ÜÇGENDE AÇILAR
Üçgen:
Düzlemde, doğrusal olmayan üç noktayı birleş- tiren üç doğru parçasının oluşturduğu şekle üçgen denir.ABC biçiminde gösterilir.
A
B
C y
b a
x
z c
A, B, C üçgeninin köşeleridir.
[AB], [AC], [BC] üçgeninin kenarlarıdır.
x, y, z üçgeninin iç açılarıdır.
a, b, c üçgeninin dış açılarıdır.
ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR
1. Yüksekliküçgende bir köşeden, karşısındaki kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dikmeye yükseklik denir.
A
B C
H h
a
A
C H B
ha c
hb
hc
P b
A
ha
ha : a kenarına ait yükseklik hb : b kenarına ait yükseklik hc : b kenarına ait yükseklik
Üçgende, yükseklikler bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin diklik merkezidir.
Diklik merkezi olan P noktası, DEF ’nin iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
A
B C
E D
F hc
hb
ha
2. Açıortay
Bir üçgende tüm iç açıortaylar daima bir noktada kesişir- ler. Bu nokta iç teğet çemberinin merkezidir.
A
B C
B Nı
ıA
n
nA
N C
A
3. Kenarortay
Üçgende bir kenarın orta noktasını karşısındaki köşeyle birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
ÜÇGENDE AÇILAR
GEOMETRİ
Kenarortaylar, bir noktada kesişirler. Bu noktaya üçge- nin ağırlık merkezi denir.
A
B C
F E G
AD = Va
BE = Vb
CF = Vc
Vc
Va
Vb
ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
A
B y C
b a
x
c z
1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180 dir.
a + b + c = 180
2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı 360 dir.
x + y + z = 360
3. Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan 2 tane iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
x = b + c y = a + c z = a + b
Bir üçgende iç açıların ölçüleri 1, 2 ve 3 sayıları ile orantılı ise en büyük iç açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 60 B) 75 C) 80 D) 90 E) 100 ÇÖZÜM
180 ) C ( m ) B ( m ) A ( m
x + 2x + 3x = 180
6x = 180 x = 30 dir.
En büyük açı C açısıdır.
90 30 . 3 x 3 ) C (
m olur.
A
B C
x
2x 3x
Cevap D’dir.
B [OA C [OD [OA [OD
) BCD ( m
= 124
) ABC m(
=
A D
O
B C
124
Yukarıdaki verilere göre, m (ABC)
= kaç derecedir?
A) 138 B) 146 C) 148 D) 152 E) 154
ÇÖZÜM
A D
O
B C
124
BOC üçgeninde O köşesine ait dış açı 90 ve dış açıla- rın ölçüleri toplamı 360 olduğundan,
+ 90 + 124 = 360 = 146 bulunur.
Cevap B’dir.
4. Üçgende iki dış açı açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler.
A
B C
D
5. Üçgende iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı
ÖRNEK ÖSS - 1994
ÖRNEK
A
B C
D
= 90 + 2
) A ( m
6. Üçgende iki dış açının kesişmesiyle oluşan açı, A
B C
D
= 90 – 2
) A ( m
7. Üçgende bir iç açıortayla bir dış açıortay arasındaki açı,
A
B C D
x y
[BD ve [CE açıortay )
DEC ( m
= 40
) BAC ( m
= x
A
B C
E D 40
x
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 80 B) 90 C) 100 D) 105 E) 110
ÇÖZÜM
A
B C
E D 40
x
140
BCE üçgeninde ) DEC ( m
= 40nin bütünleri olan
) BEC ( m
= 140 dir.
Buna göre,
2 ) A ( 90 m 140
140 – 90 =
2 ) A ( m
2
) A ( 50 m
m(A)x100 bulunur.
Cevap C’dir.
[BD ve [CD açıortay )
BDC ( m
= 44
) DAC ( m
= x
A
B C
D x
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 46 B) 44 C) 36 D) 23 E) 22
ÇÖZÜM
A
B C
x x ÖRNEK
ÖRNEK
[AD], A köşesine ait açıortay (Uyarı b)
2 ) A ( 90 m ) BDC ( m
(Kural4-b) 44 =
2 x 902
x = 46 olur.
Cevap A’dır.
8. İki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.
A
B H C
İkizkenar üçgende, tepe açısından çizilen yükseklik hem açıortay, hem de kenarortaydır.
Eğer bir üçgende, bir eleman açıortay, kenarortay ve yükseklik özelliklerinden herhangi ikisini taşıyorsa bu üçgen ikizkenardır.
) DCA m(
= 15
) BDC m(
=
AB = AC
BD = BC
A
B C
15
D
olduğuna göre, m (BDC)
= kaç derecedir?
A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55
ÇÖZÜM
+15 A
B C
15
D
BD = BC ise; m(BDC) m(BCD)
= dır.
AB=AC ise; m(ABC) m(ACB)
= +15 olduğu açıktır.
Buna göre, BDC üçgeninde iç açılar toplamı 180 oldu- ğunda;
+ + + 15 = 180 = 55 bulunur.
Cevap E’dir.
) BAC ( m
= 120
AB = AC
DB = BE
) AFD ( m
= x
A
B
C E
D
x 120
F
Yukarıdaki şekilde AB = AC olduğuna göre, )
AFD m (
= x kaç derecedir?
A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
ÇÖZÜM
a A
B E C
D
x 120
30
a 30
F
) BAC ( m
= 120 ve
AB = AC ise,
30 ) ACB ( m ) ABC ( m
BDE üçgeninde; DB=BE olduğundan,
ÖRNEK ÖSS - 1997
ÖRNEK ÖSS - 1998
a ) E ( m ) D (
m dır.
İki iç açının toplamı komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğundan,
2a = 30 a = 15 olur.
ADF üçgeninde iç açıların toplamı 120 + a + x = 180
olduğundan, 120 + 15 + x = 180 x = 45 bulu- nur.
Cevap D’dir.
1.
ABC ve BDC birer üçgen[BD] açıortay ) BAC (
m = 42
) BDC (
m = 32
) DCF (
m 86
A
B C
D
42 32
86
E
F
verilenlere göre m (BEC)
= kaç derecedir?
A) 108 B) 104 C) 100 D) 96 E) 92
2.
ABC ve ABD birer üçgen[AD] ve [BC] açıor- tay
) BDA (
m = 80
) ACB (
m = 88
88
D 80
E
C A
B
verilenlere göre m (DEC)
= kaç derecedir?
A) 96 B) 102 C) 106 D) 110 E) 116
3.
ABC bir üçgen [AD] açıortay) ABE (
m = 30
) EBC (
m = 10
AF = AE
A
B C
30 10 F
E
D verilenlere göre m (ADC)
= kaç derecedir?
A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40
4.
ABC bir üçgenAB = BE
AC = CD
) DAE (
m = 38
A
B C
38
D E
verilenlere göre m (BAC)
kaç derecedir?
A) 104 B) 109 C) 112 D) 118 E) 124
5.
ABC bir üçgen ) BAC (m = 114
AB=AD=DC
A
B D C
verilenlere göre m (ADB)
kaç derecedir?
A) 58 B) 52 C) 48 D) 44 E) 42
6.
ABC ve DEC birer üçgen) AFE (
m = 21
AB= AC
DE = DC
A
B C
D
21 x F
E
verilenlere göre m (DEC)
= x kaç derecedir?
A) 59 B) 63 C) 67 D) 70 E) 74
Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T
7.
ABC üçgenin- de aynı işaretli açılar birbirine eşittir.a ) ACB (
m
) CEG (
m = b ) FBC (
m = c
A
B C
F c D E b
G a
verilenlere göre c nin a ve b türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 3b B) 3a + b
C) 3b – a D) 2a – b
E) 3b – 2a
8.
m(BEC )= 2x + 40) BDC (
m = x ) BAC (
m =
x
D A
B C E
[BD], [CE] iç açıortaylar, [CD] dış açıortay ol- duğuna göre kaç derecedir?
A) 72 B) 80 C) 88 D) 95 E) 100
9.
[BD] açıortay) BDC (
m = ) A (
m = m(C) + 32
A
B C
D
verilenlere göre kaç derecedir?
A) 106 B) 102 C) 98 D) 96 E) 92
10.
ABC üçgeninde E iç açıortayların kesim noktasıdır.[BD] ve [CD] dış açıortaylar
) AEB m(
= 118
A
B C
118
E
D verilenlere göre, m (BDA)
= kaç derecedir?
A) 38 B) 32 C) 28 D) 24 E) 18
11.
ABC ve BED birer üçgen [BE] açıortay) BAC (
m = 44
EC = CD
A
B C D
44 E
verilenlere göre m (BED)
kaç derecedir?
A) 124 B) 112 C) 108 D) 104 E) 96
12.
A, B, C, D doğru- sal A, E, F doğru- sal) DCE (
m = 142
) CEF (
m = 96
BE = BA
E B D C
96
F
142
A
verilenlere göre m (EBC)
= kaç derecedir?
A) 96 B) 100 C) 108 D) 116 E) 122
13.
m(BAD )= 26) DCB (
m = 11
AB = AC
AD = DC
A
B C
D 26
11
verilenlere göre m (ABC)
kaç derecedir?
A) 49 B) 53 C) 55 D) 57 E) 60
14.
m(BAD )= m(ACD ) )DAC (
m = m(BCD ) )
ADC (
m = 104
A
B C
D 104
verilenlere göre m (ABC)
= kaç derecedir?
A) 36 B) 32 C) 28 D) 24 E) 20
15.
ABC bir üçgen ) ABC (m = 111
[ED] [BC]
AB = EC
BD = DC B D
A
C E
111
verilenlere göre m (BAC) kaç derecedir?
A) 32 B) 36 C) 42 D) 46 E) 48
16.
[BE] açıortayAE = EB
AB = AC
) DAC (
m = 10
A
B C
E
D 10
verilenlere göre m (ACB)
kaç derecedir?
A) 76 B) 68 C) 64 D) 58 E) 52
1.
AB C
D
42 32
86
E
x x
F
BDC ’de
x + 32 = 86 (3. özellik)
x = 54
ABE ’de
42 + x = (3. özellik) 42 + 54 =
42 + 54 =
= 96
Cevap D’dir.
2.
88
D 80
E
C A
B
y y
x x
ABC ’de x + 2y + 88 = 180
x + 2y = 92
ABD ’de 2x + y + 80 = 180
2x + y = 100
192 y 3 x 3
100 y x 2
92 y 2 x
x + y = 64
ABE ’de x + y + = 180
64 + = 180
= 116
Cevap E’dir.
3.
AB C
30 10 F
E
D
30 + x 30 + x
x x
ABF ’de
x 30 ) AEB ( m ) AFE (
m (3. özellik) AFE ’de
x + 30 + x + 30 + x = 180
60 + 3x = 180
x = 40
ABD ’de
40 + x = (3. özellik) 40 + 40 =
= 80
Cevap A’dır.
Ç Ö Z Ü M L E R
4.
AB C
38
D E
x y
38+y 38+x
AB = BE m(BAE )m(BEA ) = 38 + x
AC = CD m(CAD )= m(CDA )38+ y ADE ’de iç açılar toplamı
38 + 38 + x + 38 + y = 180
114 + x + y = 180
x + y = 66
) BAC (
m = x + y + 38
= 66 + 38 = 104
Cevap A’dır.
5.
AB D C
2x
2x x
114 – x x
AD = DC
m(DAC )m(ACD )= x
) ADB (
m x + x = 2x (3. özellik) BAD ’de
114 – x + 2x + 2x = 180
114 + 3x = 180
3x = 66
x = 22
m(ADB )= 2.22 = 44
Cevap D’dir.
6.
AB C
D
21 x
x x
159
F
E
DE = DC m(E)= m(C)= x
AB = AC m(B)= m(C)= x )
BFE (
m = 180 – 21 = 159
BCEF dörtgeninin iç açılarının toplamı 360 oldu- ğundan,
x + x + x + 159 = 360
3x + 159 = 360
3x = 201
x = 67
Cevap C’dir.
7.
AB C
F c D E b
G a x
x x
AEC ’de x + a = b (3. özellik)
ABC’de 3x + a = c (3. özellik)
c b 3 a 2
c a x 3
b a x / 3
3b – 2a = c
Cevap E’dir.
8.
x
D A
C F B
2x + 40
E
x = 2
(7. özellik)
= 2x 2x + 40 = 90 +
2
(5. özellik)
2x + 40 = 90 + 2
x 2
2x + 40 = 90 + x
x = 50
= 2x = 100
Cevap E’dir.
9.
AB C
y
y
x + 30
x D
) C (
m = x m(A) = x + 32
ABC ’de
x + 32 + 2y + x = 180
2x + 2y = 148
x + y = 74
ADB ’de x + 32 + y = (3. özellik) 74 + 32 = 106 =
Cevap A’dır.
10.
AB
C 118 E
D
Şekildeki [BE] iç açıortayı ile [BD] dış açıortayı arasında kalan açı m(EBD )= 90
EBD ’de bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç
açının toplamına eşit olduğundan 118 = 90 +
= 28
Cevap C’dir.
11.
AB C D
44 E
x
x 2y y
y
EC = CD m(E) = m(D)= y )
ACB (
m = y + y = 2y ABC ’de iç açılar toplamı
44 + 2x + 2y = 180
44 + 2x + 2y = 180
2x + 2y = 136
x + y = 68
BED ’de iç açılar toplamı
x + y + m(BED )= 180
68 + m(BED ) = 180 m(BED )= 112
Cevap B’dir.
12.
E B D C
96
F
142
A
58
58 122
H
AEC ’de dış açılar toplamı 360’dir.
) EAH (
m + 142 + 96 = 360
m(EAH )= 122
) BAE (
m = 180 – 122 = 58
= 58 + 58 = 116 (3. özellik)
Cevap D’dir.
13.
AB C
D 26 x
x + 11 11 x
AD = DC m(ACD )m(DAC )x
AB = AC m(ABC )= m(ACB )= x + 11
ABC ’de iç açılar toplamı
26 + x + x + 11 + x + 11 = 180
3x + 48 = 180
3x = 132
x = 44
) ABC (
m = 44 + 11 = 55
Cevap C’dir.
14.
AB C
D 104
y x x y
ACD ’de iç açılor toplamı
x + y + 104 = 180
x + y = 76
ABC ’de iç açılar toplamı
2x + 2y + = 180
2(x + y) + = 180
2.76 + = 160
= 28
Cevap C’dir.
15.
B D
A
C E
2x 2x
x x
EBC üçgeninde [ED] hem yükseklik hem de kena- rortay olduğundan bu üçgen ikizkenardır.
BE = EC m(EBC ) = m(ECB ) = x )
AEB (
m = x + x = 2x
AB = EC ve BE = EC
AB = BE
m(BAE ) = m(AEB ) = 2x ABC ’de iç açılar toplamı
2x + x + 111 = 180
3x = 69
x = 23
) A (
m = 2.23 = 46
Cevap D’dir.
16.
AB C
E
D 10
x
x 2x
x
AE = EB m(ABE )= m(BAE )= x
AB = AC m(ABC )= m(BCA ) = 2x ABC ’de iç açılar toplamı
2x + 2x + 10 + x = 180
5x = 170
x = 34
) ACB (
m = 2.34 = 68
Cevap B’dir.
1.
ABC bir üçgen ) DAC (m = 13
) ADB (
m = 61
AC = CB
A
B C
13
61
D verilenlere göre m (BAD)
kaç derecedir?
A) 53 B) 49 C) 45 D) 41 E) 37
2.
ABC bir üçgen [BD] açıortay) BAE (
m = 14
) BCE (
m = 37
CE = CD
A
B C
14
E 37
D
verilenlere göre = kaç derecedir?
A) 27 B) 25 C) 23 D) 21 E) 19
3.
ABC üçgenindeBD = DE
FE = FC
) DEF (
m = 84
A
B E C
84
D F
verilenlere göre m (BAC )
kaç derecedir?
A) 96 B) 92 C) 88 D) 84 E) 78
4.
[AB] [BC]) ACB (
m = 24
) DAC (
m = 20
A
B C
E
D F
verilenlere göre m (BFD)
= kaç derecedir?
A) 102 B) 106 C) 112 D) 120 E) 128
5.
ABC bir üçgen) BAD (
m =m(DAC )= 36
m(ABD )= m(DBC )= 40
A
B C
40 40
36 36
D
verilenlere göre m (BDC)
kaç derecedir?
A) 132 B) 126 C) 118 D) 112 E) 140
6.
ABC bir üçgenAB = AE
BD = DE
) DEC (
m = 100
) BAC (
m = 72
C
100
E
B D A 72
verilenlere göre m (ACB)
= kaç derecedir?
K O N U T E K R A R T E S T İ
1
7.
ABC bir üçgenAD = DC
) BAC (
m = 46
) BDC (
m = 92
46
C B
A
D 92
verilenlere göre m (DBC)
= kaç derecedir?
A) 28 B) 32 C) 38 D) 44 E) 48
8.
AB= BCAD = DB
) ACB (
m = 48
14
) DAC (
m
D
B C
A
verilenlere göre m (DBC)
kaç derecedir?
A) 62 B) 58 C) 55 D) 52 E) 50
9.
H noktası ABCüçgeninin iç açıor- taylarının kesim nok- tasıdır.
[CE] [BD]
) BAC (
m = 44
A
B C
H
E D 44
verilenlere göre m (HCE)
kaç derecedir?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 22 E) 28
10.
AB C
D
E
32 58
Verilenlere göre m (BEC)
kaç derecedir?
A) 96 B) 90 C) 82 D) 78 E) 68
11.
[BD] açıortay ) ACB (m = 42
) DAC (
m = 27
AB = BD
A
B C
27
42
D
verilenlere göre m (ADB)
kaç derecedir?
A) 76 B) 79 C) 83 D) 85 E) 88
12.
ABC bir üçgen [ED] [BC]AB = EC
BD = DC
) AED (
m = 129
A
B C
129
D E
verilenlere göre m (ABC)
= kaç derecedir?
A) 42 B) 54 C) 63 D) 72 E) 81
13.
[AB] [BC]) BCD (
m = m(DCA) )
EDC (
m = 78
A
B C
D 78
E
verilenlere göre m (DEC)
= kaç derecedir?
A) 58 B) 62 C) 68 D) 76 E) 84
14.
ABC bir üçgen [DE] [AB]AE = EB
AD = DC
) ACB (
m = 56
A
B
C
E
56
D
verilenlere göre m (BAC)
= kaç derecedir?
A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 38
15.
[DE] [AC] = {F}AC = CB
AE = EF
) ABD (
m = 52
A
B C D
F E
52
verilenlere göre m (BDE)
= kaç derecedir?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 22 E) 24
16.
ABC bir üçgen [AB] ve [CE] açıor- taylar) AEC (
m = 105
A
B C
105
D F
E
verilenlere göre m (ABC)
kaç derecedir?
A) 60 B) 48 C) 40 D) 36 E) 30
1.
m(ABD )m(ACB ) ) EBC ( m ) DBE (m
76
) BAC (
m
D
E
C A
B
verilenlere göre m (ABE)
kaç derecedir?
A) 38 B) 42 C) 44 D) 48 E) 52
2.
ABC ve ADC birer üçgen) BAD (
m = m(BCD ) )
ABC (
m =52
AD = DC
A
B C
D verilenlere göre m (DAC)
kaç derecedir?
A) 72 B) 64 C) 58 D) 52 E) 48
3.
ABC bir üçgen [CD] [AB]DB= AE = EC
) ABE (
m = 32
A
B C
D E
32
verilenlere göre m (ACD)
kaç derecedir?
A) 16 B) 18 C) 22 D) 26 E) 32
4.
AB // CD[AC] ve [CB] açıor- taylar
) ADC (
m = 28
28
E A B
C D
verilenlere göre m (BED)
= kaç derecedir?
A) 74 B) 66 C) 62 D) 58 E) 52
5.
[AD] ve [CD]açıortaylar
AC = CD
) AEC (
m = 96
A
B 96 C
E
F
D verilenlere göre m (ABC)
= kaç derecedir?
A) 48 B) 56 C) 64 D) 72 E) 80
K O N U T E K R A R T E S T İ
2
6.
ABD bir üçgen ) DAE (m = 84
BC= CA = AD
A 84
D C
B
E
verilenlere göre m (ACD)
kaç derecedir?
A) 42 B) 44 C) 48 D) 52 E) 56
7.
AD= BD = DC) C (
m – m(B)= 14
A
B D C
verilenlere göre m (DAC)
kaç derecedir?
A) 48 B) 52 C) 56 D) 60 E) 64
8.
[AB] [AC]) ACD (
m = m(DCB ) )
EBC (
m = 12
DB = DE
A
B
C D E
x 12
verilenlere göre m (ABE)
= x kaç derecedir?
A) 34 B) 32 C) 30 D) 28 E) 26
9.
BA = BECA = CD
) ABC (
m = 48
) CAE (
m = 14
A
B D E C
48
14
verilenlere göre m (DAE)
= kaç derecedir?
A) 42 B) 46 C) 50 D) 54 E) 58
10.
[AB] [AC][BD] [DE]
DE = EC
C A
B
D
E 4m(ABD )= 3.m(DBC )
verilenlere göre m (ADB)
kaç derecedir?
A) 72 B) 69 C) 66 D) 63 E) 60
11.
m(BAD )= 12) ACE (
m = 18
AB= AC
CE = CD
A
B C
E 12
18
D verilenlere göre m (DAC)
kaç derecedir?
A) 44 B) 48 C) 52 D) 56 E) 60
12.
ABC bir üçgen [BE] [AD]AC = BD
AE = ED
19 ) ABE ( m
A
B D C
19
E
verilenlere göre m (DAC)
kaç derecedir?
A) 30 B) 33 C) 35 D) 39 E) 44
13.
ABF ve ADC birerüçgen ) BAC (
m = 42
DB = DE
FE = FC
A
B C
E F D
42
verilenlere göre m (AFB)
kaç derecedir?
A) 92 B) 90 C) 88 D) 86 E) 84
14.
[AD] [DC]54
) CBD (
m
AC = CB
AB = AD
) AED (
m = 104
104
54
A
D B
E
C verilenlere göre m (ACD)
= kaç derecedir?
A) 54 B) 49 C) 44 D) 39 E) 34
15.
m(BAC )= 104) ACB ( m ) BAD (
m
DB = DE
D
B E C
A
verilenlere göre m (BDA)
kaç derecedir?
A) 28 B) 32 C) 36 D) 42 E) 48
16.
AE = EBCE = CB
[AB] [BC]
147
) AEC (
m
147
C
B A
E
verilenlere göre m (ECB)
kaç derecedir?
A) 18 B) 24 C) 28 D) 32 E) 38