim V = 0 (3.10)

olarak verilir.

V birim k¨utle i¸cin yapılan i¸si tanımladı˘gına g¨ore, ¸cekim ivmesi b’nin, ¸cekim kuvveti do˘grultusunda dl uzaklı˘gı i¸cin yaptı˘gı i¸s,

dVl

olur. Buradan, b= dV dl l l = ∂V ∂xi+ ∂V ∂yj+ ∂V ∂zk= grad V (3.12)

olarak belirlenebilir. Burada (3.10)’un, x, y, z’ye g¨ore kısmi t¨urevleri alınırsa ∂V ∂x = −Gm x − ξ l3 ∂V ∂y = −Gm y − η l3 ∂V ∂z = −Gm z − ζ l3 (3.13)

bulunur. (3.13) e¸sitlikleri, b’nin bile¸senleridir (bkz. (3.7)).

C¸ eken cisim i¸cin herhangi bir k¨utleden, yeryuvarına ge¸cilirse b, yer¸cekimi ivmesi vekt¨or¨une d¨on¨u¸s¨ur. Yer¸cekimi ivmesi, yeryuvarının bir birim k¨utleli cisme uyguladı˘gı ¸cekim kuvvetine denir. Di˘ger cisimlerin k¨utleleri, yeryuvarının k¨utlesine g¨ore olduk¸ca k¨u¸c¨uk oldu˘gundan, bu cisimler birim k¨utleli olarak kabul edilebilir.

Yeryuvarının ¸cekim potansiyeli, dolu bir cismin ¸cekim potansiyeli ile aynı ¸sekilde d¨u¸s¨un¨ulebilir. Yeryuvarı sonsuz sayıda diferansiyel kitle elemanından olu¸sur. Diferansiyel anlamda yeryuvarının bir par¸casının k¨utlesi dm, yo˘gunluk ρ ile hacim elemanının dv ¸carpımından elde edilir:

dm = ρdv dv = dξdηdζ

(3.14)

Yo˘gunluk, yer vekt¨or¨un¨un bir fonksiyonudur (ρ(rQ)), ba¸ska bir ifadeyle konuma

ba˘glıdır. Buna g¨ore diferansiyel kitle elemanlarının, yeryuvarının i¸cinde kesiksiz bir da˘gılımı oldu˘gu d¨u¸s¨un¨ul¨ur ve her bir diferansiyel kitle elemanının yarataca˘gı, diferansiyel ¸cekim potansiyeli dV = Gdm_l ’ye integral uygulanırsa

V (rP) = V = G Z Z Z yeryuvarı dm l = G Z Z Z yeryuvarı ρ(rQ) l dv , l→∞lim V = 0 (3.15)

sonucu ¸cıkar. (3.15)’e uygun olarak yer¸cekimi ivme vekt¨or¨u,

b(rP) = b = −G Z Z Z yeryuvarı ρ(rQ) l2 dv l l (3.16)

S¸ekil 3.2: r′ yarı¸caplı, dr′ kalınlıklı ve dm′ k¨utleli bir k¨uresel kabuk

Yerin merkezine yakla¸stık¸ca yer¸cekimi ivmesi de artar.

˙Ilk yakla¸sım olarak yeryuvarı, homojen (sabit yo˘gunluklu) k¨uresel kabuklardan olu¸san R yarı¸caplı bir k¨ure olarak kabul edilebilir. Bu, yo˘gunlu˘gu merkeze g¨ore simetrik da˘gılmı¸s bir yeryuvarını temel alan, k¨uresel simetrik yeryuvarı modelidir. K¨uresel simetrik yeryuvarı modeli hakkında daha ayrıntılı bilgi i¸cin Torge (2001)’e bakılabilir. Bu modele g¨ore r′ yarı¸caplı, sonsuz k¨u¸c¨uk dr′ kalınlıklı ve dm′ k¨utleli bir k¨uresel kabuk ele alınsın (bkz. S¸ekil 3.2). C¸ ekilen noktanın, k¨uresel kabu˘gun i¸cinde (rp < r

′

) ya da dı¸sında (rp > r

′

) olmasına g¨ore ¸cekim potansiyeli de˘gi¸secektir. E˘ger ki rp> r

′

ise k¨uresel kabuk i¸cin ¸cekim potansiyeli,

V_e′ = 4πGρ(r ′ )2 rp dr′ = Gdm ′ rp (3.17)

olur. Buna g¨ore e¸s merkezli k¨uresel kabuklardan olu¸san M k¨utleli yeryuvarı modeli i¸cin ¸cekim potansiyeli, Ve = G Z Z Z yeryuvarı dm′ rp = GM rp (3.18) ¸seklinde olacaktır. rp < r ′

olması durumunda ise k¨uresel kabuklar i¸cin,

V_i′ = 4πGρr′dr′ = Gdm ′

r′ (3.19)

¸seklinde sabit bir ¸cekim potansiyeli olu¸sur. Bu durumda yeryuvarı modeli i¸cin ¸cekim potansiyeli yerin merkezinden P noktasına kadar ve P noktasından yerin y¨uzeyine kadar

ayrı de˘gerlendirilir. Buna g¨ore rp yarı¸caplı bir k¨ure ortaya ¸cıkar. Bu k¨urenin i¸cindeki

k¨utlelerden dolayı V_e′ _{ve (R − r}p) kalınlıklı k¨uresel kabuktan dolayı V

′

i olu¸sur. ˙Ikisinin

toplamı, yeryuvarı modeli i¸cin ¸cekim potansiyelini verir:

Vi = 4πGρ rp rp Z 0 (r′)2dr′ + 4πGρ R Z rp r′dr′ = 2πGρ  R2₋(rp) 2 3  (3.20)

Elbette ger¸cekte yeryuvarı, yo˘gunluk da˘gılımı sabit bir k¨ure de˘gildir. Ancak yeryuvarı i¸cin de bir i¸c uzay ve yo˘gunlu˘gun sıfır oldu˘gu (atmosferin yo˘gunlu˘gu ihmal edildi˘ginde) bir dı¸s uzaydan s¨oz etmek m¨umk¨und¨ur. Buna g¨ore ¸cekilen nokta P yeryuvarının dı¸sında ise daima l > 0 olmak ¨uzere, ¸cekim potansiyeli i¸cin (3.15) e¸sitli˘gi ge¸cerlidir:

V = G Z Z Z

yeryuvarı

ρ

ldv , l→∞lim V = 0 (3.21)

E˘ger ki ¸cekilen nokta P yeryuvarının i¸cinde ise diferansiyel kitle elemanı ile ¸cakı¸sır ve l = 0 olaca˘gından 1_l sonsuz olur. Bu durumda P noktası dahil yo˘gunlu˘gu sabit noktaları i¸cine alan ¸cok k¨u¸c¨uk q yarı¸caplı, P0(x0, y0, z0) merkezli bir k¨ure d¨u¸s¨un¨ul¨ur

(Bu k¨ure k¨uresel simetrik yeryuvarı modelinde oldu˘gu gibi de˘gerlendirilir). Buna g¨ore ¸cekim potansiyeli, bu k¨urenin i¸cindeki ve dı¸sındaki k¨utlelerin ortak etkisiyle olu¸sur. P noktasının bu k¨urenin merkezinden uzaklı˘gı p olmak ¨uzere ¸cekim potansiyeli,

V = 2πGρ  q2₋p 2 3  + G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ ldv (3.22) olur.

Yeryuvarının yo˘gunluk da˘gılımı sadece yerkabu˘gunun ¨ust tabakaları i¸cin bilindi˘ginden ¸cekim potansiyeli ve yer¸cekimi ivmesinin hesabı (3.15) (ya da (3.21),(3.22)) ve (3.16) ile yapılamaz. Ayrıca ¸cekilen cismin bulundu˘gu P noktasının koordinatlarının da bilinmesi gerekir. Bunun yerine ¸cekim potansiyelinin matematiksel ¨ozelliklerinden yararlanarak sonuca ula¸sılabilir.

C¸ ekim potansiyeli t¨um uzayda (yeryuvarının i¸c ve dı¸s uzayı) sonludur, tek-de˘gerlidir ve s¨ureklidir. P noktasının yeryuvarının i¸cinde veya dı¸sında olmasına g¨ore ¸cekim potansiyelinin birinci ve ikinci t¨urevleri incelenirse, V ’nin ¨ozellikleri hakkında daha

fazla bilgi edinilebilir.

Bu durumda (3.21)’in birinci t¨urevleri (aynı zamanda b’nin bile¸senleri): ∂V ∂x = −G Z Z Z yeryuvarı ρ(x − ξ) l3 dv ∂V ∂y = −G Z Z Z yeryuvarı ρ(y − η) l3 dv ∂V ∂z = −G Z Z Z yeryuvarı ρ(z − ζ) l3 dv (3.23)

olarak bulunur. ˙Ikinci t¨urevler ise ∂2V ∂x2 = −G Z Z Z yeryuvarı ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı ρ(x − ξ)2 l5 dv ∂2_V ∂y2 = −G Z Z Z yeryuvarı ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı ρ(y − η)2 l5 dv ∂2V ∂z2 = −G Z Z Z yeryuvarı ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı ρ(z − ζ)2 l5 dv (3.24)

¸seklinde olur. Buna g¨ore P noktasının yeryuvarının dı¸sında olması durumunda V ’nin birinci ve ikinci t¨urevleri de s¨urekli fonksiyonlardır.

(3.22)’nin birinci ve ikinci t¨urevleri incelenirse; birinci t¨urevler: ∂V ∂x = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(x − ξ) l3 dv − 4 3πGρ(x − x0) ∂V ∂y = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(y − η) l3 dv − 4 3πGρ(y − y0) ∂V ∂z = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(z − ζ) l3 dv − 4 3πGρ(z − z0) (3.25)

ikinci t¨urevler ise ∂2V ∂x2 = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(x − ξ)2 l5 dv − 4 3πGρ ∂2_V ∂y2 = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(y − η)2 l5 dv − 4 3πGρ ∂2V ∂z2 = −G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ l3dv + 3G Z Z Z yeryuvarı−k¨ure ρ(z − ζ)2 l5 dv − 4 3πGρ (3.26)

olarak bulunur. Buna g¨ore P noktasının yeryuvarının i¸cinde olması durumunda V ’nin birinci t¨urevleri s¨urekli iken, ikinci t¨urevleri s¨ureksizdir. Bunun nedeni yo˘gunlu˘gun ani olarak de˘gi¸sti˘gi yerlerde, ikinci t¨urevlerde kesiklik olmasıdır.

(3.21)’in ve (3.22)’nin ikinci t¨urevleri kullanılarak ¸cekim potansiyelinin laplasyeni yazılabilir: ∆V = ∂ 2_V ∂x2 + ∂2V ∂y2 + ∂2V ∂z2 (3.27)

Buna g¨ore iki e¸sitlik ortaya ¸cıkar. (3.21)’in ikinci t¨urevleri i¸cin,

∆V = 0 (3.28)

olur. Di˘ger bir ifadeyle ¸cekim potansiyeli, yeryuvarının dı¸sında (3.28) ile ifade edilen Laplace diferansiyel denklemini sa˘glar. (3.22)’nin ikinci t¨urevleri i¸cin ise

∆V = −4πGρ (3.29)

bulunur. Bu denkleme Poisson diferansiyel denklemi denir. Bu durumda P noktasının yeryuvarının i¸cinde veya dı¸sında olmasına g¨ore ¸cekim potansiyeli farklı karaktere sahiptir.

˙Ikinci b¨ol¨umde de belirtildi˘gi ¨uzere Laplace diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨um¨un¨u veren fonksiyonlara, harmonik fonksiyonlar denir. Daha a¸cık bir ifadeyle, bir fonksiyon e˘ger uzayın belirli bir b¨olgesindeki (¨orne˘gin yeryuvarı i¸cin dı¸s uzay) her noktada Laplace diferansiyel denklemini sa˘glıyorsa bu fonksiyon uzayın o b¨olgesinde harmoniktir denir. Her harmonik fonksiyon aynı zamanda analitik bir fonksiyondur. Analitik fonksiyonlar, s¨urekli oldukları ve her mertebeden t¨urevleri alınabildi˘gi i¸cin Taylor serisine a¸cılabilirler (Heiskanen ve Moritz, 1984). Bu durumda yeryuvarının dı¸sında ¸cekim potansiyeli,

harmonik fonksiyonlar yardımıyla seriye a¸cılabilir. Ancak yeryuvarının i¸cinde Poisson diferansiyel denklemini sa˘glayan ¸cekim potansiyeli analitik fonksiyonlarla ifade edilemedi˘ginden seriye a¸cılamaz. Bu durumda problem, yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının belirlenmesi problemine d¨on¨u¸s¨ur.

Bir S y¨uzeyi ¨uzerinde keyfi olarak tanımlanan sınır de˘gerlerini sa˘glayan bir V harmonik fonksiyonunun (S y¨uzeyinin i¸cinde ya da dı¸sında) hesaplanmasına Dirichlet problemi ya da potansiyel kuramın birinci sınır-de˘ger problemi adı verilir. Bu potansiyel kuramın temel problemidir. E˘ger ki V harmonik fonksiyonu yerine, S y¨uzeyinin dı¸sa y¨onelmi¸s y¨uzey normali boyunca olan t¨urevi (normal t¨urevi) verilir ise buna da Neumann problemi ya da potansiyel kuramın ikinci sınır-de˘ger problemi denir. Karma problem olarak da adlandırılan ¨u¸c¨unc¨u sınır-de˘ger probleminde ise S y¨uzeyi ¨

uzerinde V harmonik fonksiyonu ile bunun normal t¨urevinin lineer bir kombinasyonu verilir. Gravite anomalilerinden jeoit ond¨ulasyonlarının bulunması tam olarak b¨oyle bir problemdir. Bu nedenle potansiyel kuramın ¨u¸c¨unc¨u sınır-de˘ger problemi jeodezide, fiziksel jeodezinin sınır de˘ger problemini kar¸sılar (Heiskanen ve Moritz, 1984).

Yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının (dolayısıyla da dı¸s gravite alanının) belirlenmesi, potansiyel kuramın sınır de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨um¨u ile ¨ozde¸stir. Sınır de˘gerler uydu y¨or¨unge bozulmalarının analizinden, yery¨uz¨unde g¨ozlenen gravite anomalilerinden ya da denizlerdeki altimetre verilerinden t¨uretilen gravite anomalilerinden elde edilir. Bu ama¸c i¸cin sınır de˘ger probleminin ¸c¨oz¨um¨u ¨u¸c a¸samada ger¸cekle¸stirilir:

• t¨um uzayda bilinmeyen bir fonksiyonun belirli bir b¨olgedeki davranı¸sının (alan ¨

ozelliklerinin) belirlenmesi,

• bilinmeyen fonksiyonun (ya da fonksiyonellerinin) bir sınır y¨uzey ¨uzerindeki de˘gerlerinin g¨ozlenmesi, g¨ozlem denklemlerinin olu¸sturulması ve do˘grusalla¸stırılması,

• gere˘ginden fazla g¨ozlemler yardımıyla bilinmeyen parametrelerin dengeleme yoluyla kestirilmesi.

Yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının belirlenmesi probleminde ¸c¨oz¨um, Laplace diferansiyel denkleminin yeryuvarının geometrisine en uygun referans y¨uzeye g¨ore olu¸sturulması ile ba¸slar. Bu durumda k¨ure ya da elipsoit olmak ¨uzere iki referans y¨uzeyden s¨oz edilebilir.

Sayısal uygulamaya daha elveri¸sli olması nedeniyle k¨ure tercih edilse de, kutuplardan basık bir d¨onel elipsoit yeryuvarının ger¸cek ¸sekline daha yakındır ( ¨Ust¨un, 2002). Burada yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanının k¨ure ve elipsoit harmoniklerine a¸cınımı ayrı ayrı incelenecektir.

3.1.1 K¨ure Harmoniklerine A¸cınım

K¨uresel koordinat sisteminde elde edilen Laplace diferansiyel denkleminin ¸c¨oz¨um¨u k¨ure harmoniklerini verir. B¨ol¨um 2.1’de Laplace diferansiyel denklemi, k¨uresel koordinatlar (θ, λ, r) ile ifade edilmi¸s ve de˘gi¸skenlere ayırma y¨ontemi ile ¸c¨oz¨ulm¨u¸st¨ur. Bunun sonucunda elde edilen ¨u¸c adi diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨umleri de ayrı ayrı bulunmu¸stur.

f (r) = c1rn+ c2r−(n+1)

g(θ) = P_nm(cos θ)

h(λ) = c3cos mλ + c4sin mλ

(3.30)

K¨uresel koordinatlardaki Laplace diferansiyel denklemi i¸cin (2.5) olarak ¨onerilen ¸c¨oz¨um,

V (r, θ, λ) = f (r)g(θ)h(λ) = f (r)Y (θ, λ) (3.31)

bi¸ciminde de yazılabilir. Bu ¸c¨oz¨ume dolu k¨ure harmonikleri denir. f (r)’nin bu ¸c¨oz¨umde yerine yazılması ile

V = rnY (θ, λ) V = 1

rn+1Y (θ, λ)

(3.32)

olur. E˘ger do˘grusal bir diferansiyel denklemin birka¸c ¸c¨oz¨um¨u varsa, bu ¸c¨oz¨umlerin toplamı da bir ¸c¨oz¨umd¨ur (Heiskanen ve Moritz, 1984):

V = ∞ X n=0 rnYn(θ, λ) V = ∞ X n=0 Yn(θ, λ) rn+1 (3.33) Y (θ, λ) ise, Y (θ, λ) = g(θ)h(λ) (3.34)