DURAĞAN ZAMAN SERİLERİ

DURAĞAN ZAMAN SERİLERİ

Bu bölümde uygulamalarda karşılaşılan bazı duruğan zaman serisi modelleri, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları ile öngörü kavramları ele alınacaktır. Hareketli ortalama (Moving Average, MA) modelleri, otoregresif (AutoRegressive, AR), otoregresif hareketli ortalama (AutoRegressive Moving Average, ARMA), mevsimsel (Seasonal) modeller ve bu modellerin özellikleri incelenecektir. Model parametrelerinin tahmini ve asimptotik özellikleri bir sonraki bölüme bırakılmıştır.

2.1. Hareketli Ortalama (MA) Serileri

Bir çok zaman serisi başka bir serinin lineer birleşimi olarak yazılabilir.

Hareketli ortalama (MA) serilerine en basit örnek beyaz gürültü serileridir.

Tanım 2.1.1 Beklenen değeri 0 , otokovaryans fonksiyonu

2 , 0

( ) 0 , . . h h

d d

  

 

şeklinde olan bir zaman serisine beyaz gürültü (White Noise) serisi denir Beyaz gürültü serisi için e_t ~WN(0,²) gösterimi kullanılacaktır.

Birinci dereceden hareketli ortalama serisi (MA(1)), e_t ~WN(0,²) olmak üzere, X_t e_t e_t1 şeklinde verilir. Serinin beklenen değer ve varyansı

 ) (X_t

E ve Var(X_t)(0)²(1²) dir. Diğer taraftan,

1 1 1 2

(1) Cov X X( _t, _t ) Cov e( _t e_t ,e_t e_t)

  _   _{ }   

ve ( 1) (1) ² olup, ^|h|2 için (h)0 dır. MA(1) modelinin otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonları sırası ile,

BÖLÜM 2

2 2 2

(1 ) , 0

( ) , 1

0 , . .

h

h h

d d

   

     



, ²

1 , 0

( ) /(1 ) , 1

0 , . .

h

h h

d d

 

      



şeklindedir. MA(1) serisinin beklenen değeri ve otokovaryans fonksiyonu zamana bağlı olmadığından durağandır. ^{ 1} için MA(1) modelinin

)

(h otokorelasyon fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. Otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfırdır.

Bu özellik verilen bir zaman serisinin otokorelasyonlarına bakarak sezgisel olarak model türünün ve derecesinin belirlenmesinde kullanılabilir.

Örnek 2.1.1 MA(1) serisi için, (h) otokorelasyon fonksiyonu, 1

) 0

( 

 ve  (1, )/(1²) olarak elde edilmişti. Korelasyonun tanımından | (1, )| 1   olduğunu biliyoruz. Otokorelasyon fonksiyonu zamana değil, model parametresine bağlıdır. Birinci gecikmeden sonraki otokorelasyonlar sıfır olduğu için,  (1, ) birinci otokorelasyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulalım.  (1, ) otokorelasyon değeri

 nın bir fonksiyonudur. Fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ulaştığı noktaları (^ nın değerlerini) bulmak için fonksiyonun ^ ya göre türevinin sıfıra eşitlenmesi gerekir. Birinci türev,





(1, )

/(1 ) (1 ) /(1 )

     

 

      

 

olup, türevin sıfıra eşitlenmesi ile 1² 0 ise   1 bulunur. Yani,

  1 noktalarında birinci otokorelasyon maksimum ya da minimum değerine ulaşır. Buna göre,   1 ise (1) 1/ 2 ve  1 için

(1) 1/ 2

  olup (0.5)  (1, ) (0.5) dir.

Yani, MA(1) zaman serisi modelinin otokorelasyonları h0 için 0.5 ile

5 .

0 arasında değişir.  (1, ) fonksiyonunun ^ ya göre grafiği yan tarafta verilmiştir 

İkinci dereceden MA zaman serisi modeli (MA(2)), e_t ~WN(0,²) olmak üzere,

2 2 1

1   





 _{t t t}

t e e e

X   

şeklinde verilir. Bu serinin beklenen değer ve varyansı sırası ile

 ) (X_t

E ve (0)Var(X_t)²(1₁² ₂²)

olup ^|h|3 için (h)0 olduğu açıktır. Diğer taraftan, otokovaryans fonksiyonunun ilk iki değeri de

 

1

1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2

(1) ( , )

( , )

t t

t t t t t t

Cov X X

Cov e e e e e e



       



   



      

2

1 1 2 2 2 1 1 2 2 2

(2) ( , )

( , )

t t

t t t t t t

Cov X X

Cov e e e e e e



     



   



     

olarak bulunmuştur. Fonksiyonunun simetriklik özelliğinden ( 1) ve

( 2) değerleri de

 _{1 1 2}

) 2

1 ( ) 1

(     

     ve (2)(2)²₂

olup, MA(2) modelinin otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonları sırası ile

2 2 2

1 2

2 1 1 2

2 2

(1 ) , 0

( ) , 1

( )

, 2

0 , . .

h h h

h d d

  

   

  

   

   

 

 









2 2

2 1 2

1 , 0

(1 ) /(1 ) , 1

( ) /(1 ) , 2

0 , .

h h h

h d d

   

   

 

     

 

   





şeklindedir. ₁ ₂ 1 için otokorelasyon fonksiyonunun grafiği aşağıdadır.

Grafikten görüldüğü gibi otokorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfırdır.

Böylece, verilen bir zaman serisinin hesaplanan otokorelasyonları ikinci gecikmeden sonra sıfıra yakın ise serinin MA(2) olarak modellenmesi uygun olabilir.

) , 0 (

~WN ²

e_t , sonlu bir q  ^{ve q 0} için, MA(q) zaman serisi modeli,

1 q

t t i t i

i

X  e  e_



  

şeklinde verilir. Kolayca görüldüğü gibi E(X_t) olup MA(q) serisinin varyans ve otokovaryans fonksiyonu aşağıda hesaplanmıştır.

Seriyi ₀ 1 olmak üzere



 



 ^q

i

i t i

t e

X

0



 şeklinde yazalım.

Buradan, MA(q) modeli için varyans ve otokovaryanslar







  









 











 



 ^q

i i q

i

i t i q

i

i t i

t Var e Var e

X Var

0 2 2 0

0

) ( ) 0

(     



0 0

( ) ( _t, _{t h}) ^q _{i t i}, ^q _{j t h j}

i j

h Cov X X Cov e e

 _  _  _{ }

 

 

   

  

2

0 0 0

( , )

q q q h

i j t i t h j i i h

i j i

Cov e e

  _{  }  ^  _

  

   

şeklinde olup modelin otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonları

2 0

( ) , 0

0 , . .

q h i i h i

h h q

d d

  





 

  

 





1 2

0 0

( ) , 0

0 , . .

q h q

i i h i

i i

h h q

d d

  



 

  

  

    

   



 

şeklinde yazılabilir. Beklenen değer ve otokovaryans fonksiyonu zamana bağlı olmadığından bu model de durağandır.

) ,

(e_{t i} e_{t h j}

Cov _{  } değeri ^{tith j} için ², diğer durumlarda sıfırdır. Ayrıca ^{tith j} ise ^jhi olup ^{0 jhiq} için toplam ^qh ye kadardır. Aslında, q sonlu bir doğal sayı olduğu sürece MA(q) modeli her zaman durağandır.

Örnek 2.1.2 X_t e_t e_t1 modeline uygun olarak ^ nın değişik değerleri için rasgele üretilen 100 veriye ait zaman serisi grafiği ile otokorelasyon fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. Otokorelasyonların grafiklerine bakıldığında, fonksiyon değerleri birinci gecikmeden sonra sıfırdır (güven aralığının içinde). Grafiklerdeki ilk değer serinin varyansıdır.

 Zaman Serisi Otokorelasyon Fonksiyonu

 0.8 ^{-2 0 20 40 60 80 100}

-1012

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

  0.8 ^{-3 0 20 4 0 60 8 0 10 0}

-2-1012

Lag

ACF

0 5 10 1 5 20

-0.50.00.51.0

Series : x

Benzer şekilde X_t e_t 1e_t12e_t2 modeline uygun olarak rasgele üretilen (₁₂ 1) 100 verinin zaman serisi grafiği ile otokorelasyon fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. Grafikte, otokorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfırdır (güven aralığının içinde).

Zaman Serisi Otokorelasyon Fonksiyonu

0 20 40 60 80 100

-4-2024

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Otokorelasyon fonksiyonu, MA modellerinin model derecesinin belirlenmesinde kullanılmaktadır. Verilen herhangi bir zaman serisi için otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır oluyorsa, bu tür serileri MA olarak modellemek uygundur. Bunlar için ayrıca istatistiki sonuç çıkarımlar da yapılmalıdır 

Görüldüğü gibi MA(q₎ modelleri q sonlu bir doğal sayı olduğu sürece durağandır. q için modelin hangi koşullarda durağan olacağını inceleyelim. Bunun için MA() modelinin e_t ~WN(0,²) olmak üzere,

^

 







1 i

i t i t

t e e

X  

şeklinde verildiğini düşünelim. Xt nin durağanlığı için beklenen değer ve otokovaryans fonksiyonunun bulunması gerekir.

0 1

 ve e_t ~WN(0,²) olduğundan (beklenen değer ile sonsuz toplamın yer değiştirilebilir olduğu varsayılırsa) serinin beklenen değeri,

0 0 0

( _t) _{i t i i t i i} ( _{t i})

i i i

E X E  ^  e_  E ^  e_  ^  E e_ 

  

   

        

     

ve otokovaryans fonksiyonu da

0 0

( ) ( _t, _{t h}) _{i t i}, _{j t h j}

i j

h Cov X X Cov e e

 _ ^  _ ^  _{ }

 

 

    

2

0 0 0

( , )

i j t i t h j i i h

i j i

Cov e e

    

  

   

  

    

olur. Beklenen değer ile otokovaryans fonksiyonu zamana bağlı olmadığından model durağandır. Burada, beklenen değer ile sonsuz toplamın yer değiştirebilmesi için

0

| _i |

i

 

 

 olması yeterlidir (Fuller, 1996, s. 31).

Örnek 2.1.3 e_t ~WN(0,²) ve | | 1 için   _i ⁱ olmak üzere ()

MA serisi, ^

 





0 i

i i t

t e

X   şeklinde verilmiş olsun. | | 1  olduğundan ^





 



0 1

1

i i

  olup beklenen değer ile sonsuz toplam yer

değiştirebilir. Buradan, modelin beklenen değeri, varyansı ve otokovaryans fonksiyonu sırası ile

0 0 0

( )_t ⁱ _{t i} ⁱ _{t i} ⁱ ( _{t i})

i i i

E X E  ^  e_  E ^  e_  ^  E e_ 

  

   

        

      ^,

  ^





 



 

 















 



0 2

2 2 2 0

2

0 ( ) 1

) (

i i

i i t i

i i t i

t Var e Var e

X

Var 

 









0 0

2 2 2

0 0 0 0

2 2

( ) ( , ) ,

( , )

1 (0)

i j

t t h t i t h j

i j

i j i i h h i

t i t h j

i j i i

h h

h Cov X X Cov e e

Cov e e

  

       

   



 

   

 

   

   

   

 

   

 

  

 



 

   

şeklindedir. Böylece, seri durağandır. İşlemlerin karmaşıklığını biraz olsun gidermek için ^{ 0} alalım. Xt ve  Xt1 serilerini de açık olarak

...

4 4 3 3

2 2

1   



 _{t t t t t}

t e e e e e

X    

...

4 4 3 3

2 2 1

1  _  _  _  _ 

 t t t t

t e e e e

X    



şeklinde yazalım. Bunlar taraf tarafa çıkarıldığında, Xt Xt_1et veya

t t

t X e

X  _1 modeline ulaşılır. Bu tür modeller aşağıda incelenecektir.