ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I
REEL FONKS·IYONLAR ·IÇ·IN BAZI D·IZ·ISEL SÜREKL·IL·IK KAVRAMLARI
Burçin EM·INO ¼GLU
MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI
ANKARA 2021
Her hakk¬ sakl¬d¬r
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
REEL FONKS·IYONLAR ·IÇ·IN BAZI D·IZ·ISEL SÜREKL·IL·IK KAVRAMLARI
Burçin EM·INO ¼GLU
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬¸sman: Prof. Dr. Cihan ORHAN Bu tez 6 bölümden olu¸smaktad¬r.
·Ilk bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.
·Ikinci bölümde toplanabilme metoduna ili¸skin temel kavramlar verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde dizisel süreklilik ve Cesàro süreklilik kavramlar¬verilmi¸stir. Süreklilik ve Cesàro süreklili¼gin hangi durumda denk oldu¼guna ili¸skin bir problem ve çözümü incelen- mi¸stir.
Dördüncü bölümde A-süreklilik kavram¬ ele al¬nm¬¸s ve süreklilikle aras¬ndaki ili¸ski ince- lenmi¸stir. Süreklilik ve A-süreklili¼gin hangi ko¸sullar alt¬nda denk oldu¼gu gösterilmi¸stir.
Devam¬nda L(a) özelli¼gi ve (G) özelli¼gi kavramlar¬ tan¬mlanm¬¸s ve A-sürekli fonksiyon- lar¬n lineer olmas¬incelenmi¸stir.
Be¸sinci bölümde kuvvetli regülerlik, hemen hemen yak¬nsakl¬k, hemen hemen süreklilik (F-süreklilik) ve hemen hemen A-süreklilik kavramlar¬tan¬mlanm¬¸s ve bunlar aras¬ndaki ili¸ski incelenmi¸stir. Daha sonra F-sürekli fonksiyonlar¬n lineerli¼gine ili¸skin bir teorem verilmi¸stir.
Alt¬nc¬bölümdeG-süreklilik kavram¬tan¬mlanm¬¸st¬r. G-süreklili¼gin lineerli¼gi gerektirmesi için yeterli bir ¸sart verilmi¸stir. Ard¬ndan süreklilik ve G-süreklilik kavramlar¬aras¬ndaki ili¸ski incelenmi¸stir. Nihayet G lineer fonksiyoneli yerine istatistiksel yak¬nsakl¬k metodu al¬narak süreklilik veG-süreklilik aras¬ndaki ili¸ski incelenmi¸stir.
¸
Subat 2021 , 42 sayfa
Anahtar Kelimeler: Sürekli Fonksiyon, A-Sürekli Fonksiyon, Dizisel Sürekli Fonksiyon, Hemen Hemen Sürekli Fonksiyon, ·Istatistiksel Sürekli Fonksiyon
ABSTRACT
Master Thesis
SOME SEQUENTIAL CONTINUITY CONCEPTS FOR REAL FUNCTIONS
Burçin EM·INO ¼GLU
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Cihan ORHAN
This thesis consists of six chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, some basic concepts related to summability method are recalled.
In the third chapter, sequential continuity and Cesàro continuity are studied. A prob- lem and its solution concerning the equivalence of continuity and Cesàro continuity is considered.
In chapter four, the idea of A- continuity is de…ned and its relationship to continuity is examined. Under what conditions continuity and A-continuity are equivalent? This problem is also studied. Subsequently, the concepts of L(a) property and (G) property are de…ned and the linearity of A- continuity functions is also considered.
In the …fth chapter, the concepts of strong regularity, almost convergence, almost continu- ity (F-continuity) and almost A-continuity are recalled. Then, the relationship between almost continuity and almost A-continuity is examined. Subsequently, a theorem on lin- earity ofF-continuity functions is given.
In the sixth chapter, the concept ofG-continuity is introduced. A su¢ cient condition, for the G-continuity to imply linearity is given. Then, the relationship between continuity and G-continuity concepts are considered. Finally, taking statistical convergence method in place ofG method, the relationship between continuity andG-continuity is given.
February 2021 , 42 pages
Key Words: Continuous Function, A-Continuous Function, Sequentially Continuous Function, Almost Continuous Function, Statistically Continuous Function
TE¸SEKKÜR
Bu çal¬¸sma konusunu bana veren ve çal¬¸smalar¬m boyunca ilgi ve yard¬mlar¬n¬esirgemeyen de¼gerli dan¬¸sman hocam Say¬n Prof. Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakül- tesi)’a en içten sayg¬ve minnetlerimi sunar¬m. Bu süreçte bana gösterdi¼gi anlay¬¸s ve destek için de ayr¬ca te¸sekkürü bir borç bilirim.
Yüksek lisans e¼gitimim boyunca yard¬mlar¬n¬esirgemeyen arkada¸slar¬ma en içten te¸sekkür- lerimi sunar¬m.
Hayat¬m¬n her a¸samas¬nda daima yan¬mda olan ve desteklerini esirgemeyen aileme ve dostlar¬ma en içten te¸sekkürlerimi sunar¬m.
Burçin EM·INO ¼GLU Ankara, ¸Subat 2021
IÇ·· INDEK·ILER
TEZ ONAY SAYFASI
ET·IK . . . i
ÖZET . . . ii
ABSTRACT. . . iii
TE¸SEKKÜR. . . iv
S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi
1. G·IR·I¸S . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 3
2.1 Temel Bilgiler . . . 3
3. D·IZ·ISEL SÜREKL·IL·IK VE CESÀRO SÜREKL·IL·IK . . . 5
3.1 Dizisel Süreklilik . . . 5
3.2 Cesàro Süreklilik . . . 6
4. A-SÜREKL·IL·IK . . . 9
4.1 Bir Fonksiyonun Süreklili¼gi ·Için E¸sde¼ger Bir Önerme . . . 9
4.2 Toplanabilmeyi Koruyan Fonksiyonlar . . . 10
4.3 Reel Fonksiyonlar¬n A-Süreklili¼gi. . . 11
5. REEL FONKS·IYONLARIN HEMEN HEMEN SÜREKL·IL·I ¼G·I 22 5.1 Temel Bilgiler . . . 22
5.2 Süreklilik Kavramlar¬Aras¬ndaki ·Ili¸skiler . . . 23
5.3 Reel Fonksiyonlar¬n F-Süreklili¼gi . . . 25
6. REEL FONKS·IYONLAR IÇ·· IN SÜREKL·IL·I ¼G·IN D·IZ·ISEL TANIMLARI . . . 29
6.1 Giri¸s . . . 29
6.2 ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k . . . 31
6.3 G=L ·Için Yeterli Bir ¸Sart . . . 32
6.4 G-Süreklili¼gin Topolojik Bir Bak¬¸s Aç¬s¬veG=C ·Için Gerekli Bir ¸ Sart . . . 35
6.5 G C ·Için Yeterli Bir ¸Sart . . . 37
7. TARTI¸SMA VE SONUÇ . . . 39
KAYNAKLAR. . . 40
ÖZGEÇM·I¸S . . . 42
S·IMGELER D·IZ·IN·I
R Reel say¬lar kümesi
C Kompleks say¬lar kümesi
N Do¼gal say¬lar kümesi
A = (ank) Reel ya da kompleks terimli sonsuz bir matris Ax =f(Ax)ng x dizisinin A matrisi ile yap¬lan dönü¸süm dizisi
! Reel ya da kompleks terimli tüm diziler uzay¬
c Reel ya da kompleks terimli tüm yak¬nsak diziler uzay¬
m Reel terimli tüm s¬n¬rl¬diziler uzay¬
F Hemen hemen yak¬nsak diziler uzay¬
P Toplam
(C; 1) Cesàro matrisi
f jJ K¬s¬tlama fonksiyonu
L(I) f : I ! R lineer fonksiyonlar¬n kümesi G(I) f : I ! R, G-sürekli fonksiyonlar¬n kümesi C(I) f : I ! R sürekli fonksiyonlar¬n kümesi
D D kümesinin kapan¬¸s¬
1.
G·IR·I¸SSüreklilik konusu sadece matematik analizin de¼gil reel analiz, fonksiyonel analiz ve topolojinin de önemli konular¬ndand¬r.
Bilindi¼gi gibi bir f : R ! R fonksiyonunun bir u noktas¬nda süreklili¼gi dizisel süreklili¼gine denktir. Yani lim
n xn = u olacak biçimdeki her x = (xn) dizisi için limn f (xn) = f (u) gerçeklenmesidir.
1946 y¬l¬nda Herbert Robbins taraf¬ndan e¼ger lim
n 1 n
Pn k=1
xk = u olacak biçimdeki her (xk) dizisi için
limn
1 n
Xn k=1
f (xk) = f (u)
gerçeklenirse bu tür fonksiyonlar Cesàro sürekli veya k¬saca C-sürekli fonksiyon olarak tan¬mlanm¬¸st¬r. Ayr¬ca Robbins taraf¬ndan f fonksiyonu lineer oldu¼gunda süreklilik ve Cesàro süreklili¼gin birbirine denk oldu¼guna ili¸skin bir problem ortaya at¬lm¬¸st¬r. Problemin çözümü 1948 y¬l¬nda R.C. Buck taraf¬ndan verilmi¸s ve bu denklik gösterilmi¸stir.
Bu tür süreklilik ile dizisel süreklilik aras¬ndaki ili¸skiler 1961 y¬l¬nda E.C. Posner, 1972 y¬l¬nda T.B. Iwi´nski, 1980 y¬l¬nda J. Antoni ve T. Šalát, 1980 y¬l¬nda V.K.
Srinivasan, 1986 y¬l¬nda J. Antoni, 1993 y¬l¬nda J. Borsík ve T. Šalát, 1994 y¬l¬nda E. Spigel ve N. Krupnik taraf¬ndan incelenmi¸stir. Bu tan¬mda Cesàro matrisi yerine genel bir regüler A = (ank) matrisi al¬nmas¬ halinde de baz¬
incelemeler 1980 y¬l¬nda J. Antoni ve T. Šalát, 1986 y¬l¬nda J. Antoni taraf¬ndan ele al¬nm¬¸st¬r. Hatta 1983 y¬l¬nda E. Öztürk, 1993 y¬l¬nda J. Borsík ve T. Šalát taraf¬n- dan "limit" operatörü yerine "hemen hemen limit" i¸slemi al¬narak F-süreklilik kavram¬ incelenmi¸stir. Daha sonra buradaki "limit" i¸slemi "key… bir G lineer fonksiyoneli" ile de¼gi¸stirilerek yukar¬daki tan¬m 2003 y¬l¬nda J. Connor ve K.-G. Grosse-Erdmann taraf¬ndan modi…ye edilmi¸s ve bu tür fonksiyonlar G-sürekli fonksiyon olarak adland¬r¬lm¬¸st¬r.
Yukar¬daki G lineer fonksiyoneli yerine A-toplanabilme, hemen hemen yak¬nsakl¬k
veya istatistiksel yak¬nsakl¬k alarak f fonksiyonunun lineerli¼gi ve süreklili¼gi aras¬nda baz¬ ili¸skiler elde edilmi¸stir. Hatta reel fonksiyonlar için süreklili¼gin istatistiksel süreklili¼ge denkli¼gi gösterilmi¸stir.
Bu yüksek lisans tezi yukar¬da verilen bilgilerin bir derlemesidir ve bu yüksek lisans tezinin amac¬ fonksiyonlar¬n yukar¬daki anlamlarda süreklili¼gi, G-süreklili¼gi ve lineerli¼gi aras¬ndaki ili¸skileri incelemektir.
2.
TEMEL KAVRAMLARSüreklilik ve toplanabilme analizin önemli konular¬ndand¬r. Bu bölümde ilk olarak tez içerisinde kullan¬lacak temel tan¬mlar verilecektir.
2.1 Temel Bilgiler
Bu k¬s¬mda toplanabilme metodu, regüler matris ve Cesàro matrisine ili¸skin temel tan¬mlar verilecektir.
Tan¬m 2.1.1 (Toplanabilme Metodu) “! reel veya kompleks tüm diziler uzay¬
olsun. E ! alt vektör uzay¬olmak üzere bir toplanabilme metodunu E üzerinde tan¬mlanm¬¸s kompleks veya reel de¼gerli lineer bir fonksiyonel olarak tan¬mlayaca¼g¬z.
Buna göre f : E ! K (K = C veya R) lineer fonksiyoneli bir toplanabilme metodu olacakt¬r. E¼ger E ¬raksak bir x := (xk) dizisi içerirse, f (x) de¼gerine x ¬raksak dizisinin limitidir denir. E¼ger E c ve her x 2 c için f(x) = lim x ise f regüler metot ad¬n¬al¬r”.
Tan¬m 2.1.2 (Matris Toplanabilme Metodu) “A = (ank) reel ya da kompleks terimli sonsuz bir matris ve x = (xk)reel ya da kompleks terimli bir dizi olsun. E¼ger her n için
(Ax)n = X1 k=1
ankxk
mevcut ise yani sa¼gdaki seri her bir n için yak¬nsak ise Ax = f(Ax)ng dizisine, x dizisinin A-dönü¸sümü denir. Ax := f(Ax)ng dizisine x dizisinin A matrisi ile yap¬lan dönü¸süm dizisi denir.
wA =fx : Ax mevcutg ve cA =fx : Ax 2 cg olsun. E¼ger
f : cA! K f (x) = lim
n (Ax)n
tan¬mlan¬rsa f bir toplanabilme metodudur. E¼ger lim Ax = L ise x dizisi L de¼gerine A-toplanabilirdir denir.”
Tan¬m 2.1.3 (Regüler Matris) “Her x = (xk) yak¬nsak dizisi için limn xn= lim
n (Ax)n
gerçeklenir ise A matrisine regüler matris ad¬verilir”.
Bir matrisin regülerli¼gini karakterize eden Silverman-Toeplitz teoremini ispats¬z olarak verelim.
Teorem 2.1.1 (Silverman-Toeplitz) Bir A = (ank) matrisinin regüler bir toplanabilme matrisi olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬n gerçeklenmesidir:
(i) her k için lim
n!1ank = 0 (ii) lim
n!1
P1 k=0
ank = 1 (iii) her n için P1
k=0jankj M olacak biçimde bir M > 0 vard¬r (Wilansky 1984).
Tan¬m 2.1.4 (Cesàro) “(C; 1) ile verilen Cesàro matrisi bir x = (xk) dizisinin aritmetik ortalamas¬na kar¸s¬l¬k gelen matristir. O halde bu matris
ank=f
1
n, 1 k n
0, k > n
ile verilir. Bu matrisin regüler oldu¼gu aç¬kt¬r” (Wilansky 1984).
(C; 1) matrisinin,
C = 2 66 66 66 4
1 0 0 0 : : :
1 2
1
2 0 0 : : :
1 3
1 3
1
3 0 : : : ... ... ... ...
3 77 77 77 5
ile verilece¼gi aç¬kt¬r.
Tan¬m 2.1.5 (Cesàro Yak¬nsakl¬k) “(xn) bir dizi olmak üzere limn
x1+ x2+ ::: + xn
n =
ise (xn) dizisi de¼gerine Cesàro yak¬nsakt¬r denir. Bu durumda fxng !C yaz¬l¬r”.
3.
D·IZ·ISEL SÜREKL·IL·IK VE CESÀRO SÜREKL·IL·IKBu bölümde ilk olarak dizisel süreklilik kavram¬incelenecektir. Daha sonra Cesàro süreklilik kavram¬verilecek olup f fonksiyonu lineer oldu¼gunda süreklilik ile Cesàro süreklili¼gin birbirine denk oldu¼gu gösterilecektir.
3.1 Dizisel Süreklilik
Bu k¬s¬mda dizisel süreklilik tan¬m¬ verilecek olup dizisel süreklilik ve süreklilik aras¬ndaki ili¸ski ifade edilecektir.
Tan¬m 3.1.1 (Dizisel Süreklilik) “X = (X; d) ve Y = (Y; ~d) iki metrik uzay olsun. Bir T : X ! Y dönü¸sümünü göz önüne alal¬m. E¼ger her bir " > 0 say¬s¬na kar¸s¬l¬k, d(x; x0) < ko¸sulunu gerçekleyen bütün x’ler için
d(T x; T x~ 0) < "
olacak ¸sekilde bir > 0 say¬s¬ bulunabiliyorsa T dönü¸sümü x0 2 X noktas¬nda süreklidir denir” (Çakar 2010).
¸
Simdi dizisel süreklilik ile süreklilik aras¬ndaki ili¸skiyi ifade etmek için a¸sa¼g¬daki teoremi verelim.
Teorem 3.1.1Bir (X; d) metrik uzay¬ndan, bir (Y; ~d)metrik uzay¬n¬n içine olan bir T : X ! Y dönü¸sümünün bir x0 2 X noktas¬nda sürekli olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul
xn! x0 ) T xn! T x0 olmas¬d¬r (Çakar 2010).
Ispat.· T’nin x0 noktas¬nda sürekli oldu¼gunu varsayal¬m. Tan¬m 3.1.1’e bak¬n¬z. Bu durumda, verilen bir " > 0 say¬s¬için d(x; x0) < oldukça, ~d(T x; T x0) < " olacak
¸sekilde bir > 0 say¬s¬vard¬r. xn! x0 olsun. n > N oldukça,
d(xn; x0) <
olacak ¸sekilde bir N say¬s¬vard¬r. O halde her n > N için, d(T x~ n; T x0) < "
yazabiliriz. Bunun anlam¬ise tan¬m gere¼gi T xn ! T x0’d¬r.
Tersine olarak,
xn! x0 ) T xn! T x0
oldu¼gunu varsayal¬m ve bu durumda T ’nin x0’da sürekli oldu¼gunu ispatlayal¬m. Bir an için T ’nin x0’da sürekli olmad¬¼g¬n¬kabul edelim. Buna göre, her > 0 say¬s¬için d(x; x0) < oldu¼gu halde, ~d(T x; T x0) " e¸sitsizli¼gini gerçekleyen bir x 6= x0 say¬s¬
var olacak ¸sekilde bir " > 0 say¬s¬vard¬r. Özel olarak = 1n için d(xn; x0) < n1 oldu¼gu halde, ~d(T xn; T x0) " e¸sitsizli¼gini gerçekleyen bir xn bulabiliriz. Aç¬kça görüldü¼gü gibi xn ! x0 oldu¼gu halde, (T xn) dizisi T x0 de¼gerine yak¬nsamamaktad¬r. Bu ise T xn ! T x0 gerçe¼giyle çeli¸sir ve teoremin ispat¬tamamlanm¬¸s olur.
3.2 Cesàro Süreklilik
Bu k¬s¬mda öncelikle Cesàro süreklilik tan¬m¬verilecektir. Daha sonra f fonksiyonu lineer oldu¼gunda süreklilik ile Cesàro süreklili¼gin birbirine denk oldu¼gunu gösteren bir problem ve çözümü incelenecektir.
Tan¬m 3.2.1 (Cesàro Süreklilik) “(xn)key… bir dizi olmak üzere xn!C olacak biçimdeki her (xn)dizisi için f (xn)!C f ( )
gerçekleniyor ise f : R ! R fonksiyonuna x = noktas¬nda Cesàro süreklidir denir”
(Robbins 1946).
Burada sadece reel de¼gi¸skenli ve reel de¼gerli fonksiyonlar¬ele alaca¼g¬z.
A¸sa¼g¬daki problem 1946 y¬l¬nda Herbert Robbins taraf¬ndan ortaya at¬lm¬¸st¬r ve 1948 y¬l¬nda R.C. Buck taraf¬ndan çözülmü¸stür.
Problem 3.2.1 E¼ger f (x) = Ax + B formunda ise f fonksiyonu her x de¼geri için Cesàro süreklidir ve e¼ger f fonksiyonu tek bir noktas¬nda Cesàro sürekli ise f (x) = Ax + B formundad¬r (Robbins 1946).
Ispat. ·· Ilk olarak f (x) = Ax + B olsun. xn C! x olacak biçimde key… bir dizi olsun. f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn) C!f (x) oldu¼gunu göstermeliyiz.
1 n
Pn k=1
f (xk) = n1 Pn k=1
(Axk+ B)
= n1(A Pn k=1
xk+ Pn k=1
B)
= A:n1 Pn k=1
xk+ B:n1:n ! Ax + B = f(x) O halde f fonksiyonu Cesàro süreklidir.
¸
Simdi f fonksiyonu tek bir noktas¬nda C-sürekli olsun. Gösterece¼giz ki f (x) = Ax + B formunda yaz¬labilir.
Koordinat eksenlerini paralel de¼gi¸stirerek = 0 ve f ( ) = 0 alal¬m. a + b + c = 0 olmak üzere (a; b; c; a; b; c; :::) dizisi 0’a Cesàro yak¬nsakt¬r. Çünkü
t1 = a t2 = a+b2 t3 = a+b+c3 = 0 t4 = a+b+c+a4 = a4 t5 = a+b+c+a+b5 = a+b5 t6 = 0
t7 = a7 ...
f fonksiyonunun x = 0 noktas¬ndaki Cesàro süreklili¼ginden f (a) + f (b) + f (c) = 0 ise f (a) + f (b) = f ( a b) oldu¼gunu söyleyebiliriz.
Tn = f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn) T1 = f (x11) = f (a) T2 = f (a)+f (b)
2
T3 = f (a)+f (b)+f (c) 3
T4 = 2f (a)+f (b)+f (c) 4
T5 = 2f (a)+2f (b)+f (c) 5
T6 = 2f (a)+2f (b)+2f (c) 6
...
T3n = n(f (a)+f (b)+f (c))
3n = 13(f (a) + f (b) + f (c)) ! 0
c = 0 için f (a) = f ( a) ve herhangi x; y 2 R için f(x + y) = f(x) + f(y) ve
f (nx) = n:f (x)bulunur. Çünkü
f (( a) + ( b)) = f ( a) + ( f ( b)) = [f ( a) + f ( b)] olup buradan f (( a) + ( b)) = f ( a) + f ( b) elde edilir.
Böylece f (x + y) = f (x) + f (y) elde edilir. Ayr¬ca y = xiçin f (2x) = 2f (x)
y = 2xiçin f (3x) = 3f (x) ...
f (nx) = nf (x) bulunur.
n = x1+x2+:::+xn n olmak üzere e¼ger bir (xn) dizisi 0’a Cesàro yak¬nsak ise lim
n n= 0 olur. Buradan
n = n1 Pn k=1
xk ) n n = Pn k=1
xk ) f(n n) = f (
Pn k=1
xk)
) nf( n) = f (x1) + f (x2) + ::: + f (xn) ) f( n) = f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn)
olup f ( n) = f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn) = n1 Pn k=1
f (xk)elde edilir.
O halde lim
n f ( n) = lim
n 1 n
Pn k=1
f (xk) = 0 bulunur.
O halde n ! 0 oldu¼gunda f ( n) ! f(0) = 0 elde edilmi¸stir. Dolay¬s¬yla f fonksiyonu = 0 noktas¬nda süreklidir. Toplamsall¬ktan ve 0’da sürekli oldu¼gundan f fonksiyonu R üzerinde süreklidir. R üzerinde sürekli ve toplamsall¬k özelli¼gine sahip yegane fonksiyonlar f (x) = Ax formundad¬r.
Bu da ispat¬tamamlar (Buck 1948).
4.
A-SÜREKL·IL·IKBu bölümde ilk olarak A-süreklilik kavram¬verilecektir. Daha sonra toplanabilme ve süreklilik aras¬ndaki ili¸ski incelenecek olup süreklilik ile A-süreklili¼gin hangi ko¸sullar alt¬nda denk oldu¼gu gösterilecektir. Daha önce Robbins (1946) taraf¬ndan ortaya at¬lan ve Buck (1948) taraf¬ndan çözülen problemi Cesàro matris yerine ba¸ska bir regüler matris alarak genellemenin mümkün olup olmad¬¼g¬ara¸st¬r¬lacakt¬r.
4.1 Bir Fonksiyonun Süreklili¼gi ·Için E¸sde¼ger Bir Önerme
K reel veya kompleks say¬lar¬göstersin. f : K ! K olsun. Bu k¬s¬mda K üzerinde f fonksiyonunun süreklili¼gi için e¸s de¼ger bir önerme verilecektir.
f : K ! K bir fonksiyon olsun. E¼ger bir (xn) dizisi x 2 K de¼gerine yak¬nsak oldu¼gunda (f (xn)) dizisi de f (x) de¼gerine yak¬nsak oluyorsa f fonksiyonunun K üzerinde sürekli oldu¼gu bilinmektedir. Bunun kar¸s¬t¬da do¼grudur.
Tan¬m 4.1.1 (A0-Süreklilik) “A = (ank)regüler toplanabilme matrisi olsun. E¼ger key… bir (xn)dizisi bir x 2 K de¼gerine (K = C veya R) yak¬nsak iken (f(xn))görüntü dizisi f (x) de¼gerine A-toplanabilirse (yani lim xn = x =) A lim f (xn) = f (x)ise) f : K ! K fonksiyonu A0
-
süreklidir denir” (Srinivasan 1980).Burada gösterece¼giz ki f fonksiyonunun süreklili¼ginin bu zay¬f tan¬m¬ asl¬nda f fonksiyonunun her zamanki süreklilik kavram¬na e¸sde¼gerdir.
Kullan¬lan temel araç R.C. Buck’¬n (1943) a¸sa¼g¬daki teoremidir.
Teorem 4.1.1E¼ger verilen bir dizinin her alt dizisini toplayan regüler bir A matris toplanabilme metodu varsa bu dizi yak¬nsakt¬r (Buck 1943, Buck 1956).
¸
Simdi a¸sa¼g¬daki teoremde bu k¬s¬mdaki ana sonucumuzun ifade ve ispat¬n¬verece¼giz.
Teorem 4.1.2 f : K ! K bir fonksiyon olsun. A = (ank) regüler bir matris toplanabilme metodu olsun. A¸sa¼g¬daki ko¸sullar denktir.
i) f, K üzerinde süreklidir.
ii)f, K üzerinde A0-süreklidir (Srinivasan 1980).
Ispat. i· ) ii : f fonksiyonu K üzerinde sürekli olsun. O halde x 2 K olmak üzere (xn) ! x olacak biçimdeki her (xn)dizisi için (f (xn)) ! f(x) olsun.
O halde A lim f (xn) = f (x) oldu¼gunu gösterece¼giz.
A regüler bir dönü¸süm oldu¼gundan yak¬nsak dizileri limitini koruyarak yak¬nsak diziye dönü¸stürür.
(f (xn)) ! f(x) oldu¼gundan A lim f (xn) = f (x) olur. Dolay¬s¬yla (f (xn))dizisi f (x) de¼gerine A-toplanabilirdir. O halde f fonksiyonu K üzerinde A0-süreklidir.
ii) i : f fonksiyonu K üzerinde A0-sürekli olsun. f fonksiyonunun sürekli oldu¼gunu gösterece¼giz.
f : K ! K fonksiyonu verilsin. x de¼gerine yak¬nsayan her (xn) dizisi için (f (xn)) dizisi f (x) de¼gerine A-toplanabilir olsun. x de¼gerine yak¬nsayan (xn) dizisinin her (xnk) alt dizisi için, A0-süreklilik tan¬m¬ndan (f (xnk)) dizisi f (x) de¼gerine A-toplanabilirdir. Bu nedenle (f (xn)) dizisinin tüm (f (xnk)) alt dizileri f (x) de¼gerine A-toplanabilirdir. Teorem 4.1.1’den (f (xn))dizisinin kendisi yak¬nsakt¬r ve yak¬nsak bir dizinin limiti tek oldu¼gu için (f (xn)) dizisi f (x) de¼gerine yak¬nsakt¬r.
(xn) ! x iken (f(xn)) ! f(x) bulundu. O halde f fonksiyonu K üzerinde süreklidir.
4.2 Toplanabilmeyi Koruyan Fonksiyonlar
Bu k¬s¬mda R.C. Buck’¬n sonucunun bir neticesi olarak a¸sa¼g¬daki Lemma verilecektir.
Lemma 4.2.1 f kompleks de¼gerli bir fonksiyon ve A bir Toeplitz matrisi olsun.
E¼ger (xn) dizisi yak¬nsak oldu¼gunda (f (xn)) dizisi A-toplanabilirse f fonksiyonu süreklidir (Posner 1961).
Ispat.· (xn) dizisi yak¬nsak oldu¼gundan (xn) dizisinin her alt dizisi yak¬nsakt¬r.
Hipotezden (f (xn))dizisinin her alt dizisi A-toplanabilirdir. Teorem 4.1.1’den (f (xn)) dizisi gerçekten yak¬nsakt¬r.
fxng ! x olsun. x1; x; x2; x; ::: dizisi de ayn¬ zamanda yak¬nsakt¬r. Böylece f (x1); f (x); f (x2); f (x); ::: dizisi yak¬nsakt¬r. Bu da fxng ! x oldu¼gunda
ff(xn)g ! f(x) oldu¼gunu gösterir. Bu da f fonksiyonunun sürekli oldu¼gunu kan¬tlar.
Lemman¬n kar¸s¬t¬ Toeplitz matris tan¬m¬n¬n bir sonucudur. Bu Lemma ayn¬
zamanda reel de¼gi¸skenli ve reel de¼gerli bir fonksiyon için de do¼grudur.
4.3 Reel Fonksiyonlar¬n A-Süreklili¼gi
Bu k¬s¬mda baz¬ temel tan¬mlar hat¬rlat¬lacak olup A-sürekli fonksiyonlar¬n hangi
¸sartlar alt¬nda lineer oldu¼gu incelenecektir.
xn2 R, n = 1; 2; 3; ::: olsun. E¼ger x1+x2+xn3+:::+xn ! x0 ise xn!C x0 yaz¬l¬r. xn !C x0
ise (C; 1) lim xn= x0 ¸seklinde ifade edildi¼gi daha önce gösterilmi¸stir.
E¼ger xn !C x0 ) f(xn) !C f (x0) oluyorsa f : R ! R fonksiyonu x0noktas¬nda C-süreklidir denir. E¼ger f fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda C-sürekli ise f fonksiyonunun f (x) = Ax + B formunda oldu¼gu daha önce gösterilmi¸stir (Buck 1948).
Bu sonuçla ba¼glant¬l¬olarak f : R ! R fonksiyonunun x0noktas¬ndaki süreklili¼ginin a¸sa¼g¬da verilen 4 tipi incelenir.
1) xn! x0 ) f(xn)! f(x0) (al¬¸s¬lm¬¸s süreklilik) 2) xn!C x0 ) f(xn)!C f (x0) (C-süreklilik) 3) xn! x0 ) f(xn)!C f (x0)
4) xn!C x0 ) f(xn)! f(x0)
1: ve 2: tür süreklilik daha önce aç¬klanm¬¸st¬r. ¸Simdi 4. tür süreklilik ile ilgili a¸sa¼g¬daki teoremi verece¼giz.
Teorem 4.3.1 f : R ! R fonksiyonu verilsin.
xn !C x0 ) f(xn)! f(x0) (4.1) olacak biçimde bir x0 2 R mevcut olsun. O halde f bir sabit fonksiyondur (Antoni- Šalát 1980).
Ispat.· (4:1)’deki ifade xn !C x0 ) f(xn) !C f (x0) olmas¬n¬ gerektirir. O halde Problem 3.2.1’den f bir do¼grusal fonksiyondur, yani f (x) = Ax + B formundad¬r.
a = x0 1, b = x0+ 1 yazal¬m. Bir fxng1n=1 = (a; b; a; b; : : :) dizisini ele alal¬m. O halde xn!C x0 oldu¼gu aç¬kt¬r.
t1 = a = x0 1 t2 = a+b2 = 2x20 = x0
t3 = 2a+b3 = 3x03 1 = x0 13 t4 = 2a+2b4 = 4x40 = x0 ...
t2n 1 = x0 2n 11 t2n = x0
Buradan (tn)! x0 oldu¼gu görülür.
f fonksiyonunun x0 noktas¬ndaki Cesàro süreklili¼ginden;
Tn = f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn) T1 = f (x11) = f (a) T2 = f (a)+f (b)
2
T3 = 2f (a)+f (b) 3
T4 = 2f (a)+2f (b) 4
...
T2n = n(f (a)+f (b))
2n = 12(f (a) + f (b))!
C1
f (x0)bulunur.
Buradan f (a) + f (b) = 2f (x0) elde edilir.
(4:1)’den f (xn) n=1 = (f (a); f (b); f (a); f (b); : : :) yak¬nsakt¬r. Bu da
f (a) = f (b) (4.2)
oldu¼gunu gösterir. f lineer bir fonksiyon oldu¼gu için (4:2)’den f bir sabit fonksiyondur.
3. tür süreklilik, fonksiyonlar¬n süreklilik kavram¬n¬n genelle¸stirilmesi gibi gözükmektedir ancak gözüktü¼gü gibi de¼gildir. A¸sa¼g¬da verilen sonuç Posner (1961) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.
Sonuç 4.3.1 Aregüler bir matris ve f : R ! R bir fonksiyon olsun. fxng1n=1dizisi
yak¬nsak oldu¼gunda R üzerinde A lim f(xn) mevcut olsun. O halde f , R üzerinde sürekli bir fonksiyondur (Posner 1961).
Bu sonuçla ba¼glant¬l¬olarak Problem 3.2.1’den a¸sa¼g¬daki soru ortaya ç¬kmaktad¬r:
Bahsedilen sonucu Cesàro matris yerine ba¸ska bir regüler matris alarak genelle¸stirmek mümkün müdür? Bu soruyu daha kesin bir ¸sekilde ¸söyle formüle edebiliriz.
Tan¬m 4.3.1 “A regüler bir matris olsun. E¼ger
A lim xn = x0 ) A lim f (xn) = f (x0)
ifadesi gerçekleniyor ise f : R ! R fonksiyonu x02 R noktas¬nda A-süreklidir denir”
(Antoni-Šalát 1980).
¸
Simdi ‘f fonksiyonunun A-sürekli olmas¬ f fonksiyonunun lineer bir fonksiyon olmas¬n¬gerektirir mi?’ sorusu ortaya ç¬kmaktad¬r. Basit örnekler cevab¬n genelde hay¬r oldu¼gunu göstermektedir. E¼ger A yak¬nsakl¬¼ga denk bir matris ise her sürekli fonksiyon ayn¬zamanda A-süreklidir.
Örnek 4.3.1 Av I olsun. f : R ! R, f(x) = x2 olsun.
(xn)! x ) f(xn)! f(x) olup f süreklidir.
O halde If (xn)! If(x) olmas¬
A lim f (xn) = f (x) olmas¬n¬gerektirir.
Fakat f lineer de¼gildir.
Bir sonraki teoremde A-sürekli fonksiyonlar¬n lineerli¼gi için yeterli bir ¸sart verece¼giz.
Tan¬m 4.3.2 “A lim n = a için f ng1n=1, n = 0 veya 1 (n = 1; 2; : : :) olacak biçimde bir dizi varsa regüler bir A matrisi L(a) özelli¼gine sahiptir denir” (Antoni- Šalát 1980).
Lemma 4.3.1 A regüler bir matris ve f : R ! R bir x0 2 R noktas¬nda A-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f fonksiyonu x0 noktas¬nda süreklidir (Antoni-Šalát 1980).
Lemman¬n ispat¬ Lemma 4.2.1’in ispat¬na benzer olarak verilebilece¼ginden burada ispat¬tekrar vermeyece¼giz.
Teorem 4.3.2 A = ( mn), 6= 0; 1 olmak üzere bir say¬s¬ için L(a) özelli¼gine sahip regüler bir matris ve f : R ! R fonksiyonu R üzerinde A-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f lineer bir fonksiyondur (Antoni-Šalát 1980).
Ispat.· x, y 2 R olsun. a 6= 0, 1 için A lim n = a ve n= 0 veya 1 (n = 1; 2; : : :) olsun.
tn = ny + (1 n)x, (n = 1; 2; : : :) yazal¬m. O halde A lim tn = lim
m!1
P1 n=1
amntn
= y lim
m!1
P1 n=1
amn n+ x lim
m!1
P1 n=1
amn(1 n)
= ay + (1 a)x
(4.3)
elde edilir.
f (tn) = nf (y) + (1 n)f (x), n = 1; 2; : : : oldu¼gu görülür.
(4:3) ifadesine benzer ¸sekilde A lim f (tn) = lim
m!1
P1 n=1
amnf (tn)
= lim
m!1
P1 n=1
amnf ( ny + (1 n)x)
= f (y) lim
m!1
P1 n=1
amn n+ f (x) lim
m!1
P1 n=1
amn(1 n)
= af (y) + (1 a)f (x)
(4.4)
ifadesi elde edilir.
f fonksiyonu ay + (1 a)x noktas¬nda A-sürekli oldu¼gu için (4:3) ve (4:4)’ten key…
x, y 2 R için
f (ay + (1 a)x) = af (y) + (1 a)f (x) (4.5)
ifadesi elde edilir. Lemma 4.3.1 ve Teorem 4.3.2’deki varsay¬mlara göre f , R üzerinde sürekli bir fonksiyondur. Ayr¬ca f fonksiyonu x, y 2 R ve a 6= 0, 1 a 6= 0 olmak üzere
g((1 a)x + ay) = (1 a)g(x) + ag(y)
fonksiyonel e¸sitli¼gini gerçekler. Bunu sa¼glayan bir f fonksiyonu lineer olmak zorundad¬r.
Bu tip fonksiyonel e¸sitliklerin iyi bilinen sonuçlar¬nedeniyle f fonksiyonunun lineer fonksiyon oldu¼gunu söyleyebiliriz (Aczél 1961).
Bu da ispat¬tamamlar.
Uyar¬ 4.3.1 Cesaro matris L(12) özelli¼gine sahiptir. Çünkü 0; 1; 0; 1; ::: dizisi 12’ye (C; 1) toplanabilirdir.
a6= 0, 1 olmak üzere Cesàro matrisine e¸sde¼ger olmayan L(a) özelli¼gine sahip regüler matrisler vard¬r. Böyle bir matris a¸sa¼g¬daki A0 matrisidir:
A0 = 2 66 66 66 4
1 2
1
2 0 0 :::
0 0 12 12 0 0 :::
0 0 0 0 12 12 0 0 :::
... ... ... ... ... ... ... ...
3 77 77 77 5
A0 matrisi L(12) özelli¼gine sahiptir. Çünkü
(Ax)1 = x1+x2 2, (Ax)2 = x3+x2 4, (Ax)3 = x5+x2 6, (Ax)4 = x7+x2 8, (Ax)n = x2n 12+x2n olup
x := (0; 1; 0; 1; : : :)) (Ax) ! 12 elde edilir.
2k = 1, 2k 1= 0 (k = 1; 2; : : :) alal¬m. O halde A lim n = 12 elde ederiz.
E¼ger "4k = 1 (k = 1; 2; : : :) ve "4k+r = 0 (r = 1; 2; 3 ve k = 1; 2; : : :) al¬rsak A0-toplanabilir olmayan 14’e (C; 1)-toplanan dizi elde ederiz.
E¼ger f : R ! R fonksiyonu bir x0 2 R noktas¬nda C-sürekli ise f fonksiyonunun lineer bir fonksiyon oldu¼gundan daha önce bahsetmi¸stik (Buck 1948). Bu iddiay¬Teorem 4.3.2 ile kar¸s¬la¸st¬r¬rsak f fonksiyonunun R üzerindeki her noktada A-süreklili¼gi varsay¬m¬ yerine bir x0 2 R noktas¬ndaki A-süreklili¼gi varsay¬m¬n¬n al¬n¬p al¬namayaca¼g¬ sorusu ortaya ç¬kar. A¸sa¼g¬daki örnek bu soruya negatif bir cevap verir.
Örnek 4.3.2 A = 2 66 66 66 4
1 2
1
2 0 0 0 :::
0 12 12 0 0 :::
0 0 12 12 0 :::
... ... ... ... ... 3 77 77 77 5
matrisinin regüler oldu¼gu aç¬kt¬r.
Gerçekten 2 66 66 66 4
1 2
1
2 0 0 0 :::
0 12 12 0 0 :::
0 0 12 12 0 :::
... ... ... ... ... 3 77 77 77 5
2 66 66 66 4
x1 x2 x3 ...
3 77 77 77 5
) (Ax)n= xn+x2n+1 olup
xn! L ) (Ax)n= L+L2 ! L, (n ! 1) gerçeklenir.
x 1 için f (x) = 1
1 < x < 1 için f (x) = x x 1 için f (x) = 1
yazal¬m. O halde f sürekli fakat lineer olmayan bir fonksiyondur (Antoni-Šalát 1980).
f fonksiyonunun x = 0 noktas¬nda A-sürekli, ancak x 6= 0 için R üzerinde hiçbir noktada A-sürekli olmad¬¼g¬n¬gösterebiliriz.
A lim xn = 0 olsun. O halde A lim f (xn) = 0 (= f (0)) oldu¼gunu gösterelim.
K¬saca yn= 12(xn+ xn+1), tn = 12(f (xn) + f (xn+1)), n = 1; 2; ::: yazal¬m.
yn ! 0, (n ! 1) için her n n0 için bir n0 vard¬r öyle ki
jxn+ xn+1j < 1 (4.6)
elde ederiz.
n n0 için a¸sa¼g¬daki 4 durum vard¬r.
a)jxnj 1, jxn+1j 1 b) jxnj 1, jxn+1j < 1 c)jxnj < 1, jxn+1j 1 d) jxnj < 1, jxn+1j < 1
Bu durumlara göre (tn) dizisinin yak¬nsakl¬¼g¬na bakal¬m.
a) (4:6)’ya göre xn 1, xn+1 1 veya xn 1, xn+1 1 elde ederiz. Her durumda (tn) = 0 buluruz (n ! 1).
b) xn 1, jxn+1j < 1 olsun. (4:6)’ya göre 1 < xn+1 < 0 buluruz ve böylece tn = 12(1 + xn+1) elde ederiz. Bu nedenle
jtn ynj = 1
2j1 xnj 1
2jxn+ xn+1j = jynj
elde edilir. Benzer bir yolla e¼ger xn 1(ve jxn+1j < 1) ise o zaman jtn ynj jynj buluruz. Gerçekten
tn = 1
2( 1 + xn+1)) jtn ynj = 1
2j 1 xnj 1
2jxn+ xn+1j = yn elde edilir.
c) xn+1 1 olsun. (4:6)’ya göre 0 < xn < 1 olup tn = 12(xn 1) elde edilir. Bu nedenle
jtn ynj = 1
2j1 + xn+1j jynj
gerçeklenir. Benzer bir yolla e¼ger xn+1 1 (ve jxn< 1j) ise jtn ynj jynj elde edilir.
d) tn= yn bulunur. (tn= 12(xn+ xn+1))
Bu nedenle her durumda n n0 için tn= 0 veya jtn ynj jynj elde edilir. yn ! 0 (n ! 1) oldu¼gu için tn! 0 (n ! 1) bulunur.
f fonksiyonunun R üzerinde x 6= 0 için hiçbir noktada A-sürekli olmad¬¼g¬n¬
gösterelim. x 6= 0 olmak üzere x 2 R alal¬m. (k 2)jxj > 1 olacak biçimde bir k pozitif tam say¬s¬seçelim. x2n 1 = kx, x2n = (k 2)x, n = 1; 2; : : : yazal¬m.
O halde aç¬kça A lim xn= x ve ayn¬zamanda tn = 0, n = 1; 2; : : : elde edilir. Bu nedenle A lim f (xn) = 0 6= f(x) bulunur. Gerçekten
(Ax)1 = x1+x2 2, (Ax)2 = x2+x2 3, : : :, (Ax)n= xn+x2n+1 x2n 1 = kx, x2n = (k 2)x olup
(xn) = (kx; (k 2)x; kx; (k 2)x; : : :) yaz¬l¬r ve (Ax)n = (x; x; x; : : :) ! x elde edilir.
Böylece A lim xn= x6= 0 bulunur.
(A(f (xn)))n = tn = 12(f (xn) + f (xn+1)) = 0, (n = 1; 2; : : :) olup f , x 6= 0 için A-sürekli de¼gildir.
Tan¬m 4.3.3 “a 2 (0; 1), b 6= 0, b 6= 1, s¬f¬r olmayan tüm p, q tamsay¬lar¬ için
a 1 a
p 6= 1 bb
q olmak üzere s¬ras¬yla a, b say¬lar¬na A-yak¬nsak olan 0 ve 1’lerin f ng1n=1, f ng1n=1 dizileri mevcutsa A regüler matris toplanabilme metodu (G) özelli¼gine sahiptir denir” (Antoni 1986).
Lemma 4.3.2 a 6= 0, a 6= 1 olmak üzere T , bir a say¬s¬na 0 ve 1’lerin en az bir dizisini toplayan regüler bir matris toplanabilme metodu olsun. f , en az bir noktada T-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f sürekli bir fonksiyondur (Antoni 1986).
Ispat.· f fonksiyonu bir z0 noktas¬nda T -sürekli olsun. f fonksiyonunun bir x noktas¬nda sürekli olmad¬¼g¬n¬varsayal¬m. Böylece bir un ! 0 dizisi vard¬r öyle ki f (x + un) = y 6= f(x) (ayn¬zamanda y +1 veye 1 olsun).
f ng1n=1 dizisi T lim n = a olacak biçimde 0 ve 1’lerin bir dizisini göstersin.
tn ! 0 olmak üzere her ftng1n=1 dizisi için
xn = n(x + tn) + (1 n) z0 ax
1 a
dizisi z0’a T -toplanabilen bir dizidir. Özellikle x0n = n(x + un) + (1 n) z01 aax için
T lim f (x0n) = ay + (1 a)f z0 ax
1 a
elde edilir.
Ancak x00n = nx + (1 n) z01 aax için
T lim f (x00n) = af (x) + (1 a)f z0 ax
1 a
elde edilir.
ffonksiyonu z0noktas¬nda T -sürekli oldu¼gu için her iki limit de ayn¬(f (z0))de¼gerine sahiptir. Buradan f (x) = y oldu¼gunu ç¬karabiliriz. Ancak bu durum varsay¬mla çeli¸sir. Böylece ispat tamamlan¬r.
A¸sa¼g¬daki teoremi ispats¬z olarak verece¼giz.
Teorem 4.3.3 A, G özelli¼gine sahip regüler bir toplanabilme metodu olsun ve f fonksiyonu en az bir noktada A-sürekli olsun. O halde f lineer bir fonksiyondur (Antoni 1986).
A¸sa¼g¬daki örnekte en az bir noktada A-sürekli lineer olmayan fonksiyon için G özelli¼gi olmayan toplanabilme metodunun bir örne¼gi verilmi¸stir.
Örnek 4.3.3 b2k+1;4k+1 = b2k+1;4k+4 = 12, b2k;4k+3 = b2k;4k+4 = 12, k = 0; 1; 2; : : : ve bmn = 0 olmak üzere B = (bmn) matrisi verilsin. Bu matrisin regüler bir toplanabilme matrisi oldu¼gu aç¬kt¬r.
t2k+1 = 12(x4k+1+ x4k+4) ve t2k = 12(x4k+3+ x4k+4), k = 0; 1; 2; : : : olmak üzere bir fxng1n=1 dizisi B matrisi taraf¬ndan ftng1n=1 dizisine dönü¸stürülür. Her bir 0 ve 1’lerin B-toplanabilir bir fzng1n=1 dizisi 0;12; 1 kümesinin bir eleman¬na B-limitlenebilirdir. 4k + 2 formundaki yerlerdeki terimler B-limit üzerinde hiçbir etkiye sahip olmad¬¼g¬ için B-limit de¼gerleri 12’ye e¸sit olan 0 ve 1’lerin sonsuz çok- lukta dizileri vard¬r. Ama her iki p, q tamsay¬lar¬için 1p = 1q e¸sitli¼gi geçerlidir. Bu düzgün sürekli ve f (0) = 0 olan lineer olmayan key… bir f tek fonksiyonu olmak için yeterlidir. Böyle bir fonksiyon x = 0 noktas¬nda süreklidir fakat lineer bir fonksiyon de¼gildir (Antoni 1986).
A¸sa¼g¬da verilenler Tan¬m 4.3.1’in basit sonuçlar¬d¬r.
Uyar¬4.3.2 Bir A Toeplitz metodu verilsin. Tüm A-sürekli fonksiyonlar¬n kümesi tüm lineer fonksiyonlar¬içerir.
Uyar¬4.3.3E¼ger f birim metod anlam¬nda sürekli (yani I-sürekli) ise f fonksiyonu süreklidir.
Dahas¬Toeplitz metodlar¬n¬n geni¸s bir s¬n¬f¬için A-süreklilik süreklili¼gi gerektirir.
¸
Simdi burada Iwi´nski’nin A-süreklili¼ge ili¸skin iki sonucunu verece¼giz.
Teorem 4.3.4 A regüler bir Toeplitz metodu olsun. E¼ger f fonksiyonu A-sürekli ise o halde f fonksiyonu al¬¸s¬lm¬¸s anlamda süreklidir (Iwi´nski 1972).
Ispat.· Aksini varsayal¬m. f fonksiyonu bir x0 noktas¬nda sürekli olmas¬n. ·Ilk olarak (x0)noktas¬na yak¬nsak (xn)ve (yn)dizileri mevcut olsun öyle ki f (xn)! a ve f (yn) ! b, a 6= b olsun. Uyar¬4.3.2’den genelli¼gi kaybetmeden a = 0 ve b = 1 varsayabiliriz.
Do¼gal say¬lar¬n (nk)ve (nk0)alt dizileri fnk: k 2 N0g [ nk0 : k0 2 N0 = N0 olacak biçimde seçilsin. Bir regüler A Toeplitz metodu için A-toplanabilir olmayan bir ("n) dizisi vard¬r öyle ki
"n=f 0, n = nk için 1, n = nk0 için
, k = 0; 1; :::
olur (Mazur-Orlicz 1954).
¸
Simdi (tn) dizisi a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n.
tn =f xk, n = nk için yk, n = nk0 için
, k = 0; 1; :::
(tn) dizisi yak¬nsak oldu¼gu için (limiti x0) ayn¬zamanda A-toplanabilirdir.
(f (tn)) dizisi cn ! 0 için f(tn) = "n+ cn formunda yaz¬labilir. Bu nedenle (f (tn)) dizisi A-toplanabilir de¼gildir. Bu da hipotezle çeli¸skilidir.
Ispat¬ tamamlamak için ¸· simdi bir (xn) dizisi varsayal¬m öyle ki xn ! x0 ve f (xn) ! 1 olsun. A metodu regüler oldu¼gundan (f (tn)) dizisi A-toplanabilir olmayacak ¸sekilde (sonsuza A-toplanabilir)
x0; :::; x0; x1; :::; x1; :::; xk; :::; xk; :::
formunda yak¬nsak olan bir (tn) dizisini bulmak kolayd¬r. Bu nedenle f , x0
noktas¬nda sürekli olmal¬d¬r.
Teorem 4.3.5 E¼ger bir f fonksiyonu her regüler Toeplitz metodu için A-sürekli ise o halde f lineer bir fonksiyondur (Iwi´nski 1972).
Ispat.· A¸sa¼g¬da yer alan örnek teoremi gerektirir.
Örnek 4.3.4 Öyle bir regüler bir A Toeplitz metodu vard¬r ki sadece A-sürekli fonksiyonlar lineer fonksiyonlard¬r. A a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n.
A3k((tn)) = rt3k = rt3k+1+ t3k+2
A3k+1((tn)) = A3k+2((tn)) = t3k+1 , k = 0; 1; :::; 0 6= r 6= 1
E¼ger (tn) dizisi k = 0; 1; : : : için t3k = sk, t3k+1 = bk, t3k+2 = (1 r)bk+ rsk + dk formunda yaz¬labilirse A-toplanabilir oldu¼gunu do¼grulamak kolayd¬r.
(sk) key… bir dizi, (bk) yak¬nsak bir dizi ve (dk) 0’a yak¬nsak bir dizi olsun. f fonksiyonu A-sürekli oldu¼gundan her (sk), (bk), (dk) dizisi için bir (dk0) ! 0 dizisi bulabiliriz öyle ki
f ((1 r)bk+ rsk+ dk) = (1 r)f (bk) + rf (sk) + dk0
ifadesi gerçeklenir.
Özellikle bk = b ve dk = 0 (k = 0; 1; :::) olsun ve (sk) dizisi R üzerinde yo¼gun olsun.
Her reel s için (nk) indislerinin bir dizisini bulabiliriz öyle ki snk ! s gerçeklenir.
Teorem 4.3.4’den f fonksiyonunun sürekli oldu¼gu ve dn0
k ! 0 oldu¼gu bilindi¼ginden f ((1 r)b + rs) = (1 r)f (b) + rf (s)
elde edilir. Genelli¼gi kaybetmeden f (0) = 0 alabiliriz. Basit tümevar¬mlar sonuçland¬r¬yor ki key… reel x, y’ler için f (x + y) = f (x) + f (y) özde¸sli¼gi geçerlidir. f fonksiyonu sürekli oldu¼gu için lineer olmal¬d¬r (Iwi´nski 1972).
5.
REEL FONKS·IYONLARIN HEMEN HEMEN SÜREKL·IL·I ¼G·IBu bölümde ilk olarak reel fonksiyonlarda süreklilik için baz¬ yeni kavramlar verilecektir. Daha sonra bu süreklilik kavramlar¬aras¬ndaki ili¸skiler incelenecektir.
5.1 Temel Bilgiler
Bu k¬s¬mda hemen hemen süreklilik ve hemen hemen A-süreklilik kavramlar¬
verilecektir.
Tan¬m 5.1.1 “A = (ank) reel terimli sonsuz bir matris olsun. E¼ger A regüler ve limn
X1 k=1
jank an;k+1j = 0
gerçekleniyorsa A kuvvetli regülerdir denir” (Lorentz 1948).
Bu bölüm boyunca R reel say¬lar ve N pozitif tamsay¬lar kümesini gösterecektir.
Tan¬m 5.1.2 (Hemen Hemen Yak¬nsakl¬k) “m reel terimli tüm s¬n¬rl¬dizilerin lineer uzay¬n¬göstersin. E¼ger bir x dizisinin her bir L Banach limiti için L(x) = s ise x2 m dizisi hemen hemen yak{nsakt{r denir ve s de¼geri x dizisinin genelle¸stirilmi¸s limitidir denir” (Lorentz 1948).
Hemen hemen yak¬nsak dizilerin F s¬n¬f¬,
"Bir x = (xk) dizisinin hemen hemen yak¬nsak olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart limp
xn+xn+1+:::+xn+p 1
p = s (n’e göre düzgün) olmas¬d¬r."
ifadesini ispatlayan Lorentz taraf¬ndan karakterize edilmi¸stir (Lorentz 1948).
K¬saca F lim x = s veya Limx = s yaz¬labilir.
1 p
n+p 1P
J =n
xj dizisini Lx ile gösterelim.
E¼ger A metodu bütün hemen hemen yak¬nsak dizileri toplarsa o halde A kuvvetli regülerdir denir (Lorentz 1948). Yak¬nsak bir dizi hemen hemen yak¬nsakt¬r ve dizinin limiti ile genelle¸stirilmi¸s limiti e¸sittir.
R reel say¬lar kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrikle bir metrik uzay oldu¼gu için dizisel süreklilik ve süreklilik kavramlar¬R üzerinde denktir.
¸
Simdi baz¬yeni kavramlar¬verece¼giz.
Tan¬m 5.1.3 (Hemen Hemen Süreklilik)“x = (xn) reel terimli bir dizi olsun.
E¼ger F lim x = x0 ) F lim(f (x)) = f (x0) ise f : R ! R fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda hemen hemen süreklidir denir” (Öztürk 1983).
Tan¬m 5.1.4 (A-Hemen Hemen Süreklilik) “A = (ank) reel say¬lar¬n regüler bir matrisi ve x = (xn) reel terimli bir dizi olsun.
E¼ger A lim(Lx) = x0 ) A lim(Lf(x)) = f(x0)ise f : R ! R fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda A-hemen hemen süreklidir denir” (Öztürk 1983).
Tan¬m 5.1.5 “A = (ank) reel terimli regüler bir matris ve x = (xn)reel terimli bir dizi olsun.
E¼ger F lim(Ax) = x0 ) F lim(A(f (x))) = f (x0) ise f : R ! R fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda A-hemen hemen süreklidir denir”(Öztürk 1983).
5.2 Süreklilik Kavramlar¬Aras¬ndaki ·Ili¸skiler
Bu k¬s¬mda hemen hemen süreklilik ve A-hemen hemen süreklilik aras¬ndaki ili¸ski ifade edilecektir.
Teorem 5.2.1 E¼ger bir f : R ! R fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda A-hemen hemen sürekli ise o halde f fonksiyonu ayn¬noktada hemen hemen süreklidir (Öztürk 1983).
Ispat.· x = (xn) dizisi R üzerinde bir dizi olsun öyle ki Lx dizisi x0 noktas¬na yak¬nsak olsun. f fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda A-hemen hemen sürekli oldu¼gu için A lim(Lx) = x0 iken A lim(Lf (x)) = f (x0)
gerçeklenir ve böylece
Limx = x0 ise A lim(Lx) = x0 olup bu da A lim(Lf (x)) = f (x0) olmas¬n¬gerektirir.
Yani x0 noktas¬na yak¬nsak her Lx dizisi için A lim(Lf (x)) = f (x0) elde edilir.
Di¼ger taraftan Lx dizisi x0 noktas¬na yak¬nsad¬¼g¬için Lx dizisinin her alt dizisi de x0 noktas¬na yak¬nsar. Böylece Lf (x) dizisinin her bir alt dizisine Lx dizisinin x0
noktas¬na yak¬nsak olan bir alt dizisi kar¸s¬l¬k gelir. Böylece A, Lf (x) dizisinin her alt dizisini toplar. Teorem 4.1.1’den Lf (x) dizisi yak¬nsak olmak zorundad¬r.
Aregüler ve A lim(Lf (x)) = f (x0)oldu¼gu için Lf (x) dizisi f (x0)de¼gerine yak¬nsak olmal¬d¬r. Yani f fonksiyonu hemen hemen süreklidir.
Teorem 5.2.2 f : R ! R fonksiyonu bir x0 2 R noktas¬nda hemen hemen sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f fonksiyonunun x0noktas¬nda sürekli olmas¬için gerek ve yeter ¸sart x0 noktas¬na yak¬nsayan her bir x = (xn) dizisi için
f (xn+1) f (xn)! 0 (n ! 1) (5.1)
gerçeklenmesidir (Öztürk 1983).
Ispat.· Gereklilik: f fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda sürekli olsun. O halde, xn! x0 (n ! 1) oldu¼gunda f (xn)! f(x0) (n ! 1) gerçeklenir. Bu nedenle her
" > 0için bir n0(") vard¬r öyle ki her n > n0(")için
jf(xn) f (x0)j < "
2 gerçeklenir. Bu nedenle her n > n0(") için
jf(xn+1) f (xn)j jf(xn+1) f (x0)j + jf(xn) f (x0)j < "
elde edilir.
Yeterlilik: x = (xn) dizisi x0 noktas¬na yak¬nsak olsun ve f , x0 2 R noktas¬nda hemen hemen sürekli bir fonksiyon olsun. O halde her " > 0 için yeteri kadar büyük bir p say¬s¬seçebiliriz öyle ki tüm n 2 N’ler için
1
p(f (xn) + f (xn+1) + ::: + f (xn+p 1)) f (x0) < "
2 (5.2)
gerçeklenir.
"1 = p 1" , (p > 1) alal¬m. (5:1)’den "1 > 0 için yeteri kadar büyük bir n0 seçelim öyle ki tüm n > n0 için jf(xn) f (xn+1)j < "1 olur. Bu nedenle n > n0 için
jf(xn) f (xn+p 1)j (p 1)"1 (5.3)
gerçeklenir.
maks(n0; p) = M olsun. (5:2) ve (5:3)’den n > M için
jf(xn) f (x0)j f (xn) f (xn)+:::+f (xp n+p 1) + f (xn)+:::+f (xp n+p 1) f (x0)
1
p pf (xn)
n+p 1P
j=n
f (xj) + 2"
1 p
n+p 1P
j=n jf(xn) f (xj)j +2"
1
p(1 + 2 + : : : + (p 1))"1+"2 = "
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
5.3 Reel Fonksiyonlar¬n F-Süreklili¼gi
Bu k¬s¬mda süreklilik ve F -süreklilik aras¬ndaki ili¸ski incelenecektir.
Reel fonksiyonlar¬n F -süreklili¼gi kavram¬ reel say¬ dizilerinin hemen hemen yak¬n- sakl¬¼g¬kavram¬na dayanmaktad¬r. Bir fonksiyonun bir noktadaki F -süreklili¼ginden bu fonksiyonun lineerli¼gi elde edilir. Bu durum Öztürk’ün (1983) bir sonucunu güçlendirmektedir.
Öztürk (1983) reel fonksiyonlar¬n hemen hemen süreklilik kavram¬n¬vermi¸stir. Bu kavram Lorentz (1948), Petersen (1966) ve Petersen-Zame (1969) taraf¬ndan ele al¬nan F -yak¬nsakl¬k kavram¬na dayanmaktad¬r. Hemen hemen süreklilik terimi reel fonksiyonlar teorisinde farkl¬bir anlama sahip oldu¼gu için bu k¬s¬mda Öztürk’ün (1983) makalesinden hemen hemen süreklilik yerine F -süreklilik kavram¬n¬
kullanaca¼g¬z.
E¼ger reel say¬lar¬n bir (xn)1n=1 dizisi al¬¸s¬lm¬¸s anlamda yak¬nsak bir dizi ise o halde bu dizi ayn¬zamanda hemen hemen yak¬nsakt¬r ve F lim xn= lim
n xn sa¼glan¬r.
Hemen hemen yak¬nsak her dizinin s¬n¬rl¬oldu¼gu bilinmektedir (Lorentz 1948).
Yukar¬da verdi¼gimiz Tan¬m 5.1.3’ü bir defa daha tekrarlayaca¼g¬z.
Tan¬m 5.3.1 “E¼ger F lim xn = x0 olacak biçimdeki her (xn) dizisi için F lim f (xn) = f (x0) gerçekleniyor ise f : R ! R fonksiyonu bir x0 2 R noktas¬nda F -süreklidir denir. E¼ger f fonksiyonu her bir x 2 R noktas¬nda F-sürekli ise f fonksiyonu R üzerinde F -süreklidir denir”(Borsík-Šalát 1993).
Daha önce f fonksiyonu bir x0 2 R noktas¬nda C-sürekli ise o halde f fonksiyonunun lineer oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬(Buck 1948). ¸Simdi amaç fonksiyonlar¬n F -süreklili¼gi için benzer sonucu ispatlamakt¬r.
Teorem 5.2.2’yi bir noktada F -sürekli olan her bir f : R ! R fonksiyonunun R üzerinde lineer oldu¼gunu, yani a ve b sabitleri için f (x) = ax + b formunda oldu¼gunu göstererek kuvvetlendirece¼giz.
Bu yüzden a¸sa¼g¬daki teoremin ifade ve ispat¬n¬ verece¼giz. Teoremin ispat¬nda Robbins (1946) taraf¬ndan ortaya at¬lan problemin Buck (1948) taraf¬ndan verilen çözümündeki baz¬dü¸sünceleri ve a¸sa¼g¬daki Lemma’y¬kullanaca¼g¬z.
A¸sa¼g¬daki sonuç Teorem 5.2.2’nin sonucunu ha…‡etmektedir.
Lemma 5.3.1 E¼ger f : R ! R fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda F -sürekli ise o halde f fonksiyonu x0 noktas¬nda süreklidir (Borsík-Šalát 1993).
Ispat. ·· Ilk olarak f fonksiyonunun x0 noktas¬nda s¬n¬rl¬oldu¼gunu ispatlayal¬m. Yani bir d > 0 mevcut öyle ki f , (x0 d; x0+d)aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r. Bunu ispatlamak için xn! x0 (n ! 1) iken (f(xn))1n=1 dizisinin s¬n¬rl¬oldu¼gunu göstermek yeterlidir.
xn ! x0 (n ! 1) olsun. O halde F lim xn = x0 oldu¼gundan ve Lemma’n¬n hipotezinden F lim f (xn) = f (x0) elde ederiz. Bundan dolay¬ hemen hemen yak¬nsak bir dizi olan (f (xn))1n=1 s¬n¬rl¬d¬r.
¸
Simdi f fonksiyonunun x0 noktas¬ndaki süreklili¼gini ispatlayabiliriz. Kabul edelim ki f fonksiyonu x0 noktas¬nda sürekli olmas¬n. f fonksiyonu d > 0 olmak üzere bir (x0 d; x0+ d)aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬oldu¼gu için (x0 d; x0+ d)elemanlar¬n¬n bir (yn)1y=1 dizisi vard¬r öyle ki yn ! x0 (n ! 1) gerçeklenir ve (f(yn))1n=1 dizisi bir b 6= f(x0) say¬s¬na yak¬nsakt¬r. Buradan
F lim f (yn) = b (5.4)
elde ederiz.
Di¼ger taraftan yn! x0 (n ! 1) oldu¼gundan F lim yn = x0 buluruz ve Lemman¬n hipotezinden F lim f (yn) = f (x0)6= b elde ederiz. Bu da (5:4) ile çeli¸sir. O halde f fonksiyonu x0 noktas¬nda süreklidir. Bu da ispat¬tamamlar.
