Periyodik Fonksiyonlar ve Fourier Serileri I

Periyodik Fonksiyonlar ve Fourier Serileri I

Düzgün Süreksizlik Noktas¬: Bir f fonksiyonunun x 0 noktas¬ndaki sa¼ g ve sol limitleri sonlu de¼ gerler olup bu iki limit birbirinden farkl¬ise, x 0 noktas¬na f fonksiyonunun bir düzgün süreksizlik noktas¬denir.

f (x ⁺ ₀ ) = lim

"!0 f (x ₀ + ") sa¼ g limit , " > 0 f (x ₀ ) = lim

"!0 f (x ₀ ") sol limit , " > 0

Parçal¬ Sürekli Fonksiyon: Bir [a; b] aral¬¼ g¬nda sonlu say¬da düzgün süreksizlik noktas¬

d¬¸ s¬nda sürekli olan bir fonksiyona [a; b] aral¬¼ g¬nda parçal¬süreklidir denir.

Örnek 1. A¸ sa¼ g¬daki fonksiyonlar¬n verilen aral¬kta parçal¬sürekli olup olmad¬klar¬n¬belirtiniz.

Varsa düzgün süreksizlik noktalar¬nda sa¼ g ve sol limitleri hesaplay¬n¬z.

a) f (x) = 8 <

:

2 ; 0 x < 1 x ² ; 1 x 2

b) f (x) = 8 <

:

1 x ; 1 x 2

x

x 2 ; 2 < x 3

Çözüm: a) x ₀ = 1 bir kritik nokta olup x 0 2 [0; 2] dir. Buna göre x ⁰ = 1 noktas¬ndaki sa¼ g ve sol limitler,

f (1 ⁺ ) = lim

"!0 f (1 + ") = lim

"!0 (1 + ") ² = 1 f (1 ) = lim

"!0 f (1 ") = lim

"!0 2 = 2

¸ seklindedir. Buna göre x 0 noktas¬ndaki sa¼ g ve sol limitler sonlu ve birbirinden farkl¬oldu¼ gundan x ₀ = 1 noktas¬bir düzgün süreksizlik noktas¬d¬r. Düzgün süreksizlik noktas¬bir tane yani sonlu oldu¼ gundan f (x) fonksiyonu [0; 2] aral¬¼ g¬nda parçal¬süreklidir.

b) x ₀ = 2 bir kritik nokta olup x 0 2 [1; 3] tür. Buna göre x ⁰ = 2 noktas¬ndaki sa¼ g ve sol limitler,

f (2 ⁺ ) = lim

"!0 f (2 + ") = lim

"!0

2 + "

" = 1 f (2 ) = lim

"!0 f (2 ") = lim

"!0 " 1 = 1

¸ seklindedir. Buna göre x 0 noktas¬ndaki sa¼ g limit sonlu olmad¬¼ g¬ndan x 0 = 2 noktas¬ bir

1

düzgün süreksizlik noktas¬ de¼ gildir. Dolay¬s¬yla verilen f fonksiyonu [2; 3] aral¬¼ g¬nda parçal¬

sürekli de¼ gildir.

Çift Fonksiyon

Simetrik bir aral¬kta tan¬ml¬bir f fonksiyonu f ( x) = f (x) sa¼ glan¬yorsa f ye çift fonksiyon denir. Çift bir fonksiyonun gra…¼ gi y-eksenine göre simetriktir.

Tek Fonksiyon

Simetrik bir aral¬kta tan¬ml¬bir f fonksiyonu f ( x) = f (x) sa¼ glan¬yorsa f ye tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonun gra…¼ gi orijin noktas¬na göre simetriktir.

Örnek 2.

f (x) = e ^x

fonksiyonu tüm R de tan¬ml¬olup, çift fonksiyondur. g(x) = sinh x fonksiyonunun da tan¬m aral¬¼ g¬( 1; 1) olup tek fonksiyondur.

Periyodik Fonksiyonlar

f; [a; b] aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬herhangi bir fonksiyon olsun. E¼ ger her x 2 R için f(x + p) = f(x) olacak ¸ sekilde s¬f¬rdan farkl¬bir p 2 R varsa f ye periyodik fonksiyon, p ye de f nin periyodu denir. E¼ ger f fonksiyonu periyodik ve peryodu p ise,

Periyodik bir f fonksiyonunun pozitif p periyotlar¬aras¬nda bir en küçü¼ gü varsa ona f nin asli periyodu denir.

Örnek 3.

f (x) = sin 3x fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olup, periyodu p = 2k

3 ; k 2 Z bulunur. f fonksiyonunun asli periyou ise k = 1 için T = 2

3 bulunur.

Ortogonal Fonksiyonlar Sistemi

f n (x) g bir [a; b] aral¬¼ g¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n bir dizisi olsun. 8x 2 [a; b] için

2

q(x) 0 olan bir fonksiyon olmak üzere e¼ ger,

Z b

a

q(x) _m (x) _n (x) dx = 0 ; m 6= n

sa¼ glan¬yor ise, f n (x) g fonksiyonlar dizisine [a; b] aral¬¼ g¬nda q(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal (dik) bir sistem te¸ skil ediyor denir. E¼ ger bu integralde m = n al¬n¬rsa,

k n k = 2 4 Z b

a

q(x) ² _n (x) dx 3 5

1=2

ifadesine f n g ortogonal sisteminin normu denir.

Ortogonal bir sistemin herbir eleman¬ normuna bölünerek ortonormal bir sistem elde edilir.

Ortonormal sistemler, Z b

a

q(x) _m (x) _n (x)dx = 8 <

:

0 ; m 6= n 1 ; m = n ko¸ sulunu gerçeklerler.

3