Fibonacci ve Lucas serileri

FIBONACCI VE LUCAS SERİLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Canan ÖZDOĞAN

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Refik KESKİN

Ocak 2012

T.C.

SAKARYA ÜNİvERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FIBONACCI VE LUCAS SERiLERi

YÜKSEK LİsANS TEZİ

Canan ÖZDOGAN

Enstitü Anabilim Dalı MATEMATİK

Bu tez 17 i 01 12012 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği İle kabul edilmiştir.

Jüri Başkanı

iL! .

Prof. Dr.'~~m OZDEMIR

,

.~BEKTAŞOGLU Üye Üye

ii ÖNSÖZ

Bu çalışmanın her aşamasında ilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Refik KESKİN’e teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim. Arş. Gör.

Dr. Bahar DEMİRTÜRK’e, fikir ve düşüncelerini paylaştığı için teşekkür ederim.

Ayrıca yüksek lisans tez dönemi boyunca hep yanımda olan, beni destekleyen eşim Tansu GÜZEL’e teşekkür ederim. Maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme de çok teşekkür ederim.

iii İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ…... ii

İÇİNDEKİLER ... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... iv

ÖZET... v

SUMMARY... vi

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler ………. 1

BÖLÜM 2. FIBONACCI VE LUCAS SERİLERİ……... 9

2.1. F ve _n L Serileri... _n 9 2.2. İkinci Dereceden Alterne Seriler …... 16

2.3. Üçüncü Dereceden Seriler…………... 17

2.4. Fibonacci ve Lucas Serileri………... 20

BÖLÜM 3. FIBONACCI VE LUCAS TOPLAMLARI………...… 32

3.1. Fibonacci ve Lucas Toplam Formülleri... 32

BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ……….. 53

KAYNAKLAR……….. 54

ÖZGEÇMİŞ……….……….. 55

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

|

a b : a , b yi böler.

|

a b : a , b yi bölmez.



: Çarpım sembolü



: Toplam sembolü

( , )a b : a ile b nin ortak böleni

(mod )

ab m : a nın m ile bölümünden kalan b dir.

v ÖZET

Anahtar kelimeler: Fibonacci sayıları, Lucas sayıları, Binet formülü, Fibonacci serileri, Lucas serileri, Fibonacci toplamları, Lucas toplamları.

Bu çalışmada Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren seriler ile Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren toplamlar ele alındı. 1. bölümde Fibonacci ve Lucas sayılarıyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi. 2. bölümde Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren seriler ele alındı. Son bölümde ise Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren toplamlar ele alındı. Buradaki toplamlar genellikle

1 1

,

n n

j n j j n j

j j

jF L_ jL L_

 

 

ve bunlara benzer olan toplamlardır.

vi FIBONACCI AND LUCAS SERIES

SUMMARY

Key Words: Fibonacci numbers, Lucas numbers, Binet’s Formula, Fibonacci series, Lucas series, Fibonacci sums, Lucas sums.

In this thesis, series and summation involving Fibonacci and Lucas numbers are examined. Fundamental definitions and theorems concerning with the Fibonacci and Lucas numbers are given in the first chapter.

Series involving Fibonacci and Lucas numbers are considered in the second chapter.

The last chapter are devoted to the summations involving Fibonacci and Lucas numbers. The summations considered are usually of the form

1 n

j n j j

jF L_





^and

1 n

j n j j

jL L_



 . Moreover similar summations are examined in this last chapter.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler

Bu bölümde, diğer bölümlerde kullanacağımız temel tanımlar ve teoremler verilecektir.

Birinci Tümevarım İlkesi: Her n doğal sayısı için ( )P n bir önerme olsun.

a) P(1) doğru olsun.

b)P n doğru iken (( ) P n 1) de doğru olsun.

Bu takdirde her n için ( )P n doğrudur.

İkinci Tümevarım İlkesi: Her n doğal sayısı için ( )P n bir önerme olsun.

a) P(1) doğru olsun.

b) 1 k n olmak üzere P k doğru iken (( ) P n 1) de doğru olsun.

Bu taktirde her n için ( )P n doğrudur.

Tanım 1.1: F  , ₁ 1 F  ve ₂ 1 n  için 3 F_n F_n1F_n2 biçiminde tanımlanan

 

Fn

dizisine Fibonacci Dizisi ve F sayılarına da Fibonacci Sayıları denir. Dizinin _n terimleri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … biçimindedir.

Teorem 1.1.1:

1

n  ise



F F_n, _n1



1 dir

 

^{1 .}

İspat: İspatı birinci tümevarım ilkesine göre yapacağız.

1 2 1

F F  olduğundan iddia n  için doğrudur. Şimdi iddianın 1 n için doğru olduğunu kabul edelim. Yani,



F F_n, _n1



1 ve



F_n1,F_n2



d olsun. Dolayısıyla

1

d Fn_ ve d F_n2 yazılabilir. Bu ise d F_n2F_n1 olduğunu gösterir.

2 1

n n n

F_ F_ F olduğu kullanılırsa d F_n bulunur. Bu ise d 1 olduğunu gösterir.

Önerme 1.1.1: Her m ve n doğal sayıları için F_{m n} F_m1F_nF F_{m n1} dir

 

^{1 .}

İspat: m herhangi bir doğal sayı olmak üzere her n doğal sayısı için ifadenin doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için de ikinci tümevarım ilkesi kullanılacaktır.

1 2 1

F F  olduğundan F_m1 F_{m1 1}F F F_{m 2} olduğu açıktır. 1k n için iddia doğru, yani F_{m k} F_m1F_kF F_{m k1} olsun. Dolayısıyla,

1 1

m n m n m n

F _ F _F F F_ ve

1 1 1

m n m n m n

F _{ } F _F_ F F olur. Taraf tarafa toplama yapılırsa,

   

1 1 1 1 1 1 1 2

m n m n m n m n n m n n m n m n

F _{ } F _ F _{ } F _ F F_ F F F_ F _F F F_{ }

elde edilir. Şu halde iddia n  için de doğrudur. İkinci tümevarım ilkesine göre 1 önerme her n doğal sayısı için doğrudur.

Önerme 1.1.2: Herhangi pozitif n vek tamsayıları için,

1 1

 

1 ⁿ

n n k n n k k

F F_{ } F F_{ }   F dir

 

^{1 .}

İspat: Birinci tümevarım yöntemi ile gösterelim.

1

n  için, F F_{n1 n k} F F_{n n k 1} F F_{0 k1}F F_{1 k}  F_k olduğundan ifade doğrudur.

Şimdi n 1 olan tamsayılar için,

1 1

 

1ⁿ

n n k n n k k

F F_{ } F F_{ }   F olduğunu farzedelim. Sonra n 1 için doğruluğuna bakalım.

   

 

   

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

n n k n n k n n k n k n k n n

n n k n n k n k n n k n

n n k n k n

n k n n n k

n n

k k

F F F F F F F F F F

F F F F F F F F

F F F F

F F F F

F F

        

     

   

   



    

   

 

  

    

3

dır. Bu durum n 1 için de ifadenin doğruluğunu gösterir. Dolayısıyla verilen ifade tüm pozitif n ve k tamsayıları için doğrudur.

Teorem 1.1.2: m 1 ve n  ise 1 F F dir_{m mn}

 

^{1 .}

İspat: m keyfi fakat sabit bir doğal sayı olmak üzere tümevarımla her n doğal sayısı için F F olduğunu gösterelim. _{m mn} n  ise iddia doğrudur. İddia 1 n için doğru, yani F F olsun. _{m mn} F_{m n( 1)} F_{mn m} F_mn1F_mF F_{mn m1} ve F F_{m mn} olduğu kullanılırsa, F F_{m m n( 1)} elde edilir. Şu halde n 1 için de iddia doğrudur. Dolayısıyla her n doğal sayısı için iddia doğru olur.

Önerme 1.1.3:

a)



F F_m, _n



F_{m n, }

b) 3mn olsun. F F olması için gerekli ve yeterli şart m n olmasıdır. _{m n} İspat: Bakınız

 

^{1 .}

Teorem 1.1.3 (Binet Formülü): F Fibonacci sayıları, _n n  için, 1

1 1 5 1 5

2 2

5

n n

Fn

      

 

    

    

 

şeklindedir

 

^{1 .}

İspat: 1 5

2

   ve 1 5

2

   olsun.

2 1

    ve     olduğunu görmek kolaydır. Bu denklemler sırayla ² 1  ve ⁿ  ⁿ ile çarpılırsa,

2 1

n n n

     ve

2 1

n n n

     elde edilir. Buradan,

2 2 1 1

n n n n n n

           ve böylece,

2 2 1 1

n n n n n n

        

 

        

elde edilir.

n n

Hn   

   

olsun. Bu durumda, her n 1 için H_n2 H_n1H_n olur.     ve 1     5 olduğu dikkate alınırsa, H  ve ₁ 1 H      elde edilir. Buradan da, ₂ 1

2 1

n n n

H _ H _ H olduğu dikkate alınırsa,

1 1 5 1 5

2 2

5

n n

n n

n n

F H

    

    

 

          

elde edilir.

Önerme 1.1.4: F Fibonacci sayıları olsun. _n

2 2

2 2 2

n n n

F_ F F _ dir

 

^{1 .}

İspat:    olduğu kullanılırsa, 1

 

2 2

2 2 2( 2) 2( 2) 2 2

2 2

2 2

n n n n n n n n

n n

F F

   



              

     

        

   

ve buradan,

   

   

  

2 2

2( 2) 2( 2) 2 2 2( 2) 2( 2) 2 2

2 4 2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

n n n n n n n n

n n n n

n n

n n

   

   

 

 

                

         

         

       olduğu kullanılırsa,

  

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 1 2 2 2 2

n n n n

n n n n

F F F F

   

  

         

         

  

    

elde edilir.

Önerme 1.1.5: F Fibonacci sayıları olsun. _n

5

2

2_n 2_n 1 2_n 1 1

F F _ F _  dir

 

^{1 .}

İspat:     ve ^{2 2} 3    olduğu kullanılırsa, 1

   

 

     

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

4 4 2 2

4 4 2 2 4 4 4 4 2

2 2 2

2 2

1 1

5 5

1 5

5

1 1 1

5 2 2( )

5 5 5

5

n n n n

n n

n n

n n

n n n n n n n

n n

n

F F

F

   

 

 

       

    

   

          

                   

   

  

 

elde edilir.

Teorem 1.1.4: ₂

1

1

n

k n

k

F F_



 



^dir

^{ }

^{1 .}

İspat: Tümevarım ile gösterelim.

1

n  için F₁F₃  , 1 F  ve ₁ 1 F ₃ 2 olduğundan iddia doğrudur.

n için ₂

1

1

n

k n

k

F F_



 



eşitliği doğru olsun. Buradan,

1

1 2 1

1 1

1

n n

k k n n n

k k

F F F F F



  

 

    

 

^bulunur.

Böylece n  içinde iddia doğru olduğundan ispat biter. 1

Teorem 1.1.5: _{2 1 2}

1 n

k n

k

F _ F





 ^dir

^{ }

^{1 .} İspat: Tümevarımla yapılacaktır.

1

n  için F₁F₂ bulunur. Dolayısıyla iddia doğrudur.

n için _{2 1 2}

1 n

k n

k

F _ F





 ^olsun.

1

2 1 2 1 2( 1) 1 2 2 1 2 2

1 1

n n

k k n n n n

k k

F F F F F F



     

 

    

 

olduğundan ispat biter.

Teorem 1.1.6: _{2 2 1}

1

1

n

k n

k

F F _



 



^dir

^{ }

^{1 .}

İspat: n 1 için F₂ F₃ dir. 1 F  ve ₂ 1 F ₃ 2 olduğundan iddia doğrudur.

n için _{2 2 1}

1

1

n

k n

k

F F _



 



^olsun.

1

2 2 2 2 2 1 2 2 2 3

1 1

1 1

n n

k k n n n n

k k

F F F F F F



   

 

      

 

olduğundan ispat biter.

Teorem 1.1.7: ² ₁

1 n

k n n

k

F F F_





 ^dir

^{ }

^{1 .}

İspat: n  için 1 F₁² F F_{1 2} olduğundan iddia doğrudur.

n için ² ₁

1 n

k n n

k

F F F_





 olsun. Buradan,

 

1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2

1 1

n n

k k n n n n n n n n n

k k

F F F F F F F F F F F



      

 

      

 

bulunur.

Teorem 1.1.8: Her n  için 2 F_n² F F_n1 _n1 

 

1 ^n1 eşitliği doğrudur

 

^{1 .}

İspat: İddianın n  için doğru olduğunu görmek kolaydır. Şimdi iddia 1 n için doğru yani F_n² F_n1F_n1 ( 1)^n1 olsun.

Bu durumda,

 

   

 

 

  ^{ }

 

 

2 2 2 2

1 2 1 1 1 1

2

1 1 1 1

2

1 1 1 1

1 1 1

1

1 1

1

0 1

1

n n n n n n n n n n n

n

n n n n n

n

n n n n n

n

n n n n

n n

n

F F F F F F F F F F F

F F F F F

F F F F F

F F F F

F

     

   

   

  



      

    

    

    

   

 

yazılabilir. Dolayısıyla F_n²_1F_n2F_n  ( 1)ⁿ olur. Bu ise iddianın n  için de doğru 1 olduğunu gösterir. Birinci tümevarım ilkesine göre iddia her n 2 doğal sayısı için doğrudur.

7

Tanım 1.2: L  , ₁ 1 L  ve ₂ 3 n 3 için L_n L_n1L_n2 biçiminde tanımlanan tamsayılara Lucas Sayıları denir. Bu sayılar sırasıyla 1,3, 4, 7,11,18, 29, 47,...

biçimindedir.

Teorem 1.1.9 (Binet Formülü): Her n 1, 1 5

 2

 ve 1 5

 2

 olmak üzere

n n

Ln   dir

 

^{1 .}

İspat: K_n ⁿ ⁿ olsun. Buradan,

1 1

K    ve K₂ ² ²   1   1 3 olur. Ayrıca n  için 3

2 1

   ve ²   olduğu kullanılırsa, 1

   

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2 2 2

1 1

n n n n

n n

n n

n n

n n

n

K K

K

   

   

   

 

   

 

 

 

    

   

 

 



elde edilir. L₁  1 K₁ ve L₂ 3K₂ olduğundan L ve _n K dizilerinin tanımı da _n dikkate alınırsa, her n  için, 1

1 5 1 5

2 2

n n

n n

n n

L K        

      

   

elde edilir.

Önerme 1.1.6: Her n  için2 L_n F_n1F_n1 bağıntısı doğrudur

 

^{1 .}

İspat: 1²  5 ve 1²   5 olduğundan,

   

   

 

   

 

1 1 1 1

1 1

1 2 1 2

1 1

1 1

5 5

1 1 1

5

1 5 5

5

n n n n

n n

n n

n n

n n

n

F F

L

   

   

   

 

   

 

 

 

    

   

  

 

 bulunur.

Teorem 1.1.10: Aşağıdakiler doğrudur.

a) 2F_{m n} F L_{m n} F L_{n m} b) L²n ⁵Fn² ⁴

 

^{1 n}

c) n 2 ise ^L2_n ^{L L}_{n1 n1} ^5

 

^{1 n}

d) F ile _n L aynı anda çift tamsayıdır veya aynı anda tek tamsayıdır. Ayrıca _n n tek ise



^{F L}_n^, _n



^{1 ve} n çift ise



F Ln^, n



 ² e) 5F F_{j n }1 _j L_n1 

 

1 ^jL_{n }1 2_j dir

 

^{1 .}

Teorem 1.1.11: F_2n F L_{n n} dir

 

^{1 .}

İspat: ^{F Ln n }^_^{n }_^n^



^{n n}



^2_^n_^{2n F2n}

 

 

bulunur.

Teorem 1.1.12: n  için 2 L_n1L_n1 5F_n dir

 

^{1 .}

İspat:L_n1L_n1^n1^n1^n1^n1^n1



²1



^n1



²1



dir.

Buradan, ² 1  5 ve ²  1  5 olduğu kullanılırsa,

   

1 1

1 1

5

5 5 5 5

5

n n

n n n n

n n n

L L   F

 ^  ^  

 



      

bulunur.

BÖLÜM 2. FIBONACCI VE LUCAS SERİLERİ

Aşağıdaki bazı teoremlerde şu toplam formülleri kullanılacaktır. Bu formüllerin ispatı birinci tümevarım ilkesiyle yapılır.

 

     

     

     

1 1 1

1

2 1 2 1 2

1

3 1 2 3 1 2 3

1

4 1 2 3 4 1 2 3 4

1

(2.1) (2.2)

(2.3) (2.4)

n

k k n

k n

k k n n

k n

k k n n n

k n

k k n n n n

k

a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

 



  



   



    



  

    

      

        









Teorem 2.1.1: (a_n) bir reel sayı dizisi olmak üzere

0 n n

a





 serisi verilsin.

lim ⁿ 1

n n

r a

a





 olsun. Eğer,

1) r 1 ise seri yakınsaktır.

2) r 1ise seri ıraksaktır.

3) r 1ise serinin karakteri hakkında bir şey söylenemez

 

^{4 .}

Teorem 2.1.2:

0 n n n

a x







kuvvet serisi verilsin. Bu takdirde,

1

lim ⁿ

n n

r a

a

 



ise kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı r dir. Eğer 1) x r ise seri yakınsaktır.

2) x r ise seri ıraksaktır.

3) x r ise seri yakınsak veya ıraksak olabilir

 

^{4 .}

Teorem 2.1.3: F ve _n L Fibonacci ve Lucas sayıları olsun. O zaman, _n

 

¹ 2 2 2 2

1 2

1 8

45

n n

n n n

F L L

 



 

 



dir

 

^{7 .}

İspat:

 

^{1 1 1}



_{2 2}



2

n

n n n n

F L F L



 

   ve m2n2 için Teorem 1.1.10’dan

2 2 2 2 2

n n n n n

L F_ L_ F  F _ dır. Buradan,

     

   

1 1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 1

1 2

1 1

2 2

1

4 4

n n

n n n n

n

n n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n n

n n n n

L F L F

F

L L L L

F L F L L F L F

L L

F L F L F F

L L L L

 

 



 

   



  

 

 

 

 



    

  

     

    

 

elde edilir. Şimdi, bu serinin kısmi toplamlar dizisini yazalım. Yani,

 

¹ 2 2 2 2

1 2

1 ^k

n

k n

k k k

S F

L L





 





 olsun. Buradan,

 

2 2

2

1 2

2 1

1 4 1 4

n

k k

n

k k k

n

k k

k

F F

S L L

a a



 





    

 

    

    

 

 





olur. Burada

2 2

2

2 2 2

2

k , k

k k

k k

F F

a a

L L







  dir. (2.2) kullanılırsa,



1 2

 

1 2



1

n 4 n n

S   a a  a _ a _  bulunur. Dolayısıyla,

2 2

2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 4

n n

n

n n

F F

F F

S L L L L

 

 

        

 

        

        

 

11

elde edilir. Eşitliğin her iki tarafının limiti alınırsa,

2 2

2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

lim 1lim 4

n n

n n n

n n

F F

F F

S L L L L

 

 

 

        

 

        

        

 

olur. Buradan,

lim lim

5 lim 5

1 lim 5

1 5 1 0

1 0

n n

n

n n

n n

n

n n

n n

n

n

n n

L F

 

 

 

 









 





 



  

  

  

   

   

 

 

    

   

 

 

  

  

   dır. Böylece,

 1

  olduğundan, lim 0

n

n







 

  

  olduğuna dikkat etmek gerekir.

Dolayısıyla,

1 1 1 1 8

lim 1

4 9 5 5 45

n Sn



 

     

 

olur.

Lemma 2.1.1: F Fibonacci sayısı olsun. O zaman herhangi pozitif _n n ve k tamsayıları için,

1 2

1 1

n F Fn n



 



 dir.

İspat: İspat Binet formülü ile yapılır

 

^{1 .}

Teorem 2.1.4: F bir Fibonacci sayısı olsun. O zaman herhangi pozitif _n n ve k tamsayıları için,

 

2

1 2 1 2

1 1 1

k k

k k

n n n k n n k m m m

F F

F F F F F F





     

   

   

   

   

 

dir

 

^{7 .}

İspat: Önerme 1.1.1’de verilen F_{n k} F F_{k n1}F F_{k1 n} ifadesinde k yerine k 2 yazalım. Dolayısıyla,

2 2 1 1

n k k n k n

F_{ } F_ F_ F F_ olur. Buradan, Önerme 1.1.2 kullanılırsa,

   

 

 

 

2 2 2

2 2

2 1 1 2 1 1

2

1 2 1

2

2 1 1

2

2 1 1

2

1 1

k k k n k k n k

n n k n n k n n k n k

k k n k n k k n k n

n n k n k

k k n k k n

n n k n k

n k k k k

n n k n k

k k k k

n k n k k

n k

F F F F F F

F F F F F F F

F F F F F F F F F F

F F F

F F F F F F

F F F

F F F F F

F F F

F F F F

F F

F F

    

     

     

  

  

  

  

  

  

  





  

  



 

 



 



 

2 n k 

elde edilir. Bu da,

 

¹

2

1 2 1 2

1 ^k 1

k k

n n n k n n k n n k n k

F F

F F F F F F

 

 

       

 

  

 

 

 

ifadesine eşittir. Diğer taraftan mnk alınırsa,

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 1

1 1

1 1

n n k n k m k m m

k

m m m m m m

k

m m m

F F F F

F F F F

F F

 

      



   

 



 

 

 

 



olur. Buradan da,

1 2

1 1

m F Fm m



 



 olduğu için,