Lineer Ba¼ g¬ms¬zl¬k

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I) Hafta 4: Germe ve Lineer ba¼ g¬ms¬zl¬k

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Lineer Ba¼ g¬ms¬zl¬k

Tan¬m 13: V bir reel vektör uzay¬ve S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^V olsun. c

, c

, ...., c

2 R olmak üzere

c

α

, , .., + c

α

+ ... + c

α

= ! 0 iken

1

c

= c

= .... = c

= 0 olmas¬halinde S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

2

c

, c

, ...., c

2 R de¼gerlerinden en az biri s¬f¬rdan farkl¬ise

S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ml¬d¬r.

Örnek 21: R

de ! _e

= ( 1, 0 ) ve ! _e

= ( 0, 1 ) vektörleri aralar¬nda lineer ba¼ g¬ms¬zd¬rlar, çünkü c

, c

2 ^{R için,}

c

! _e

+ c

! _e

= ! 0 ifadesinden

c

( 1, 0 ) + c

( 0, 1 ) = ( 0, 0 )

( c

, 0 ) + ( 0, c

) = ( 0, 0 )

( c

, c

) = ( 0, 0 )

olaca¼ g¬ndan c

= 0 ve c

= 0 olmak zorundad¬r.

Örnek 22: R

de ! _f

1

= ( 1, 0 ) , ! _f

2

= ( 0, 1 ) ve ! _f

3

= ( 3, 2 ) vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬m¬d¬r?

c

, c

, c

2 R için

c

! _f

1

+ c

! _f

2

+ c

! _f

3

= ! 0 ifadesinden

c

( 1, 0 ) + c

( 0, 1 ) + c

( 3, 2 ) = ( 0, 0 )

( c

+ 3c

, c

2c

) = ( 0, 0 )

olaca¼ g¬ndan c

+ 3c

= 0 ve c

2c

= 0 olur. Bu ise λ 2 R

olmak üzere c

= 3λ, c

= 2λ ve c

= λ demektir. O halde bu

vektörler lineer ba¼ g¬ml¬d¬rlar.

Uyar¬: ! 0 vektörünü içine alan herbir vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ml¬d¬r.

Teorem 7: V bir reel vektör uzay¬ve S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^V olsun.

α

= ( α

, α

, ..., α

) , α

= ( α

, α

, ..., α

) ,

.. .

α

= ( α

, α

, ..., α

) , olmak üzere

1

det ( α

, α

, .., α

) = 0 , ^S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

2

det ( α

, α

, .., α

) 6= ⁰ , ^S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g vektör cümlesi

lineer ba¼ g¬ml¬d¬r.

Örnek 23: R

de ! _f

1

= ( 1, 1, 2 ) , ! _f

2

= ( 3, 1, 1 ) ve

! _f

3

= ( 2, 2, 3 ) vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬m¬d¬r?

det 2 4

1 3 2

1 1 2

2 1 3

3

5 = 7 6= ⁰

oldu¼ gundan ! _f

1

, ! _f

2

ve ! _f

3

vektörleri lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

Örnek 24: R

de ! _f

1

= ( 1, 1, 2 ) , ! _f

2

= ( 3, 1, 1 ) ve

! _f

3

= ( 1, 3, 5 ) vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬m¬d¬r?

det 2 4

1 3 2

1 1 2

1 3 5

3 5 = 0

oldu¼ gundan ! _f

1

, ! _f

2

ve ! _f

3

vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬d¬r.

Örnek 25: R

de ! _f

1

= ( 2, 1, 3 ) , ! _f

2

= ( 3, k, 1 ) ve

! _f

3

= ( 1, 3, 5 ) vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬vektörler ise k 2 R de¼geri nedir?

det 2 4

2 3 1

1 k 3

3 1 5

3 5 = 0

olmas¬gerekti¼ ginden 49 + 7k = 0 ve dolay¬s¬yla k = 7 olur.

Hat¬rlatma:

α ,

!

β 2 V vektörleri e¼ ger;

!

α = λ

!

β ise

α ,

!

β vektör çiftine lineer ba¼g¬ml¬d¬r (paraleldir) denir.

!

α ,

!

β 2 V vektörleri e¼ ger;

!

α 6= ^λ

^b ise

α ,

!

β vektör çiftine lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (paralel de¼ gildir) denir.

Örnek 27: R

matris uzay¬nda e S = A

= ^{0 1}

1 1 , A

= ^{1 0}

1 1 , A

= ^{1 1}

0 1 , A

= ^{1 1} 1 0 cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r. Çünkü;

c

, c

, c

, c

2 R için

c

A

+ c

A

+ c

A

+ c

A

= 0 ifadesinden

c

0 1

1 1 + c

1 0

1 1 + c

1 1

0 1 + c

1 1

1 0 = ^{0 0}

0 0 c

+ c

+ c

c

+ c

+ c

c

+ c

+ c

c

+ c

+ c

= ^{0 0} 0 0

olaca¼ g¬ndan denklem çözülürse c = 0, c = 0, c = 0, c = 0 olur.

Tan¬m 14: V bir vektör uzay¬ve ! _α

2 V olmak üzere bir S = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^V

altcümlesini alal¬m. 8

^α 2 ^{V için}

^α = _∑

i=1

c

! _α

olacak ¸sekilde c

, c

, ..., c

2 R varsa S cümlesi V vektör uzay¬n¬geriyor denir ve

V = Span f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^.

ile gösterilir.

Örnek 28: R

uzay¬nda ! _e

= ( 1, 0, 0 ) , ! _e

= ( 0, 1, 0 ) ve

! _e

= ( 0, 0, 1 ) vektörleri R

reel vektör uzay¬n¬gerer. Çünkü;

8

^α = ( x, y , z ) 2 ^R

^için

^α =

∑

c

! _e

olacak ¸sekilde c

= x, c

= y , c

= z 2 R vard¬r. Yani;

!

α = ( x, y , z ) = ( x, 0, 0 ) + ( 0, y , 0 ) + ( 0, 0, z )

= x ( 1, 0, 0 ) + y ( 0, 1, 0 ) + z ( 0, 0, 1 )

= x ! _e

+ y ! _e

+ z ! _e

olur.

Örnek 29: R

uzay¬nda ! _f

1

= ( 0, 1, 1 ) , ! _f

2

= ( 1, 0, 1 ) ve

! _f

3

= ( 1, 1, 0 ) vektörleri R

reel vektör uzay¬n¬gerer. Çünkü;

8

^α = ( x, y , z ) 2 R

için

α = _∑

i=1

c

! _f

i

olacak ¸sekilde c

= ^y + z x

2 , c

= ^x + z y

2 , c

= ^y + x z

2 2 ^{R vard¬r.}

Yani;

!

α = ( x, y , z ) = ( x, 0, 0 ) + ( 0, y , 0 ) + ( 0, 0, z )

= ^y + z x 2

! _f

1

+ ^x + z y 2

! _f

2

+ ^y + x z 2

! _f

3

olur.

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.