Konform Anti-˙Invaryant Submersiyonlar

Bu alt b¨ol¨umde konform anti-invaryant submersiyonlar tanımlanmakta, ¨ornekler ve-rilmekte ve distrib¨usyonların geometrisi incelenmektedir.

Tanım 3.1.1. (M, g, J) ve (N, g⁰) sırasıyla m ve n boyutlu bir hemen hemen Hermit-yen manifold ve Riemann manifold olsun. Bu durumda F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) yatay konform submersiyonu as¸a˘gıdaki s¸artları sa˘glıyorsa F d¨on¨us¸¨um¨une bir konform anti-invaryant submersiyon denir:

(i) c¸ekF_∗distrib¨usyonu, J’ye g¨ore anti-invaryant, yani J(c¸ekF_∗) ⊆ (c¸ekF_∗)^⊥, (ii) g⁰(F_∗X, F_∗Y) = λ²g(X ,Y ), ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥)

dır.

F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. ˙Ilk olarak, Tanım 3.1.1 den J(c¸ekF_∗)^⊥∩ c¸ekF_∗6= {0} dır. (c¸ekF_∗)^⊥ de J(c¸ekF_∗)’a tamamlayıcı or-togonal distrib¨usyon µ olsun. Bu durumda

(c¸ekF_∗)^⊥ = J(c¸ekF_∗) ⊕ µ (3.1.1) yazabiliriz.

Onerme 3.1.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g¨ ⁰) bir Riemann manifold ve F :

(M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda µ dist-rib¨usyonu J hemen hemen kompleks yapısına g¨ore invaryanttır.

˙Ispat. W ∈ Γ(µ) ve V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g(JW,V ) = −g(W, JV )

ve JV ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) oldu˘gundan g(JW,V ) = 0 olup JW /∈ Γ(c¸ekF_∗) dır. Benzer s¸ekilde g(JW, JV ) = g(W,V ) = 0

olup JW /∈ Γ(J(c¸ekF∗)) dır. Bu durumda JW ∈ Γ(µ) olur ki bu bize µ distrib¨usyonunun J ye g¨ore invaryant oldu˘gunu s¨oyler.

Bu y¨uzden X ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ic¸in

JX =

B

^X+

C

^{X (3.1.2)}

yazılır. Burada

B

^{X ∈ Γ(c¸ekF}∗) ve

C

^X∈ Γ(µ) dur. Di˘ger taraftan F∗(c¸ekF_∗)^⊥ = T N ve F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (3.1.1) denklemini kullanırsak ∀X ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in ¹

λ²g⁰(F_∗JV, F_∗

C

^X) = 0 elde edilir. Buradan da

T N = F_∗(Jc¸ekF_∗) ⊕ F_∗(µ) (3.1.3)

yazılır. As¸a˘gıda konform anti-invaryant submersiyonlar ic¸in ¨ornekler verilmektedir.

Ornek 3.1.1. Bir hemen hemen Hermityen manifoldundan bir Riemann manifolduna¨ tanımlı her anti-invaryant Riemann submersiyon λ = 1 ile bir konform anti-invaryant sub-mersiyondur [51].

E˘ger λ 6= 1 ise bir konform invaryant submersiyona has konform anti-invaryant submersiyon denir. S¸imdi bir has konform anti-anti-invaryant submersiyona ¨ornek verelim. R^2m ile 2m- boyutlu standart metrikli ¨Oklid uzayını g¨osterelim. E˘ger (R^2m, J), standart flat Kaehler metrikli C^m kompleks sayılar uzayına kompleks analitik olarak izometrik ise R^2m ¨uzerinde bir hemen hemen kompleks yapı J ye uyumludur denir.

R^2m ¨uzerinde standart ic¸ c¸arpım ile uyumlu hemen hemen kompleks yapıyı J(a¹, ..., a^2m) = (−a^2m−1, −a^2m, ..., a¹, a²)

s¸eklinde tanımlayalım.

Ornek 3.1.2. R¨ ⁴ ve R² standart ic¸ c¸arpımları ile verilen ¨Oklidyen uzaylar olsun. Bu durumda,

F: R⁴ −→ R²

(x₁, x₂, x₃, x₄) (e^x3sin x4, e^x3cos x4),

diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um¨u s¸eklinde tanımlansın. Burada, {x₁, x₂, x₃, x₄} ile R⁴ uzayının bir koordinat sistemi g¨osterilmis¸tir. Do˘grudan is¸lemlerle

F_∗'

elde edilir. Buradan, rankF_∗= boyR²= 2 bulunur. B¨oylece F bir submersiyondur. Di˘ger taraftan, elde edilir. Ayrıca R⁴ ¨uzerinde tanımlı J hemen hemen kompleks yapısı

J(a₁, a₂, a₃, a₄) = (−a₃, −a₄, a₁, a₂)

olsun. Buradan JZ1= X₁ve JZ2= X₂olup J(c¸ekF_∗) = (c¸ekF_∗)^⊥ olur. { ^∂

∂y1, ^∂

∂y2}, R²nin standart bazı olmak ¨uzere, do˘grudan hesaplamalarla

F_∗X₁= e^x3sin x₄ ∂

bulunur. R⁴ve R² ¨uzerindeki standart ic¸ c¸arpımlar g ve g⁰ ile g¨osterilirse g⁰(F_∗X₁, F_∗X₁) = (e^x3)²g(X₁, X₁)

ve

g⁰(F_∗X₂, F_∗X₂) = (e^x3)²g(X₂, X₂)

olup F d¨on¨us¸¨um¨u λ = e^x3 olan bir konform anti-invaryant submersiyondur.

Lemma 3.1.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in

g(

C

Y, JV ) = 0 (3.1.4)

ve

g(∇^M_X

C

Y, JV ) = −g(

C

^{Y, JA}XV) (3.1.5) dır.

˙Ispat. Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in (3.1.2) denklemi kullanılırsa

g(

C

Y, JV ) = g(JY −

B

Y, JV ) = g(JY, JV ) − g(

B

^{Y, JV )}

elde edilir. Burada

B

^{Y ∈ Γ(c¸ekF}∗) ve JV ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) oldu˘gundan g(

B

Y, JV ) = 0 dır.

M bir Kaehler manifold oldu˘gundan g(JY, JV ) = g(Y,V ) = 0 olup g(

C

Y, JV ) = 0 dır.

Di˘ger taraftan X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(∇^M_X

C

Y, JV ) = X g(

C

Y, JV ) − g(

C

^{Y, ∇M}XJV)

= −g(

C

^{Y, ∇M}XJV)

= −g(

C

^{Y, J∇M}XV) dır. Di˘ger taraftan (2.4.8) denklemi kullanılırsa

g(∇^M_X

C

Y, JV ) = −g(

C

^{Y, JA}XV+ J

V

^∇MXV)

= −g(

C

^{Y, JA}XV) − g(

C

^{Y, J}

V

^∇MXV)

elde edilir. Burada J

V

^∇MXV ∈ Γ(Jc¸ekF∗) ve

C

^Y ∈ Γ(µ) oldu˘gundan g(

C

^{Y, J}

V

^∇MXV)=0 olur. Buradan ispat tamamlanır.

S¸imdi (c¸ekF∗)^⊥ distrib¨usyonunun integrallenebilirli˘gini, (c¸ekF∗) ve (c¸ekF_∗)^⊥ dist-rib¨usyonlarının geometrisini aras¸tıraca˘gız. ¨Oncelikle not edelim ki (c¸ekF_∗) distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

Teorem 3.1.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

(ii) As¸a˘gıdaki ba˘gıntı sa˘glanır;

1

λ²g⁰(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^{X, JV )}

− g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^{X)g(Y, JV )}

− 2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV )

dır.

˙Ispat. Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in, Tanım 3.1.1 den JV ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve JY ∈ Γ(c¸ekF∗⊕ µ) dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g([X ,Y ],V ) = g(J[X ,Y ], JV )

= g(∇^M_XJY, JV ) − g(∇^M_YJX, JV ) elde edilir. (3.1.2) denklemi yardımıyla

g([X ,Y ],V ) = g(∇^M_X(

B

^Y+

C

^Y), JV ) − g(∇_Y^M(

B

^X+

C

^{X), JV )}

= g(∇^M_X

B

^Y, JV ) + g(∇^M_X

C

^Y, JV ) − g(∇_Y^M

B

^X, JV ) − g(∇^M_Y

C

^{X, JV )}

bulunur. F konform submersiyon oldu˘gundan (2.4.8) ve (2.4.9) denklemleri kullanılırsa olur. (2.6.1) denklemi g¨oz ¨on¨une alınırsa

g([X ,Y ],V ) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^{X, JV ) + 1}

olup (3.1.4) denklemi kullanılırsa

g([X ,Y ],V ) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^X, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^X)g(Y, JV ) − 2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV )

− 1 λ²

g⁰(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

elde edilir. B¨oylece (c¸ekF∗)^⊥distrib¨usyonunun integrallenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

1

λ²g⁰(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^{X, JV )}

− g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^{X)g(Y, JV )}

− 2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV )

olmasıdır. Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 3.1.1 den as¸a˘gıdaki ifade elde edilir.

Teorem 3.1.2. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdakilerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

(i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

(ii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

(iii) g⁰(∇_Y^FF_∗

C

^{X− ∇F}_X^F∗

C

^{Y, F}∗JV) = λ²g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^{X, JV )}

dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, Teorem 3.1.1 den

g([X ,Y ],V ) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^X, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^X)g(Y, JV ) − 2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV )

− 1

λ²g⁰(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

dır. (i) ve (iii) es¸itlikleri varsa

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^{X)g(Y, JV )}

−2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV ) = 0 (3.1.6) olur. (3.1.6) denklemi V ∈ Γ(c¸ekF_∗) olmak ¨uzere Y = JV ic¸inde do˘grudur. Bu durumda (3.1.6) denkleminde Y = JV yazılırsa

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

(JV ))g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

X)g(JV, JV )

−2g(

C

^{X, JV )g(}

H

grad ln λ, JV ) = 0

elde edilir. (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(

H

^{grad ln λ,}

C

^X)g(JV, JV ) = 0 olup λ, Γ(µ)

¨uzerinde sabittir. Di˘ger taraftan (3.1.6) denklemi X ∈ Γ(µ) olmak ¨uzere Y =

C

^{X ic¸inde}

do˘grudur. O halde (3.1.6) denkleminde Y =

C

^{X yazılırsa}

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

²X)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^X)g(

C

^{X, JV )}

−2g(

C

^X,

C

^X)g(

H

grad ln λ, JV ) = 0

olup (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(

C

^X,

C

^X)g(

H

grad ln λ, JV ) = 0 olur. B¨oylece λ, Γ(Jc¸ekF_∗) ¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde di˘ger es¸itliklerde g¨osterilebilir.

F bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. E˘ger J(c¸ekF_∗) = (c¸ekF_∗)^⊥ ise F submersiyonuna konform Lagrangian submersiyon denir. E˘ger µ 6= 0 ise, bu durumda F submersiyonuna bir has konform anti-invaryant submersiyon denir. ¨Ornek 3.1.2 de verilen konform anti-invaryant submersiyon aynı zamanda konform Lagrangian submersiyondur.

Teorem 3.1.1 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Sonuc¸ 3.1.1. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform Lagrangian submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

(ii) A_XJY = A_YJX

(iii) (∇F_∗)(Y, JX ) = (∇F_∗)(X , JY ) dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in Tanım 3.1.1 den, JV ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve JY ∈ Γ(c¸ekF∗) olur. Teorem 3.1.1 den

g([X ,Y ],V ) = g(A_X

B

^{Y− A}Y

B

^X, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^X)g(Y, JV ) − 2g(

C

^{X,Y )g(}

H

grad ln λ, JV )

− 1

λ²g⁰(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

dır. F konform Lagrangian submersiyon oldu˘gundan g([X ,Y ],V ) = g(A_X

B

^{Y −}

A_Y

B

^X, JV ) = 0 olup buradan (i) ⇔ (ii) elde edilir. Di˘ger taraftan Tanım 3.1.1 ve (2.4.8) denklemi kullanılarak

g(A_X

B

Y, JV ) − g(A_Y

B

^{X, JV ) = 1}

λ²g⁰(F_∗A_X

B

^{Y, F}∗JV) − 1

λ²g⁰(F_∗A_Y

B

^{X, F}∗JV)

= 1

λ²g⁰(F_∗(∇^M_X

B

^{Y), F}∗JV) − 1

λ²g⁰(F_∗(∇^M_Y

B

^{X), F}∗JV) elde edilir. (2.1.6) denklemi kulanılırsa

g(A_X

B

Y, JV ) − g(A_Y

B

^{X, JV ) = 1}

λ²g⁰(−(∇F∗)(X ,

B

^{Y) + ∇F}XF_∗

B

^{Y, F}∗JV)

− 1

λ²g⁰(−(∇F∗)(Y,

B

^{X) + ∇}Y^FF_∗

B

^{X, F}∗JV)

= 1

λ²g⁰((∇F∗)(Y,

B

^{X) − (∇F}∗)(X ,

B

^{Y), F}∗JV) olup (ii) ⇔ (iii) elde edilir. Benzer s¸ekilde (iii) ⇔ (i) oldu˘gu g¨osterilebilir.

Teorem 3.1.3. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) As¸a˘gıdaki ba˘gıntı sa˘glanır;

1 λ²

g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = −g(A_X

B

Y, JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV )

− g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^Y)

dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1), (2.4.8), (2.4.9), (3.1.1) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) + g(

H

^∇MX

C

^{Y, JV )}

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kul-lanılırsa

olur. Burada gerekli d¨uzenlemeler yapılır ve (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV )

+ g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^{Y) + 1}

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV)

elde edilir. (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik fo-liasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art

1

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = −g(A_X

B

Y, JV ) + g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV )

− g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^Y)

olmasıdır. Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 3.1.3 den as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 3.1.4. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdakilerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

(i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

(iii) g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) = −λ²g(A_X

B

^{Y, JV )}

dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, Teorem 3.1.3 den

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^{Y) + 1}

λ²

g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) oldu˘gundan, (i) ve (iii) es¸itlikleri varsa

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^{Y) = 0 (3.1.7)}

olur. (3.1.7) denklemi Y ∈ Γ(µ) olmak ¨uzere X =

C

^Y ic¸inde do˘grudur. Bu durumda (3.1.7) denkleminde X =

C

^{Y yazılırsa}

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(

C

Y, JV ) + g(

H

grad ln λ, JV )g(

C

^Y,

C

^{Y) = 0}

olup burada (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(

H

grad ln λ, JV )g(

C

^Y,

C

^Y) = 0 dır. B¨oylece λ, Γ(Jc¸ekF_∗) ¨uzerinde sabittir. Di˘ger taraftan (3.1.7) denklemi V ∈ Γ(c¸ekF∗) olmak ¨uzere X = JV ic¸inde do˘grudur. O halde (3.1.7) denkleminde X = JV yazılırsa

−g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(JV, JV ) + g(

H

grad ln λ, JV )g(JV,

C

^{Y) = 0}

bulunur. (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(JV, JV ) = 0 olup λ, Γ(µ)

¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde di˘ger es¸itliklerde g¨osterilebilir.

Teorem 3.1.3 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Sonuc¸ 3.1.2. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform Lagrangian submersiyon olsun. Bu durumda, ∀X ,Y ∈

Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) A_XJY = 0

(iii) (∇F_∗)(X , JY ) = 0 dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in Tanım 3.1.1 den, JV ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve JY ∈ Γ(c¸ekF∗) olur. Teorem 3.1.3 den

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

Y, JV ) − g(

H

^{grad ln λ,}

C

^Y)g(X , JV ) + g(

H

grad ln λ, JV )g(X ,

C

^{Y) + 1}

λ²g⁰(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗JV) dır. F bir konform Lagrangian submersiyon oldu˘gundan

g(∇^M_XY,V ) = g(A_X

B

^{Y, JV )}

olur. Bu durumda (i) ⇔ (ii) elde edilir. Di˘ger taraftan (2.4.8) denklemi kullanılırsa g(A_X

B

^Y, JV ) = g(∇^M_X

B

^{Y, JV )}

olur. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) denklemi kullanılırsa g(A_X

B

^{Y, JV ) = 1}

λ²g⁰(−(∇F∗)(X ,

B

^{Y) + ∇F}XF_∗

B

^{Y, F}∗JV)

= −1

λ²g⁰((∇F∗)(X ,

B

^{Y), F}∗JV)

elde edilir. Bu durumda (ii) ⇔ (iii) dir. Benzer is¸lemler yapılarak (iii) ⇔ (i) oldu˘gu g¨osterilebilir.

Teorem 3.1.5. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF_∗) distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) As¸a˘gıdaki ba˘gıntı sa˘glanır;

− 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = g(T}VJW,

B

^X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

dır.

˙Ispat. ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, M bir Kaehler manifoldu oldu˘gundan (2.5.1), (2.4.7) ve (3.1.2) denklemleri kullanılırsa

g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇V^MJW,

B

^{X) + g(T}VJW,

C

^X)

+ g(

H

^∇V^MJW,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇V^MJW,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(∇M}VJW,

C

^X)

elde edilir. ∇^M konneksiyonu torsiyonsuz ve [V, JW ] ∈ Γ(c¸ekF_∗) oldu˘gundan g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + g(∇M}JWV,

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(∇M}JWJV, J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(A}JWJV+

H

^∇MJWJV, J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(A}JWJV, J

C

^{X) + g(}

H

^∇MJWJV, J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + g(}

H

^∇MJWJV, J

C

^X)

olur. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kullanılırsa g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) + 1}

λ²g⁰(F_∗(∇^M_JWJV), F_∗J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + 1}

λ²g⁰(−(∇F_∗)(JW, JV ) + ∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) + 1}

λ²g⁰(−JW (ln λ)F∗JV− JV (ln λ)F∗JW + g(JW, JV )F_∗(grad ln λ) + ∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

= g(T_VJW,

B

^{X) − 1}

λ²g(

H

grad ln λ, JW )g⁰(F_∗JV, F_∗J

C

^X)

− 1

λ²g(

H

grad ln λ, JV )g⁰(F_∗JW, F_∗J

C

^X)

+ 1

λ²g(JW, JV )g⁰(F_∗(grad ln λ), F∗J

C

^{X) + 1}

λ²

g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

bulunur. Burada gerekli d¨uzenlemeler yapılır ve (3.1.4) denklemi kullanılırsa g(∇^M_VW, X ) = g(T_VJW,

B

X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

+ 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

olur. (c¸ekF_∗) distrib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art

− 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = g(T}VJW,

B

^X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

olmasıdır. Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 3.1.5 den as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 3.1.6. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform anti-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda, ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdakilerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

(i) (c¸ekF_∗) distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir.

(iii) ¹

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^{X) = −g(T}VJW, JX ) dır.

˙Ispat. ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, Teorem 3.1.5 den

g(∇^M_VW, X ) = g(T_VJW,

B

X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

+ 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

oldu˘gundan (i) ve (iii) es¸itlikleri varsa g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

X) = 0 olur. Bu du-rumda λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde di˘ger es¸itliklerde g¨osterilebilir.

E˘ger F bir konform Lagrangian submersiyon ise (3.1.3) denkleminden T N = F_∗(Jc¸ekF_∗) dır. Bu durumda Teorem 3.1.5 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Sonuc¸ 3.1.3. (M, g, J) bir Kaehler manifold, (N, g⁰) bir Riemann manifold ve F : (M, g, J) −→ (N, g⁰) bir konform Lagrangian submersiyon olsun. Bu durumda, ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

(i) (c¸ekF_∗) distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

(ii) T_VJW = 0 dır.

˙Ispat. ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, Teorem 3.1.5 den g(∇^M_VW, X ) = g(T_VJW,

B

X) + g(JW, JV )g(

H

grad ln λ, J

C

^X)

+ 1

λ²g⁰(∇^F_JWF_∗JV, F_∗J

C

^X)

dır. F bir konform Lagrangian submersion oldu˘gu ic¸in g(∇_V^MW, X ) = g(T_VJW,

B

^{X) olup}

(i) ⇔ (ii) dir. Buradan ispat tamamlanır.

Belgede T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015 (sayfa 41-55)