' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

Fonksiyonel Analize Giri¸s I Aras¬nav Sorular¬ 24. 11. 2006

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. (a) Normun tan¬m¬n¬yaz¬n¬z.

(b) (X;k k) bir normlu uzay olsun. ' : (X; k k) ! (R; j j) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun sürekli oldu¼gunu gösteriniz.

2. Kⁿ üzerindeki k k1 ve k k2 normlar¬n¬n denk olduklar¬n¬gösteriniz.

3. (X;k k) ve (Y; k k) iki normlu uzay ve T : (X; k k) ! (Y; k k) bir lineer (do¼grusal) dönü¸süm olsun. E¼ger T dönü¸sümü 2 X noktas¬nda sürekli ise X üzerinde sürekli oldu¼gunu gösteriniz.

4. (`₁;k k1)normlu uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼gunu gösteriniz.

5. T : (C ([0; =2]) ;k k₁)! (R; j j) ; T (x) = R=2

0

(t sin t) x (t) dt dönü¸sümü veriliyor.

(a) T dönü¸sümünün lineer (do¼grusal) oldu¼gunu gösteriniz.

(b) T dönü¸sümünün s¬n¬rl¬oldu¼gunu gösteriniz.

(c) T dönü¸sümünün normunu bulunuz.

Fonksiyonel Analize Giri¸s I Final S¬nav¬Sorular¬ 08.01.2007

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. A¸sa¼g¬daki kavramlar¬n tan¬mlar¬n¬yaz¬n¬z.

(a) Banach uzay¬, (b) S¬n¬rl¬lineer (do¼grusal) dönü¸sümün normu, (c) Schauder taban¬, (d) (X; k k) normlu uzay¬n¬n normlu duali.

2. Kⁿ üzerindeki k k1 ve k kp (1 < p <1) normlar¬n¬n denk olduklar¬n¬gösteriniz.

3. Sonlu boyutlu normlu uzaylar¬n özelliklerinden 4 tanesini yaz¬n¬z.

4. 1 < p <1, 1=p + 1=q = 1 ve = ( _i)2 `^q olsun.

(a) f : `_p ! K; x = (xⁱ)! f (x) = P¹

i=1

ix_i biçiminde bir f dönü¸sümünün tan¬mlanabile- ce¼gini gösteriniz.

(b) f dönü¸sümünün lineer (do¼grusal) ve s¬n¬rl¬oldu¼gunu ispatlay¬n¬z.

5. `<sup>n</sup><sub>1</sub> uzay¬n¬n dualinin `ⁿ₁ oldu¼gunu gösteriniz.

6. (`₂;k k2)uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼gunu gösteriniz.

Fonksiyonel Analize Giri¸s I Bütünleme S¬nav¬Sorular¬ 29.01.2007

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. A¸sa¼g¬daki ifadelerin do¼gru olup olmad¬klar¬n¬, nedenlerini aç¬klayarak yaz¬n¬z.

(a) Her metrik uzay bir normlu uzayd¬r.

(b) Bir (X; k k) normlu uzay¬nda B ( ; 1) = fx 2 X : kxk 1g kümesini kapsayan en dar alt uzay X’tir.

(c) Bir T : (X; k k) ! (Y; k k) lineer dönü¸sümü noktas¬nda sürekli ise X üzerinde sürek- lidir.

(d) e₁ = (1; 0; :::; 0; :::) ; e₂ = (0; 1; :::; 0; :::) ; :::; e_n = (0; :::; 0; 1; 0; :::) ; ::: olmak üzere (en) dizisi (`₁;k k₁) uzay¬n¬n bir Schauder taban¬d¬r.

(e) Bir (X; k k) normlu uzay¬n¬n normlu duali bir Banach uzay¬d¬r.

2. (a) (C [a; b] ;k k₁) normlu uzay¬n¬tan¬mlay¬n¬z.

(b) (C [a; b] ;k k₁)normlu uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼gunu gösteriniz.

3. `<sup>n</sup><sub>2</sub> uzay¬n¬n normlu dualinin `ⁿ₂ oldu¼gunu gösteriniz.

Not: 2. ve 3. sorulardan sadece bir tanesi çözülecektir. Çözmedi¼giniz soruyu daire içine al¬n¬z.

AL·I GÜVEN

Fonksiyonel Analize Giri¸s II Aras¬nav Sorular¬ 20.04.2007

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. (a) Düzgün s¬n¬rl¬l¬k teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)

(b) Aç¬k dönü¸süm teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10) 2. (a) Hilbert uzay¬ne demektir? Tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (10)

(b) Her Banach uzay¬bir Hilbert uzay¬m¬d¬r? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. (10) 3. Bir X iç çarp¬m uzay¬nda, xn! x ve yⁿ ! y ise

< x_n; y_n >!< x; y >

olaca¼g¬n¬ispatlay¬n¬z. (20)

4. X bir iç çarp¬m uzay¬ ve A X olsun. A^? kümesinin X uzay¬n¬n kapal¬ bir alt uzay¬

oldu¼gunu gösteriniz. (20)

5. H bir Hilbert uzay¬, Y bunun konveks bir alt kümesi ve (xn) Y içinde bir dizi olsun.

kxⁿk ! inf fkxk : x 2 Y g

ise, (xn) dizisinin H içinde yak¬nsak oldu¼gunu ispatlay¬n¬z. (Paralelkenar kural¬n¬kullanarak (x_n) dizisinin bir Cauchy dizisi oldu¼gunu gösteriniz). (20)

Fonksiyonel Analize Giri¸s II Final S¬nav¬Sorular¬ 11.06.2007

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. A¸sa¼g¬daki kavramlar¬tan¬mlay¬n¬z.

(a) ·Iç çarp¬m (b) Dikey tümleyen (c) Birim dikey küme (d) Hilbert e¸slenik dönü¸sümü 2. (a) Bessel e¸sitsizli¼gini ifade ediniz.

(b) Riesz gösterim teoreminin ifadesini yaz¬n¬z.

3. H bir Hilbert uzay¬ve T : H ! H s¬n¬rl¬bir lineer dönü¸süm olsun.

kT T k = kT k² oldu¼gunu gösteriniz.

4. (a) Normal dönü¸süm ne demektir?

(b) H kompleks bir Hilbert uzay¬ ve T : H ! H s¬n¬rl¬ bir lineer dönü¸süm olsun. T dönü¸sümünün normal bir dönü¸süm olmas¬için gerekli ve yeterli ko¸sul, her x 2 H için

kT (x)k = kT (x)k olmas¬d¬r. ·Ispatlay¬n¬z.

AL·I GÜVEN

Fonksiyonel Analize Giri¸s II Bütünleme S¬nav¬Sorular¬ 02.07.2007

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — – 1. (a) Tam birim dikey küme ne demektir? Tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (05)

(b) Birimsel dönü¸süm ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (05) (c) Bir vektörün Fourier katsay¬lar¬n¬tan¬mlay¬n¬z. (05) (d) Parseval özde¸sli¼ginin ifadesini yaz¬n¬z. (05)

2. (a) Hahn-Banach teoreminin (normlu uzaylar için) ifadesini yaz¬n¬z. (05)

(b) (X;k k) bir normlu uzay, M bunun yo¼gun bir alt uzay¬ve f 2 M ise f fonksiyonelinin Hahn-Banach teoremi ile elde edilen geni¸slemesinin tek oldu¼gunu gösteriniz. (25)

3. (a) Bir normlu uzay¬n hangi durumda iç çarp¬m uzay¬olabilece¼gini aç¬klay¬n¬z. (05) (b) (C ([a; b]) ;k k₁) normlu uzay¬n¬n bir iç çarp¬m uzay¬olamayaca¼g¬n¬gösteriniz. (25) 4. Bir iç çarp¬m uzay¬nda birim dikey her kümenin lineer ba¼g¬ms¬z oldu¼gunu gösteriniz. (20)

AL·I GÜVEN

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — –