Legendre polinomları

LEGENDRE POLİNOMLARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Pınar TEMUR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR

Mayıs 2006

LEGENDRE POLİNOMLARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Pınar TEMUR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Bu tez 06 / 06 /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Metin BAŞARIR Doç. Dr. Elman ALİYEV Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR

Jüri Başkanı Üye Üye

ii

Bana bu çalışmayı vererek beni yönlendiren ve çalışmalarım sırasında benden yakın ilgi ve alakalarını esirgemeyen değerli hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR’e en derin teşekkür ve şükranlarımı sunarım.

iii İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

ŞEKİLLER LİSTESİ... vi

TABLOLAR LİSTESİ... vii

ÖZET... viii

SUMMARY... ix

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR... 3

BÖLÜM 3. LEGENDRE DİFERENSİYEL DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ... 14

3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi... 14

3.2. Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü... 18

3.3. Legendre Polinomları... 25

3.4. Rodrigues Formülü... 29

BÖLÜM 4. LEGENDRE POLİNOMLARININ ÖZELLİKLERİ 36

4.1. Doğurucu Fonksiyonlar... 36

4.2. Diferensiyel İndirgeme Bağıntısı... 48

iv

4.3. İndirgeme Bağıntıları Yardımıyla Legendre Diferensiyel

Denkleminin Elde Edilmesi ……… 51

4.4.P_n(x) in Hipergeometrik Formu... 4.5. Legendre Polinomlarının Dikliği... 53 57 4.6. P_n(x) in Yeni Özellikleri... 59

4.7. Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi... 62

4.8. Laplace ın ilk integral formu... 66

4.9. Fonksiyonların Legendre Polinom Serileri Yardımıyla Gösterimi... 70

4.10. Legendre Polinomlarının Sıfırları... 72

4.11. x Genişlemesi... ⁿ 79 4.12 İkinci Tip Legendre Fonksiyonu... 82

4.13. Birleştirilmiş Legendre Polinomları... 84

4.14. Birleştirilmiş Legendre Fonksiyonunun Belirsiz İntegrali İçin Rekürans Bağıntısı... 89 BÖLÜM 5. LEGENDRE POLİNOMLARININ UYGULAMALARI 97 5.1. Legendre Polinomlarının Fiziksel Problerdeki Uygulaması... 97

BÖLÜM 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 103

KAYNAKLAR... 104

ÖZGEÇMİŞ... 105

v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

) (x

L_n : Basit Laguerre polinomları )

, (m n

B : Beta fonksiyonu

) (x

J_n : Birinci Tür Bessel fonksiyonu a)n

( : Faktöriyel fonksiyonu

)

Γ(x : Gama Fonksiyonu

) , , ,

( x

F α β γ : Hipergeometrik fonksiyon

∇2 : Laplace Operatörü )

(x

P_n : Legendre polinomu

n

Dx : x e göre n yinci basamaktan türev operatörü

r : yarıçap

vi ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 3.1. İlk altı Legendre Polinomu………... 33 Şekil 4.1. İlk dört İkinci Tip Legendre Fonksiyonu……….. 84

vii TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 4.1. Gaussian Quadrature Yardımıyla Elde Edilen Çeşitli

Tamsayılar için Belirli İntegralin Yaklaşık Değerleri………… 72

viii ÖZET

Anahtar Kelimeler: Legendre Diferensiyel Denklemi, Legendre Polinomları, Laplace denklemi, Küresel koordinatlar, Doğurucu fonksiyon.

Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde Legendre polinomlarının kullanım alanlarından bahsedilmiş teze giriş yapılmıştır. Ayrıca Legendre polinomları ile ilgili ilk çalışmadan bahsedilmiştir.

İkinci bölümde tezde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre denklemi elde edilmiştir. Daha sonra Legendre denkleminin çözümleri olan Legendre polinomları üzerinde durulmuştur.

Dördüncü bölümde Legendre polinomlarının özellikleri verilmiştir.

Beşinci bölümde Legendre polinomlarının fiziksel uygulaması üzerinde durulmuştur.

Altıncı bölümde ise tez çalışmasından elde edilen sonuçlar belirtilmiştir.

ix SUMMARY

Key Words: Legendre Differential Equation, Legendre polynomials, Laplace equation, spherical coordinates, Generating Functions.

This thesis is consists of six chapters.

In the first chapter , it is mentioned about the using areas of the polinomials and there is an introduction to the thesis. Furthermore, it is discussed about the first study of the Legendre polynomial.

In the second chapter, main definitions and concepts used in the thesis are given.

In the third chapter, the Legendre equation is obtained by benefiting from the statement of spherical coordinates in the Laplace equation . The Legendre polinomials are emphasized which are the solutions of the Legendre equation.

In the fourth part , the features of the Legendre equation are emphasized.

In the fifth chapter , it is focused on the physical practice of the Legendre polinomials.

Finally in the sixth chapter , the results are stated gained through the study of thesis.

Matematiksel fizik problemleri çoğu zaman katsayıları değişkenlerine bağlı olan Adi Diferensiyel Denklemler veya Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemler yardımıyla ifade edilmektedir. Bu tipteki denklemlerin özelliği araştırma yapılan bölgede veya bölgenin sınır çizgisinin üzerinde katsayıların tekil (singüler) olmasıdır. Yani bölgenin bazı noktalarında katsayıların sıfır olması veya belirsizlik halinde bulunmasıdır. Böyle tipteki denklemlere dönüşen fiziksel problemlerin analitik çözümlerini bulmak çok zor olduğu gibi bazı durumlarda çözüme ulaşmakta mümkün değildir. Problemin zorluğu, denklemin çözümünün sonsuz seri şeklinde aranmasından kaynaklanmaktadır. Böyle durumlarda ise karşımıza yeni bir problem çıkmaktadır. Bu da denklemin tüm özel durumları için sonsuz serinin yakınsaklığının ispatlanması ve özdeğer fonksiyonlarının ortogonalliğinin gösterilmesidir. Ayrıca matematiksel fizik probleminin çözümünün kararlılığını ispatlamak ve korumakta gerekir.

Bu cins fiziksel problemlere uyan denklemler Bessel, Legendre, Chebyshev-Hermite, Chebyshev- Laguerre tipindeki denklemlerdir. Bu tipteki denklemlere fiziksel problemlerin çözümlerinde sıkça rastlanmaktadır. Örneğin bu uygulama klasik mekanik problemlerinde başlamış, elektromanyetik teori, kuantum mekaniği, kuantum fiziği ve termodinamik problemlerinde de kullanılmıştır.

Bu zorlukları aşmak için bilimde birçok önemli özel fonksiyonlar sınıfı oluşturulmuştur. Bunlardan en çok kullanılanı silindirik fonksiyonlar (Bessel, Hankel, Weber, Neuman fonksiyonları) , küresel fonksiyonlar (Legendre polinomları) ve özel polinomlar (Chebyshev-Hermite, Chebyshev- Laguerre polinomları) nın oluşturduğu sınıflardır. Bu tür denklemlerin yardımıyla ve özel fonksiyonların kullanılması ile çeşitli fiziksel olaylarda ve tekniğin önemli

problemlerinde yaklaşık çözümler bulunmakta ve problemlere açıklık getirilebilmektedir.

Bu nedenlerle konunun önemi dikkate alınarak bu tezde, Legendre diferensiyel denklemi, onun çözümü olan Legendre polinomları ve Legendre polinomlarının özelikleri incelenerek tek bir kaynakta toplanmıştır.

{

P_n(x)

}

Legendre polinomları 1785 yılında Legendre tarafından

( )

ⁿ

n

n x t P t

xt ( )

2 1

0 2

2 1

∑

^∞

=

− =

+

−

bağıntısı yardımıyla tanımlanmıştır. 1874 yılında Gegenbauer, Legendre polinomlarını genelleştirmiş ve

( )

ⁿ

n v n

v C t

t

xt

∑

^∞

=

− =

+

−

0

2 2

1

bağıntısını sağlayan cümle için

{

^Cn^v(x)

}

notasyonunu kullanmıştır. Burada v, sıfır ve negatif tamsayı olmayan herhangi bir reel sayıdır.

Tanım 2.1. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri üzerinde bağımsız değişkenin aynı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin bulunması problemine Başlangıç Değer Problemi denir. Verilen şartlara da Başlangıç Şartları denir.

[ ]

2

Tanım 2.2. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri üzerinde bağımsız değişkenin farklı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin bulunması problemine Sınır Değer Problemi denir. Verilen şartlara da Sınır Şartları denir.

[ ]

2

Tanım 2.3. Birinci mertebeden bir diferensiyel denklem aranan fonksiyon ile onun türevine göre lineerse, bu durumda denkleme birinci mertebeden lineer diferensiyel denklem denir.

[ ]

2

Tanım 2.4. Reel değişkenli f(x) fonksiyonu, h nin komşuluğunda (x-h) nin kuvvetlerine göre Taylor serisine açılabiliyorsa bu fonksiyon h de analitiktir. Bir (a,b) aralığının her noktasında analitik olan bir fonksiyon o aralıkta analitiktir.

Karmaşık değişkenli ve tek değerli bir f fonksiyonu, D nin ancak bazı noktaları hariç diğer noktalarında türevlenebiliyorsa, bu fonksiyon D de analitiktir. Eğer bu fonksiyon D nin bütün noktalarında türevlenebiliyorsa buna düzgün analitik fonksiyon denir. Örneğin,

z z z

f −

= + 1 ) 1 (

fonksiyonu, z=1 noktası hariç her yerde analitiktir.

[ ]

⁴

Tanım 2.5. y′′+P(x)y′+Q(x)y=0 denkleminde P(x) ve Q(x) fonksiyonları x ₀ noktasında analitik iseler, x noktasına adi nokta denir. ₀

[ ]

2

Tanım 2.6. Tanım 1.5 deki P(x) ve Q(x) fonksiyonlarıx da analitik değil iseler bu ₀ taktirde x noktasına , ₀ y′′+P(x)y′+Q(x)y=0 denkleminin tekil noktasıdır denir.

[ ]

2

Tanım 2.7. λ gerçel (veya karmaşık) parametre olmak üzere

, 0 ) ( )

( )

( ⎟− + =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ q x y x y

dx x dy dx p

d λρ a≤ x≤b (2.1)

diferensiyel denklemini ele alalım. L diferensiyel operatörü

q x y

dx x dy dx p

Ly d ( ) ⎟+ ( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= (2.2a)

olarak tanımlanırsa (2.1) denklemi bu operatör yardımıyla

Ly−λρ(x)y =0 (2.2b)

biçiminde yazılabilir. Burada L ye ikinci mertebeden lineer diferensiyel operatör, λ sayısına spektral parametre, q(x)fonksiyonuna ise potansiyel fonksiyonu denir.

(2.2a,b) denkleminin

U₁y= A₁y(a)+B₁y′(a)=0

U₂y= A₂y(a)+B₂y′(a)=0 (2.3)

sınır koşullarını sağlayan çözümünün bulunması problemine Sturm-Liouville sınır değer problemi adı verilir.

[ ]

5

Tanım 2.8. (2.1) ifadesi, λ spektral parametresine bağlı bir denklemler ailesidir.y(x)=0 fonksiyonu λ nın her bir değerinde denklemi ve verilmiş sınır koşullarını sağladığına göre aşikar bir çözümdür. Eğer bu homojen denklemin,λ nın herhangi bir değerinde (2.3) homojen sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı çözümü varsa, λ nın bu değerine sınır değer probleminin özdeğeri , bu özdeğere karşılık gelen çözüme ise özfonksiyon denir.

[ ]

⁵

Tanım 2.9. xyz uzayında bir P(x,y,z) noktası verilmiş olsun. P noktasının orjine olan uzaklığı ρ, OP doğru parçasının oz-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü θ olsun. OP doğru parçasının xoy düzlemindeki dik izdüşümü

[ ]

O ′P , ve

[ ]

O ′P doğru parçasının ox-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü ϕ olsun.

[ ]

^{O ′P =ρsinθ}

olduğundan,

x=ρsinθcosϕ

y=ρsinθ sin ϕ

z=ρcosθ

olur.Böylece xyz-koordinat sisteminden ρθϕ koordinat sistemine bir bölge dönüşümü elde edilmiş olur. Bu durumda P noktasının ρθϕ sistemindeki koordinatları (ρθϕ) olur. Bu sayılara P noktasının küresel koordinatları adı verilir.

[ ]

3

Tanım 2.10. a₁,a₂,K,a_n sabit gerçel sayılar olmak üzere

)

1 (

1 1 1

1 a y f x

dx x dy dx a

y x d

dx a y

x d _{n n n}

n n n

n

n ⋅ + ⁻ ⋅ ⁻₋ +K+ ₋ ⋅ ⋅ + =

şeklindeki diferensiyel denkleme Euler-Cauchy diferensiyel denklemi denir.

[ ]

²

Tanım 2.11. A⊂ ve V bir vektör uzayı olsun. A nın her bir elemanına V nin bir R ve yalnız bir elemanını karşılık getiren fonksiyona bir vektör değerli fonksiyon adı verilir.

[ ]

²

Tanım 2.12. F ve G vektör değerli fonksiyonlar olsun.

∀ t∈ A için F(t).G(t)=0 ise F ile G , A üzerinde ortogonaldir(diktir) denir.

Tanım 2.13.

0 ) ( )

( )

( ⎟− + =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ q x y x y

dx x dy dx p

d λρ

denklemi uygulamalarda karşılaşılan ve özfonksiyonlarına özel fonksiyon denilen bir dizi denklemin genel biçimidir. Regüler Sturm-Liouville probleminden farklı olarak, p(x) fonksiyonunun

[ ]

^a,b aralığının uç noktalarında sıfır olması veya bu aralığın sonsuz olması halinde bu denklemler için tanımlanan sınır değer problemi tekil Sturm-Liouville problemi olarak adlandırılır. O halde özel fonksiyonlar, tekil Sturm-Liouville sınır değer probleminin çözümleri olan fonksiyonlardır.

[ ]

8

Tanım 2.14. a herhangi bir reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere (a)_n faktöriyel fonksiyonu,

(a)_n =a(a+1)(a+2)K(a+n−1) n≥1

şeklinde tanımlanır. Böylece (a)_n sembolü,a çarpanından başlayarak her bir çarpanın bir öncekinden bir fazla olduğu n tane çarpanın çarpımını göstermektedir.

Özel olarak,

1 )

(a ₀ = a≠0 için

olarak tanımlanır. Faktöriyel fonksiyonu

! 3

. 2 . 1 ) 1

( _n = Kn=n için bilinen faktöriyelin genişletilmişidir.

[ ]

9 Tanım 2.15. x>0 olmak üzere Gamma fonksiyonu

dt e t x ^{x −t}

∞

∫

−

= Γ

0

) 1

(

ile tanımlanır.

Γ(x+1)= xΓ(x) x>0

bağıntısı vardır ve bu bağıntının tekrar tekrar kullanılmasıyla bir n tamsayısı için

a n

a a n

a n a

n a n

a n a

n a n

a n a

) (

) ( ) ( ) 2 )(

1 (

) 2 (

) 2 )(

1 (

) 1 (

) 1 (

) (

=

Γ

− +

− +

=

− + Γ

− +

− +

=

− + Γ

− +

= + Γ

L M

ifadesi elde edilir. Faktöriyel fonksiyonu ile Gamma fonksiyonu arasında

) (

) ) (

( a

n a _n a

Γ +

= Γ , n tamsayı n>0 ve a>0

bağıntısı vardır. n≥1 tamsayısı için x=n alırsak,

Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)Γ(n−1)=K=n!Γ(1)

ve

(1) 1

0

=

= Γ ^∞

∫

^e−tdt

olduğundan

Γ(n+1)=n!

bulunur.

[ ]

9

Tanım 2.16. p bir sabit olmak üzere,

₂ ( ^{2 2}) 0

2

2 + + x − p y =

dx xdy dx

y

x d (2.4)

diferensiyel denklemine p inci mertebeden Bessel denklemi denir. (2.4) denklemin çözümü

n

n

n x

a n x y

2

0 2

0

1 ( !) 2

) 1 ) (

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∑

^∞

=

şeklindedir. Eğer 1a₀ = olarak alınırsa, denklemin özel çözümü, J ile gösterilen ve ₀ sıfırıncı mertebeden birinci tip Bessel fonksiyonu olarak adlandırılan

n

n

n x

x n J

2

0 2

0 ( !) 2

) 1 ) (

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∑

^∞

=

fonksiyonudur.

[ ]

9

Tanım 2.17. a, b, c sabit parametreler olmak üzere,

x(1−x)y′′+

[

c−(a+b+1)x

]

y′−aby =0 (2.5)

denklemine Hipergeometrik denklem adı verilir. (2.5) denkleminin bir özel çözümü

∑

^∞

=

+

=

1

1 ( ) !

) ( ) 1 (

n n

n n n

n c

x b y a

şeklindedir. Bu özel çözüm hipergeometrik fonksiyon olarak adlandırılır ve )

;

; , (a b c x

F sembolü ile gösterilir. Yani,

)

;

; , (a b c x

F =

∑

^∞

=

+

1 ( ) !

) ( ) 1 (

n n

n n n

n c

x b a

(2.5) denkleminin bir çözümüdür.

[ ]

9

Tanım 2.18. B(m,n) ile gösterilen Beta fonksiyonu Gamma fonksiyonu yardımıyla

dx x n x

m n n m

m

B ^m .(1 )ⁿ .

) (

) ( ).

) ( ,

( ¹

1

0

1 −

− −

+ = Γ

Γ

= Γ

∫

şeklinde tanımlanır.

[ ]

9 Tanım 2.19.

xy′′+(1−x)y′+ny=0 (2.6)

diferensiyel denklemi Laguerre denklemi olarak adlandırılır ve bu denklemin bir özel çözümü Laguerre polinomu olarak adlandırılan

∑

=

= ⁿ −

k

k k

k x y n

0 2

1 ( !)

)

( ,

fonksiyonudur Burada

)!

(

! ) 1 ) (

( n k

n n

k

k −

= −

−

dir. Laguerre polinomu L_n(x) ile gösterilir ve

∑

∑

= = −

= −

= − ⁿ

k

k n k

k

k k

n k n k

x n k

x x n

L

0 2

0 2 ( !) ( )!

! ) 1 ( )

! (

) ) (

(

şeklinde tanımlanır. n=0, 1, 2,_Kiçin Laguerre polinomları

( )

) !

( _n ^{n x}

n x

n x e

dx d n x e

L = ⁻

şeklinde de yazılabilir.

[ ]

⁹

Tanım 2.20. n bir parametre olmak üzere

y′′−2xy′+2ny=0

diferensiyel denklemine Hermite denklemi adı verilir. Bu denklemin çözümü tüm sonlu x ve a_0,a₁ keyfi değerleri için

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − + − + −

+

=

∑

^∞

=1

2

0 (2 )1

) 2 2 ( ) 2 )(

( 1 2

k

k k

k

x k n n

a n

y L

+ _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+

− +

− +

− +

∑

^∞ −

=

+

1

1 2

1 (2 1)!

) 2 2 1 ( ) 2 1 )(

1 ( 2

k

k k

k

x k n n

x n

a L (2.7)

şeklindedir.Eğer n sıfır veya pozitif tamsayı ise Hermite denklemi daima n inci dereceden (2.7) şeklinde polinomsal bir çözüme sahiptir. Bu polinomsal çözüm;

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2n

1 , n

2

1 den büyük ya da eşit olan en büyük tamsayı olmak üzere, H_n(x) ile

gösterilir ve

∑

^⎥⎦

⎢⎣ ⎤

⎡

=

−

−

= −

n

k

k n k

n k n k

x x n

H

2 1

0

2

)!

2 (

!

) 2 (

! ) 1 ) (

(

fonksiyonu ile tanımlanır ve Hermite polinomu olarak bilinir.

[ ]

⁹

Tanım 2.21.

{

f_n(x)

}

şeklinde gösterilen fonksiyonlar kümesi için doğurucu fonksiyon

∑

^∞

=

=

0

) ( )

, (

n

n n nf x t c

t x G

şeklindedir. Burada c , _n

{

f_n(x)

}

kümesinin parametrelerini içeren n nin bir fonksiyonu x ve t ise bağımsız değişkenlerdir. Örnek olarak

{

^1,x,x2,_K^,xn,_K

}

fonksiyon kümesinin bir doğurucu fonksiyonu exp

{ }

xt dir. Çünkü

{ }

^{n n}

n n

n

t n x n

xt

∑

^∞ xt

∑

=

∞

=

=

=

0 0 !

1

! ) exp (

yazılabilmektedir. Burada G(x,t) yerine exp

{ }

xt , c yerine _n

! 1

n ve f_n(x) yerine x ⁿ gelmiştir.

[ ]

⁷

Teorem 2.1. ϕ_n(x), a<x<b üzerinde ω(x)>0 olacak şeklinde reel ortogonal polinomların bir kümesi olsun. h _n

) 1

( = _n ⁿ + _n−

n x h x π

ϕ

olacak şekilde bir katsayı olsun ve

( )

x x dx

g

b

a

k k

k

k ^{= ϕ} ,^{ϕ =}

∫

^ω( )^{ϕ 2}( ) olsun. Bu durumda

x y

y x x

y h

g y h x

g ^{n n n n}

n n

n k

k n

k

k −

⋅ −

= ^{+ +}

= +

∑

− ^{( ) ( ) 1( ) ( ) 1( ) ( )} 0 1

1ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

dır.

[ ]

6

Teorem 2.2. ψ_n(x) polinomları ω(x)>0 olacak şekilde (a,b) aralığında ortonormal bir küme ise ve

dx x f x) ( )

( ²

∫

^ω

mevcut ise

∫

⁼

∞

→ ( ) ( ) ( ) 0

lim x f x _n x dx

n ω ψ (2.8)

dir. Eğer (2.8) ortogonal polinomlara göre belirlenmek istenirse

∫

=

b

a

n

n x x dx

g ω( )ϕ ²( )

ve (2.8) de

0 ) ( ) ( ) (

lim→∞g ⁻²¹

∫

x f x x dx=

b

a

n

n n ω ϕ

olarak alınmalıdır.

[ ]

6

3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi

2 2 2

∂x

≡ ∂

∂ ψ ψ ₂ 0

2 2

2 =

∂ +∂

∂ +∂

x y

ψ

ψ

^(3.1.1)

Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre denklemi elde edilebilir.

(3.1.1) ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için (x,y,z) düzleminde

ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ cos

sin sin

sin cos

r z

r y

r x

=

=

=

dönüşümleri ile (r,ϕ,ϑ) küresel koordinatlarına geçilirse,

sin 0 sin 1

sin 1 1

2 2 2 2 2

2 2

2 =

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∇ ϕ

ψ ϑ ϑ

ϑ ψ ϑ ϑ ψ ψ

r r r

r r

r (3.1.2)

denklemi elde edilir.Bu denklemin,

) ( ).

( ).

( ) , ,

( ϑ ϕ ϑ ϕ

ψ r =R r Θ Φ

şeklinde değişkenlerine ayrılabilir çözümünü bulmak için

Φ Θ

∂ =

∂

Θ Φ

∂ =

∂

ΘΦ

∂ =

∂

d R d d R d

dr dR r

ϕ ϑ ψ

ϑ ϑ ψ ψ

türevleri (3.1.2) de yerine yazılırsa,

) 0 ( sin

) ( ) ) (

) ( sin (

sin ) ) (

( ) ) ( (

2 2 2

2 Θ Φ =

+

⎟Φ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ

+ Φ

⎟Θ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

ϕ ϕ ϑ

ϕ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ

ϑ d

d r

R d

d d

d r R dr

r r dR dr

d

elde edilir. R(r)Θ(ϑ)sin²ϑ ≠0 olduğundan bulunan son denklemin RΘsin²ϑ ile bölünmesiyle ,

) 0 ( sin

) (

1

) sin (

sin ) (

1 )

( )

( 1

2 2 2 2

Φ = +Φ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ

+Θ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

ϕ ϕ ϑ

ϕ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

d d

d d d

d dr

r r dR dr

d r R

(3.1.3)

elde edilir. Bu denklemde ilk terim yalnızca r ye bağlı olduğundan ve son iki terim de r den bağımsız olduğundan ilk terim bir sabite eşit olur. Bu sabit n(n+1) olarak alınırsa,

) 1 ) (

( )

(

1 ₂

+

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ n n

dr r r dR dr

d r

R (3.1.4)

veya

0 ) ( ) 1 ) (

2 ( ⎟− + =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ n n R r

dr r r dR dR

d

elde edilir. Buradan

0 ) ( ) 1 ) (

( )

2 ( ₂

2

2 − + =

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ n n R r

dr r R r d dr

r r dR

Euler diferensiyel denklemi elde edilmiş olur. Euler diferensiyel denkleminin çözümü ise

c n n

nr a

R ⁺

∞

∑

=

=

0

yardımıyla

R(r)=Arⁿ +Br⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

şeklinde bulunabilir.

(3.1.4) ün (3.1.3) de yerine yazılmasıyla,

) 0 ( ) ( 1

) sin (

) ( sin sin

) 1 (

2 2 2

Φ = +Φ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ

+Θ +

ϕ ϕ ϕ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

d d

d d d

n d n

(3.1.5)

denklemi elde edilir.

(3.1.5) in sol tarafındaki son ifade yalnızca ϕ nin bir fonksiyonu olduğundan bir sabite eşittir. Bu sabiti -m² olarak seçilirse,

2 2

2 ( )

) (

1 m

d

d Φ =−

Φ ϕ

ϕ ϕ

veya

0 ) ) (

( ₂

2

2Φ + Φ ϕ =

ϕ

ϕ m d

d

elde edilir.

(3.1.5) in her iki tarafı Θ(ϑ) ile çarpılırsa,

n(n+1) ( ) 0

) ( 1 )

sin ( sin

) (

sin ₂

2

2 ΦΘ =

+Φ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ

+

Θ ϑ

ϕ ϕ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ d

d d

d d

d

elde edilir.

Bu son ifadede

2 2

2 ( )

) (

1 m

d

d Φ =−

Φ ϕ

ϕ

ϕ

değeri yerine yazılırsa,

(

^{( 1)sin2 2}

)

^{( ) sin sin ( )}⎟⁼⁰

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ

+ Θ

−

+ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ d

d d

m d n

n (3.1.6)

elde edilir.

(3.1.5) de u =cosϑ dönüşümü yapılırsa,

ϑ ^=−sinϑ d

du ve

du d d

du du

d d

d ϑ

ϑ

ϑ ^{= =−sin}

olur ve 1− u² =sin²ϑ yardımıyla

(

^{( 1)(1 2 2}

)

^{( ) (1 2) (1 2) ( )}⎟⁼⁰

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − Θ

− + Θ

−

−

+ du

u u d

du u d u

m u n

n

elde edilir. Son denklemin düzenlenmesiyle de

0 ) ( ) 1 ) (

2 ( ) ) (

1

( − ^{2 2}Θ₂ − Θ +n n+ Θ u =

du u ud du

u u d

Legendre diferensiyel denklemi elde edilir.

3.2.Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü

0 ) 1 ( 2

) 1

( −x² y′′+ xy′+n n+ y= (3.2.1)

denklemine n. dereceden Legendre denklemi denir. Burada n herhangi bir pozitif reel sayıdır.

(3.2.1) denklemi

1 0 ) 1 ( 1

2

2

2 =

− + +

− ′

′′− y

x n y n x y x

şeklinde yazılırsa x=±1 noktaları düzgün tekil noktalar olacaktır. Ayrıca s=1 x dönüşümü yapıldığında , (3.2.1) denklemi

) 0 1 (

) 1 ( )

1 (

2 2

2 2 2

2

2 =

− + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

+ y

s s

n n ds dy s

s s ds

y d

şeklinde yazılabilir. Böylece, diferensiyel denklem sonsuzda da bir düzgün singüleriteye sahiptir. Öyle ise bu noktalar dışında,

1 2

1 ) 2

( x

x x

P =− − ve _{2 2}

1 ) 1 ) (

( x

n x n

P −

= +

fonksiyonları analitik fonksiyonlardır. Bu nedenle , x=0 noktası komşuluğunda

〈1

x aralığında (3.2.1) denkleminin,

^k

k kx c y

∑

^∞

=

=

0

şeklinde bir çözümü bulunabilir. y nin kendisi ve

¹

1

∞ −

∑

=

′= ^k

k kx kc y

∑

^∞

=

− −

′′=

2

) 2

1 (

k

k kx c k k y

türevleri (3.2.1) de yerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa

0 )

1 ( 2

) 1 ( )

1 (

0 1

2 2 2

= +

+

−

−

−

−

∑ ∑ ∑

∑

^∞

=

∞

=

∞

=

∞ −

= k

k k k

k k k

k

k k

k

kx k k c x kc x n n c x

c k k

elde edilir.

Bu denklemde x in aynı kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse

0 ) 1 ( ) 1 ( 2

: _{2 0}

0 c +n n+ c =

x

veya

₂ ( 1) ₀ 2

1n n c

c =− + .

[ ]

0 ) 2 )(

1 ( ) 2 ( 3

0 2 ) 1 ( )

2 ( 3

0 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 :

1 3

1 3

1 1

3 1

= +

− +

=

− + +

= + +

−

c n n c

c n

n c

c n n c c x

veya

( 1)( 2) . 3

. 2

1

1

3 n n c

c =− − +

[ ]

0 ) 3 )(

2 ( ) 3 ( 4

0 6 ) 1 ( )

3 ( 4

0 ) 1 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 3 ( 4 :

2 4

2 4

2 2

2 4

2

= +

− +

=

− + +

= + +

−

−

c n n c

c n

n c

c n n c c

c x

veya

( 2)( 3) . 4

. 3

1

2

4 n n c

c =− − +

[ ]

0 ) 4 )(

3 ( ) 4 ( 5

0 12

) 1 ( )

4 ( 5

0 ) 1 ( ) 3 ( 2 ) 2 ( 3 ) 4 ( 5 :

3 5

3 5

3 3

3 5

3

= +

− +

=

− + +

= + +

−

−

c n n c

c n

n c

c n n c c

c x

veya

₅ ( 3)( 4) ₃ 5

. 4

1 n n c

c =− − +

[ ]

[

^{( 1)}

]

⁰

) 1 )(

2 (

0 )

1 ( 2 ) 1 ( )

1 )(

2 (

2 2 2 :

= +

− + + +

+

= +

+

−

−

− + +

+

+ +

k k

k k

k

c k k n n c

k k

c n n k k

k c

k k x

0 ) 1 )(

( )

1 )(

2

(k+ k+ c_k+2 + n−k n+k+ c_k =

veya

, 0

) 2 )(

1 (

) 1 )(

(

2 ≥

+ +

+ +

− −

+ = c k

k k

k n k

c_k n _k (3.2.2)

yazılabilir.

! , 9

) 8 )(

6 )(

4 )(

2 )(

1 )(

3 )(

5 )(

7 ( ) 1 (

9 . 8

) 8 )(

7 (

! , 8

) 7 )(

5 )(

3 )(

1 ( ) 2 )(

4 )(

6 ( ) 1 (

8 . 7

) 7 )(

6 (

! , 7

) 6 )(

4 )(

2 )(

1 )(

3 )(

5 ( ) 1 (

7 . 6

) 6 )(

5 (

! , 6

) 5 )(

3 )(

1 ( ) 2 )(

4 ( ) 1 (

6 . 5

) 5 )(

4 (

! , 5

) 4 )(

2 )(

1 )(

3 ( ) 1 (

5 . 4

) 4 )(

3 (

! , 4

) 3 )(

1 ( ) 2 ( ) 1 (

4 . 3

) 3 )(

2 (

1 4

7 9

0 4

6 8

1 3

5 7

0 3

4 6

1 2

3 5

0 2

2 4

n c n n n n n n n

n c c n

n c n n n n n n n

n c c n

n c n n n n n

n c c n

n c n n n n n

n c c n

n c n n n

n c c n

n c n n n

n c c n

+ + + +

−

−

−

−

= −

+

− −

=

+ + + +

−

−

−

= −

+

− −

=

+ + +

−

−

−

= −

+

− −

=

+ + +

−

−

= −

+

− −

=

+ +

−

−

= −

+

− −

=

+ +

−

= −

+

− −

=

olur.

Bu şekilde devam edilirse −1< x<1aralığında iki lineer bağımsız çözümü ;

şeklinde bulunur.

Eğer n çift ise y₁ için sonsuz seri sınırlandırılır ve n. dereceden bir polinom elde edilir. Eğer n tek ise bu kez y₂ sınırlandırılır ve yine n. dereceden bir polinom elde edilir.c ve ₀ c₁ keyfi sabitler olduğundan her bir n için onların değerlerini seçebiliriz.

Böylece çözüm x=1 de 1 değerine sahiptir. Bu şekilde elde edilen çözüm Legendre polinomu olarak adlandırılır. Aşağıda ilk dört Legendre polinomu verilmiştir.

, 1 :

0 ₀ =

= c

n ve y₁ çözümü

P₀(x)=1 (3.2.3)

, 1 :

1 ₁ =

= c

n ve y₂ çözümü

P₁(x)= x (3.2.4)

, 2 1 :

2 ₀ =−

= c

n ve y₁ çözümü

(3 1).

2 ) 1

( ²

2 x = x −

P (3.2.5)

! ) 9

) 8 )(

6 )(

4 )(

2 )(

1 )(

3 )(

5 )(

7 (

! 7

) 6 )(

4 )(

2 )(

1 )(

3 )(

5 (

! 5

) 4 )(

2 )(

1 )(

3 (

! 3

) 2 )(

1 ( (

) (

! ) 8

) 7 )(

5 )(

3 )(

1 ( ) 2 )(

4 )(

6 (

! 6

) 5 )(

3 )(

1 ( ) 2 )(

4 (

! 4

) 3 )(

1 ( ) 2 (

! 2

) 1 1 (

( ) (

9 7

5 3

1 2

8 6

4 2

0 1

L L

+ − + + +

−

−

− + −

+ + +

−

−

− −

+ +

− + −

+

− −

=

+ − + + +

−

− + −

+ + +

−

− −

+ + + −

− +

=

n x n n n n n n n

n x n n n n n

n x n n n

n x x n

c x y

n x n n n n n n n

n x n n n n n

n x n n n

n x c n

x y

, 2 3 :

3 ₁ =−

= c

n ve y₂ çözümü

(5 3 ).

2 ) 1

( ³

3 x x x

P = − (3.2.6)

olarak bulunur.

Genel olarak, n=2, 4, 6, ,K için

c =₀ , ...

4 . 2

) 1 ...(

3 . ) 1 1

( ² ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

− n

n n (3.2.7)

ve n=1, 3, 5, ,K için

.

) 1 ( 4 . 2

3 . ) 1

1 ( ^{( 1)2}

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

= ⁻

n

c ⁿ n

K

K (3.2.8)

(3.2.7) ve (3.2.8) deki c ve ₀ c₁ değerleri y₁(x) ve y₂(x) formüllerinde yerine yazılırsa çeşitli Legendre polinomları elde edilir.

Örneğin n=4 için,

8 3 4 . 2

3 . ) 1 1

( ²

0 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

c ,

bulunur ve y₁ çözümü

(

^{35 30 3}

)

^.

8 1

3 10 35

8 1 ) 3 (

2 4

4 2

4

+

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

x x

x x

x P

olarak bulunur.

Her Legendre polinomu Legendre diferensiyel denkleminin özel bir çözümüdür.

Örneğin

P2( )x ,

(1-x²)y′′−2xy′+6y=0,

denkleminin özel çözümü,

)

3(x P ,

(1-x²)y′′−2xy′+12y=0,

denkleminin özel çözümü,

Genel olarak P_n(x) ise

(1-x²)y′′−2xy′+n(n+1)y=0

denkleminin özel çözümüdür.

n. dereceden Legendre polinomunun toplam formülü

^{n k}

N

k

k

n n x

k n k n k

k x n

P ²

0 !( 2 )!( )!

)!

2 2 ( ) 1 ( 2

) 1

( ⁻

∑

= ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

−

= − (3.2.9)

dir. Burada eğer n çift ise N =n 2 eğer n tek ise N = n( −1) 2 dir.

Örnek:P₃(x) i (3.2.9) u kullanarak bulalım.

Çözüm: Burada N =(3−1) 2=1 dir.

( )

(

^{5 3}

)

^.

2 1

12 8 20

1

! 2

! 1

! 1

! 4

! 3

! 3

! 0

! 6 8 1

)!

3 ( )!

2 3 (

!

)!

2 6 ( ) 1 ( 8

) 1 (

3 3

3

2 1 3

0 3

x x

x x

x x

k x k

k x k

P ^k

k

k

−

=

−

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

−

= − ⁻

∑

=

3.3. Legendre Polinomları

Legendre polinomunun doğurucu fonksiyonu

(1- ⁿ

n

n x t P t

xt ) ( )

2

0 2 1

2

∑

^∞

=

− =

+

bağıntısı ile tanımlanır. Legendre polinomunun serisel ifadesi bu bağıntıdan yararlanılarak elde edilir.

a)₂n

( ifadesi.

[

( 2) ( 2 2)

][

( 1)( 3) ( 2 1)

]

)

(a _2n = a a+ K a+ n− a+ a+ K a+ n−

n n

n a a

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 1

2² 2 (3.3.1)

şeklinde ifade edilebilir.

Bu özdeşlikte a=1 alınmasıyla

2 ! 2 1 )!

2

( n ² n

n

n ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ (3.3.2)

elde edilir.

k

a)n₋

( değeri ise

[ ]

[

^{( )1)(( _ 1))}

]

^{( 1)}

( ) 1 ) (

( + − + −

− + +

−

− +

= +

− a n k a n

n a k n a k n a a

a _{n k} a

K

K K

=

k k

n

n a a

) 1

( ) 1 (

) (

−

−

− (3.3.3)

şeklinde hesaplanabilir. (3.3.3) de a=1 alınmasıyla

k

k n

k n

n ( 1) ( ) )! !

( − = − − (3.3.4)

elde edilir.(1− )t ^−a ifadesi binom açılımı yardımıyla

(1-t)^{−a n n}

n

n t

n a a

a ( 1)

!

) 1 (

) 1 )(

(

0

+ − +

−

−

−

=

∑

^∞ −

=

K

=

∑

^∞

=

− + +

+

0 !

) 1 (

) 2 )(

1 )(

(

n n

n a a

a

a K t ⁿ

= ⁿ

n

nt n

∑

^∞ a

=0 !

)

( (3.3.5)

şeklinde yazılabilir.

Ayrıca serilerin özelliklerinden bilinmektedir ki, çift indisli ve A(k, n) genel terimli bir seri

∑∑

∑∑

^∞

= =

∞

=

∞

=

−

=

0 0 0 0

) , ( )

, (

n n

k

n k

k n k A n

k

A (3.3.6)

∑∑

∑∑

^∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

∞

=

∞

=

−

=

0 2

0 0 0

) 2 , ( )

, (

n n

k

n k

k n k A n

k

A (3.3.7)

bağıntılarını sağlar. Burada ,2 2

n n⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ye eşit olan ya da

2n den küçük olan en büyük tamsayıyı göstermektedir.

(3.3.6) ve (3.3.7) nin bir sonucu olarak ve A(k,n−k)=C(k,n) konularak

(3.3.8)

yazılabilir. Bu notasyonlar

(1- ⁿ

n

n x t P t

xt ) ( )

2

0 2 1

2

∑

^∞

=

− =

+

bağıntısıyla verilen P_n(x) Legendre polinomunun serisel ifadesinin elde edilmesinde kullanılabilir. İfadenin sol tarafı,

(

[ ]

! ) 2

( 2 ) 1

2 ( 1 ) 2

1

2

0 2 2 1 2

1 2

n t t xt

xt t

xt

n

n n

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

−

= +

−

∑

^∞

=

− −

şeklinde yazılabilir. Binom açılımı kullanılarak,

(1-

n n

n

n

x xt t

t n

xt ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

+

∑

^∞

=

−

1 2 ) 2

! ( 2 1 )

2

0 2 1 2

=

n k

k

k n

n

n

x t k xt n

n ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∑

∑

=

∞

= ! 2

) ) (

2

! ( 2 1

0 0

∑∑

∑∑

^∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

∞

= =

−

=

0 2

0

0 0

) , ( )

, (

n n

k n

n

k

k n k C n

k C

eşitliği elde edilir. (3.3.8) eşitliğinin ve

)!

( ) 1 (

! ) (

k n n

n _k ^k

−

= −

− ifadesinin kullanılmasıyla

( ) _∑∑

^∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−

− −

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

−

0 2

0

2

2 2 1

! )!

2 (

) 1 ( ) 2 2 ( 1 2

1

n n

k

n k k n k

n t

k k n

x t

xt

yazılabilir.

)!

( 2

)!

2 2 ( 2

1

2

2 n k

k n

k n k

n −

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

olduğundan

(1-2 ⁿ

n n

k

k n

k k n

k t n k

k n

x k t n

xt

∑∑

^∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

− −

−

−

−

= − +

0 2

0 2 2

2 2

1 2

)!

( 2

! )!

2 (

) 1 ( ) 2 ( )!

2 2

) ( (3.3.9)

yazılır.

(1-2 ⁿ

n

n x t P t

xt ) ( )

0 2 1

2

∑

^∞

=

− =

+

ifadesi ile (3.3.9) karşılaştırılır t in katsayıları eşitlenise ⁿ

k n n

k n

k

n x

k n k n k

k x n

P ²

2

02 !( )!( 2 )!

)!

2 2 ( ) 1 ) (

( ^{⎥⎦ −}

⎢⎣ ⎤

⎡

∑

= ⁻ ₋ ⁻ ₋

=

elde edilir.