• Sonuç bulunamadı

T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015"

Copied!
129
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T. C.

˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR

Mehmet Akif AKYOL

DOKTORA TEZ˙I

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

TEMMUZ 2015

(2)

Tezin Bas¸lı˘gı : Kompleks Geometride Konform Submersiyonlar Tezi Hazırlayan : Mehmet Akif AKYOL

Sınav Tarihi : 23.07.2015

Yukarıda adı gec¸en tez, j¨urimizce de˘gerlendirilerek Matematik Anabilim Dalında Doktora Tezi olarak kabul edilmis¸tir.

Sınav J ¨uri ¨Uyeleri

Tez Danıs¸manı : Prof. Dr. Bayram S¸AH˙IN ...

˙In¨on¨u ¨Universitesi

Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN ...

Uluda˘g ¨Universitesi

Doc¸. Dr. Hakan Mete TAS¸TAN ...

˙Istanbul ¨Universitesi

Yrd. Doc¸. Dr. Cumali YILDIRIM ...

˙In¨on¨u ¨Universitesi

Yrd. Doc¸. Dr. M ¨uge KARADA ˘G ...

˙In¨on¨u ¨Universitesi

Prof. Dr. Alaaddin ESEN Enstit¨u M¨ud¨ur¨u

(3)

ONUR S ¨OZ ¨U

Doktora Tezi olarak sundu˘gum ”Kompleks Geometride Konform Submersiyon- lar” bas¸lıklı bu c¸alıs¸manın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı d¨us¸ecek bir yardıma bas¸vurmaksızın tarafımdan yazıldı˘gını ve yararlandı˘gım b¨ut¨un kaynakların, hem metin ic¸inde hem de kaynakc¸ada y¨ontemine uygun bic¸imde g¨osterilenlerden olus¸tu˘gunu belir- tir, bunu onurumla do˘grularım.

Mehmet Akif AKYOL

(4)

OZET¨ Doktora Tezi

Kompleks Geometride Konform Submersiyonlar Mehmet Akif AKYOL

˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

121+v sayfa 2015

Danıs¸man: Prof. Dr. Bayram S¸AH˙IN

Doktora tezi olarak hazırlanan bu c¸alıs¸ma bes¸ b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birin- ci b¨ol¨umde, konunun tarihsel gelis¸imi ve bu tezde ele alınan problemlerin tanıtımı yapılmaktadır. ˙Ikinci b¨ol¨umde di˘ger b¨ol¨umlere faydalı olacak temel tanım ve kavram- lar ele alınmaktadır.

Uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde, konform anti-invaryant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. Hemen¨ hemen Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına konform anti-invaryant sub- mersiyon tanımlanmakta ve ¨ornekler verilmektedir. Bu submersiyonlar ic¸in dist- rib¨usyonların integrallenebilirli˘gi ve parallelli˘gi elde edilip, submersiyonun harmonikli˘gi ve tamamen jeodezik olma durumları incelenmektedir. Daha sonra bu t¨ur submer- siyonların belirledi˘gi ayrıs¸ım teoremleri elde edilmektedir. Ayrıca, bir konform anti- invaryant submersiyonun total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit e˘grilikleri arasındaki ilis¸ki aras¸tırılmaktadır.

D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde, konform yarı-invaryant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. Hemen hemen Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına konform yarı-invaryant sub- mersiyon tanımlanmakta ve ¨ornekler verilmektedir. Bu submersiyonlar ic¸in dist- rib¨usyonların integrallenebilirli˘gi ve parallelli˘gi incelenmektedir. Ayrıca, bu t¨ur submer- siyonların harmonikli˘gi ve tamamen jeodezik olma durumları incelenmektedir.

Bes¸inci b¨ol¨umde, konform slant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. Hemen he- men Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına konform slant submersiyon tanımlanmakta ve ¨ornekler verilmektedir. Ayrıca bu t¨ur submersiyonların harmonikli˘gi ve tamamen jeodezik olma durumları ile distrib¨usyonların integrallenebilirli˘gi ve paralelli˘gi incelenmektedir.

ANAHTAR KEL˙IMELER: Hemen hemen Hermityen manifoldlar, konform submer- siyon, konform anti-invaryant submersiyon, konform yarı-invaryant submersiyon, kon- form slant submersiyon.

(5)

ABSTRACT Doctorate Thesis

Conformal Submersions on Complex Geometry Mehmet Akif AKYOL

˙In¨on¨u University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

121+v pages 2015

Supervisors: Prof. Dr. Bayram S¸AH˙IN

This thesis consists of five chapters. In the first chapter the motivation of the prob- lems and their background are presented. In the second chapter, basic definitions and theorems are presented and general facts have been given.

In the third chapter, we first define the concept of conformal anti-invariant submer- sion from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds, then we provide ex- amples. After we find integrability conditions for distributions and investigate the ge- ometry of their leaves, we obtain necessary and sufficient conditions for conformal anti- invariant submersions to be totally geodesic. We also check the harmonicity of such sub- mersions and show that the total space has certain product structures. Finally, we obtain curvature relations between the base manifold and the total manifold.

In the fourth chapter, we define the concept of conformal semi-invariant submersion from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds, then we provide examples.

We investigate the integrability and the geometry foliations of the distributions and check the harmonicity of such submersions and find certain conditions for a conformal semi- invariant submersion to be totally geodesic.

In the fifth chapter, we introduce conformal slant submersion from almost Hermi- tian manifolds onto Riemannian manifolds, then we give examples. Finally, we check the harmonicity of such submersions and find necessary and sufficient conditions for a conformal slant submersion to be totally geodesic.

KEYWORDS: Almost Hermitian manifold, conformal submersion, conformal anti- invariant submersion, conformal semi-invariant submersion, conformal slant submersion.

(6)

TES¸EKK ¨UR

Doktora tezi olarak sundu˘gum bu c¸alıs¸ma ˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Edebiyat Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨unde yapılmıs¸tır.

Tez konumu veren ve bu c¸alıs¸manın her as¸amasında yardım, ¨oneri ve desteklerini esirgemeden beni y¨onlendiren danıs¸man hocam sayın Prof. Dr. Bayram S¸AH˙IN’e m¨utes¸ekkirim. Ayrıca doktora e˘gitimim boyunca beni y¨onlendiren Matematik B¨ol¨um Bas¸kanı Prof. Dr. Sadık KELES¸’e ve her zaman desteklerini g¨ord¨u˘g¨um Geometri Ana- bilim Dalı ¨o˘gretim ¨uyelerine s¸¨ukranlarımı sunarım.

E˘gitim-¨o˘gretim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini benden esirge- meyen aileme, g¨osterdi˘gi sabır ve anlayıs¸la her zaman yanımda olan sevgili es¸im Emine AKYOL’a ve canım kızım Zeynep Rana AKYOL’a sonsuz tes¸ekk¨urlerimi sunarım.

Mehmet Akif AKYOL

(7)

˙IC¸˙INDEK˙ILER

OZET . . . .¨ i

ABSTRACT . . . ii

TES¸EKK ¨UR . . . iii

˙IC¸˙INDEK˙ILER . . . iv

S˙IMGELER VE KISALTMALAR . . . v

1 G˙IR˙IS¸ . . . 1

2 TEMEL KAVRAMLAR . . . 4

2.1 Riemann Manifoldları . . . 4

2.2 Riemann Manifoldlarının Altmanifoldları . . . 12

2.3 Vekt¨or Demetleri ve Manifold ¨Uzerinde Distrib¨usyon . . . 14

2.4 Riemann Submersiyonları . . . 17

2.5 Kompleks Manifoldlar . . . 25

2.6 Konform Submersiyonlar . . . 28

3 KONFORM ANT˙I-˙INVARYANT SUBMERS˙IYONLAR . . . 33

3.1 Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar . . . 33

3.2 Harmonik ve Tamamen Jeodezik Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar 47 3.3 Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar ve Ayrıs¸ım Teoremleri . . . 53

3.4 Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar ˙Ic¸in E˘grilik ˙Ilis¸kileri . . . 58

4 KONFORM YARI-˙INVARYANT SUBMERS˙IYONLAR . . . 68

4.1 Konform Yarı-˙Invaryant Submersiyonlar . . . 68

4.2 Harmonik ve Tamamen Jeodezik Konform Yarı-˙Invaryant Submersiyonlar 84 5 KONFORM SLANT SUBMERS˙IYONLAR . . . 91

5.1 Konform Slant Submersiyonlar . . . 91

KAYNAKLAR . . . 116

OZGEC¨ ¸ M˙IS¸ . . . 121

(8)

S˙IMGELER VE KISALTMALAR

M Manifold

g Metrik Tens¨or

TpM Tanjant Uzay

T M Tanjant Demet

χ(M) veya Γ(T M) M manifoldunun Vekt¨or Alanlarınının Uzayı

F T¨urev D¨on¨us¸¨um¨u

F Adjoint D¨on¨us¸¨um¨u

D

Distrib¨usyon

∇ Lineer Konneksiyon

∇F D¨on¨us¸¨um¨un ˙Ikinci Temel Formu

F F-D¨on¨us¸¨um¨u Boyunca Geri C¸ ekme Konneksiyonu

τ(F ) Tensiyon Alanı

R Riemann Christoffel Eˇgrilik Tens¨or¨u

K Kesit Eˇgriliˇgi

[, ] Lie Braket (Parantez) Operat¨or¨u

Ω Temel 2-form

kk Norm

A Yatay Tens¨or Alanı

T Dikey Tens¨or Alanı

J Hemen Hemen Kompleks Yapı

λ Konform Fakt¨or¨u

c¸ekF Dikey Distrib¨usyon

(c¸ekF) Yatay Distrib¨usyon

H Ortalama Eˇgrilik Vekt¨or Alanı

(9)

1. G˙IR˙IS¸

Manifoldlar arasındaki d¨on¨us¸¨umler g¨oz ¨on¨une alındı˘gında, en temel d¨on¨us¸¨umler izometrik immersiyon d¨on¨us¸¨um¨ud¨ur. ˙Izometrik immersiyonlar Gauss’un y¨uzeyler

¨uzerine olan c¸alıs¸maları ile bas¸lar. ¨Uc¸ boyutlu ¨Oklidyen uzaydaki her y¨uzey aynı zamanda ek boyutu 1 olan bir izometrik immersiyondur. Ek boyutun 1 den b¨uy¨uk olması durumu altmanifold olarak adlandırılır ve bu durumda klasik y¨uzeyler teorisinin y¨ontemleri yeterli olmaz. Altmanifoldlar ¨uzerine c¸alıs¸malar 1950 ve 1960’lı yıllarda yo˘gunluk kazanır ve bu konu ¨uzerine olan c¸alıs¸malar 1973 yılında Chen [10] tarafından bir kitapta bir araya getirilir. Bu as¸amadan sonra altmanifoldlar teorisi b¨uy¨uk ivme kazanarak c¸alıs¸ılmaya bas¸lanır. Bu teori kompleks manifoldlara, kontakt manifoldlara ve kuaterniyon Kaehler manifoldlara tas¸ınır.

Bir kompleks manifoldun altmanifoldu, altmanifoldun bir noktasındaki tanjant uzayının manifoldun kompleks yapısı altındaki davranıs¸ına ba˘glı olarak tanımlanır. E˘ger tanjant uzay invaryant ise holomorfik altmanifold, anti-invaryant ise tamamen reel alt- manifold olarak tanımlanır. 1978 yılında Bejancu [3], bu iki altmanifold t¨ur¨un¨u ic¸eren CR-altmanifoldları tanımlayarak ¨ozelliklerini inceledi. CR-altmanifoldun aynı zamanda CR-manifold oldu˘gu Chen ve Blair [5] tarafından g¨osterildi. CR-altmanifoldlara en tipik ¨ornek kompleks manifoldların reel hipery¨uzeyleridir. Holomorfik ve tamamen reel altmanifoldların di˘ger bir genellemesi Chen [12] tarafından slant altmanifoldlar olarak sunuldu. Bu altmanifoldlar g¨un¨um¨uzde de yo˘gun olarak c¸alıs¸ılmaktadır.

˙Izometrik immersiyonların submersiyonlardaki kars¸ılı˘gı olan Riemann submersi- yonlar O’Neill [40] ve Gray [22] tarafından ba˘gımsız olarak tanımlandı ve c¸alıs¸ıldı. Bu t¨ur d¨on¨us¸¨umler esas olarak negatif e˘grilikli manifoldların ins¸ası ic¸in tanımlandı, fakat g¨or¨uld¨u ki bu t¨ur d¨on¨us¸¨umler manifoldları kars¸ılas¸tırmada c¸ok kullanıs¸lı d¨on¨us¸¨umlerdir.

˙Iki hemen hemen Hermityen manifold verildi˘ginde, bunlar arasındaki d¨on¨us¸¨um hemen hemen kompleks d¨on¨us¸¨um ise Riemann submersiyonuna holomorfik submersiyon veya hemen hemen Hermityen submersiyon adı verilir. Hemen hemen Hermityen submersi- yonlar ilk defa Watson [59] tarafından c¸alıs¸ıldı ve bu t¨ur d¨on¨us¸¨umler kullanılarak kaynak manifoldu belirli bir hemen hemen kompleks manifold sınıfında bulunuyorsa hedef mani-

(10)

foldunda aynı yapıya sahip oldu˘gu c¸o˘gu durumda elde edildi. Holomorfik submersiyon- ların en temel ¨ozelli˘gi, bu t¨ur d¨on¨us¸¨umlerin yatay ve dikey distrib¨usyonlarının kaynak manifoldun kompleks yapısı altında invaryant kalmalarıdır. Holomorfik submersiyon- ların hemen hemen kontakt manifoldlarda [15], kuaterniyon Kaehler manifoldlarda [33]

ve di˘ger uzaylardaki kars¸ılıkları c¸alıs¸ıldı.

2010 yılında S¸ahin [51] dikey distrib¨usyonu hemen hemen kompleks yapı altında anti-invaryant olan submersiyonları tanımladı ve temel ¨ozelliklerini inceledi. G¨osterdi ki bu t¨ur d¨on¨us¸¨umler kaynak manifoldun ¨ozelliklerini incelemede oldukc¸a kullanıs¸lı ol- maktadırlar. Bu fikir daha sonra gelis¸tirilerek yarı-invaryant [55] ve e˘gik submersiyon- lar [52] tanımlanarak, geometrik yapıları incelendi. S¸ahin’in bu c¸alıs¸malarından sonra bu t¨ur submersiyonların geometrisi di˘ger uzaylarda c¸es¸itli yazarlar tarafından da c¸alıs¸ıldı [1, 16, 27, 38, 43].

Riemann submersiyonların genelles¸tirilmis¸i olan konform Riemann submersiyonları Gundmundsson [23], tarafından doktora tezinde yo˘gun olarak c¸alıs¸ıldı ve harmonik mor- fizm olma durumları elde edildi. Ayrıca holomorfik submersiyonların genelles¸tirilmis¸i olan konform holomorfik d¨on¨us¸¨umler Gundmundsson ve Wood tarafından incelendi ve

¨ozellikleri c¸es¸itli yapıların transformasyonu incelenerek, harmonik morfizm olma s¸artları elde edildi. Bu durum Burel [8] tarafından kontakt manifoldlara uygulandı. Bu konudaki c¸alıs¸malar devam etmektedir [50].

Bu tezde, hemen hemen Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına kon- form submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. ˙Ikinci b¨ol¨umde, tezin sonraki kısımlarında kul- lanılacak temel tanım ve teoremler sunuldu. Bunlar; Riemann manifoldlar, Riemann manifoldlarının altmanifoldları, Vekt¨or demetleri ve distrib¨usyonlar, Riemann submer- siyonlar, kompleks manifoldlar, kompleks manifold ¨uzerinde tanımlı submersiyonlar ve konform submersiyonlar olarak sıralanabilir.

Tezin orijinal b¨ol¨umleri ¨uc¸¨unc¨u, d¨ord¨unc¨u ve bes¸inci b¨ol¨umlerdir. ¨Uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde konform anti-invaryant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. ¨Uc¸¨unc¨u b¨ol¨um d¨ort alt b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birinci alt b¨ol¨umde, hemen hemen Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına konform anti-invaryant submersiyon tanımlanmakta ve ¨ornekler veril-

(11)

mektedir. Ayrıca bu submersiyon ic¸in distrib¨usyonların integrallenebilirli˘gi ve para- lelli˘gi incelenmektedir. ˙Ikinci alt b¨ol¨umde bu submersiyonun harmonikli˘gi ve tama- men jeodezik olma durumları incelenmektedir. Uc¸¨unc¨u alt b¨ol¨umde bu submersiyon¨

¨uzerindeki ayrıs¸ım teoremleri elde edilmektedir. Son olarakta, d¨ord¨unc¨u alt b¨ol¨umde bir konform anti-invaryant submersiyonun total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit e˘grilikleri aras¸tırılmaktadır.

D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde, konform yarı-invaryant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. Bu b¨ol¨um iki alt b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birinci alt b¨ol¨umde, hemen hemen Hermityen man- ifoldlardan Riemann manifoldlarına konform yarı-invaryant submersiyon tanımlanmakta ve ¨ornekler verilmektedir. Ayrıca bu submersiyonlar ic¸in distrib¨usyonların integral- lenebilirli˘gi ve paralelli˘gi incelenmektedir. ˙Ikinci alt b¨ol¨umde ise bu submersiyonun har- monikli˘gi ve tamamen jeodezik olma durumları incelenmektedir.

Bes¸inci b¨ol¨umde, konform slant submersiyonlar c¸alıs¸ılmaktadır. Bu b¨ol¨umde, hemen hemen Hermityen manifoldlardan Riemann manifoldlarına konform slant submer- siyon tanımlanmakta ve ¨ornekler verilmektedir. Ayrıca bu submersiyonun harmonikli˘gi ve tamamen jeodezik olma durumları ile distrib¨usyonların integrallenebilirli˘gi ve paralelli˘gi aras¸tırılmaktadır.

(12)

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu b¨ol¨um altı alt b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birinci alt b¨ol¨umde Riemann manifold- ları ile ilgili temel kavramlar verilmektedir. ˙Ikinci alt b¨ol¨umde Riemann manifoldlarının altmanifoldları ic¸in indirgenen kavramlar tanıtılmaktadır. Uc¸¨unc¨u alt b¨ol¨umde vekt¨or¨ demetleri ve onların ¨ozel durumları olan distrib¨usyonlar incelenmektedir. D¨ord¨unc¨u alt b¨ol¨umde Riemann submersiyonları ve onların incelenmesinde ¨onemli arac¸lar olan O’Neill tens¨orleri sunulmaktadır. Bes¸inci alt b¨ol¨umde kompleks manifoldlar ve kompleks mani- foldlar ¨uzerinde tanımlanan c¸es¸itli submersiyon t¨urleri verilmektedir. Son alt b¨ol¨umde ise Riemann submersiyonlarının genelles¸tirilmis¸i olan konform submersiyonlar tanıtılmakta ve temel ¨ozellikleri sunulmaktadır.

2.1 Riemann Manifoldları

Bu alt b¨ol¨umde Riemann manifoldları ile ilgili temel kavramlar sunulmaktadır.

Tanım 2.1.1. M bir diferensiyellenebilir manifold ve manifold ¨uzerindeki diferensiyel- lenebilir vekt¨or alanlarının k¨umesi χ(M) olsun. ∀X ,Y, Z ∈ χ(M), a, b ∈ R ve

g: χ(M) × χ(M) → C(M) olmak ¨uzere

1) g(X ,Y ) = g(Y, X ), (simetriklik)

2) g(X , X ) ≥ 0, ∀X ic¸in g(X , X ) = 0 ⇔ X = 0, (pozitif tanımlılık) 3) ikilineer;

g(aX + bY, Z) = ag(X , Z) + bg(Y, Z) g(X , aY + bZ) = ag(X ,Y ) + bg(X , Z)

s¸artları sa˘glanıyorsa, g d¨on¨us¸¨um¨une Riemann metri˘gi (veya metrik tens¨or) ve (M, g) ikilisine de Riemann manifoldu adı verilir [24].

Tanım 2.1.2. Metrik tens¨or¨u g olan bir Riemann manifoldu M olsun. Bir Xp ∈ TpM

(13)

tanjant vekt¨or¨un¨un uzunlu˘gu

k Xpk=p

g(X , X )p (2.1.1)

reel sayısı ile tanımlanır [24].

Tanım 2.1.3. Metrik tens¨or¨u g olan bir Riemann manifoldu M olsun. Sıfırdan farklı iki Xp,Yp∈ TpMtanjant vekt¨orleri arasındaki θ ac¸ısı

g(Xp,Yp) =k Xpkk Ypk cos θ (2.1.2) ile tanımlanır. Burada θ ¨olc¸¨us¨un¨un [0, π] kapalı aralı˘gında kalaca˘gını Cauchy-Schwarz es¸itsizli˘gi denen

| g(Xp,Yp) |≤k Xpkk Ypk

den biliyoruz [31].

Tanım 2.1.4. M ve B manifoldları arasında bir

π : M → B Cd¨on¨us¸¨um¨un¨un t¨urev d¨on¨us¸¨um¨u

dπ : χ(M) → χ(B) bic¸iminde g¨osterilir. Bu d¨on¨us¸¨um her x ∈ M noktasında

x: TxM→ Tπ(x)B

lineer d¨on¨us¸¨um¨un¨u verir. Bu d¨on¨us¸¨um f bir fonksiyon ve V vekt¨or alanı olmak ¨uzere π(p)(V )( f ) = V ( f ◦ π) tanımlıdır ve buna π nin x noktasındaki t ¨urev d¨on ¨us¸ ¨um ¨u denir [9].

Tanım 2.1.5. Bir f ∈

F

(M) fonksiyonunun gradf gradiyenti metrik olarak d f ∈ χ(M) diferensiyeline denk olan vekt¨or alanıdır. Buna g¨ore ∀X ∈ χ(M) ic¸in

< gradf, X >= d f (X ) = X ( f )

(14)

dir. (x1, ..., xn) lokal koordinatlarda gradf vekt¨or alanı gradf=

n

i, j

gi j∂ f

∂xi

∂xj ile g¨osterilir [41].

Tanım 2.1.6. M manifoldu ¨uzerinde iki vekt¨or alanı X ve Y olsun. f ∈ C(M) fonksiyo- nunu alalım.

[, ] : χ(M) × χ(M) → χ(M)

[X ,Y ] f = X (Y f ) −Y (X f ) (2.1.3) ile tanımlanan [, ] fonksiyonuna X ve Y nin Lie (parantez) operat¨or ¨u denir ve bu operat¨or as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar [9]:

∀X,Y, Z ∈ χ(M) ve ∀ f , g ∈ C(M) olmak ¨uzere i) [X ,Y ] = −[Y, X ],

ii) [aX + bY, Z] = a[X , Z] + b[Y, Z] a, b ∈ R,

iii) [[X ,Y ], Z] + [[Y, Z], X ] + [[Z, X ],Y ] = 0, (Jacobi ¨ozdes¸li˘gi) iv) [ f X , gY ] = f [X ,Y ] + f (X g)Y − g(Y f )X

dır.

Tanım 2.1.7. M bir manifold olsun. M ¨uzerinde vekt¨or alanlarının uzayı χ(M) olmak

¨uzere

∇ : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y ) → ∇(X ,Y ) = ∇XY fonksiyonu ∀X ,Y, Z ∈ χ(M) ve ∀ f ∈ C(M) ic¸in

1) ∇X+YZ= ∇XZ+ ∇YZ, 2) ∇X(Y + Z) = ∇XY+ ∇XZ, 3) ∇f XY = f ∇XY,

4 ∇X( f Y ) = X [ f ]Y + f ∇XY ¨ozelliklerini sa˘glıyorsa ∇ ya M ¨ust¨unde bir afin kon- neksiyonu denir [9].

(15)

Tanım 2.1.8. M bir manifold ve M ¨uzerindeki konneksiyon ∇ olsun. Bu durumda T : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y ) → T (X ,Y ) = ∇XY− ∇YX− [X,Y ]

olarak tanımlanan vekt¨or de˘gerli tens¨ore M ¨uzerinde tanımlı ∇ konneksiyonunun torsiyon tens¨or ¨u denir [9].

Tanım 2.1.9. M bir manifold ve M ¨uzerindeki ∇ konneksiyonunun torsiyon tens¨or¨u T olsun. E˘ger T = 0 ise ∇ konneksiyonuna simetriktir veya sıfır torsiyonludur denir [9].

Tanım 2.1.10. M bir manifold, g simetrik, non-sing¨uler bilineer form olsun. E˘ger ∇ konneksiyonu as¸a˘gıdaki iki ¨ozelli˘ge sahipse Riemann konneksiyon veya Levi-Civita konneksiyonu adını alır [41]. ∀X ,Y, Z ∈ χ(M) ic¸in

1) [X ,Y ] = ∇XY− ∇YX

2) X g(Y, Z) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ) dır.

M ¨uzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu

2g(∇XY, Z) = X (g(Y, Z)) +Y (g(Z, X )) − Z(g(X ,Y ))

− g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X]) + g(Z, [X,Y ]) (2.1.4) ile belirlenir. (2.1.4) denklemine Koszul es¸itli˘gi adı verilir [41].

Teorem 2.1.1. Bir Riemann manifoldu ¨uzerinde bir tek Riemann konneksiyonu vardır [7, 10].

Tanım 2.1.11. M bir Riemann manifoldu ve g de M nin Riemann metri˘gi olsun. Bu durumda X ,Y, Z ∈ χ(M) ic¸in

R: χ(M) × χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y, Z) → R(X ,Y, Z) = R(X ,Y )Z

RXYZ= R(X ,Y )Z = ∇XYZ− ∇YXZ− ∇[X ,Y ]Z (2.1.5) olarak tanımlanan R tens¨or alanına ∇ konneksiyonunun e˘grilik tens¨or ¨u denir [7].

(16)

Tanım 2.1.12. M bir Riemann manifoldu ve g de M nin Riemann metri˘gi olsun. Bu durumda ∀X ,Y, Z,W ∈ χ(M) ic¸in

K: χ(M) × χ(M) × χ(M) × χ(M) → C(M)

(X ,Y, Z,W ) → K(X ,Y, Z,W ) = g(R(X ,Y )Z,W )

olarak tanımlanan 4. mertebeden kovaryant tens¨ore M ¨uzerinde Riemann Christoffel e˘grilik tens¨or ¨u denir [30].

Teorem 2.1.2. (M, g) bir Riemann manifoldu ve ∇, M ¨uzerinde bir Riemann konneksiyon olsun. Bu taktirde as¸a˘gıdaki ba˘gıntılar, M ¨uzerinde gec¸erlidir [30]:

1) K(X ,Y, Z,W ) + K(Y, Z, X ,W ) + K(Z, X ,Y,W ) = 0, 2) K(X ,Y, Z,W ) = −K(Y, X , Z,W ),

3) K(X ,Y, Z,W ) = −K(X ,Y,W, Z), 4) K(X ,Y, Z,W ) = K(Z,W, X ,Y ).

Tanım 2.1.13. (M1, g1) ve (M2, g2) Riemann manifoldları ve F : (M1, g1) → (M2, g2) bir d¨on¨us¸¨um olsun. F boyunca

2

∇ konneksiyonunun geri c¸ekme konneksiyonu

2

F olmak

¨uzere, ∀X ,Y ∈ Γ(T M1) ic¸in

∇F: Γ(T M1) × Γ(T M1) → ΓF(T M2) ve

(∇F)(X ,Y ) =

2

FXFY− F(

1

XY) (2.1.6)

s¸eklinde tanımlanan ∇Fd¨on¨us¸¨um¨une F d¨on¨us¸¨um¨un¨un ikinci temel formu denir [21, 53].

Onerme 2.1.1. F : (M¨ 1, g1) → (M2, g2) bir d¨on¨us¸¨um olsun. ∀X ,Y ∈ Γ(T M1) ic¸in

(∇F)(X ,Y ) = (∇F)(Y, X ) dır. Yani ∇Fsimetriktir [21, 53].

(17)

Tanım 2.1.14. F : (M1m, g1) → (M2n, g2) bir d¨on¨us¸¨um olsun. {e1, ..., em}, Γ(T M1) ic¸in yerel ortonormal c¸atı olsun. F d¨on¨us¸¨um¨un¨un tensiyon alanı τ(F), ∇F ikinci temel for- munun izine es¸ittir, yani

τ(F ) = iz(∇F) =

m

i=1

(∇F)(ei, ei) (2.1.7) dır. Bir F : (M1, g1) → (M2, g2) d¨on¨us¸¨um¨un¨un tensiyon alanı F boyunca bir vekt¨or alanıdır, yani τ(F) ∈ ΓF(T M2) dir [21, 53].

Tanım 2.1.15. E˘ger τ(F) = 0 ise F : (M1, g1) → (M2, g2) d¨on¨us¸¨um¨une harmonik d¨on ¨us¸ ¨um denir [21, 53].

Tanım 2.1.16. (M1, g1) ve (M2, g2) Riemann manifoldları ve F : M1→ M2 bir d¨on¨us¸¨um olsun. Bu durumda F d¨on¨us¸¨um¨un¨un p ∈ M1 noktasındaki t¨urev d¨on¨us¸¨um¨u F∗p olmak

¨uzere X ∈ TpM1ve W ∈ TF(p)M2ic¸in

g2(F∗p(X ),W ) = g1(X , F∗p(W ))

ile tanımlı F∗p d¨on¨us¸¨um¨une p ∈ M1 noktasında F∗p d¨on¨us¸¨um¨un¨un adjoint d¨on ¨us¸ ¨um ¨u denir [53].

Tanım 2.1.17. M ve N Riemann manifoldları olsun. Bu durumda M ve N manifoldlarının kartezyen c¸arpımı olan M × N de bir Riemann manifoldudur. ¨Ustelik as¸a˘gıdaki ¨ozellikler sa˘glanır [37, 41].

a)

π : M × N → M (p, q) → p ve

σ : M × N → N (p, q) → q izd¨us¸¨umleri Cd¨on¨us¸¨umleridir.

(18)

b) Bir φ : P → M × N d¨on¨us¸¨um¨un¨un C olması ic¸in gerek ve yeter s¸art hem π ◦ φ hemde σ ◦ φ d¨on¨us¸¨umlerinin Colmasıdır.

c) Herbir (p, q) ∈ M × N ic¸in

M× q = {(r, q) ∈ M × N : r ∈ M}

p× N = {(p, r) ∈ M × N : r ∈ N}

alt k¨umeleri M × N nin altmanifoldlarıdır.

d) Herbir (p, q) ∈ M × N ic¸in π |M×q, M × q dan M ye bir diffeomorfizm ve σ |p×N, p× N den N ye bir diffeomorfizmdir.

(b) den

T(p,q)M≡ T(p,q)(M × q) ve T(p,q)N≡ T(p,q)(p × N) uzayları (p, q) da M × N nin tanjant alt uzaylarıdır. B¨oylece

T(p,q)(M × N) = T(p,q)M⊕ T(p,q)N

dır. Buradan, her Y ∈ T(p,q)(M × N) ic¸in Y1 ∈ T(p,q)M ve Y2∈ T(p,q)N olmak ¨uzere Y = Y1+Y2olacak s¸ekilde tek t¨url¨u yazılabilir.

Tanım 2.1.18. B ve F Riemann manifoldları ve f > 0, B ¨uzerinde C fonksiyon olsun.

M= B ×fF c¸apras¸ık c¸arpım,

g= π(gB) + ( f ◦ π)2σ(gF)

metrik tens¨or¨u ile olus¸turulmus¸ B × F c¸arpım manifoldudur. E˘ger v, w ∈ T(p,q)B× F ise bu durumda

g(v, w) = π(gB(v, w)) + ( f ◦ π)2σ(gF(v, w))

= gB(dπ(v), dπ(w)) + ( f ◦ π)2gF(dσ(v), dσ(w))

dır. ¨Ozel olarak, e˘ger f = 1 ise B ×fF bir B × F c¸arpım manifolduna indirgenir [41].

(19)

Onerme 2.1.2. B ve F Riemann manifoldları ve M = B ר fF c¸apras¸ık c¸arpım manifoldu olsun. M ¨uzerinde X ,Y ∈

L

(B) ve V,W ∈

L

(F) ise

1) DXY ∈

L

(B), B ¨uzerinde DXY nin liftidir.

2) DXV = DVX = (X [ f ]/ f )V

3) norDVW = II(V,W ) = −(< V,W > / f )grad f

4) tanDVW ∈

L

(F), F ¨uzerinde DVW nin liftidir [41]. Burada

L

(B) ve

L

(F) sırasıyla B ve F manifoldlarına y¨ukseltilmis¸ vekt¨or alanlarının k¨umesidir. Ayrıca nor ve tan sırasıyla normal kısmı ve te˘get kısmı g¨ostermektedir.

Tanım 2.1.19. (M1, g1) ve (M2, g2) Riemann manifoldları, λ : M1× M2→ R bir pozitif diferensiyellenebilir fonksiyon ve i = 1, 2 ic¸in πi: M1×M2→ Mido˘gal projeksiyon olsun.

Bu durumda (M1, g1) ve (M2, g2) nin M1×λM2 b ¨uk ¨uml ¨u manifoldu M1× M2 nin t¨um X ve Y vekt¨or alanları ic¸in

g(X ,Y ) = g11∗X, π1∗Y) + λg22∗X, π2∗Y)

ile tanımlanan g Riemann metri˘gi ile olus¸turulmus¸ M1× M2 diferensiyellenebilir mani- folddur [47].

Bu tanıma g¨ore i = 1, 2 ic¸in πi: M1× M2→ Mido˘gal projeksiyon olmak ¨uzere e˘ger λi: M1× M2→ R pozitif diferensiyellenebilir fonksiyonları alınırsa bu durumda (M1, g1) ve (M2, g2) nin M1×12)M2c¸ift katlı-b ¨uk ¨uml ¨u manifoldu, X ve Y vekt¨or alanları ic¸in

g(X ,Y ) = λ1g11∗X, π1∗Y) + λ2g22∗X, π2∗Y)

ile tanımlanan g Riemann metri˘gi ile olus¸turulmus¸ M1× M2 diferensiyellenebilir mani- folddur [47].

Onerme 2.1.3. B ve F Riemann manifoldları ve M = B ר fF bir c¸apras¸ık c¸arpım mani- foldu olsun. Bu durumda B× q yaprakları tamamen jeodeziktir ve p × F lifleri tamamen umbiliktir [41].

Onerme 2.1.4. M¨ 1× M2manifoldu ¨uzerinde bir Riemann metri˘gi g olsun. Kabul edelim ki L1ve L2foliasyonları her yerde dikey olarak kesis¸sinler. Bu durumda g metri˘gi,

(20)

a) bir M1×12)M2 c¸ift katlı b¨uk¨uml¨u manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L1ve L2 tamamen umbilik foliasyondur.

b) bir M1×λM2b¨uk¨uml¨u manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L1tamamen jeodezik ve L2tamamen umbilik foliasyondur.

c) bir M1×λM2 c¸apras¸ık c¸arpım manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L1 tamamen jeodezik ve L2bir k¨uresel(spherical) foliasyondur.

d) Riemann manifoldlarının bir do˘gal c¸arpım metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L1 ve L2 tamamen jeodezik foliasyondur [47].

Tanım 2.1.20. M bir n− boyutlu Riemann manifoldu ve M nin bir p noktasındaki tan- jant uzayının 2- boyutlu bir alt uzayı P olsun. P yi geren birim vekt¨orler Xp, Yp ve M

¨uzerindeki Riemann Christoffel e˘grilik tens¨or¨u K olmak ¨uzere K(Xp,Yp, Xp,Yp)

de˘gerine M nin p noktasındaki P d¨uzlemine g¨ore kesit e˘grili˘gi denir. K simetrik ve anti- simetrik oldu˘gundan bu e˘grili˘gin de˘geri sadece P alt uzayına ba˘glıdır [4].

M ¨uzerinde metrik tens¨or g, Xp ve Yp tanjant vekt¨orleri ¨uzerinde kurulan paralel kenarın alanı k Xp∧Ypk olmak ¨uzere

K(P) = g(R(Xp,Yp)Xp,Yp)

k Xp∧Ypk (2.1.8)

dır [37].

2.2 Riemann Manifoldlarının Altmanifoldları

Bu alt b¨ol¨umde Riemann manifoldlarının altmanifoldları ic¸in indirgenen kavramlar tanıtılmaktadır.

Tanım 2.2.1. M, M0 sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olsunlar. f : M → M0, C d¨on¨us¸¨um¨u ic¸in, boy( f(TpM)) = m ise f nin p ∈ M noktasındaki rankı m olup, rank( f ) = m ile g¨osterilir. E˘ger boy(M) = rank( f ) ise f ye immersiyon (daldırma) denir.

Bu durumda M ye de M0nin immersed alt manifoldu denir.

(21)

f immersiyonu 1 − 1 ise f ye imbedding (g¨omme), M ye de M0 nin g¨om¨ulen alt- manifoldu ya da sadece altmanifoldu denir [10].

Tanım 2.2.2. (M, g) ve (M0, g0) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları, f : M → M0immersiyon olsun. ∀X ,Y ∈ Γ(TpM) ic¸in

g(X ,Y ) = g0( fX, fY)

ise f ye izometrik immersiyon (metrik koruyan immersiyon) adı verilir [10].

Tanım 2.2.3. M ve M0 sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak ¨uzere M0 manifoldunun altmanifoldu M olsun. ∇ ve ∇0sırası ile M ve M0nin Levi-Civita konnek- siyonları olsun. B¨oylece X ve Y, M ¨uzerinde vekt¨or alanları olmak ¨uzere;

h: χ(M) × χ(M) → χ(M)

0XY = ∇XY+ h(X ,Y ) (2.2.1)

yazılır. (2.2.1) denklemine Gauss denklemi denir. Burada ∇XY ve h(X ,Y ), sırasıyla ∇0XY nin te˘get ve normal biles¸enleridir. Burada h ya M nin ikinci temel formu adı verilir [10].

Tanım 2.2.4. h = 0 ise M ye tamamen jeodezik altmanifoldu denir [10].

Tanım 2.2.5. M ve M0 sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak ¨uzere M0 manifoldunun altmanifoldu M olsun. M ye normal birim vekt¨or alanı N ve −ANX, ∇XN sırasıyla ∇XNnin te˘get ve normal biles¸enleri olmak ¨uzere,

A: χ(M) × χ(M) → χ(M)

0XN= −ANX+ ∇XN (2.2.2)

yazılır. (2.2.2) denklemine Weingarten denklemi denir. Burada AN ye N ye ba˘glı s¸ekil operat¨or ¨u, ∇ konneksiyonuna da M nin TM normal demetindeki normal konnek- siyon adı verilir [10].

(22)

As¸a˘gıdaki lemma ikinci temel form ve s¸ekil operat¨or¨u arasındaki ilis¸kiyi vermekte- dir.

Lemma 2.2.1. M ve M0 sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları ve M, M0 mani- foldunun altmanifoldu olsun. Bu durumda∀X,Y ∈ χ(M) ve N ∈ χ(M) ic¸in

g(ANX,Y ) = g(h(X ,Y ), N)

dir [10].

Tanım 2.2.6. (M, g) ve (M0, g0) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları ve M, M0 manifoldunun altmanifoldu olsun. M ¨uzerindeki bir x ∈ M ic¸in TxM nin lokal ortonormal c¸atısı {e1, ..., en} olsun. Bu durumda

H =1

nizh= 1 n

n i=1

h(ei, ei) (2.2.3)

bic¸iminde tanımlı H normal vekt¨or¨une M nin ortalama e˘grilik vekt¨or ¨u denir [10]. E˘ger H= 0 ise M ye minimal altmanifold denir [10].

Tanım 2.2.7. (M, g) ve (M0, g0) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları ve M, M0 manifoldunun altmanifoldu olsun. ∀X ,Y ∈ χ(M) olmak ¨uzere

h(X ,Y ) = g(X ,Y )H (2.2.4)

es¸itli˘gi sa˘glanıyorsa M ye tamamen umbilik altmanifold adı verilir [10].

2.3 Vekt¨or Demetleri ve Manifold ¨Uzerinde Distrib ¨usyon

Bu alt b¨ol¨umde vekt¨or demetleri ve vekt¨or demetlerinin ¨ozel durumları olan dist- rib¨usyonlar tanıtılacaktır.

Tanım 2.3.1. E, B ve F, Cmanifoldlar ve π : E → B bir C d¨on¨us¸¨um olsun. B nin bir ac¸ık ¨ort¨us¨u {Uα}α∈I (I, indis k¨umesi) olmak ¨uzere e˘ger

(π ◦ ψα)(x, y) = x, x ∈ Uα, y ∈ F

(23)

olacak s¸ekilde

ψα: Uα× F → π−1(Uα)

diffeomorfizmlerinin bir {ψα}α∈Iailesi varsa π, F ye g¨ore lokal c¸arpım ¨ozelli˘gine sahip- tir denir ve D = {(Uα, ψα)}α∈I sistemine de π nin lokal ayrıs¸ması denir [49].

Tanım 2.3.2. π : E → B d¨on¨us¸¨um¨u lokal c¸arpım ¨ozelli˘gine sahip olsun. Bu durumda ζ = (E, π, B, F ) d ¨ortl¨us¨une bir diferensiyellenebilir lif demeti adı verilir [49].

Bir lif demetinde E ye total uzay, B ye baz (taban) uzay, F ye lif modeli ve π ye de projeksiyon (izd ¨us¸ ¨um) adı verilir [49].

Lif demetini E veya π ile g¨osterece˘giz.

Tanım 2.3.3. π : E → B lif demeti olsun. ∀x ∈ B ic¸in

π−1(x) = Fx= {p ∈ E | π(p) = x}

k¨umesine x ¨uzerinde bir lif denir. T¨um Fx liflerinin ayrık birles¸imi E total uzayını verir [49].

Tanım 2.3.4. ζ = (E, π, B, F) bir diferensiyellenebilir lif demeti olsun. π nin D lokal ayrıs¸masına ζ lif demetinin lokal koordinat temsilcisi denir [49].

ζ = (E, π, B, F ) lif demetinin D = {(Uα, ψα)}α∈I lokal koordinat temsilcisini g¨oz

¨on¨une alalım. ∀x ∈ Uα ic¸in

ψα,x: F → Fx d¨on¨us¸¨um¨u y ∈ F ic¸in

ψα,x(y) = ψα(x, y)

s¸eklinde tanımlanırsa ψαlar diffeomorfizm olduklarından, ψα,xler de diffeomorfizmdirler [49].

(24)

Tanım 2.3.5. ζ = (E, π, B, F) bir diferensiyellenebilir lif demeti olsun. E˘ger as¸a˘gıdaki iki

¨ozellik sa˘glanıyorsa ζ ya bir vekt¨or demeti denir [49].

i) ∀x ∈ B ic¸in F ve Fxbir

K

cismi ¨uzerinde vekt¨or uzayıdır.

ii) ∀x ∈ B ic¸in ψα,x : F → Fx d¨on¨us¸¨umleri lineer izomorfizm olacak s¸ekilde ζ nin bir D= {(Uα, ψα)}α∈I lokal koordinat temsilcisi vardır.

Tanım 2.3.6. π : E → B bir Clif demeti olsun. Bu durumda

π ◦ S = I, (I, B nin birim d ¨on¨us¸¨um¨u) olacak s¸ekilde

S: B → E

Cd¨on¨us¸¨um¨une lif demetinin kesiti denir ve Γ(E) ile g¨osterilir [49].

Tanım 2.3.7. E bir vekt¨or demeti olsun. ∀p ∈ B ic¸in TpBtanjant uzayına bir Xp vekt¨or¨u tas¸ıyan d¨on¨us¸¨ume vekt¨or demetinin kesiti denir. E nin Γ(E) kesitlerinin uzayı

K

cismi

¨uzerinde vekt¨or uzayıdır [49].

Tanım 2.3.8. M, n− boyutlu bir manifold olsun. M ¨uzerinde

D

: M → TxM x →

D

x⊂ TxM ile tanımlanan

D

d¨on¨us¸¨um¨une bir distrib ¨usyon denir [49].

X ∈ χ(M) ic¸in p ∈ M olmak ¨uzere Xp

D

p oluyorsa X vekt¨or alanına

D

ye aittir

denir. E˘ger her p noktası ic¸in

D

ye ait q− tane diferansiyellenebilir lineer ba˘gımsız vekt¨or alanı var ise

D

ye diferansiyellenebilirdir denir [49].

Tanım 2.3.9. M bir Cmanifold;

D

, M ¨uzerinde q− boyutlu bir Cdistrib¨usyon ve B, Mnin altmanifoldu olsun. E˘ger B nin her x noktasında, B nin tanjant uzayı ile

D

xaynı ise Bye

D

nin integral manifoldu denir [49]. Yani

π : B → M

(25)

bir imbedding olmak ¨uzere ∀x ∈ B ic¸in

π(TxB) =

D

x

dir. E˘ger

D

nin B yi kapsayan bir bas¸ka integral manifoldu yoksa B ye

D

nin bir maksi- mal integral manifoldu (veya leaf) denir [49].

Tanım 2.3.10. M bir Cmanifold ve B, M nin bir altmanifoldu olsun. E˘ger ∀x ∈ B ic¸in

D

nin x noktasını kapsayan bir maksimal integral manifoldu varsa

D

distrib¨usyonuna integrallenebilirdir denir [49].

Tanım 2.3.11. (M, g) bir Riemann manifold ve ∇, (M, g) ¨uzerinde bir lineer konneksiyon olsun. E˘ger X ∈ χ(M) ve Y ∈ χv(M) ic¸in

XY ∈ χv(M)

ise

D

distrib¨usyonuna paraleldir denir. Bu durumda

D

distrib¨usyonu tamamen jeodezik bir foliasyon belirler [49].

Onerme 2.3.1. (M, g),¨

D

ve

H

ortogonal distrib¨usyonlarına sahip bir Riemann mani- foldu olsun. Bu durumda

D

nin ∇ ya g¨ore paralel olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

H

nin

paralel olmasıdır [49].

2.4 Riemann Submersiyonları

Bu alt b¨ol¨umde Riemann submersiyonlar ile ilgili bazı temel tanım ve sonuc¸lar sunulacaktır.

Tanım 2.4.1. (M, g) ve (B, g0) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak ¨uzere π : (M, g) → (B, g0)

bir ¨orten Cd¨on¨us¸¨um¨u ic¸in

rankπ∗x= boyB

oluyorsa π ye x ∈ M noktasında bir submersiyon denir. ∀x ∈ M ic¸in π bir submersiyon ise π ye M ¨uzerinde bir submersiyon adı verilir [18].

(26)

Herhangi bir b ∈ B ic¸in Fb= π−1(b) lifi, (M, g) manifoldunun r = (m − n)- boyutlu bir altmanifoldudur. π−1(b) altmanifoldlarına submersiyonun lifleri denir [18]. Herhangi bir p ∈ M ic¸in (M, g) deki

V

integrallenebilir distrib ¨usyonu

V

p= c¸ekπ∗p

ile tanımlanır ve

V

pye submersiyonun dikey distrib ¨usyonu denir.

H

p= (

V

p)

ile tanımlanan distrib¨usyona ise submersiyonun yatay distrib ¨usyonu denir [18].

Tanım 2.4.2. (M, g) ve (B, g0) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0) bir Cd¨on¨us¸¨um olsun. x ∈ M ic¸in

V

x=

V

x(π) = c¸ekπ∗x= {X ∈ TxM| π∗x(X ) = 0} ⊂ TxM

ve

H

x=

H

x(π) =

V

x⊂ TxM

olarak tanımlayalım.

V

x uzayına π nin x noktasındaki dikey uzayı denir. M deki g metri˘gine g¨ore

V

xdikey uzayının dik t¨umleyeni

H

xuzayına ise π nin x noktasındaki yatay uzayı denir [2].

B¨oylece, M Riemann manifoldu p ∈ M de

TpM=

V

p

H

p=

V

p

V

p

ortogonal ayrıs¸ımına sahiptir.

Tanım 2.4.3. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

(27)

bir Cd¨on¨us¸¨um olsun. x ∈ M noktasına TxMnin sırasıyla

V

xve

H

xalt uzaylarını kars¸ılık getiren

x→

V

x ve x →

H

x

d¨on¨us¸¨umleri M \ Cπ ¨uzerinde sırasıyla

V

=

V

(π) ve

H

=

H

(π) ile g¨osterilen C dist- rib¨usyonları tanımlar.

V

=

V

(π) ye π nin dikey distrib ¨usyonu veya dikey alt demeti,

H

=

H

(π) ye ise π nin yatay distrib ¨usyonu veya yatay alt demeti denir [2].

Tanım 2.4.4. M ¨uzerindeki bir X vekt¨or alanı yatay distrib¨usyona ait ise yatay vekt¨or alanı olarak adlandırılır ve yatay vekt¨or alanlarının k¨umesi χh(M) ile g¨osterilir [25].

Tanım 2.4.5. M ¨uzerindeki bir X vekt¨or alanı dikey distrib¨usyona ait ise dikey vekt¨or alanı olarak adlandırılır ve dikey vekt¨or alanlarının k¨umesi χv(M) ile g¨osterilir [25].

Herhangi bir E ∈ χ(M) vekt¨or alanı ic¸in, E nin dikey ve yatay biles¸enleri sırasıyla vE ve hE ile g¨osterilir.

Tanım 2.4.6. M ve N diferensiyellenebilir manifoldlar ve π : M → N diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um olsun. X ∈ Γ(T M) ve X0∈ Γ(T N) olmak ¨uzere, e˘ger π(X ) = X0ise X ve X0 vekt¨or alanlarına π− ba˘glı vekt¨or alanları denir [53].

Tanım 2.4.7. M ve B Riemann manifoldları olsun. E˘ger X yatay ve B ¨uzerindeki X0 vekt¨or alanına π− ba˘glı ise M ¨uzerindeki bu X vekt¨or alanına basic (temel) vekt¨or alanı denir [40].

Tanım 2.4.8. (M, g) ve (B, g0) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu Riemann manifoldları olsun.

π : (M, g) → (B, g0)

bir ¨orten C- submersiyonu as¸a˘gıdaki s¸artları sa˘glıyorsa π ye bir Riemann submersiyonu denir [18, 40]:

i) π d¨on¨us¸¨um¨u maksimal ranka sahiptir.

(28)

ii) Her p ∈ M noktasında π∗pd¨on¨us¸¨um¨u yatay vekt¨orlerinin uzunlu˘gunu korur. Yani gp(u, v) = g0π( p)∗pu, π∗pv), u, v ∈

H

p, p ∈ M (2.4.1) dır. Bu ise, bir p ∈ M noktasında π t¨urev d¨on¨us¸¨um¨un¨un

H

p yatay uzayından Tπ( p)B

¨uzerine bir lineer izometri oldu˘gunu s¨oyler.

Onerme 2.4.1. (M, g) ve (B, g¨ 0) Riemann manifoldları,

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu, ∇ ve ∇0 sırasıyla M ve B nin Levi-Civita konneksiyonları olsun. M ¨uzerindeki X ,Y temel vekt¨or alanları, X0,Y0 vekt¨or alanlarına π- ba˘glı olsun.

Bu durumda

i) g(X ,Y ) = g0(X0,Y0) ◦ π,

ii) h[X ,Y ] temel vekt¨or alanı, [X0,Y0] vekt¨or alanına π- ba˘glıdır.

iii) h(∇XY) temel vekt¨or alanı ve (∇0X0Y0) π- ba˘glıdır.

iv) Herhangi bir V ∈ χv(M) ic¸in, [X ,V ] dikey vekt¨or alanıdır [18].

S¸imdi O’Neill tarafından tanımlanan A ve T temel tens¨orleri tanıtılacaktır.

Tanım 2.4.9. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda (1, 2) mertebeli T temel tens¨or alanı T(E, F) = TEF = h∇vEvF+ v∇vEhF, E, F ∈ χ(M) (2.4.2) ile tanımlanır [18, 40].

(29)

Burada, v ve h sembolleri sırasıyla

V

ve

H

¨uzerinde ortogonal projeksiyonlar ve ∇, (M, g) nin Levi-Civita konneksiyonudur.

T temel tens¨or alanı as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar:

i) E ∈ χ(M) ic¸in TE anti-simetrik ve lineer operat¨ord¨ur.

ii) E ∈ χ(M) ic¸in TE yatay ve dikey altuzaylarının rollerini de˘gis¸tirir.

iii) T dikey tens¨or alanıdır. Yani, E ∈ χ(M) ic¸in, TE = TvE dir.

iv) T dikey tens¨or alanı simetriktir. Yani V,W ∈ χv(M) ic¸in TVW = TWV

dır.

Tanım 2.4.10. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda (1, 2) mertebeli A temel tens¨or alanı A(E, F) = AEF = v∇hEhF+ h∇hEvF, E, F ∈ χ(M) (2.4.3) ile tanımlanır [18, 40].

Atemel tens¨or alanı as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar:

i) E ∈ χ(M) ic¸in AE anti-simetrik ve lineer operat¨ord¨ur.

ii) E ∈ χ(M) ic¸in AE yatay ve dikey altuzaylarının rollerini de˘gis¸tirir.

iii) A yatay tens¨or alanıdır. Yani, E ∈ χ(M) ic¸in, AE = AhE dir.

(30)

iv) A yatay tens¨or alanı alterleyendir. Yani X ,Y ∈ χh(M) ic¸in AXY = −AYX

dır.

Lemma 2.4.1. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu olsun. Herhangi bir E, F, G ∈ χ(M) ic¸in

g(TEF, G) = −g(TEG, F) (2.4.4)

g(AEF, G) = −g(AEG, F) (2.4.5)

dır [18, 25].

Onerme 2.4.2. (M, g) ve (B, g¨ 0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu olmak ¨uzere, tens¨or alanları T ve A as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar [40, 59]:

i) TUW = TWU, U,W ∈ χv(M),

ii) AXY = −AYX, X ,Y ∈ χh(M),

iii) AXY = 12v[X ,Y ] X ,Y ∈ χh(M) dır.

Tanım 2.4.11. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve π : (M, g) → (B, g0) bir Riemann submersiyonu olsun. E˘ger T tens¨or alanı sıfır ise π nin herhangi bir lifine M nin tamamen jeodezik altmanifoldu denir [18].

Bir Riemann submersiyonda dikey distrib¨usyon her zaman integrallenebilirdir [40].

Yatay distrib¨usyon ic¸in as¸a˘gıdaki durum gec¸erlidir.

(31)

Teorem 2.4.1. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları,

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu ve(M, g) ¨uzerindeki yatay distrib¨usyon

H

olsun. Bu durumda,

H

yatay distrib¨usyonunun integrallenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art A =0 olmasıdır [40].

(2.4.2) ve (2.4.3) es¸itliklerinden as¸a˘gıdaki Lemma elde edilir.

Lemma 2.4.2. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu olmak ¨uzere, X ,Y ∈ χh(M) ve V,W ∈ χv(M) ic¸in

VW = TVW+ ˆ∇VW, (2.4.6)

VX = h∇VX+ TVX, (2.4.7)

XV = AXV+ v∇XV, (2.4.8)

XY = h∇XY+ AXY, (2.4.9)

dır. Ayrıca, X temel vekt¨or alanı ise [X ,V ] dikey vekt¨or alanı oldu˘gundan

h∇XV = h∇VX = AXV (2.4.10)

dır [18, 40].

Bu altb¨ol¨um¨un son kısmında manifoldların e˘grilikleri arasındaki ba˘gıntılar Riemann submersiyonu aracılı˘gıyla sunulacaktır.

Tanım 2.4.12. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları ve (M, g) manifoldunun yatay distrib¨usyonu

H

olsun. χh(M) ¨uzerinde (1, 3)- mertebeli e˘grilik tens¨or alanını R ile g¨osterelim. Herhangi bir X ,Y, Z ∈ χh(M) ve p ∈ M ic¸in

R0

π(p)∗pXp, π∗pYp, π∗pZp)

(32)

tens¨or¨un¨un yatay lifti R(X ,Y )Z ile ifade edilir. (B, g0) manifoldunun R0Riemann e˘grili˘gi kısaca;

π(R(X ,Y )Z) = R0X, πY)πZ ile tanımlanabilir. Ayrıca, herhangi bir X ,Y, Z, H ∈ χh(M) ic¸in

R(X ,Y, Z, H) = g(R(X ,Y )Z, H)

= R0X, πY, πZ, πH) ◦ π

dir [18].

Teorem 2.4.2. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları,

π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu ve R, R0 ve ˆR sırasıyla M, B ve (π−1(x), ˆgx) lifinin Riemann e˘grilik tens¨orleri olsun. Bu durumda, herhangi bir X ,Y, Z, H ∈ χh(M) ve U,V, F,W ∈ χv(M) ic¸in

R(U,V,W, F) = R(U,V,W, F) + g(Tˆ UW, TVF)

− g(TVW, TUF) (2.4.11)

R(U,V,W, X ) = g((∇UT)VW, X ) − g((∇VT)UW, X ) (2.4.12) R(X ,Y, Z, H) = R0(X ,Y, Z, H) + 2g(AXY, AZH)

− g(AYZ, AXH) + g(AXZ, AYH) (2.4.13) R(X ,Y,V,W ) = g((∇VA)XY,W ) − g((∇WA)XY,V )

+ g(AXV, AYW) − g(AXW, AYV)

− g(TVX, TWY) + g(TWX, TVY) (2.4.14) dır. Burada (∇VA)XY = ∇VAXY − AVX(Y ) − AX(∇VY) ve (∇UT)VW = ∇U(TVW) − TUV(W ) − TV(∇UW) ile verilir [18, 40].

(33)

Teorem 2.4.3. (M, g) ve (B, g0) Riemann manifoldları, π : (M, g) → (B, g0)

bir Riemann submersiyonu ve K, K0 ve ˆK sırasıyla M, B ve (π−1(x), ˆgx) lifinin kesit e˘grilikleri olsun. X ,Y ortonormal yatay vekt¨orler ve U,V ortonormal dikey vekt¨orler olmak ¨uzere

K(U,V ) = K(U,V )+ k Tˆ UV k2−g(TUU, TVV), (2.4.15) K(X ,Y ) = K0(X0,Y0) ◦ π − 3 k AXY k2, (2.4.16) K(X ,V ) = g((∇XT)VV, X )− k TVX k2+ k AXV k2 (2.4.17) dır [18, 40].

2.5 Kompleks Manifoldlar

Bu alt b¨ol¨umde kompleks manifoldlar ve kompleks manifoldlar ¨uzerinde tanımlanan c¸es¸itli submersiyon t¨urleri tanıtılacaktır.

Tanım 2.5.1. M, bir Hausdorff uzayı ve M de bir ac¸ık {Uα}α∈Iolsun. E˘ger ∀p ∈ M ic¸in ψα: Uα ⊂ M → Wα⊂ Cn

homeomorfizması var ve Uα∩Uβ6= /0 olmak ¨uzere φαβ = ψα◦ ψ−1

β : ψβ(Uα∩Uβ) → ψα(Uα∩Uβ) φβα = ψβ◦ ψ−1α : ψα(Uα∩Uβ) → ψβ(Uα∩Uβ)

d¨on¨us¸¨umleri holomorfik ise M ye kompleks manifold denir. Cnile R2n ¨ozdes¸ oldu˘gundan M, 2n- boyutlu reel analitik manifolddur. Burada {(Uα, ψα)}α∈I ya M nin holomorfik koordinat koms¸ulu˘gu sistemi denir [39].

Tanım 2.5.2. M reel 2n- boyutlu manifold ve J, M ¨uzerinde (1, 1) mertebeli tens¨or alanı olsun. Bu durumda p ∈ M ic¸in

Jp: TpM→ TpM

(34)

lineer d¨on¨us¸¨um¨u TpM ¨uzerinde bir kompleks yapı ise yani J2= −I sa˘glanıyorsa J ye M

¨uzerinde hemen hemen kompleks yapı denir. M ye de J kompleks yapısı ile birlikte bir hemen hemen kompleks manifold denir [37, 49].

Sonuc¸ 2.5.1. M hemen hemen kompleks manifold ise n = 2m dir. Burada n, M nin kompleks boyutu, 2m ise M nin reel boyutudur [36].

Tanım 2.5.3. M hemen hemen kompleks manifold ve M nin hemen hemen kompleks yapısı J olsun. M ¨uzerinde bir Riemann metri˘gi g olmak ¨uzere X ,Y ∈ χ(M) ic¸in

g(JX , JY ) = g(X ,Y ) (2.5.1)

ise g fonksiyonuna Hermityen metrik denir [37].

Tanım 2.5.4. M hemen hemen kompleks manifold olsun. E˘ger M ¨uzerinde g Hermityen metri˘gi tanımlı ise M ye hemen hemen Hermityen manifold denir. M bir kompleks manifold ve M ¨uzerinde g Hermityen metri˘gi tanımlı ise M ye Hermityen manifold denir [37].

Tanım 2.5.5. M hemen hemen Hermityen manifold, g ve J, M ¨uzerinde sırasıyla Hermit- yen metrik ve hemen hemen kompleks yapı olsun. X ,Y ∈ χ(M) ic¸in

Ω(X ,Y ) = g(X , JY ) (2.5.2)

ile tanımlı tens¨ore temel 2-form denir [37].

Tanım 2.5.6. M bir hemen hemen kompleks manifold ve g, M ¨uzerinde bir Hermityen metrik olsun. E˘ger M ¨uzerinde tanımlanan Ω temel 2- formu kapalı ise yani dΩ = 0 ise g Hermityen metri˘gine Kaehler metrik denir [37].

Tanım 2.5.7. M hemen hemen kompleks manifold olsun. E˘ger M ¨uzerinde g Kaehler metri˘gi tanımlı ise M ye hemen hemen Kaehler manifold denir. E˘ger M bir kompleks manifold ve M ¨uzerinde g Kaehler metri˘gi tanımlı ise M ye Kaehler manifold denir [37].

Teorem 2.5.1. M bir Hermityen manifold olsun. Bu durumda M nin bir Kaehler manifold olması ic¸in gerek ve yeter s¸art ∇J = 0 olmasıdır [4].

(35)

Onerme 2.5.1. M bir Kaehler manifold olsun. Bu durumda M nin e˘grilik tens¨or¨u ve Ricci¨ tens¨or¨u ∀X ,Y ∈ χ(M) ic¸in as¸a˘gıdaki ¨ozelliklere sahiptir [37]:

i) R(X ,Y )J = JR(X ,Y ) ii) R(JX , JY ) = R(X ,Y ) iii) S(JX , JY ) = S(X ,Y ) iv) S(X ,Y ) = 12(izJR(X , JY )).

S¸imdi bir kompleks manifold ¨uzerinde tanımlanan submersiyonlardan bahsedece˘giz.

Tanım 2.5.8. (M, g, J) ve (B, g0, J0) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Hermi- tyen manifoldlar olsun. F : (M, g, J) → (B, g0, J0) bir Csubmersiyonu as¸a˘gıdaki s¸artları sa˘glıyorsa F d¨on¨us¸¨um¨une bir hemen hemen Hermityen submersiyon veya Holomorfik submersiyon denir [37]:

i) F bir Riemann submersiyon,

ii) F bir hemen hemen kompleks d¨on¨us¸¨umd¨ur. Yani, F◦ J = J0◦ Fdır.

Holomorfik submersiyonlar 1970’lerden itibaren c¸alıs¸ılmaya bas¸landı ve bu t¨ur d¨on¨us¸¨umlerin manifoldlar ¨uzerindeki yapıları korudu˘gu g¨or¨uld¨u. 2010 yılında S¸ahin as¸a˘gıdaki yeni kavramları tanımladı ve inceledi.

Tanım 2.5.9. (M, g, J) ve (B, g0) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Hermit- yen manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M, g, J) → (B, g0) bir Riemann submer- siyon olsun. E˘ger dikey distrib¨usyon J ye g¨ore invaryant ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir invaryant submersiyon denir. Yani,

J(c¸ekF) = c¸ekF

dır [54].

Tanım 2.5.10. (M, gM, JM) ve (N, gN) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Hermityen manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M, gM, JM) → (N, gN) bir Riemann submersiyon olsun. E˘ger c¸ekF, J ye g¨ore anti-invaryant yani,

J(c¸ekF) ⊆ (c¸ekF)

(36)

ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir anti-invaryant Riemann submersiyon denir [51].

Tanım 2.5.11. (M, gM, JM) ve (N, gN) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Hermityen manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M, gM, JM) → (N, gN) bir Riemann submersiyon olmak ¨uzere, D1⊆ c¸ekFdistrib¨usyonu var,

c¸ekF= D1⊕ D2 ve

JD1= D1, J(D2) ⊆ (c¸ekF)

ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir yarı-invaryant Riemann submersiyon denir [55]. Burada D2, c¸ekFda D1distrib¨usyonunun ortogonal tamamlayıcısıdır.

Tanım 2.5.12. (M1, g1, J1) ve (M2, g2) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Hermityen manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M1, g1, J1) → (M2, g2) bir Riemann submersiyon olsun. E˘ger p ∈ M1 noktasında sıfırdan farklı X ∈ (c¸ekF)p vekt¨or¨u ic¸in c¸ekF∗pve JX arasındaki θ(X ) ac¸ısı sabit yani, p ∈ M1ve c¸ekF∗p’deki X tanjant vekt¨or¨un¨un sec¸iminden ba˘gımsız ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir slant submersiyon denir [52]. θ ac¸ısına da slant submersiyonun slant ac¸ısı denir.

2.6 Konform Submersiyonlar

Riemann submersiyonlar yatay distrib¨usyon ile hedef manifoldun tanjant uzayı arasında bir izometrinin var oldu˘gunu belirlemektedir. Bu alt b¨ol¨umde bu s¸artın yerine daha genel durum olan konformluk s¸artı konulmaktadır.

Tanım 2.6.1. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) → (N, h)

bir diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um olsun. Bu taktirde x ∈ M ve X ,Y ∈ TxMic¸in h(dπx(X ), dπx(Y )) = Λ(x)g(X ,Y )

(37)

olacak s¸ekilde bir Λ(x) fonksiyonu varsa π d¨on¨us¸¨um¨une x ∈ M noktasında zayıf konform d¨on ¨us¸ ¨um denir [2].

Tanım 2.6.2. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) → (N, h) x∈ M noktasında bir zayıf konform d¨on¨us¸¨um olsun.

Λ(x) = λ(x)2 olacak s¸ekilde bir

λ : M → [0, ∞)

fonksiyonu ic¸in λ(x) sayısına π nin konform fakt¨or ¨u, Λ(x) sayısına da π nin kare kon- form fakt¨or ¨u denir [2].

Onerme 2.6.1. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve¨

π : (M, g) → (N, h)

bir diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um ve x ∈ M olsun. Bu taktirde x ∈ M noktasında π d¨on¨us¸¨um¨un¨un zayıf konform d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

i) dπx= 0 veya

ii) dπx: TxM→ Tπ(x)N d¨on¨us¸¨um¨un¨un birebir konform olmasıdır [2].

Tanım 2.6.3. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) → (N, h)

bir zayıf konform d¨on¨us¸¨um olsun. dπx = 0 s¸artını sa˘glayan x ∈ M noktasına π nin bir branch noktası denir [2].

Tanım 2.6.4. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) → (N, h)

bir zayıf konform d¨on¨us¸¨um olsun. π nin t¨urev d¨on¨us¸¨um¨un¨un birebir ve konform oldu˘gu x∈ M noktasına π nin bir reg ¨uler noktası denir [2].

(38)

Tanım 2.6.5. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları olmak ¨uzere konform fakt¨or¨u sıfırdan farklı bir sabit olan

π : (M, g) → (N, h)

zayıf konform d¨on¨us¸¨um¨une bir homotetik immersiyon denir. Bir diffeomorfizm olan homotetik immersiyona ise homoteti denir [2].

Tanım 2.6.6. (Mm, g) ve (Nn, h) Riemann manifoldları ve π : (Mm, g) → (Nn, h)

diferensiyellenebilir bir d¨on¨us¸¨um olsun. x ∈ Mm ic¸in as¸a˘gıdaki s¸artlardan herhangi biri sa˘glanıyorsa π d¨on¨us¸¨um¨une x noktasında yatay zayıf konform d¨on ¨us¸ ¨um denir:

i) dπx= 0 veya

ii) dπx t¨urev d¨on¨us¸¨um¨u

H

x = {c¸ek(dπx)} yatay uzayını Tπ(x)N ¨uzerine konform olarak resmeder. Yani dπx ¨ortendir ve ∀X ,Y ∈

H

xic¸in

h(dπx(X ), dπx(Y )) = Λ(x)g(X ,Y ) olacak s¸ekilde bir Λ(x) 6= 0 sayısı vardır [2, 58].

Onerme 2.6.2. (M¨ m, g) ve (Nn, h) Riemann manifoldları ve

π : (Mm, g) → (Nn, h)

diferensiyellenebilir bir d¨on¨us¸¨um olsun. x ∈ Mmnoktasının π d¨on¨us¸¨um¨un¨un kritik noktası olması ic¸in gerek ve yeter s¸art dπx= 0 olmasıdır [2].

Tanım 2.6.7. (Mm, g) ve (Nn, h) Riemann manifoldları ve π : (Mm, g) → (Nn, h) diferensiyellenebilir bir d¨on¨us¸¨um olsun. X ,Y ∈

H

x ic¸in

h(dπx(X ), dπx(Y )) = Λ(x)g(X ,Y )

s¸artını sa˘glayan x ∈ Mmnoktasına π nin bir reg¨uler noktası denir [2].

Referanslar

Benzer Belgeler

iĢi kapsamında yapılacak olan Gürcistan- Türkiye/Ardahan/Türkgözü sınırından Erzurum- AĢkale bölgesine kadar olan sahada, gerek kamp sahalarında, ikmal

Skaler katsay¬l¬ve genel s¬n¬r ko¸ sulu ile verilen nonselfadjoint Sturm-Liouville, Klein-Gordon, Kuadratik Schrödinger ve fark operatörlerinin spektral analizi literatürde

* 7-11 Şubat haftasına Baskı etk nl kler le başladık.Adam Olacak Çocuklar İle Barış Manço'u tanıdık ,şarkıları le oyunlar oynadık ve Barış MANÇO sanat.. etk nl kler

Uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde, ¨ Minkowski uzayında bazı e˘grilerin farklı alt uzaylarda kalması ve inclined olması ic¸in bazı karakterizasyonlar verilmis¸tir.. D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde

ANAHTAR KEL˙IMELER: Birinci varyasyon form¨ ul¨ u, ¨ Oklidyen uzayın minimal altmanifoldları, K¨ uredeki minimal altmanifoldlar, Helikoid, Katenoid, Katılık

Bir F- uzayın, alt uzay topolojisiyle elde edilmis¸ topolojiye sahip, kapalı her alt uzayı yine bir F- uzaydır.. λ, τ ve τ∗ topolojilerine sahip bir F-

V ekt Vekt¨ or uzayları Lineer d¨ on¨ u¸s¨ umler M et Metrik uzaylar Kısa d¨ on¨ u¸s¨ umler T op Topolojik uzaylar S¨ urekli fonksiyonlar Funktor kategorisi Funktorlar Do˘

Bu tezde Semi- ¨ Oklidyen Uzaylar, Semi-Riemann Manifoldların Lightlike Hipery¨ uzeyleri, Lightlike Hipery¨ uzeyler i¸cin Gauss-Codazzi Denklemleri, Ricci E˘ grili˘ gi, Ekran