UP = UQ+ N
∂UQ
∂n (3.77)
Burada n elipsoit normali do˘grultusunu ifade eder. P noktasındaki ger¸cek gravite potansiyeli ise,
WP = UQ+ N
∂UQ
∂n + TP (3.78)
olacaktır. Buradan WP = UQ = W0 ve γQ = ∂U∂nQ oldu˘gundan TP = N γQ sonucu
¸cıkar. Bu ba˘gıntı bozucu potansiyel ve jeoit y¨uksekli˘gi arasındaki ili¸skiyi ortaya koyar ve bilinen ¸sekli,
N = TP γQ
(3.79) ile verilen Bruns e¸sitli˘gidir. Bu e¸sitlik, jeoit belirlemenin temel e¸sitliklerinden biridir. Benzer bir yakla¸sım fiziksel yery¨uz¨u i¸cin uygulanabilir (Molodenski yakla¸sımı). Fiziksel yery¨uz¨u ¨uzerindeki bir P noktası, bu noktadan ge¸cen e¸s potansiyel y¨uzey ile aynı potansiyele sahip bir normal gravite alanının e¸s potansiyel y¨uzeyine izd¨u¸s¨ur¨uls¨un (bkz. S¸ekil 3.9). Bu iki e¸s potansiyel y¨uzey arasındaki fark y¨ukseklik anomalisi olarak adlandırılır ve ζ ile g¨osterilir. Bu ¸sekilde Q noktalarının olu¸sturdu˘gu y¨uzeye ise tell¨uroit denir. Gravite alanı belirleme uygulamalarının en temel verisi olan gravite anomalisi elbette burada da s¨oz konusudur. Fiziksel yery¨uz¨u ¨uzerindeki herhangi bir nokta i¸cin, bu b¨uy¨ukl¨u˘g¨u ∆g ile g¨ostermek daha uygun olacaktır. Ayrıca (3.77), (3.78) ve (3.79), jeoit y¨uksekli˘gi yerine y¨ukseklik anomalisini kullanarak benzer ¸sekilde yazılabilir. Buna
g¨ore ζ i¸cin Bruns e¸sitli˘gi ¸su ¸sekilde olur:
ζ = TP γQ
(3.80)
Bu e¸sitli˘gin (3.76)’da yerine konulmasıyla:
ζ = GM rγ nmax X n=2 R r n n X m=0
(∆Cnmcos mλ + ∆Snmsin mλ)Pmn(cos θ) (3.81)
elde edilir. Bu ¸sekilde bulunan ζ, deniz seviyesinde N ile hemen hemen aynıdır. Ancak deniz seviyesinden y¨ukseldik¸ce ζ − N arasındaki fark, ζ’ya eklenerek N bulunmalıdır. Bu fark,
ζ − N = H − HN = −∆gγBH (3.82)
ile tanımlıdır. Burada H jeoit y¨uzeyinden ba¸slayarak fiziksel yery¨uz¨une kadar, ¸cek¨ul e˘grisi boyunca tanımlanan ortometrik y¨uksekli˘gi, HN ba¸slangı¸c y¨uzeyi nivo elipsoidi olmak ¨uzere nivo elipsoidi ile tell¨uroit arasındaki y¨ukseklik olan normal y¨uksekli˘gi, γ ortalama normal graviteyi, ∆gB ise Bouger anomalisini g¨osterir. ∆gB, ger¸cekte
ortalama gravite anomalisidir ve
∆gB= g − γ (3.83)
ile bulunur. (3.83)’de, g ¸cek¨ul e˘grisi boyunca ¨ol¸c¨ulmesi gereken gravite de˘gerlerinin ortalamasıdır ve kısaca ortalama gravite olarak adlandırılır.
g = 1 H H Z 0 gdH (3.84)
γ de, g ile benzer ¸sekilde tanımlanır.
γ = 1 HN HN Z 0 γdHN (3.85)
g’den ve γ’den yararlanılarak sırasıyla H ve HN bulunabilir. Jeoidin potansiyeli W0
ile bir P noktasından ge¸cen e¸s potansiyel y¨uzeyin potansiyeli WP arasındaki fark
jeopotansiyel kot (CP) olarak tanımlanır. Uygulamada, geometrik (hassas) nivelman
jeopotansiyel kotlar kullanılarak ortometrik y¨ukseklik,
H = CP
g (3.86)
ve normal y¨ukseklik,
HN = CP
γ (3.87)
e¸sitlikleri ile belirlenebilir.
Konum belirleme a¸cısından yeryuvarının gravite alanının belirlenmesinin ayrı bir ¨
onemi vardır. GPS ile elde edilen y¨ukseklikler, geometrik esaslara g¨ore belirlenen elipsoidal y¨uksekliklerdir. Elipsoidal y¨ukseklik (h), elipsoit y¨uzeyinden ba¸slayarak fiziksel yery¨uz¨une kadar elipsoit normali boyunca ¨ol¸c¨ulen mesafedir. Fiziksel yasalara g¨ore bu y¨ukseklik t¨ur¨un¨un uygulamada hi¸cbir ¨onemi yoktur. Elipsoidal y¨uksekliklerin klasik nivelman y¨ontemleri ile elde edilen ortometrik y¨uksekliklere d¨on¨u¸st¨ur¨ulmesi gerekir. Bu da jeoit y¨uksekli˘ginin belirlenmesi ya da daha geni¸s bir ifade ile jeoidin modellenmesi ile m¨umk¨und¨ur.
4. Y ¨UKSEK DERECEL˙I LEGENDRE FONKS˙IYONLARININ SAYISAL OLARAK ˙INCELENMES˙I
4.1 Global Jeopotansiyel Modeller
K¨uresel harmonik katsayılardan olu¸san (Cnm ve Snm) global jeopotansiyel
modeller, yeryuvarının dı¸s ¸cekim alanını (dolayısıyla da dı¸s gravite alanını) belirlemek/modellemek amacıyla kullanılır. Bunun yanında di˘ger gravimetrik b¨uy¨ukl¨uklerin (bozucu potansiyel, gravite ve y¨ukseklik anomalileri, ¸cek¨ul sapması bile¸senleri ve jeoit ond¨ulasyonları) elde edilmesinde de bu modellerden yararlanılır. Katsayıların elde edilmesinde kullanılan veri sayısı, global ¨ol¸cekte bunların (homojen) da˘gılımı, ¨ol¸c¨ulerin gravite sinyalinin de˘gi¸sik frekanslarını yansıtıp yansıtmadıkları ve ¨ol¸cme-de˘gerlendirme teknikleri model do˘grulu˘gu ¨uzerinde do˘grudan etkilidir. Model do˘grulu˘gu, katsayılara ili¸skin kestirilmi¸s hata derece varyansları ¨uzerinden (i¸c do˘grulama) ya da do˘grudan do˘gruya modelden hesaplanan jeoit y¨uksekli˘gi, gravite anomalisi, gravite bozuklu˘gu ve ¸cek¨ul sapması bile¸senlerinin yersel ¨ol¸c¨uler ile kar¸sıla¸stırılması (dı¸s do˘grulama) ile belirlenebilir. Verilerin elde edilme ¸sekillerine g¨ore bu modeller ba¸slıca ¨u¸c gruba ayrılır (Tepek¨oyl¨u, 2007):
• Yalnız uydu g¨ozlemlerini i¸ceren jeopotansiyel modeller: Katsayıları yapay uyduların y¨or¨unge sapmalarının analizinden elde edilen bu t¨ur modellerin a¸cınım dereceleri d¨u¸s¨ukt¨ur. 1960’lı yıllardan ba¸slayarak bir¸cok uydu (jeodezik ama¸clı fırlatılmamı¸s olsa bile), i¸cinde bulundu˘gu gravite alanını belirlemek i¸cin kullanılmı¸stır. Ancak 2000’li yıllara gelindi˘ginde gravite alanını belirleme ama¸clı, CHAMP, GRACE ve GOCE uyduları fırlatılmı¸stır.
• Birle¸stirilmi¸s jeopotansiyel modeller: Yalnız uydu g¨ozlemleri ile belirlenen global jeopotansiyel modellerin, yersel gravite ve denizlerde altimetre ¨ol¸c¨uleri ile elde edilen gravite anomalileri ile birle¸stirilmesi sonucu olu¸sturulan modellerdir. B¨oylelikle modelin a¸cınım derecesi y¨ukseltilebilir.
• Yeniden bi¸cimlendirilmi¸s global jeopotansiyel modeller: Lokal bir alandaki yo˘gun gravite verileri kullanılarak, birinci ve ikinci grupta yer alan global jeopotansiyel modellerin k¨uresel harmonik katsayılarının iyile¸stirilmesi ile bu t¨ur modeller elde edilir. Bu sayede model derecesi de y¨ukseltilmi¸s olur.
¨
Ol¸cme ve de˘gerlendirme tekniklerindeki geli¸smelere ba˘glı olarak global jeopotansiyel modellerde de s¨urekli bir iyile¸sme s¨oz konusudur. Bu, global jeoit ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨un¨un artması anlamına gelmektedir. Daha a¸cık bir ifadeyle global jeopotansiyel modellerin derecesi arttık¸ca, y¨ukseklik anomalisi, gravite anomalisi ve ¸cek¨ul sapması gibi b¨uy¨ukl¨uklerin hataları azalır ve bu durum daha iyi do˘grulukta jeoit belirlemeye imkan verir (Wenzel, 1998).
Harmonik a¸cınıma dayalı gravite modeli olu¸sturma ¸calı¸smalarında a¸cınım teorik olarak sonsuz olmalıdır. Ancak yery¨uz¨unde kısıtlı sayıda ger¸cekle¸stirilmi¸s g¨ozlemler nedeniyle modelin derecesi arttık¸ca katsayıların hata de˘gerleri de artaca˘gından a¸cınım derecesi, belli bir sayıda sonlandırılır. Genellikle son geli¸stirilen modeller, ¨oncekilere g¨ore t¨um d¨unyayı kapsayacak ¸sekilde bir veri da˘gılımına ve do˘grulu˘guna sahiptir. Bu nedenle a¸cınım dereceleri gittik¸ce artmı¸stır. Orne˘gin 360. dereceden bir k¨¨ uresel harmonik a¸cınımın a¸cısal ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u 30′, konumsal ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u yakla¸sık 55 km’dir. Buna kar¸sılık veri ¸c¨oz¨un¨url¨u˘g¨u a¸cısal anlamda 1′ ya da konumsal anlamda yakla¸sık 1.9 km olan bir k¨uresel harmonik a¸cınımın derecesinin 10800 olması gerekir.
Global jeopotansiyel modellerin ba¸slangıcı Jeffreys (1943) (nmax= 3) ve Zhongolovich
(1952) (nmax = 8) modelleri ile 20. y¨uzyılın ortalarına dayanır. Daha sonraları
(¨ozellikle de uyduların devreye girmesi ile) elde edilen gravite verilerindeki yo˘gunla¸sma, modellerin a¸cınım derecelerinin artmasını sa˘glamı¸stır. Fourier d¨on¨u¸s¨um¨u kullanılıncaya kadar a¸cınım derecesi 50 ile sınırlı kalmı¸s, daha sonra hesap tekni˘gindeki ilerlemeler ile 180’e (EGM84) ve 360’a (EGM96) kadar ¸cıkmı¸stır. Yakın bir zamanda ise maksimum a¸cınım derecesi 2190 olan EGM08 ortaya konulmu¸stur. U.S. National Geospatial- Intelligence (NGA) tarafından 2008 yılında yeni ¨ol¸c¨uler ile hesaplanan EGM08 i¸cin a¸cısal ¸c¨oz¨un¨url¨uk yakla¸sık 5′
iken, konumsal ¸c¨oz¨un¨url¨uk yakla¸sık 9 km’dir (Pavlis vd., 2008).
4.2 Y¨uksek Dereceli Legendre Fonksiyonlarının Kullanılabilirli˘gi
Elde edilen gravite verilerinin zenginli˘ginin, y¨uksek ¸c¨oz¨un¨url¨ukl¨u global jeopotansiyel modellerin ortaya ¸cıkmasında en ¨onemli unsur oldu˘gunu daha ¨once belirtmi¸stik. Bu t¨ur global jeopotansiyel modeller, yeryuvarının gravite alanının d¨uzg¨un ve tam bir b¨olgesel veya global temsiline izin verir. Bu modeller do˘gal olarak y¨uksek dereceli harmonik serileri do˘gurur. Yeryuvarının gravite alanını belirleme tekniklerinin kar¸sıla¸stırılması
ve ge¸cerlili˘ginin belirlenmesi i¸cin kullanılan yapay (sentetik) yeryuvarı gravite modelleri, y¨uksek dereceli harmonik serilerin kullanılabilirli˘gini g¨ostermi¸stir. Bu konuda ayrıntılı bilgi i¸cin Featherstone (1999)’a ve Haagmans (2000)’e bakılabilir.
Harmonik serilerin de˘gerlendirilmesi ile ilgili jeodezide, matematikte ve k¨uresel harmonikleri u˘gra¸s alan di˘ger bilim dallarında uzun yıllardır bir¸cok ¸calı¸sma yapılmı¸stır (Rizos, 1979; Colombo, 1981; Tscherning ve Poder, 1982; Tscherning vd., 1983; Gleason, 1985; Driscoll ve Healy, 1994; Bethencourt vd., 2005). B¨ut¨un bu ¸calı¸smalar g¨osterir ki; y¨uksek dereceli global jeopotansiyel modellerin sayısal olarak kullanılmasında dikkat edilmesi gereken noktalar vardır (Bethencourt vd., 2005; Wittwer vd., 2008):
• Kullanılan algoritmanın sayısal etkinli˘gi (ki bu, kullanılan bilgisayara, derleyiciye ve programa ba˘glıdır),
• Do˘gruluk (¨ozellikle yuvarlatma hataları ve bunların yayılmaları ile ili¸skili olarak), • Kullanılan yineleme ba˘gıntılarının kararlılı˘gı.
Ancak y¨uksek dereceli harmonik serilerin de˘gerlendirilmesinde temel zorluk, b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonlarından kaynaklanır. Enlem de˘gerleri de˘gi¸stik¸ce, hesaplanması gereken y¨uksek dereceli b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları ¸cok karma¸sık bir g¨or¨un¨um alır. Aslında bu karma¸sıklık, y¨uksek dereceler i¸cin bu fonksiyonların olduk¸ca geni¸sleyen de˘ger aralı˘gı ile ilgilidir. Bu durum Legendre fonksiyonlarının (Legendre polinomları + b¨ut¨unle¸sik Legendre fonksiyonları) hesaplanması i¸cin temel ara¸clar olan yineleme ba˘gıntılarının ¸calı¸smamasına neden olur (Holmes ve Featherstone, 2002; Jekeli vd., 2007). Ger¸cekte sayılar (artı veya eksi) sonsuza kadar gitse de, bilgisayarlarda bu m¨umk¨un de˘gildir.
IEEE 754 standardına g¨ore her ¸cift duyarlıklı kayan noktalı sayının bellekte kapladı˘gı alan 64 bit olarak belirlenmi¸stir. ˙Incelik ise yakla¸sık 15–16 basamaktır. C¸ ift duyarlıkta alt ve ¨ust sınır de˘gerler sırasıyla, negatif kayan noktalı bir sayı i¸cin -4.9E -324 ve -1.7E +308, pozitif kayan noktalı bir sayı i¸cin 4.9E -324 ve 1.7E +308 olarak tanımlanmı¸stır (Vickery, 2008). Di˘ger bir ifadeyle bunlar, bellekte do˘gru olarak saklanabilecek sayıların aralıklarını ifade eder. Hesaplanmı¸s herhangi bir de˘ger, negatif kayan noktalı bir sayı i¸cin alt sınır de˘gerinden b¨uy¨uk, pozitif kayan noktalı bir sayı i¸cin alt sınır de˘gerinden k¨u¸c¨uk ise a¸sa˘gı-ta¸sma (underflow) problemi ortaya ¸cıkar. Bu durumda sayı, sistem tarafından sıfır olarak kabul edilir. Hesaplanmı¸s de˘gerin, negatif kayan noktalı bir sayı
-5 -4 -3 -2 -1 0 log(|P n |) 0 30 60 90 Kutup uzaklığı (θ) P10 P100 P1000 P10000