Matematikte trigonometrik fonksiyonlar ve keyfi sabitler ile olu¸sturulmu¸s harmonik ifadeler e˘gri uydurmada kullanılır. Harmonik ifadelerdeki ilk terim n = 0 i¸cin bulunan keyfi sabit, e˘grinin b¨ut¨un noktalarındaki ortalama de˘gere e¸sittir. Trigonometrik fonksiyonlar ile ¸carpılmı¸s keyfi sabitlerden olu¸san harmonik terimler ise ortalama de˘gerden olan sapmaları g¨osterir. Bu harmonik terimlerdeki keyfi sabit ¸carpanı salınımın genli˘gini, trigonometrik ifadeler ise salınımın frekansını ifade eder.
C¸ ekim potansiyelinin k¨ure harmonikleri ile seriye a¸cınımında n = 0 i¸cin bulunan V = GMr , ortalama de˘gere e¸sit olacaktır. C¸ ekim potansiyelinin bu ortalama de˘geri, yeryuvarının homojen bir k¨ure olması durumuna kar¸sılık gelir. n = 0’dan sonraki dereceler i¸cin bulunan her terim, ¸cekim potansiyelinin bu ortalama de˘gerden olan harmonik sapmalarını ifade eder. Bu sapmanın de˘gerinin ortalama de˘gere g¨ore pozitif oldu˘gu yerde kitle fazlalı˘gı, negatif oldu˘gu yerde de kitle eksikli˘gi vardır. Elbette ki bu sapma miktarında asıl pay yeryuvarının kitle da˘gılımının bir fonksiyonu olan Cnm ve
Snm harmonik katsayılarındadır.
C¸ ekim potansiyelinin k¨ure harmonikleri ile bir seri ¸seklinde ifade edilmesi bir bakıma yeryuvarının enlem, boylam ve yarı¸cap bilgisi kullanılarak diferansiyel anlamda k¨u¸c¨uk par¸calara ayrılmasıdır. B¨oylece ¸cekim potansiyeli her bir par¸ca i¸cin ayrı ayrı bulunur. Yukarıda da ifade edildi˘gi gibi, e¸s potansiyel y¨uzeyin a˘gırlık merkezinin, yeryuvarının a˘gırlık merkezi ile ¸cakı¸stı˘gı varsayılarak, bu par¸caların her birinde negatif ve pozitif yo˘gunluklu k¨utle sapmalarının oldu˘gu varsayılmakta ve bu sapmaların toplamı sıfır olacak (yani yeryuvarının k¨utlesi M de˘gi¸smeyecek) ¸sekilde her par¸cadaki k¨utle sapmalarının belirlenmesi ama¸clanmaktadır.
K¨uresel y¨uzey harmonikleri, n’ye ve m’ye ba˘glı olarak k¨ure y¨uzeyini farklı ¸sekillerde b¨oler. K¨ure y¨uzeyinin ku¸saklara b¨ol¨unmesinde birinci t¨ur b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları (Pnm(cos θ)), dilimlere b¨ol¨unmesinde ise cos mλ ve sin mλ fonksiyonları rol oynar. Bu fonksiyonların sıfır noktaları, k¨ure y¨uzeyini meridyenler ve paraleller ile sınırlı, farklı i¸saretli b¨olgelere ayırır (Torge, 2001).
+ + − P2(cos θ) ϑ ≈ 54.7◦ ϑ ≈ 125.3◦ + − − + P3(cos θ) ϑ ≈ 39.2◦ ϑ = 90◦ ϑ ≈ 140.8◦
S¸ekil 3.3: Ku¸sak harmonikleri
S¸ekil 3.4: 6. dereceden Legendre polinomunun k¨ure y¨uzeyine etkisi m = 0 olması durumunda k¨uresel y¨uzey harmonikleri,
Ynmc (θ, λ) = Pn0(cos θ) cos 0λ = Pn(cos θ)
Ynms (θ, λ) = Pn0(cos θ) sin 0λ = 0
(3.69)
olur. Buna g¨ore Ynmc (θ, λ) artık λ’ya ba˘glı olmayıp, Legendre polinomuna e¸sit olurken, Ynms (θ, λ) ise yok olur. Pn(cos θ), n. dereceden bir polinom oldu˘gu i¸cin 0 ≤ θ ≤ π
aralı˘gında n sayıda k¨ok¨u vardır. Daha a¸cık bir ifadeyle Pn(cos θ) = 0 denklemini
sıfır yapan n sayıda θ bulunur. Bu da k¨ure ¨uzerinde n sayıda paralel daire olması anlamına gelir ki Pn(cos θ) bu enlemlerde sıfır olur. B¨oylece k¨ure y¨uzeyi ku¸saklara
ayrılır. Bu nedenle bu t¨ur harmoniklere, ku¸sak harmonikleri (zonal harmonics) denir (Erbudak ve Tu˘gluo˘glu, 1976). Yani Legendre polinomu, k¨ure y¨uzeyini artı ve eksi i¸saretli, ekvatora paralel (n + 1) b¨olgeye ayırmı¸s olur. Bu b¨olgeler, n’nin ¸cift de˘gerleri i¸cin θ = 90◦’ye (ekvatora) g¨ore simetriktir, n’nin tek de˘gerleri i¸cin ise θ = 90◦’ye g¨ore asimetriktir. S¸ekil 3.4’te 6. dereceden bir Legendre polinomunun, k¨ure y¨uzeyine etkisi a¸cıkca g¨or¨ulmektedir.
S¸ekil 3.5: G¨oze harmonikleri (n = 18, m = 9)
S¸ekil 3.6: Dilim harmonikleri(n = m = 9) tanımının (bkz. (2.46)) da yerine yazılmasıyla;
Yc nm(θ, λ) Ys nm(θ, λ) = Pnm(cos θ) cos mλ sin mλ = (sin θ)md mP n(cos θ) d(cos θ)m cos mλ sin mλ (3.70)
¸seklini alır. Burada (sin θ)m sadece θ = 0◦’de ve θ = 180◦’de (kutuplarda) sıfır olur.
dmP n(cos θ)
d(cos θ)m ’nin ise (n − m) sayıda k¨ok¨u vardır. Buna g¨ore iki durum s¨oz konusudur. • E˘ger m 6= n ise Pnm(cos θ), 0 ≤ θ ≤ π aralı˘gında n − m 6= 0 kez sıfır oldu˘gundan,
aynı sayıda i¸saret de˘gi¸stirmi¸s olur. Bu durumda (n − m) sayıda paralel daire ortaya ¸cıkar. Ayrıca 0 ≤ λ ≤ 2π aralı˘gında 2m kez sıfır olan cos mλ ve sin mλ fonksiyonları da meridyen daireleri olu¸sturur. Buna g¨ore k¨ure y¨uzeyinde bir artı, bir eksi i¸saretli olacak ¸sekilde satran¸c tahtasındaki gibi b¨olmeler olu¸sur (Heiskanen ve Moritz, 1984). Bu nedenle bu t¨ur harmoniklere g¨oze/b¨olme/h¨ucre harmonikleri (tesseral harmonics) denir.
• m = n durumunda ise n − m = 0 olaca˘gından, θ’ya ba˘gımlılık ortadan kalkar. Buna g¨ore k¨ure y¨uzeyinde sadece ters i¸saretli dilimler olu¸sur. Bu nedenle de bu t¨ur harmonikler, dilim harmonikleri (sectorial harmonics) olarak isimlendirilir.
d¨u¸s¨uk dereceli harmonik terimlerin incelenmesi yerinde olacaktır. n = 0 i¸cin yeryuvarının ¸cekim potansiyelinin, homojen bir k¨ureninin ¸cekim potansiyeline e¸sit oldu˘gu daha ¨once belirtilmi¸sti.
• n = 1, m = 0 i¸cin P1(cos θ)C10
Bu durumda k¨ure θ = 90◦’ye g¨ore ikiye b¨ol¨un¨ur. Kuzey yarım k¨ure artı, g¨uney yarım k¨ure eksi i¸saretli olur. Buna g¨ore k¨urenin a˘gırlık merkezi, koordinat sisteminin merkezinin kuzeyine do˘gru kayar. Ancak r = 0 ba¸slangıcı yeryuvarının a˘gırlık merkezi olarak kabul edildi˘gi i¸cin (jeosentrik bir koordinat sistemi) bu do˘gru olamaz. Bu nedenle k¨ure harmoniklerine a¸cınımda birinci derece terim yoktur (Heiskanen ve Moritz, 1984). Bundan dolayı C10= 0 kabul edilir.
• n = 1, m = 1 i¸cin P1
1(cos θ)(C11cos λ + S11sin λ)
Bu durumda da artı ve eksi i¸saretli do˘gu ve batı yarım k¨ureler olu¸sur. Yukarıdaki durum ile bener bir sonu¸c do˘gurdu˘gundan bu terimler de sıfır olur (C11= S11=
0).
• n = 2, m = 0 i¸cin P2(cos θ)C20
Burada C20 harmonik katsayısı her zaman negatiftir. Bu nedenle ekvatoral
b¨olgede bir k¨utle fazlalı˘gı, kutup b¨olgelerinde ise bir k¨utle eksikli˘gi olur. Bu durum yeryuvarının basıklı˘gını temsil eder (Dinamik basıklık fakt¨or¨u=J2=−C20).
C20 harmonik katsayısının sayısal de˘geri, di˘ger harmonik katsayıların sayısal
de˘gerlerinden daha b¨uy¨ukt¨ur. n’nin ¸cift oldu˘gu di˘ger ku¸sak harmonikleri de yeryuvarının elipsoidal ¸sekline (n = 2’nin katkısından daha az olsa da) katkı yapar (Torge, 2001).
• n = 2, m = 1 i¸cin P21(cos θ)(C21cos λ + S21sin λ)
Bu durumda kar¸sılıklı olarak k¨urenin (kuzeyinde ve g¨uneyinde) d¨ortte birinde k¨utle fazlalı˘gı ve eksikli˘gi olur. Bu yeryuvarının d¨onme ekseninin presesyon hareketini kar¸sılar. Bu durumda C21 ve S21 harmonik katsayılarının de˘geri
sıfırdan farklı ancak sıfıra ¸cok yakın olur.
• n = 2, m = 2 i¸cin P22(cos θ)(C22cos λ + S22sin λ)
Bu durum d¨onme eksenine g¨ore ekvatoral kitle da˘gılımının asimetrikli˘gini tanımlar (Torge, 2001). Bu, yeryuvarının y¨or¨unge d¨uzlemini (eklipti˘gini) ifade eder.
• n = 3, m = 0 i¸cin P3(cos θ)C30
Bu durum ise kuzey ve g¨uney yarım k¨urelerde basıklıktaki farklılı˘gı ifade eder (Torge, 2001). Bu, armut bi¸cimli (pear-shaped) yeryuvarına kar¸sılık gelir.
T¨um bu harmonik terimler (¸cekim potansiyelinin, k¨uresel harmoniklere a¸cınımı), ¸cekim alanının spektral olarak ayrı¸stırılmasını temsil eder (Seeber, 2003). Terimler biraraya getirilirse k¨ure y¨uzeyi, yeryuvarının ger¸cek ¸sekline benzemeye ba¸slar. Toplam etkisi S¸ekil 3.7’de, 4. dereceden y¨uzey harmonikleri ile ¨ornek olarak g¨osterilmektedir. Y¨uzey ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u (par¸caların boyutları), a¸cısal anlamda 180◦/n
max ya da konumsal anlamda
yakla¸sık 20000/nmax olarak ifade edilir. Buna g¨ore ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u arttırmak yoluyla daha
iyi sonu¸clar elde edebilmek i¸cin a¸cınımın derecesini y¨ukseltmek gerekir.
3.3 K¨ure Harmonikleri Yardımıyla Yeryuvarının Fiziksel Referans