1 BÖLÜM I: FOURIER SERİLERİ
1.1 Bazı Kavramlar ve Tanımlar
Tanım: (Ortalama değer) fonksiyonunun aralığındaki ortalama değeri
̅
∫ olarak tanımlanır.
Tanım: (Periyodik fonksiyon) özelliğine sahip fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir. Burada, periyodu göstermektedir.
Örnek: ve trigonometrik fonksiyonları periyodiktir: ve . Bu fonksiyonların çizgisel birleşimi de periyodiktir.
Tanım: (Parçalı düzgün fonksiyon) Bir fonksiyonu, [ ] aralığında parçalı düzgündür, eğer bu aralık alt aralıklara bölünebilir ve her bir alt aralıkta ve türevi sürekli ise. fonksiyonu sürekli olmayabilir ancak sıçrama noktasında sonlu süreksizlik göstermelidir.
2
Tanım: (İntegrallenebilir fonksiyon) Bir fonksiyonu, [ ] aralığında integrallenebilirdir eğer
∫ | |
integrali var ise. [ ] integrallenebilir fonksiyonların vektör uzayını göstermek üzere, [ ] .
Tanım: (Karesi integrallenebilir fonksiyon) Bir fonksiyonu, [ ] aralığında karesi integrallenebilirdir eğer
∫ | |
integrali var ise. Bu fonksiyonlar [ ] vektör uzayının elemanlarıdır: [ ] .
Tanım: (İç çarpım) reel ya da kompleks vektör uzayı olsun. İç çarpım, vektör uzayının iki elemanı arasında bir işlemdir ve sonucu skalerdir. Bu çarpım 〈 〉 ile gösterilir ve aşağıdaki özellikleri sağlar: ve
i) 〈 〉
ii) 〈 〉 ancak ve ancak ise iii) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 iv) 〈 〉 〈 〉̅̅̅̅̅̅̅
Tanım: (Ortonormal fonksiyon kümesi) [ ] fonksiyonları
3
özelliğini sağlıyorlarsa, { } fonksiyonları kümesine bir kesikli ortonormal fonksiyon kümesi denir. Bu küme boyları bir ve birbirine dik fonksiyonlardan oluşur:
〈 〉 {
[ ] ’de { } ortonormal kümesinin bütün elemanlarına aynı anda dik olan sıfırdan başka bir vektör yok ise, bu küme bir tam ortonormal fonksiyonlar kümesi oluşturur. Tam ortonormal fonksiyon kümeleri vektör uzaylarındaki baz vektörleri gibidirler. İyi davranışlı herhangi bir fonksiyon bu kümenin serisine açılır.
Örnek: [ ] aralığında tanımlı fonksiyonlar {