Harmonik ve Tamamen Jeodezik Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar 47

Bu alt b¨ol¨umde ilk ¨once harmonikli˘gi karakterize eden tensiyon alanı hesap-lanacaktır.

Teorem 3.2.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M^2m+2r, g, J) → (N^m+2r, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. c¸ekF_∗ dist-rib¨usyonunun ortalama e˘grilik vekt¨or alanı µc¸^ekF∗ olmak ¨uzere F d¨on¨us¸¨um¨un¨un tensiyon alanı

τ(F ) = −mF_∗(µc¸^ekF∗) + (2 − m − 2r)F_∗(grad ln λ) (3.2.1) dır.

˙Ispat. Γ(T M) nin bir ortonormal bazı {e₁, ..., e_m, Je₁, ..., Je_m, µ₁, ..., µ_2r} olmak ¨uzere Γ(c¸ekF_∗)’ın ortonormal bazı {e₁, ..., e_m}, Γ(Jc¸ekF∗)’ın ortonormal bazı {Je₁, ..., Je_m} ve Γ(µ)’nun ortonormal bazı {µ₁, ..., µ_2r} olsun. Bu durumda (2.1.7) denkleminden

τ(F ) = dır. (c¸ekF_∗× c¸ekF_∗) ¨uzerinde ikinci temel formun izi

izc¸^ekF∗∇F∗=

elde edilir. Benzer s¸ekilde

elde edilir. F bir konform submersiyon ve p ∈ M ic¸in T_F(p)N’ nin bir ortonormal bazı { ¹

bulunur. (3.2.2) ve (3.2.3) denklemlerinden (3.2.1) denklemi elde edilir.

Teorem 3.2.1 den as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 3.2.2. (M, g, J) ve (N, g⁰) sırasıyla bir Kaehler manifold ve bir Riemann manifold olsun. F: (M^2m+2r, g, J) → (N^m+2r, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda as¸a˘gıdakilerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

(i) F d¨on¨us¸¨um¨u harmoniktir.

(ii) Lifler minimaldir.

(iii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

˙Ispat. Teorem 3.2.1 den

τ(F ) = −mF∗(µc¸^ekF∗) + (2 − m − 2r)F_∗(grad ln λ)

oldu˘gundan (i) ve (ii) varsa (2 − m − 2r)F_∗(grad ln λ) = 0 olup F d¨on¨us¸¨um¨u yatay ho-motetik d¨on¨us¸¨umd¨ur. Benzer s¸ekilde di˘ger es¸itliklerde g¨osterilebilir.

Teorem 3.2.1 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Sonuc¸ 3.2.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M^2m+2r, g, J) → (N^m+2r, g⁰) bir konform Lagrangian submersiyon olsun. F d¨on¨us¸¨um¨un¨un harmonik olması ic¸in gerek ve yeter s¸art liflerin minimal olmasıdır.

S¸imdi konform anti-invaryant submersiyonun tamamen jeodeziklik durumunu aras¸tıraca˘gız. ˙Iki Riemann manifold arasındaki bir F d¨on¨us¸¨um¨u ∀X ,Y ∈ Γ(T M) ic¸in (∇F∗)(X ,Y ) = 0 ise F d¨on¨us¸¨um¨une tamamen jeodezik d¨on ¨us¸ ¨um denir. Bir tamamen jeodezik d¨on¨us¸¨um¨un geometrik olarak ifadesi total uzaydaki her jeodezi˘gin baz uzayda da jeodezik olmasıdır.

Teorem 3.2.3. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve Y ∈ Γ(T M) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨u tamamen jeodezik d¨on¨us¸¨um ise

−∇^F_XF_∗Y = F_∗{J(A_XJY₁+

V

^∇MX

B

^Y2+ A_X

C

^Y2) +

C

⁽

H

^∇MXJY₁

+ A_X

B

^Y2+

H

^∇MX

C

^Y2)} (3.2.4)

dır.

˙Ispat. ∀X ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve Y ∈ Γ(T M) ic¸in, M bir Kaehler manifoldu oldu˘gundan (2.1.6) denklemi kullanılırsa

(∇F∗)(X ,Y ) = ∇^F_XF_∗Y− F_∗(∇^M_XY)

= ∇^F_XF_∗Y+ F_∗(J∇^M_XJY)

yazılır. Y₁∈ Γ(c¸ekF∗) ve Y₂∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in Y = Y₁+Y₂∈ Γ(T M) dir. (2.4.8), (2.4.9) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

(∇F∗)(X ,Y ) = ∇^F_XF_∗Y+ F_∗{JA_XJY₁+

BH

^∇MXJY₁+

C H

^∇MXJY₁ +

B

^AX

B

^Y2+

C

^AX

B

^Y2+ J

V

^∇MX

B

^Y2

+ JA_X

C

^Y2+

BH

^∇MX

C

^Y2+

C H

^∇MX

C

^Y2} bulunur. Gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa

(∇F∗)(X ,Y ) = ∇^F_XF_∗Y+ F_∗{J(A_XJY₁+

V

^∇MX

B

^Y2+ A_X

C

^Y2) +

C

⁽

H

^∇MXJY₁+ A_X

B

^Y2+

H

^∇MX

C

^Y2)}

elde edilir. (∇F_∗)(X ,Y ) = 0 ise (3.2.4) denklemi sa˘glanır. Buradan ispat tamamlanır.

Tanım 3.2.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. U ∈ Γ(c¸ekF∗) ve X ∈ Γ(µ) ic¸in (∇F_∗)(JU, X ) = 0 ise F d¨on¨us¸¨um¨une (Jc¸ekF_∗, µ) tamamen jeodezik d¨on¨us¸¨um denir.

S¸imdi ¨usteki tanımın konform submersiyonun karakterizasyonu ¨uzerine ¨onemli bir etkisi oldu˘gunu g¨osterece˘giz.

Teorem 3.2.4. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda F d¨on¨us¸¨um¨un¨un (Jc¸ekF∗, µ) tamamen jeodezik d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter s¸art F d¨on¨us¸¨um¨un¨un bir yatay homotetik d¨on¨us¸¨um olmasıdır.

˙Ispat. U ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ(µ) ic¸in, (2.6.1) denkleminden,

(∇F∗)(JU, X ) = JU (ln λ)F∗X+ X (ln λ)F∗JU− g(JU, X)F_∗(grad ln λ)

yazılır. ¨Usteki denklemden F yatay homotetik d¨on¨us¸¨um ise (∇F_∗)(JU, X ) = 0 dır. Ter-sine, (∇F_∗)(JU, X ) = 0 ise

JU(ln λ)F∗X+ X (ln λ)F∗JU = 0 (3.2.5)

olur. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (3.2.5) denkleminin her iki tarafı F_∗JU ile c¸arpılırsa

g(grad ln λ, JU )g⁰(F_∗X, F_∗JU) + g(grad ln λ, X )g⁰(F_∗JU, F_∗JU) = 0

bulunur. Yukarıdaki denklemden g(grad ln λ, X ) = 0 olup λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Di˘ger taraftan (3.2.5) denkleminin her iki tarafı F_∗X ile c¸arpılırsa

g(grad ln λ, JU )g⁰(F_∗X, F_∗X) + g(grad ln λ, X )g⁰(F_∗JU, F_∗X) = 0

elde edilir. Bu denklemden de g(grad ln λ, JU ) = 0 olup λ, Γ(Jc¸ekF_∗) ¨uzerinde sabittir.

Bu durumda λ, (c¸ekF_∗)^⊥ ¨uzerinde sabit olup ispat biter.

Teorem 3.2.5. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨un¨un tamamen jeodezik d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter s¸artlar

(i) T_UJV = 0 ve

H

^∇U^MJV ∈ Γ(Jc¸ekF∗),

(ii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

(iii) ˆ∇_V

B

^{X+ T}V

C

^{X = 0 ve T}V

B

^X+

H

^∇V^M

C

^{X∈ Γ(Jc¸ekF∗)}

dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in, M bir Kaehler manifold oldu˘gundan, (2.1.6) denklemi kul-lanılırsa

(∇F∗)(U,V ) = F_∗(J∇_U^MJV) olur. (2.4.7) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

(∇F∗)(U,V ) = F_∗(JT_UJV+

BH

^∇MUJV+

C H

^∇U^MJV)

= F_∗(JT_UJV+

C H

^∇MUJV)

elde edilir. Yukarıdaki denklemden (∇F_∗)(U,V ) = 0 olması ic¸in gerek ve yeter s¸art F_∗(JT_UJV +

C H

^∇_U^MJV) = 0 dır. Buradan da T_UJV = 0 ve

H

^∇M_U^{JV ∈ Γ(Jc¸ekF}∗) elde

edilir. Di˘ger taraftan ∀X ,Y ∈ Γ(µ) ic¸in (2.6.1) denkleminden,

(∇F∗)(X ,Y ) = X (ln λ)F∗Y+Y (ln λ)F∗X− g(X,Y )F_∗(grad ln λ)

olur. Yukarıdaki denklemden F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨um ise (∇F_∗)(X ,Y ) = 0 dır. Tersine, (∇F_∗)(X ,Y ) = 0 ise yukarıdaki denklemde Y = JX yazılırsa

(∇F∗)(X , JX ) = X (ln λ)F∗JX+ JX (ln λ)F∗X− g(X, JX)F_∗(grad ln λ) olup

X(ln λ)F∗JX+ JX (ln λ)F∗X = 0 (3.2.6) elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (3.2.6) denkleminin her iki tarafı F_∗JX ile c¸arpılırsa

X(ln λ)g⁰(F_∗JX, F_∗JX) + JX (ln λ)g⁰(F_∗X, F_∗JX) = 0 olup gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa

g(grad ln λ, X )λ²g(JX , JX ) + g(grad ln λ, JX )λ²g(X , JX ) = 0

dır. Bu durumda λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Di˘ger taraftan U,V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, (2.6.1) denkleminden,

(∇F∗)(JU, JV ) = JU (ln λ)F∗JV+ JV (ln λ)F∗JU− g(JU, JV )F_∗(grad ln λ)

yazılır. Yukarıdaki denklemden F bir yatay homotetik d¨on¨us¸¨um ise bu durumda (∇F∗)(JU, JV ) = 0 dır. Tersine (∇F∗)(JU, JV ) = 0 ise yukarıdaki denklemde V yerine U yazılıp denklem d¨uzenlenirse

2JU (ln λ)F∗JU− g(JU, JU)F_∗(grad ln λ) = 0 (3.2.7) elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (3.2.7) denkleminin her iki tarafı F_∗JU ile c¸arpılırsa

2JU (ln λ)g⁰(F_∗JU, F_∗JU) − g(JU, JU )g⁰(F_∗(grad ln λ), F∗JU) = 0

olup gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa g(JU, JU )λ²g(grad ln λ, JU ) = 0 elde edilir. Buradan da λ, Γ(Jc¸ekF_∗) ¨uzerinde sabittir. Bu durumda λ, Γ(c¸ekF∗)^⊥ ¨uzerinde sabittir. Son olarak X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M bir Kaehler manifold oldu˘gundan ve (2.6.1) denkleminden

(∇F∗)(X ,V ) = F_∗(J∇_V^MJX) elde edilir. (2.4.7) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

(∇F_∗)(X ,V ) = F_∗(

B

^TV

B

^X+

C

^TV

B

^{X+ J ˆ∇}V

B

^X+

BH

^∇MV

C

^X

+

C H

^∇MV

C

^{X+ JT}V

C

^X)

= F_∗(

C

^TV

B

^{X+ J ˆ∇}V

B

^X+

C H

^∇MV

C

^{X+ JT}V

C

^X)

= F_∗(J( ˆ∇_V

B

^{X+ T}V

C

^{X) +}

C

^(TV

B

^X+

H

^∇MV

C

^X))

bulunur. Yukarıdaki denklemden (∇F_∗)(X ,V ) = 0 olması ic¸in gerek ve yeter s¸art F_∗(J( ˆ∇_V

B

^{X+ T}V

C

^{X) +}

C

^(TV

B

^X+

H

^∇_V^M

C

^X)) dır. Buradan da ˆ∇_V

B

^{X+ T}V

C

^{X = 0 ve}

T_V

B

^X+

H

^∇MV

C

^{X∈ Γ(Jc¸ekF}∗) elde edilir.

3.3 Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar ve Ayrıs¸ım Teoremleri

Bu alt b¨ol¨umde konform anti-invaryant submersiyonun belirledi˘gi ayrıs¸ım teorem-lerini verece˘giz. ˙Ilk olarak Teorem 3.1.3 ve Teorem 3.1.5 den as¸a˘gıdaki ayrıs¸ım teoremi elde edilir.

Teorem 3.3.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in M manifoldunun bir yerel c¸arpım manifoldu olması ic¸in

1

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = −g(A_X

B

Y, JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV )

− g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^Y)

ve

− 1 λ²

g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = g(T}VJW,

B

^X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

dır. Tersine M bir yerel c¸arpım manifoldu ise 1

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) − g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^Y)

ve

−1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

X) = g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

dır.

Sonuc¸ 3.1.2 ve Sonuc¸ 3.1.3 den as¸a˘gıdaki teorem bulunur.

Teorem 3.3.2. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform Lagrangian submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in A_XJY = 0 ve T_VJW = 0 ise M manifoldu bir yerel c¸arpım manifoldudur.

S¸imdi, b¨uk¨uml¨u c¸arpım manifoldları ile ilgili as¸a˘gıdaki teoremi verelim.

Teorem 3.3.3. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in M manifoldunun M = Mc¸ekF∗×_λM₍c¸ekF∗)^⊥ s¸eklinde bir b¨uk¨uml¨u c¸arpım manifoldu olması ic¸in gerek ve yeter s¸art (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun integrallenebilir,

− 1 λ²

g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = g(T}VJW,

B

^X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^{X) (3.3.1)}

ve

g(X ,Y )H = −

B

^AX

B

^Y+

C

^{Y(ln λ)}

B

^X−

BH

grad ln λg(X ,

C

^Y)

− JF^∗(∇^F_XF_∗

C

^{Y) (3.3.2)}

olmasıdır.

˙Ispat. ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, M bir Kaehler manifoldu oldu˘gundan (2.5.1), (2.4.7) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇V^MJW,

B

^{X) + g(T}VJW,

C

^X)

+ g(

H

^∇V^MJW,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇V^MJW,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(∇M}VJW,

C

^X)

elde edilir. ∇^M konneksiyonu torsiyonsuz ve [V, JW ] ∈ Γ(c¸ekF_∗) oldu˘gundan g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + g(∇M}JWV,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(A}JWJV, J

C

^{X) + g(}

H

^∇MJWJV, J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇MJWJV, J

C

^X)

dır. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kullanılırsa g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + 1}

λ²g⁰(−JW (ln λ)F∗JV− JV (ln λ)F∗JW + g(JW, JV )F_∗(grad ln λ) + ∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) − 1}

λ²g(

H

grad ln λ, JW )g⁰(F_∗JV, F_∗J

C

^X)

− 1

λ²g(

H

grad ln λ, JV )g⁰(F_∗JW, F_∗J

C

^X)

+ 1

λ²g(JW, JV )g⁰(F_∗(grad ln λ), F∗J

C

^{X) + 1}

λ²

g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

bulunur. Burada gerekli d¨uzenlemeler yapılır ve (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(∇^M_VW, X ) = g(T_VJW,

B

X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

+ 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

elde edilir. (c¸ekF∗) distrib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon belirlemesi ic¸in gerek ve yeter s¸art

− 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = g(T}VJW,

B

^X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

olup (3.3.1) denklemi elde edilir. Di˘ger taraftan ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M bir kaehler manifoldu oldu˘gundan (2.5.1), (2.4.8), (2.4.9), (3.1.1) ve (3.1.2) denk-lemleri kullanılırsa

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) + g(

V

^∇MX

B

Y, JV ) + g(A_X

C

Y, JV ) + g(

H

^∇MX

C

^{Y, JV )}

= g(A_X

B

Y, JV ) + g(

H

^∇MX

C

^{Y, JV )}

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kul-lanılırsa

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

^{Y, JV ) + 1}

λ²g⁰{−X(ln λ)F∗

C

^Y−

C

^{Y(ln λ)F}∗X + g(X ,

C

^Y)F∗(grad ln λ) + ∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV}

= g(A_X

B

^{Y, JV ) − 1}

λ²g(

H

grad ln λ, X )g⁰(F_∗

C

^{Y, F}∗JV)

− 1

λ²g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g0(F∗X, F_∗JV) + 1

λ²g(X ,

C

^Y)g0(F∗(grad ln λ), F∗JV) + 1

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

= g(A_X

B

^{Y, JV ) − 1}

λ²g(

H

grad ln λ, X )λ²g(

C

^{Y, JV )}

− 1

λ²g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)λ2g(X , JV ) + 1

λ²g(X ,

C

^Y)λ2g(

H

grad ln λ, JV ) + 1

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F∗JV)}

olur. Burada gerekli d¨uzenlemeler yapılır ve (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV )

+ g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^{Y) + 1}

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

elde edilir. (c¸ekF_∗)^⊥distrib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen umbilik foliasyon belirlemesi ic¸in gerek ve yeter s¸art

g(g(X ,Y )H,V ) = g(−JA_X

B

^{Y,V ) +}

C

^{Y(ln λ)g(}

B

^{X,V ) − g(}

BH

grad ln λ,V )g(X ,

C

^Y)

− g(JF^∗(∇^F_XF_∗

C

^{Y),V )}

= g(−

B

^AX

B

^Y+

C

^{Y(ln λ)}

B

^X−

BH

grad ln λg(X ,

C

^Y)

− JF^∗(∇^F_XF_∗

C

^{Y),V )}

dır. Buradan da (3.3.2) denklemi elde edilir.

Teorem 3.3.4. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in M manifoldunun M = M₍c¸ekF∗)^⊥×_λM₍c¸ekF_∗)s¸eklinde bir c¸apras¸ık c¸arpım manifoldu yoktur.

˙Ispat. U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) and X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in

−X(ln λ)g(U,V ) = JV (ln λ)g(U, JX) dır. X ∈ Γ(µ) ic¸in

−X(ln λ)g(U,V ) = 0 olup λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. X = JU ∈ Γ(Jc¸ekF_∗) alınırsa

JU(ln λ)g(U,V ) = JV (ln λ)g(U,U ) (3.3.3) elde edilir. (3.3.3) denkleminde U ile V ’nin yerleri de˘gis¸tirilirse

JV(ln λ)g(U,V ) = JU (ln λ)g(V,V ) (3.3.4) bulunur. Ayrıca (3.3.3) denkleminden

JV(ln λ) = JU(ln λ)g(U,V )

g(U,U ) (3.3.5)

olur. (3.3.5) denklemi (3.3.4) denkleminde yazılırsa JU(ln λ) = JU (ln λ)g(U,V )²

|U|²|V |² (3.3.6)

elde edilir. (3.3.6) denkleminden ya λ, Γ(Jc¸ekF∗) ¨uzerinde sabittir ya da Γ(Jc¸ekF∗) 1-boyutludur.

Belgede T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015 (sayfa 55-66)