Riemann Manifoldları - T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLE

Bu alt b¨ol¨umde Riemann manifoldları ile ilgili temel kavramlar sunulmaktadır.

Tanım 2.1.1. M bir diferensiyellenebilir manifold ve manifold ¨uzerindeki diferensiyel-lenebilir vekt¨or alanlarının k¨umesi χ(M) olsun. ∀X ,Y, Z ∈ χ(M), a, b ∈ R ve

g: χ(M) × χ(M) → C^∞(M) olmak ¨uzere

1) g(X ,Y ) = g(Y, X ), (simetriklik)

2) g(X , X ) ≥ 0, ∀X ic¸in g(X , X ) = 0 ⇔ X = 0, (pozitif tanımlılık) 3) ikilineer;

g(aX + bY, Z) = ag(X , Z) + bg(Y, Z) g(X , aY + bZ) = ag(X ,Y ) + bg(X , Z)

s¸artları sa˘glanıyorsa, g d¨on¨us¸¨um¨une Riemann metri˘gi (veya metrik tens¨or) ve (M, g) ikilisine de Riemann manifoldu adı verilir [24].

Tanım 2.1.2. Metrik tens¨or¨u g olan bir Riemann manifoldu M olsun. Bir X_p ∈ T_pM

tanjant vekt¨or¨un¨un uzunlu˘gu

k X_pk=p

g(X , X )_p (2.1.1)

reel sayısı ile tanımlanır [24].

Tanım 2.1.3. Metrik tens¨or¨u g olan bir Riemann manifoldu M olsun. Sıfırdan farklı iki X_p,Y_p∈ T_pMtanjant vekt¨orleri arasındaki θ ac¸ısı

g(X_p,Y_p) =k X_pkk Y_pk cos θ (2.1.2) ile tanımlanır. Burada θ ¨olc¸¨us¨un¨un [0, π] kapalı aralı˘gında kalaca˘gını Cauchy-Schwarz es¸itsizli˘gi denen

| g(X_p,Y_p) |≤k X_pkk Y_pk

den biliyoruz [31].

Tanım 2.1.4. M ve B manifoldları arasında bir

π : M → B C^∞d¨on¨us¸¨um¨un¨un t¨urev d¨on¨us¸¨um¨u

dπ : χ(M) → χ(B) bic¸iminde g¨osterilir. Bu d¨on¨us¸¨um her x ∈ M noktasında

dπx: TxM→ T_π(x)B

lineer d¨on¨us¸¨um¨un¨u verir. Bu d¨on¨us¸¨um f bir fonksiyon ve V vekt¨or alanı olmak ¨uzere π∗(p)(V )( f ) = V ( f ◦ π) tanımlıdır ve buna π nin x noktasındaki t ¨urev d¨on ¨us¸ ¨um ¨u denir [9].

Tanım 2.1.5. Bir f ∈

F

(M) fonksiyonunun gradf gradiyenti metrik olarak d f ∈ χ^∗(M) diferensiyeline denk olan vekt¨or alanıdır. Buna g¨ore ∀X ∈ χ(M) ic¸in

< gradf, X >= d f (X ) = X ( f )

dir. (x¹, ..., xⁿ) lokal koordinatlarda gradf vekt¨or alanı gradf=

∑

i, j

g^{i j}∂ f

∂xⁱ

∂

∂x^j ile g¨osterilir [41].

Tanım 2.1.6. M manifoldu ¨uzerinde iki vekt¨or alanı X ve Y olsun. f ∈ C^∞(M) fonksiyo-nunu alalım.

[, ] : χ(M) × χ(M) → χ(M)

[X ,Y ] f = X (Y f ) −Y (X f ) (2.1.3) ile tanımlanan [, ] fonksiyonuna X ve Y nin Lie (parantez) operat¨or ¨u denir ve bu operat¨or as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar [9]:

∀X,Y, Z ∈ χ(M) ve ∀ f , g ∈ C^∞(M) olmak ¨uzere i) [X ,Y ] = −[Y, X ],

ii) [aX + bY, Z] = a[X , Z] + b[Y, Z] a, b ∈ R,

iii) [[X ,Y ], Z] + [[Y, Z], X ] + [[Z, X ],Y ] = 0, (Jacobi ¨ozdes¸li˘gi) iv) [ f X , gY ] = f [X ,Y ] + f (X g)Y − g(Y f )X

dır.

Tanım 2.1.7. M bir manifold olsun. M ¨uzerinde vekt¨or alanlarının uzayı χ(M) olmak

¨uzere

∇ : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y ) → ∇(X ,Y ) = ∇XY fonksiyonu ∀X ,Y, Z ∈ χ(M) ve ∀ f ∈ C^∞(M) ic¸in

1) ∇_X+YZ= ∇XZ+ ∇YZ, 2) ∇_X(Y + Z) = ∇XY+ ∇XZ, 3) ∇_{f X}Y = f ∇XY,

4 ∇_X( f Y ) = X [ f ]Y + f ∇XY ¨ozelliklerini sa˘glıyorsa ∇ ya M ¨ust¨unde bir afin kon-neksiyonu denir [9].

Tanım 2.1.8. M bir manifold ve M ¨uzerindeki konneksiyon ∇ olsun. Bu durumda T : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y ) → T (X ,Y ) = ∇XY− ∇YX− [X,Y ]

olarak tanımlanan vekt¨or de˘gerli tens¨ore M ¨uzerinde tanımlı ∇ konneksiyonunun torsiyon tens¨or ¨u denir [9].

Tanım 2.1.9. M bir manifold ve M ¨uzerindeki ∇ konneksiyonunun torsiyon tens¨or¨u T olsun. E˘ger T = 0 ise ∇ konneksiyonuna simetriktir veya sıfır torsiyonludur denir [9].

Tanım 2.1.10. M bir manifold, g simetrik, non-sing¨uler bilineer form olsun. E˘ger ∇ konneksiyonu as¸a˘gıdaki iki ¨ozelli˘ge sahipse Riemann konneksiyon veya Levi-Civita konneksiyonu adını alır [41]. ∀X ,Y, Z ∈ χ(M) ic¸in

1) [X ,Y ] = ∇_XY− ∇YX

2) X g(Y, Z) = g(∇_XY, Z) + g(Y, ∇XZ) dır.

M ¨uzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu

2g(∇_XY, Z) = X (g(Y, Z)) +Y (g(Z, X )) − Z(g(X ,Y ))

− g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X]) + g(Z, [X,Y ]) (2.1.4) ile belirlenir. (2.1.4) denklemine Koszul es¸itli˘gi adı verilir [41].

Teorem 2.1.1. Bir Riemann manifoldu ¨uzerinde bir tek Riemann konneksiyonu vardır [7, 10].

Tanım 2.1.11. M bir Riemann manifoldu ve g de M nin Riemann metri˘gi olsun. Bu durumda X ,Y, Z ∈ χ(M) ic¸in

R: χ(M) × χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X ,Y, Z) → R(X ,Y, Z) = R(X ,Y )Z

R_XYZ= R(X ,Y )Z = ∇_X∇_YZ− ∇Y∇_XZ− ∇_{[X ,Y ]}Z (2.1.5) olarak tanımlanan R tens¨or alanına ∇ konneksiyonunun e˘grilik tens¨or ¨u denir [7].

Tanım 2.1.12. M bir Riemann manifoldu ve g de M nin Riemann metri˘gi olsun. Bu durumda ∀X ,Y, Z,W ∈ χ(M) ic¸in

K: χ(M) × χ(M) × χ(M) × χ(M) → C^∞(M)

(X ,Y, Z,W ) → K(X ,Y, Z,W ) = g(R(X ,Y )Z,W )

olarak tanımlanan 4. mertebeden kovaryant tens¨ore M ¨uzerinde Riemann Christoffel e˘grilik tens¨or ¨u denir [30].

Teorem 2.1.2. (M, g) bir Riemann manifoldu ve ∇, M ¨uzerinde bir Riemann konneksiyon olsun. Bu taktirde as¸a˘gıdaki ba˘gıntılar, M ¨uzerinde gec¸erlidir [30]:

1) K(X ,Y, Z,W ) + K(Y, Z, X ,W ) + K(Z, X ,Y,W ) = 0, 2) K(X ,Y, Z,W ) = −K(Y, X , Z,W ),

3) K(X ,Y, Z,W ) = −K(X ,Y,W, Z), 4) K(X ,Y, Z,W ) = K(Z,W, X ,Y ).

Tanım 2.1.13. (M₁, g₁) ve (M₂, g₂) Riemann manifoldları ve F : (M₁, g₁) → (M₂, g₂) bir d¨on¨us¸¨um olsun. F boyunca

∇ konneksiyonunun geri c¸ekme konneksiyonu

∇^F olmak

¨uzere, ∀X ,Y ∈ Γ(T M₁) ic¸in

∇F_∗: Γ(T M₁) × Γ(T M₁) → Γ_F(T M₂) ve

(∇F∗)(X ,Y ) =

∇^F_XF_∗Y− F_∗(

∇XY) (2.1.6)

s¸eklinde tanımlanan ∇F_∗d¨on¨us¸¨um¨une F d¨on¨us¸¨um¨un¨un ikinci temel formu denir [21, 53].

Onerme 2.1.1. F : (M¨ ₁, g₁) → (M₂, g₂) bir d¨on¨us¸¨um olsun. ∀X ,Y ∈ Γ(T M1) ic¸in

(∇F∗)(X ,Y ) = (∇F∗)(Y, X ) dır. Yani ∇F∗simetriktir [21, 53].

Tanım 2.1.14. F : (M₁^m, g₁) → (M₂ⁿ, g₂) bir d¨on¨us¸¨um olsun. {e₁, ..., e_m}, Γ(T M1) ic¸in yerel ortonormal c¸atı olsun. F d¨on¨us¸¨um¨un¨un tensiyon alanı τ(F), ∇F_∗ ikinci temel for-munun izine es¸ittir, yani

τ(F ) = iz(∇F∗) =

∑

i=1

(∇F∗)(e_i, e_i) (2.1.7) dır. Bir F : (M₁, g₁) → (M₂, g₂) d¨on¨us¸¨um¨un¨un tensiyon alanı F boyunca bir vekt¨or alanıdır, yani τ(F) ∈ ΓF(T M₂) dir [21, 53].

Tanım 2.1.15. E˘ger τ(F) = 0 ise F : (M₁, g₁) → (M₂, g₂) d¨on¨us¸¨um¨une harmonik d¨on ¨us¸ ¨um denir [21, 53].

Tanım 2.1.16. (M₁, g₁) ve (M₂, g₂) Riemann manifoldları ve F : M₁→ M₂ bir d¨on¨us¸¨um olsun. Bu durumda F d¨on¨us¸¨um¨un¨un p ∈ M1 noktasındaki t¨urev d¨on¨us¸¨um¨u F∗p olmak

¨uzere X ∈ T_pM₁ve W ∈ T_F(p)M₂ic¸in

g₂(F_∗p(X ),W ) = g₁(X , F^∗p(W ))

ile tanımlı F^∗p d¨on¨us¸¨um¨une p ∈ M₁ noktasında F_∗p d¨on¨us¸¨um¨un¨un adjoint d¨on ¨us¸ ¨um ¨u denir [53].

Tanım 2.1.17. M ve N Riemann manifoldları olsun. Bu durumda M ve N manifoldlarının kartezyen c¸arpımı olan M × N de bir Riemann manifoldudur. ¨Ustelik as¸a˘gıdaki ¨ozellikler sa˘glanır [37, 41].

π : M × N → M (p, q) → p ve

σ : M × N → N (p, q) → q izd¨us¸¨umleri C^∞d¨on¨us¸¨umleridir.

b) Bir φ : P → M × N d¨on¨us¸¨um¨un¨un C^∞ olması ic¸in gerek ve yeter s¸art hem π ◦ φ hemde σ ◦ φ d¨on¨us¸¨umlerinin C^∞olmasıdır.

c) Herbir (p, q) ∈ M × N ic¸in

M× q = {(r, q) ∈ M × N : r ∈ M}

p× N = {(p, r) ∈ M × N : r ∈ N}

alt k¨umeleri M × N nin altmanifoldlarıdır.

d) Herbir (p, q) ∈ M × N ic¸in π |_M×q, M × q dan M ye bir diffeomorfizm ve σ |p×N, p× N den N ye bir diffeomorfizmdir.

(b) den

T_(p,q)M≡ T_(p,q)(M × q) ve T_(p,q)N≡ T_(p,q)(p × N) uzayları (p, q) da M × N nin tanjant alt uzaylarıdır. B¨oylece

T_(p,q)(M × N) = T_(p,q)M⊕ T_(p,q)N

dır. Buradan, her Y ∈ T_(p,q)(M × N) ic¸in Y₁ ∈ T_(p,q)M ve Y₂∈ T_(p,q)N olmak ¨uzere Y = Y₁+Y₂olacak s¸ekilde tek t¨url¨u yazılabilir.

Tanım 2.1.18. B ve F Riemann manifoldları ve f > 0, B ¨uzerinde C^∞ fonksiyon olsun.

M= B ×_fF c¸apras¸ık c¸arpım,

g= π^∗(g_B) + ( f ◦ π)²σ^∗(g_F)

metrik tens¨or¨u ile olus¸turulmus¸ B × F c¸arpım manifoldudur. E˘ger v, w ∈ T_(p,q)B× F ise bu durumda

g(v, w) = π^∗(g_B(v, w)) + ( f ◦ π)²σ^∗(g_F(v, w))

= g_B(dπ(v), dπ(w)) + ( f ◦ π)²g_F(dσ(v), dσ(w))

dır. ¨Ozel olarak, e˘ger f = 1 ise B ×_fF bir B × F c¸arpım manifolduna indirgenir [41].

Onerme 2.1.2. B ve F Riemann manifoldları ve M = B ×¨ _fF c¸apras¸ık c¸arpım manifoldu olsun. M ¨uzerinde X ,Y ∈

L

(B) ve V,W ∈

L

^{(F) ise}

1) D_XY ∈

L

(B), B ¨uzerinde D_XY nin liftidir.

2) D_XV = D_VX = (X [ f ]/ f )V

3) norD_VW = II(V,W ) = −(< V,W > / f )grad f

4) tanD_VW ∈

L

(F), F ¨uzerinde D_VW nin liftidir [41]. Burada

L

^{(B) ve}

L

(F) sırasıyla B ve F manifoldlarına y¨ukseltilmis¸ vekt¨or alanlarının k¨umesidir. Ayrıca nor ve tan sırasıyla normal kısmı ve te˘get kısmı g¨ostermektedir.

Tanım 2.1.19. (M₁, g₁) ve (M₂, g₂) Riemann manifoldları, λ : M1× M₂→ R bir pozitif diferensiyellenebilir fonksiyon ve i = 1, 2 ic¸in π_i: M₁×M₂→ M_ido˘gal projeksiyon olsun.

Bu durumda (M₁, g₁) ve (M₂, g₂) nin M₁×_λM₂ b ¨uk ¨uml ¨u manifoldu M₁× M₂ nin t¨um X ve Y vekt¨or alanları ic¸in

g(X ,Y ) = g₁(π1∗X, π1∗Y) + λg2(π2∗X, π2∗Y)

ile tanımlanan g Riemann metri˘gi ile olus¸turulmus¸ M₁× M₂ diferensiyellenebilir mani-folddur [47].

Bu tanıma g¨ore i = 1, 2 ic¸in π_i: M₁× M₂→ M_ido˘gal projeksiyon olmak ¨uzere e˘ger λ_i: M₁× M₂→ R pozitif diferensiyellenebilir fonksiyonları alınırsa bu durumda (M₁, g₁) ve (M₂, g₂) nin M₁×_(λ₁_,λ₂₎M₂c¸ift katlı-b ¨uk ¨uml ¨u manifoldu, X ve Y vekt¨or alanları ic¸in

g(X ,Y ) = λ1g₁(π1∗X, π1∗Y) + λ2g₂(π2∗X, π2∗Y)

ile tanımlanan g Riemann metri˘gi ile olus¸turulmus¸ M1× M₂ diferensiyellenebilir mani-folddur [47].

Onerme 2.1.3. B ve F Riemann manifoldları ve M = B ×¨ _fF bir c¸apras¸ık c¸arpım mani-foldu olsun. Bu durumda B× q yaprakları tamamen jeodeziktir ve p × F lifleri tamamen umbiliktir [41].

Onerme 2.1.4. M¨ ₁× M₂manifoldu ¨uzerinde bir Riemann metri˘gi g olsun. Kabul edelim ki L₁ve L₂foliasyonları her yerde dikey olarak kesis¸sinler. Bu durumda g metri˘gi,

a) bir M₁×_(λ₁_,λ₂₎M₂ c¸ift katlı b¨uk¨uml¨u manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L₁ve L₂ tamamen umbilik foliasyondur.

b) bir M₁×_λM₂b¨uk¨uml¨u manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L₁tamamen jeodezik ve L₂tamamen umbilik foliasyondur.

c) bir M₁×_λM₂ c¸apras¸ık c¸arpım manifold metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L₁ tamamen jeodezik ve L₂bir k¨uresel(spherical) foliasyondur.

d) Riemann manifoldlarının bir do˘gal c¸arpım metri˘gidir gerek ve yeter s¸art L₁ ve L₂ tamamen jeodezik foliasyondur [47].

Tanım 2.1.20. M bir n− boyutlu Riemann manifoldu ve M nin bir p noktasındaki tan-jant uzayının 2- boyutlu bir alt uzayı P olsun. P yi geren birim vekt¨orler Xp, Y_p ve M

¨uzerindeki Riemann Christoffel e˘grilik tens¨or¨u K olmak ¨uzere K(X_p,Y_p, X_p,Y_p)

de˘gerine M nin p noktasındaki P d¨uzlemine g¨ore kesit e˘grili˘gi denir. K simetrik ve anti-simetrik oldu˘gundan bu e˘grili˘gin de˘geri sadece P alt uzayına ba˘glıdır [4].

M ¨uzerinde metrik tens¨or g, Xp ve Yp tanjant vekt¨orleri ¨uzerinde kurulan paralel kenarın alanı k X_p∧Y_pk olmak ¨uzere

K(P) = g(R(X_p,Y_p)X_p,Y_p)

k X_p∧Y_pk (2.1.8)

dır [37].

Belgede T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015 (sayfa 12-20)