Fourier Serileri

Fourier Serileri

x bir de¼ gi¸ sken a 0 ; a ₁ ; :::; a _n ve b 1 ; :::; b _n ler sabitler olmak üzere,

a ₀ 2 +

X 1 n=1

(a _n cos nx + b _n sin nx)

¸ seklindeki bir fonksiyon serisine Fourier serisi ad¬verilir. a n ve b n sabitlerine de Fourier kat- say¬lar¬denir.

2 peryotlu periyodik bir f (x) fonksiyonu için, bu fonksiyona yak¬nsayan bir Fourier serinin bulunmas¬f (x) in a¸ sa¼ g¬daki ko¸ sullar¬sa¼ glamas¬na ba¼ gl¬d¬r.

Dirichlet Ko¸ sullar¬:

1) f (x) fonksiyonu 2 peryotlu periyodik bir fonksiyon,

2) f (x); ( ; ) aral¬¼ g¬nda parçal¬sürekli,

3) f (x); ( ; ) aral¬¼ g¬nda sonlu say¬da ekstremuma sahip olmal¬d¬r

Bu taktirde f (x) fonksiyonu x bir süreklilik noktas¬ise f (x) e, x bir düzgün süreksizlik noktas¬

ise [f (x ⁺ ) + f (x )] =2 ye e¸ sit olan bir Fourier serisine aç¬labilir.

2 Periyotlu Bir Fonksiyonun Fourier Serisi

( ; ) aral¬¼ g¬nda Dirichlet ko¸ sullar¬n¬ gerçekleyen ve aral¬¼ g¬n d¬¸ s¬nda 2 peryotlu periyodik bir fonksiyon olan f (x) in Fourier serisi,

f (x) = a 0

2 + X 1 n=1

(a _n cos nx + b _n sin nx)

1

¸ seklindedir. Burada Fourier katsay¬lar¬,

a ₀ = 1 Z

f (x) dx

a _n = 1 Z

f (x) cos nx dx ; n = 1; 2; :::

b _n = 1 Z

f (x) sin nx dx ; n = 1; 2; :::

¸ seklindedir.

Örnek 1: < x < aral¬¼ g¬nda f (x) = x + jxj fonksiyonu ile çak¬¸san periyodik fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.

Çözüm: f (x) = a ₀ 2 + P ¹

n=1

(a _n cos nx + b _n sin nx)

¸ seklinde bir Fourier serisi elde edilmelidir. Fourier katsay¬lar¬n¬bulal¬m.

a ₀ = 1 Z

f (x) dx = 1 Z 0

0 dx + 2 Z

0

x dx =

a _n = 1 Z

f (x) cos nx dx = 1 Z 0

0: cos nx dx + 2 Z

0

x cos nx dx

= 2 Z

0

x cos nx dx = 2 8 <

: x

n sin nx j 0

1 n Z

0

sin nx dx 9 =

;

= 2

n ² [( 1) ⁿ 1]

= 8 <

:

0 ; n = 2k

4

(2k 1)

; n = 2k 1

k = 1; 2; :::

b _n = 1 Z

f (x) sin nx dx = 1 Z 0

0: sin nx dx + 2 Z

0

x sin nx dx

= 2

8 <

: x

n cos nx j 0 + 1 n Z

0

cos nx dx 9 =

;

= 2

n cos n = 2

n ( 1) ⁿ⁺¹

2

olduklar¬ndan istenilen Fourier serisi,

f (x) = 2

4 X ¹

k=1

cos (2k 1) x (2k 1) ² + 2

X 1 n=1

( 1) ⁿ⁺¹ n sin nx

olarak bulunur.

3