Konform Slant Submersiyonlar - T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨

Bu alt b¨ol¨umde ilk olarak konform slant submersiyonların tanımı verilecektir.

Tanım 5.1.1. (M₁, g₁, J₁) ve (M₂, g₂) sırasıyla m ve n (m > n) boyutlu hemen hemen Her-mityen manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M₁, g₁, J₁) → (M₂, g₂) bir yatay kon-form submersiyon olsun. E˘ger p ∈ M₁noktasında sıfırdan farklı X ∈ (c¸ekF_∗)_pvekt¨or¨u ic¸in c¸ekF_∗pve JX arasındaki θ(X ) ac¸ısı sabit yani, p ∈ M₁ve c¸ekF_∗p’deki X tanjant vekt¨or¨un¨un sec¸iminden ba˘gımsız ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir konform slant submersiyon denir. θ ac¸ısına da konform slant submersiyonun slant ac¸ısı denir.

Oncelikle not edelim ki c¸ekF¨ ∗distrib¨usyonu integrallenebilirdir. Bu y¨uzden, Tanım 5.1.1 den c¸ekF_∗’ın F⁻¹(q), q ∈ M₂ integral manifoldu olup M₁ manifoldunun bir slant altmanifoldudur.

As¸a˘gıda, yukarıda verilen konform slant submersiyonlar ic¸in ¨ornekler verilmektedir.

Ornek 5.1.1. Bir hemen hemen Hermityen manifoldundan bir hemen hemen Hermityen¨ manifolduna tanımlı her Hermityen submersiyon θ = {0} ve λ = 1 olan bir konform slant submersiyondur [59].

Ornek 5.1.2. Bir hemen hemen Hermityen manifoldundan bir Riemann manifolduna¨ tanımlı her konform anti-invaryant submersiyon θ =^π₂ile bir konform slant submersiyon-dur [51].

Holomorfik submersiyonlar, anti-invaryant submersiyonlar ve slant submersiyonlar

¨ozel konform submersiyon olduklarından bu d¨on¨us¸¨umlerin hepsi konform slant submer-siyon ¨ornekleridir.

Hermityen submersiyon ve konform anti-invaryant submersiyon olmayan bir kon-form slant submersiyona has konkon-form slant submersiyon denir. S¸imdi has konkon-form slant submersiyonlar ic¸in ¨ornekler verelim.

R⁴ ¨uzerinde standart ic¸ c¸arpım ile uyumlu hemen hemen kompleks yapı J_α’ yı J_α(a, b, c, d) = (cos α)(−c, −d, a, b) + (sin α)(−b, a, d, −c), 0 < α ≤ π

2 s¸eklinde tanımlayalım.

Ornek 5.1.3. R¨ ⁴ ve R² standart ic¸ c¸arpımları ile verilen ¨Oklidyen uzaylar olsun. Bu durumda

F: R⁴ −→ R²

(x₁, x₂, x₃, x₄) (e^x¹sin x₂, e^x¹cos x₂),

diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um¨u s¸eklinde tanımlansın. Burada {x₁, x₂, x₃, x₄} ile R⁴ uzayının bir koordinat sistemi g¨osterilmis¸tir. Do˘grudan is¸lemlerle

F_∗'

elde edilir. Buradan, rankF∗= boyR²= 2 bulunur. B¨oylece F bir submersiyondur. Di˘ger taraftan, elde edilir. Ayrıca R⁴ ¨uzerinde tanımlı J_α hemen hemen kompleks yapısı

J_α(a, b, c, d) = (cos α)(−c, −d, a, b) + (sin α)(−b, a, d, −c), 0 < α ≤ π 2

olsun. JV₂= (0, − cos α, sin α, 0) olmak ¨uzere cos θ = g₁(JV₂,V₁)

k JV₂kk V₁k = < (0, − cos α, sin α, 0), (0, 0, 1, 0) >

1.1 = sin α

dır. Buradan θ = arccos(sin α) olup F bir slant submersiyondur. { ^∂

∂y1, ^∂

∂y2}, R²nin stan-dart bazı olmak ¨uzere, do˘grudan hesaplamalarla

F_∗X₁= (e^x¹)² ∂

∂y₁, F_∗X₂= (e^x¹)² ∂

∂y₂

bulunur. R⁴ ve R² ¨uzerindeki standart ic¸ c¸arpımlar g₁ ve g₂ ile g¨osterilirse do˘grudan is¸lemlerle

g₂(F_∗X₁, F_∗X₁) = (e^x¹)²g₁(X₁, X₁), g₂(F_∗X₂, F_∗X₂) = (e^x¹)²g₁(X₂, X₂)

olup F d¨on¨us¸¨um¨u λ = e^x¹ olan bir konform slant submersiyondur.

Ornek 5.1.4. R¨ ⁴ ve R² standart ic¸ c¸arpımları ile verilen ¨Oklidyen uzaylar olsun. Bu durumda

F: R⁴ −→ R²

(x₁, x₂, x₃, x₄) (cosh x₁sin x3, sinh x₁cos x3),

diferensiyellebilir d¨on¨us¸¨um¨u s¸eklinde tanımlansın. Burada {x₁, x₂, x₃, x₄} ile R⁴uzayının bir koordinat sistemi g¨osterilmis¸tir. Do˘grudan is¸lemlerle

F_∗'

elde edilir. Buradan, rankF_∗= boyR²= 2 bulunur. B¨oylece F bir submersiyondur. Di˘ger taraftan,

V

^{= c¸ekF}∗= Span{V₁= ∂

∂x₂, V₂= ∂

∂x₄}

ve elde edilir. Ayrıca R⁴ ¨uzerinde tanımlı J_α hemen hemen kompleks yapısı

J_α(a, b, c, d) = (cos α)(−c, −d, a, b) + (sin α)(−b, a, d, −c), 0 < α ≤ π

dır. Buradan θ = α olup F bir slant submersiyondur. { ^∂

∂y1, ^∂

bulunur. R⁴ ve R² ¨uzerindeki standart ic¸ c¸arpımlar g₁ ve g₂ ile g¨osterilirse do˘grudan is¸lemlerle

yazılır. Burada φV ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve ωV ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) dır. Ayrıca X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in,

JX =

B

^X⁺

C

^X ^(5.1.2)

yazılır. Burada da

B

^X ^{∈ Γ(c¸ekF}∗) ve

C

^X ^{∈ Γ((c¸ekF}∗)^⊥) dır. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in (2.4.6), (2.4.7), (5.1.1) ve (5.1.2) denklemleri kullanılırsa

(∇_U^M¹ω)V =

C

^TUV− T_UφV (5.1.3) (∇_U^M¹φ)V =

B

^TUV− T_UωV (5.1.4) elde edilir. Burada

(∇_U^M¹ω)V =

H

^∇UωV − ω ˆ∇_UV ve

(∇_U^M¹φ)V = ˆ∇UφV − φ ˆ∇UV dır.

F: (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, (∇^M_U¹ω)V = 0 ise ω ya Γ(c¸ekF∗) ¨uzerinde ∇^M¹ Levi-Civita konneksiyonuna g¨ore paraleldir denir. Bu durumda

∇_U^M¹ωV = ω∇^M_U¹V dır.

Teorem 5.1.1. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform submersiyon olsun. Bu durumda F d¨on¨us¸¨um¨un¨un konform slant submersiyon olması ic¸in gerek ve yeter s¸art λ ∈ [−1, 0] olmak ¨uzere U ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in

φ²U = λU (5.1.5)

dır. E˘ger F bir konform slant submersiyon ise, λ = − cos²θ dır.

˙Ispat. F bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda U ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in cos θ =

kφUk

kJUk dur. Di˘ger taraftan (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g₁(φ²U,U ) = −g₁(φU, φU ) = − cos²θg1(JU, JU ) = − cos²θg1(U,U )

yazılır. Polarizasyondan,

g₁(φ²V,W ) + g₁(φ²W,V ) = −2 cos²θg₁(V,W ) olup buradan da

2g₁(φ²V,W ) = −2 cos²θg₁(V,W )

elde edilir. g₁, Riemann metri˘gi oldu˘gundan (5.1.5) denkleminden φ²V = λV elde edilir.

Tersine kabul edelim ki λ ∈ [−1, 0] olmak ¨uzere ∀U ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in φ²U = λU olsun. Bu durumda U ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in

cos θ = g₁(JU, φU )

k JU kk φU k = − g₁(U, JφU )

k JU kk φU k = − g₁(U, φ²U) k JU kk φU k

= − λg1(U,U ) k JU kk φU k

= −λg₁(JU, JU ) k JU kk φU k

= −λk JU k

k φU k (5.1.6)

dır. cos θ = ^kφUk_kJUk oldu˘gundan (5.1.6) denkleminden λ = − cos²θ olur. Bu durumda θ sabit ve F d¨on¨us¸¨um¨u bir konform slant submersiyondur.

Teorem 5.1.1 kullanılarak as¸a˘gıdaki lemma elde edilir.

Lemma 5.1.1. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in

g₁(φU, φV ) = cos²θg1(U,V ) (5.1.7) g₁(ωU, ωV ) = sin²θg1(U,V ) (5.1.8) dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g₁(φU,V ) = −g1(U, φV )

yazılır. Yukarıdaki denklemde V yerine φV alınır ve (5.1.5) denklemi kullanılırsa g₁(φU, φV ) = cos²θg₁(U,V )

elde edilir. Benzer s¸ekilde (2.5.1) ve (5.1.1) denklemleri kullanılırsa g₁(JU, JV ) = g₁(U,V ) = g₁(φU, φV ) + g1(ωU, ωV ) bulunur. (5.1.7) denklemi kullanılırsa

g₁(U,V ) = cos²θg₁(U,V ) + g₁(ωU, ωV ) ve

sin²θg1(U,V ) = g₁(ωU, ωV )

olur. Buradan (5.1.8) denklemi elde edilir.

(c¸ekF_∗)^⊥ de ω(c¸ekF_∗) distrib¨usyonuna ortogonal tamamlayıcı distrib¨usyonunu µ ile g¨osterelim. µ distrib¨usyonu as¸a˘gıdaki ¨ozelli˘ge sahiptir.

Onerme 5.1.1. (M¨ ₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda µ dist-rib¨usyonu J1hemen hemen kompleks yapısına g¨ore invaryanttır.

˙Ispat. W ∈ Γ(µ) ve U ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in (2.5.1) ve (5.1.1) denklemleri kullanılırsa g₁(JW, ωU ) = g1(W,U ) − g₁(JW, φU )

= −g₁(JW, φU )

= g₁(W, JφU ) elde edilir. Burada (5.1.1) denklemi kullanılırsa

g₁(JW, ωU ) = g1(W, φ²U) + g₁(W, ωφU ) olur. (5.1.5) denkleminden

g₁(JW, ωU ) = − cos²θg1(W,U ) + g₁(W, ωφU ) = 0

olup JW /∈ Γ(ω(c¸ekF∗)) dır. Di˘ger taraftan V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in (5.1.1) denklemi kullanılırsa g₁(JW,V ) = −g₁(W, JV ) = −g₁(W, φV ) − g1(W, ωV ) = 0

olup buradan da JW /∈ Γ(c¸ekF∗) dır. Bu durumda JW ∈ Γ(µ) olup µ distrib¨usyonu in-varyanttır.

Sonuc¸ 5.1.1. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Γ(c¸ekF∗) ın bir lokal ortonormal bazı {e₁, ..., e_m−n} olsun. Bu durumda {csc θωe₁, ..., csc θωe_m−n} bazıda ω(c¸ekF_∗)’ın ortonormal bazıdır.

˙Ispat. g1(csc θωe_i, csc θωe_j) = δ_{i j}, i, j ∈ {1, ...,^m−n₂ } oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir.

g₁(csc θωei, csc θωej) = csc²θg₁(ωei, ωej), olup (5.1.8) denklemi kullanılırsa

g₁(csc θωei, csc θωej) = csc²θ sin²θg₁(e_i, e_j)

= 1

sin²θ

sin²θδ_{i j}

= δi j

elde edilir. Bu durumda {csc θωe₁, ..., csc θωem−n} bazı, Γ(ω(c¸ekF∗))’ın lokal ortonormal bazıdır.

Onerme 5.1.1 den µ ve (c¸ekF¨ _∗) ⊕ ω(c¸ekF∗) distrib¨usyonları c¸ift boyutludur. Bu du-rumda (c¸ekF_∗) distrib¨usyonuda c¸ift boyutludur. S¸imdi as¸a˘gıdaki ifadeyi verelim.

Lemma 5.1.2. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann man-ifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun.

{e₁, e₂, ..., e^m−n

2 }, (c¸ekF_∗) distrib¨usyonunun ortonormal birim vekt¨or alanları ise bu durumda {e₁, sec θφe1, e₂, sec θφe2, ..., e^m−n

2 , sec θφe^m−n

2 } bazıda (c¸ekF_∗)’ın ortonormal bazıdır.

F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda {e₁, sec θφe1, e₂, sec θφe2, ..., e_n, sec θφen, csc θωe1, csc θωe2, ..., csc θωen} bazı, konform slant submersiyon ic¸in bir slant c¸atıdır.

Konform slant submersiyon, distrib¨usyonlar ve tanım manifoldunun boyutları

¨uzerine kısıtlamalar getirmektedir.

Onerme 5.1.2. (M¨ ₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁^m, g₁, J₁) −→ (M₂ⁿ, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda boy(µ) = 2n − m dir. E˘ger µ = {0} ise n = ^m₂ dir.

˙Ispat. ˙Ilk olarak boy(c¸ekF_∗) = m − n dir. Bu durumda Sonuc¸ 5.1.1 den boy((c¸ekF_∗) ⊕ ω(c¸ekF∗)) = 2(m − n) dir. M₁manifoldu m boyutlu oldu˘gu ic¸in boyT M1= boy((c¸ekF_∗) ⊕ ω(c¸ekF_∗)) ⊕ boy(µ) olup buradan boy(µ) = 2n − m elde edilir. µ = {0} ise n = ^m₂ dir.

S¸imdi, konform slant submersiyonun harmoniklik durumunu inceleyece˘giz. ˙Ilk olarak as¸a˘gıdaki lemmayı verelim.

Lemma 5.1.3. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. E˘ger ω, (c¸ekF∗) distrib¨usyonu ¨uzerinde ∇^M1, Levi-Civita konneksiyonuna g¨ore paralel ise, bu durumda U ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in

T_φUφU = − cos²θT_UU (5.1.9)

dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in, ω paralel ise (5.1.3) denkleminden

C

^TUV = T_UφV (5.1.10)

elde edilir. U ile V ’nin yerleri de˘gis¸tirilirse

C

^TVU = T_VφU (5.1.11)

olur. (5.1.10) denkleminden (5.1.11) denklemi c¸ıkarılırsa

C

^(TUV− T_VU) = T_UφV − TVφU

olup T dikey vekt¨or alanı simetrik oldu˘gundan

T_UφV = TVφU (5.1.12)

dır. (5.1.12) denkleminde V yerine φU yazılırsa T_Uφ²U= T_φUφU s¸eklindedir. (c¸ekF∗× c¸ekF_∗) ¨uzerinde ikinci temel formun izi

izc¸^ekF^∗∇F_∗ =

elde edilir. Benzer s¸ekilde

olur. F bir konform submersiyon ve p ∈ M1 ic¸in T_F(p)M₂’nin bir ortonormal bazı { ¹

elde edilir. (5.1.14) ve (5.1.15) denklemlerinden (5.1.13) denklemi elde edilir.

Teorem 5.1.2 den as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 5.1.3. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁^2(m+r), g₁, J₁) → (M₂^m+2r, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda as¸a˘gıdakilerden ikisi ¨uc¨unc¨uy¨u belirler:

(i) F d¨on¨us¸¨um¨u harmoniktir.

(ii) ω, (c¸ekF_∗) ¨uzerinde ∇^M1 konneksiyonuna g¨ore paraleldir.

(iii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

˙Ispat. Teorem 5.1.2 den

τ(F ) = −F_∗ T_e_ie_i+ sec²θT_φe_iφe_i + (2 − m − 2r)F_∗(gradlnλ)

oldu˘gundan (i) ve (ii) es¸itlikleri varsa (2 − m − 2r)F∗(grad ln λ) = 0 olup bu-radan λ, (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu ¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde di˘ger es¸itliklerde g¨osterilebilir.

Ayrıca, Teorem 5.1.2 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Sonuc¸ 5.1.2. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁^2(m+r), g₁, J₁) → (M^m+2r₂ , g₂) bir konform slant submersiyon olsun. F d¨on¨us¸¨um¨un¨un harmonik olması ic¸in gerek ve yeter s¸art ω’nın (c¸ekF_∗) distrib¨usyonu ¨uzerinde ∇^M1 kon-neksiyonuna g¨ore paralel olmasıdır.

S¸imdi (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun integrallenebilirli˘gini, c¸ekF_∗ ve (c¸ekF_∗)^⊥ dist-rib¨usyonlarının liflerinin geometrisini inceleyece˘giz.

Teorem 5.1.4. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler denktir:

i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

ii) As¸a˘gıdaki ba˘gıntı sa˘glanır;

^X^{(ln λ)Y}

− 2g₁(

C

^X,Y ) ln λ, ωV ) dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M₁bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1), (5.1.1) ve (5.1.2) denklemleri kullanılırsa

g₁([X ,Y ],V ) = −g₁(∇^M1_X Y, φ²V) − g₁(∇^M1_X Y, ωφV ) + g1(∇^M1_X

B

Y, ωV ) + g1(∇^M1_X

C

^{Y, ωV )}

+ g₁(∇_Y^M1X, φ²V) + g₁(∇_Y^M1X, ωφV ) − g1(∇_Y^M1

B

X, ωV ) − g1(∇_Y^M1

C

C

^Y^{), F}∗ωV ) + 1

λ²g₂(F_∗(∇_Y^M1X), F_∗ωφV )

− g₁(A_Y

B

^X^{, ωV ) −} ¹

λ²

g₂(F_∗(∇_Y^M1

C

^{X), F}∗ωV )

= cos²θg₁([X ,Y ],V )+g₁(A_X

B

^Y^{− A}Y

B

^X^{, ωV )−} ¹

λ²g₂(−(∇F∗)(X ,Y ) + ∇^F_XF_∗Y, F_∗ωφV ) + 1

λ²g₂(−(∇F∗)(X ,

C

^Y^{) + ∇}^FXF_∗

C

^{Y, F}∗ωV ) + 1

λ²g₂(−(∇F∗)(Y, X ) + ∇^F_YF_∗X, F_∗ωφV )

^X^{, ωV )}

+ 1 λ²

g₂((∇F∗)(X ,Y ), F_∗ωφV ) − 1 λ²

C

^X)g1(gradlnλ, ωV ) − 1

λ²g₂(∇_Y^FF_∗

C

^X^{, F}∗ωV ) elde edilir. (∇F_∗) simetrik oldu˘gundan

sin²θg₁([X ,Y ],V ) = g₁(A_X

B

^Y^{− A}Y

B

^X⁻

C

^Y^{(ln λ)X +}

C

^X^{(ln λ)Y}

− 2g₁(

C

X,Y ) ln λ, ωV ) + 1

λ²{g₂(∇_Y^FF_∗X− ∇^F_XF_∗Y, F_∗ωφV )

C

X,Y ) ln λ, ωV )

dır.

Teorem 5.1.4 den as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 5.1.5. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadelerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

ii) F d¨on¨us¸¨um¨u yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

iii) ¹

λ²{g₂(∇_Y^FF_∗

C

C

^Y^{(ln λ)X +}

C

^X^{(ln λ)Y}

− 2g₁(

C

^Y^{, ωV )}

olur. (2.4.8) ve (2.4.9) denklemleri kullanılırsa

g₁(∇^M1_X Y,V ) = −g₁(∇^M1_X Y, φ²V) − g₁(A_XY+

H

^∇^M1X Y, ωφV )

+ g₁(A_X

B

^Y⁺

V

^∇^M1X

B

B

^{Y, ωV ) −} ¹

λ²g₂{−X(lnλ)F∗Y

−Y (lnλ)F∗X+ g₁(X ,Y )F_∗(gradlnλ) + ∇^F_XF_∗Y, F_∗ωφV } + 1

^Y^{, ωV )}

− g₁(gradlnλ,

C

^Y^)g1(X , ωV ) + g1(X ,

C

^Y^)g1(gradlnλ, ωV ) + 1

λ²g₂(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F}∗ωV ) olur. Buradan

sin²θg₁(∇^M1_X Y,V ) = g₁(A_X

B

Y, ωV ) + g₁(gradlnλ, X )g₁(Y, ωφV )

+ g₁(gradlnλ,Y )g₁(X , ωφV ) − g₁(X ,Y )g₁(gradlnλ, ωφV )

− g₁(X ,Y )g₁(gradlnλ, ωφV )

− g₁(gradlnλ,

C

^Y^)g¹^{(X , ωV )}

+ g₁(X ,

C

^Y^)g¹(gradlnλ, ωV )

olmasıdır. Buradan ispat tamamlanır.

Benzer s¸ekilde as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 5.1.7. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve Z ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in c¸ekF_∗distrib¨usyonunun M1manifoldu ¨uzerinde tama-men jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²{g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) − g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F_∗JCZ)} = g₁(A_ωVφU

+ g₁(ωU, ωV )grad ln λ, JCZ) + g₁(T_U

B

^{Z, ωV )}

olmasıdır.

g₁(∇_U^M1V, Z) = −g₁(∇_U^M1φ²V, Z) − g₁(

H

^∇^M1U ωφV, Z) + g₁(T_UωV,

B

^Z)

− g₁(A_ωVφU, J

C

^{Z) − g}1(

H

^∇^M1ωVωU, J

C

^Z)

dır. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (5.1.5) ve (2.1.6) denklemleri kullanılırsa g₁(∇^M1_U V, Z) = cos²θg₁(∇^M1_U V, Z) − 1

λ²

g₂(F_∗(∇_U^M1ωφV ), F_∗Z) + g₁(T_UωV,

B

^Z)

− g₁(A_ωVφU, J

C

^{Z) −} ¹

λ²g₂(F_∗(∇^M1_ωVωU ), F_∗J

C

= cos²θg₁(∇UV, Z) + g₁(T_UωV,

B

^{Z) − g}1(A_ωVφU, J

C

^Z)

+ 1

λ²g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) + g₁(grad ln λ, ωV )g1(ωU, J

C

^Z)

λ²g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z)

− g₁(ωV, ωU )g1(gradlnλ, J

C

^{Z) −} ¹

λ²g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F∗J

C

^Z)

dır. Buradan

sin²θg1(∇_U^M1V, Z) = g₁(T_UωV,

B

^{Z) − g}1(A_ωVφU, J

C

^Z)

− g₁(ωV, ωU )g1(

H

^{gradlnλ, J}

C

^Z)

+ 1

λ²{g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) − g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F∗J

C

^Z)}

elde edilir. (c¸ekF_∗) distrib¨usyonunun M₁manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon

tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art 1

λ²{g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) − g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F_∗JCZ)} = g₁(A_ωVφU

+ g₁(ωU, ωV )grad ln λ, JCZ) + g₁(T_U

B

^{Z, ωV )}

dır.

Teorem 5.1.7 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Teorem 5.1.8. (M₁, g₁, J₁) bir Kaehler manifold, (M₂, g₂) bir Riemann manifold ve F : (M₁, g₁, J₁) −→ (M₂, g₂) bir konform slant submersiyon olsun. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve Z ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadelerden ikisi ¨uc¸¨unc¨uy¨u belirler:

i) c¸ekF_∗distrib¨usyonu M1manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

ii) λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir.

iii) As¸a˘gıdaki ba˘gıntı sa˘glanır;

λ²{g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z)−g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F∗JCZ)}=g₁(A_ωVφU, JCZ)+g1(T_U

B

^{Z, ωV )}

dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve Z ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, Teorem 5.1.7 den

sin²θg₁(∇_U^M1V, Z) = g₁(T_UωV,

B

C

^Z)

− g₁(T_UωV,

B

^Z), ^(5.1.17)

λ²{g₂((∇F∗)(U, ω

B

^X^{), F}∗Y) − g₂((∇F∗)(U,

C

^X^{), F}∗CY)} = g₁(T_Uφ

B

^X^{,Y )}

− g₁(T_U

C

^X,

B

^Y⁾ ^(5.1.18)

F d¨on¨us¸¨um¨un¨un bir yatay homotetik d¨on¨us¸¨um olmasıdır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve Z ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, M₁bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1), (5.1.1) ve (5.1.2) denklemleri kullanılırsa

λ²g₂((∇F∗)(U,V ), F_∗Z) = g₁(∇^M1_U φ²V, Z) + g₁(∇^M1_U ωφV, Z)

− g₁(∇^M1_U ωV,

B

^{Z) + g}1(∇^M1_ωVφU, J

C

^{Z) + g}1(∇^M1_ωVωU, J

C

B

^{Z) + g}1(A_ωVφU, J

C

^Z)

− 1 λ²

g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) + 1 λ²

g₂{−ωV (ln λ)F∗ωU

−ωU(ln λ)F∗ωV+g1(ωV, ωU )F∗(gradlnλ)+∇^F_ωVF_∗ωU, F∗J

C

^Z}

= − cos²θg1(∇^M1_UV, Z) − g₁(T_UωV,

B

^{Z) + g}1(A_ωVφU, J

C

^Z)

− 1

λ²g₂((∇F∗)(U, ωφV ), F∗Z) − g₁(grad ln λ, ωV )g1(ωU, J

C

^Z)

C

^Z)

bulunur. Buradan sin²θ 1

λ²g₂((∇F∗)(U,V ), F_∗Z) = g₁(A_ωVφU, J

C

^{Z) + g}¹^{(ωV, ωU )g}¹(gradlnλ, J

C

^Z)

− g₁(T_UωV,

B

^{Z) +} ¹

λ²{g₂(∇^F_ωVF_∗ωU, F∗J

C

^Z)

− g₂((∇F_∗)(U, ωφV ), F_∗Z)}

dır. B¨oylece (∇F_∗)(U,V ) = 0 olması ic¸in gerek ve yeter s¸art (5.1.17) denkleminin sa˘glanmasıdır.

Benzer s¸ekilde ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve U ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M₁bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) ve (5.1.2) denklemleri kullanılırsa

1 λ²

g₂((∇F∗)(U, X ), F_∗Y) = g₁(∇^M1_U φ

B

^X^{,Y ) + g}1(∇^M1_U ω

B

^{X,Y )}

H

^∇^M1U

C

^X^,

C

^Y⁾

bulunur. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) denklemi kullanılırsa 1

λ²g₂((∇F∗)(U, X ), F_∗Y) = g₁(T_Uφ

B

^{X,Y ) +} ¹

λ²g₂(F_∗(∇^M1_U ω

B

^X^{), F}∗Y)

C

^X^{, F}∗

C

^Y⁾

= g₁(T_Uφ

B

^{X,Y ) − g}1(T_U

C

^X^,

B

^Y⁾

+ 1

λ²{g₂((∇F_∗)(U,

C

^X^{), F}∗

C

^Y^{) − g}2((∇F_∗)(U, ω

B

^X^{), F}∗Y)}

dır. B¨oylece (∇F_∗)(U, X ) = 0 olması ic¸in gerek ve yeter s¸art (5.1.18) denkleminin sa˘glanmasıdır.

Son olarak X ,Y ∈ Γ(µ) ic¸in (2.6.1) denkleminden

(∇F∗)(X ,Y ) = X (lnλ)F∗Y+Y (lnλ)F∗X− g₁(X ,Y )F_∗(gradlnλ) yazılır. ¨Usteki deklemde X ∈ Γ(µ) ic¸in Y = JX yazılırsa

(∇F∗)(X , JX ) = X (lnλ)F∗JX+ JX (lnλ)F∗X elde edilir. E˘ger (∇F_∗)(X , JX ) = 0 ise

X(lnλ)F∗JX+ JX (lnλ)F∗X = 0 (5.1.19) olur. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (5.1.19) denkleminin her iki tarafı F_∗X ile c¸arpılırsa

g₁(gradlnλ, X )g₂(F_∗JX, F_∗X) + g₁(gradlnλ, JX )g₂(F_∗X, F_∗X) = 0

bulunur. Yukarıdaki denklemden g₁(grad ln λ, JX ) = 0 olup λ, Γ(Jµ) ¨uzerinde sabittir.

Di˘ger taraftan (5.1.19) denkleminin her iki tarafı F∗JX ile c¸arpılırsa

g₁(gradlnλ, X )g2(F_∗JX, F_∗JX) + g₁(gradlnλ, X )g2(F_∗X, F_∗JX) = 0

elde edilir. Buradan da g₁(grad ln λ, X ) = 0 olup λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde U,V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in (2.6.1) denklemi kullanılırsa

(∇F∗)(ωU, ωV ) = ωU (lnλ)F∗ωV + ωV (lnλ)F_∗ωU − g₁(ωU, ωV )F∗(gradlnλ) dır. Burada V = U alınırsa

(∇F_∗)(ωU, ωU ) = 2ωU (lnλ)F_∗ωU − g₁(ωU, ωU )F_∗(gradlnλ) (5.1.20) elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in (5.1.20) denkleminin her iki tarafı F_∗ωU ile c¸arpılırsa

2g₁(gradlnλ, ωU )g2(F_∗ωU, F_∗ωU ) − g₁(ωU, ωU )g2(F_∗(gradlnλ), F∗ωU ) = 0 olur. Bu denklemden de g1(grad ln λ, ωU )g1(ωU, ωU ) = 0 olup λ, Γ(ω(c¸ekF∗)) ¨uzerinde sabittir. Bu durumda λ, Γ((c¸ekF_∗)^⊥) distrib¨usyonu ¨uzerinde sabit olur.

KAYNAKLAR

[1] S. Ali and T. Fatima, Anti-invariant Riemannian submersions from nearly Kaehler manifolds,Filomat. 27(7) (2013), 1219-1235.

[2] P. Baird and J. C. Wood, Harmonic morphisms between Riemannian manifolds, London Mathematical Society Monographs, No.29, Oxford University Press, The Clarendon Press, Oxford, (2003).

[3] A. Bejancu, CR-submanifolds of a Kaehler manifold I, Proc. Amer. Math. Soc.

69(1978), 134-142.

[4] A. Bejancu, Geometry of CR-submanifolds, D.Reidel publishing company, Dor-drecht Holland, (1986).

[5] D. Blair and B. Y. Chen, On CR-submanifolds of Hermitian manifolds, Israel J.

Math. 34(1979), no. 4, 353-363.

[6] J. P. Bourguingnon and H. B. Lawson, A mathematicians’s visit to Kaluza-Klein theory,Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, Special Issue (1989) 143-163.

[7] W. M. Bootby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geo-metry, Academic Press Inc, (1986).

[8] J. M. Burel, Almost contact structures and harmonic maps with minimal fibres, Houston J. Math. 30(2), (2004), 393-411.

[9] M. P. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser Boston, (1992).

[10] B. Y. Chen, Geometry of Submanifolds, Marcel Dekker, New York, (1973).

[11] B. Y. Chen and K. Ogiue, On totally real submanifolds, Trans. Amer. Math. Soc.

193(1974), 257-266.

[12] B. Y. Chen, Geometry of Slant Submanifolds, Katholieke Universiteit Leuven, Leu-ven, Belgium, (1990).

[13] D. Chinea, Harmonicity on maps between almost contact metric manifolds, Acta Math. Hungar. 126(4), (2010) 352-365.

[14] D. Chinea, Harmonicity of holomorphic maps between almost Hermitian manifolds, Canad. Math. Bull. 52(1), (2009) 18-27.

[15] D. Chinea, On horizontally conformal (ϕ, ϕ⁰)- holomorphic submersions, Houston J. Math. 34(3), (2008) 721-737.

[16] ˙I. K. Erken and C. Murathan, On slant Riemannian submersions for cosymplectic manifolds,Bull. Kor. Math. Soc. 51(6), (2014), 1749-1771.

[17] C. Murathan and ˙I. K. Erken, Anti-invariant Riemannian submersions from cosymp-lectic manifolds onto Riemannian manifolds,Filomat. 29(7), (2015), 1429-1444.

[18] M. Falcitelli, S. Ianus and A. M. Pastore, Riemannian Submersions and Related To-pics, World Scientific (2004).

[19] T. Fatima, On a study of geometry of submanifolds and submersions, PhD Thesis, Aligarh Muslim University, India, 2013.

[20] B. Fuglede, Harmonic morphisms between Riemannian manifolds, Ann. Inst.

Fourier. (Grenoble) (1978) 107-144.

[21] E. Garcia-Rio and D. N. Kupeli, Semi-Riemannian Maps and Their Applications, Kluwer Academic Publishers, (1999).

[22] A. Gray, Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersions, J. Math.

Mech. 16, (1967) 715-737.

[23] S. Gudmundsson, The Geometry of Harmonic Morphisms, P.H.D. Thesis, University of Leeds, (1992).

[24] S. Gundmundsson, An Introduction to Riemannian Geometry, Lectures Notes, Uni-versity of Lund, Mathematics, Faculty of Science, (2006).

[25] Yılmaz G¨und¨uzalp, Riemann submersiyonlarının Geometrisi ¨uzerine, Y¨uksek Lisans Tezi, ˙In¨on¨u ¨Universitesi, (2007).

[26] Y. G¨und¨uzalp, Anti-invariant Riemannian submersions from almost product Rie-mannian manifolds, Mathematical Science and Applications E-notes. 1(1), (2013), 58-66.

[27] Y. G¨und¨uzalp, Anti-invariant semi-Riemannian submersions from almost para-Hermitian manifolds, Journal of Function Spaces and Applications. 1-7, (2013), Doi:10.1155/2013/720623.

[28] Y. G¨und¨uzalp, Slant submersions from almost product Riemannian manifolds, Tur-kish Journal of Mathematics. 37(5), (2013), 863-873.

[29] Y. G¨und¨uzalp, Slant submersions from almost paracontact Riemannian manifolds, Kuwait Journal of Science. 42(1), (2015), 17-29.

[30] H. H. Hacısaliho˘glu, Diferensiyel Geometri, ˙In¨on¨u ¨Universitesi. Fen-Ed.Fak.Mat.

No:2, (1982).

[31] H. H. Hacısaliho˘glu, Diferensiyel Geometri, Cilt:1, 2, 3, Ankara ¨Univ. Fen Fak¨ultesi, (2003).

[32] S. Ianus¸, R. Mazzocco and G. E. Vilcu, Harmonic maps between quaternionic Kahler manifols,¨ J. Nonlinear Math. Phys. 15(1) (2008), 1-8.

[33] S. Ianus¸, R. Mazzocco and G. E. Vilcu, Riemannian submersions from quaternionic manifolds,Acta Appl. Math., 104(1) (2008), 83-89.

[34] S. Ianus¸, A. Ionescu, R. Mocanu and G. E. Vilcu, Riemannian submersions from almost contact metric manifolds,Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 81(2011), no.

1, 101-114.

[35] T. Ishihara, A mapping of Riemannian manifolds which preserves harmonic fuctions, J. Math. Kyoto Uni. 11(2) (1997) 185-197.

[36] S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol:1, I-II, New York, (1963).

[37] K. Yano and M. Kon, Structures on Manifolds, World Scientific Publishing Co. Pte.

Ltd. (1984).

[38] J. W. Lee, Anti-invariant ξ^⊥- Riemannian submersions from almost contact mani-folds,Hacettepe J. Math. Stat. 42(2), (2013), 231-241.

[39] Y. Matsushima, Differentiable Manifolds, Marcell Dekker Inc Newyork, (1972).

[40] B. O’Neill, The Fundamental Equations of a Submersions, Michigan Math. J. 13, (1966) 458-469.

[41] B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, (1983).

[42] L. Ornea and G. Romani, The fundamental equations of a conformal submersions, Beitrague Z. Algebra and Geometrie Contributions Algebra and Geometry.

34(2), (1993) 233-243.

[43] K. S. Park, h-semi-invariant submersions, Taiwanese J. Math. 16(2012), no. 5, 1865-1878.

[44] K. S. Park, h-slant submersions, Bull. Korean Math. Soc. 49(2012), no. 2, 329-338.

[45] K. S. Park, Almost h-semi slant Riemannian maps, Taiwanese J. Math. 17(3), (2013), 937-956.

[46] K. S. Park and R. Prasad, Semi-slant submersions, Bull. Korean Math. Soc. 50(3), (2013), 951-962.

[47] R. Ponge and H. Reckziegel, Twisted products in pseudo-Riemannian geometry, Geom. Dedicata. 48(1) (1993) 15-25.

[48] M. Svensson, Polynomial Harmonic Morphisms, Master Thesis, Lund Universitet, November, (1998).

[49] Bayram S¸ahin, CR-Altmanifoldların Geometrisi, Y¨uksek Lisans Tezi, ˙In¨on¨u Universitesi, (1996).¨

[50] B. S¸ahin, Contact Horizontally Conformal Submersions, Demonstratio Mathema-tica. Vol. XL.II No:4. (2009).

[51] B. S¸ahin, Anti-invariant Riemannian submersions from almost Hermitian manifolds, Central European J. Math. 8(3), (2010) 437-447.

[52] B. S¸ahin, Slant submersions from almost Hermitian manifolds, Bull. Math. Soc.

Sci. Math. Roumanie Tome, No. 1, 54(102), (2011) 93-105.

[53] B. S¸ahin, Manifoldların Diferensiyel Geometrisi, Nobel Yayınevi, (2012).

[54] B. S¸ahin, Riemannian submersions from almost Hermitian manifolds, Taiwanese J.Math. 17(2), (2013) 629-659.

[55] B. S¸ahin, Semi-invariant submersions from almost Hermitian manifolds, Canad.

Math. Bull. 56(1), (2013) 173-183.

[56] H. M. Tas¸tan, On Lagrangian submersions, Hacet. J. Math. Stat. 43(6), (2014), 993-1000.

[57] H. M. Tas¸tan, Anti-holomorphic semi-invariant submersion from Kaehlerian mani-folds,arXiv: 1404.2385.

[58] S¸ener Yanan, Riemann Manifoldları Arasındaki Konform D¨on¨us¸¨umler, Y¨uksek Lisans Tezi, ˙In¨on¨u ¨Universitesi, Fen Bilimleri Enstit¨us¨u, (2012).

[59] B. Watson, Almost Hermitian Submersions, J. Diff. Geom. 11(1), (1976) 147-165.

OZGEC¨ ¸ M˙IS¸

Ad Soyad : Mehmet Akif AKYOL Do˘gum Yeri ve Tarihi : Van, 07.06.1985

Adres : Bing¨ol ¨Universitesi Fen-Edebiyat Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u, B˙ING ¨OL E-Posta : makyol@bingol.edu.tr

Lisans : Kahramanmaras¸ S¨utc¸¨u ˙Imam ¨Universitesi Fen-Edebiyat Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u (2004-2008).

Y ¨uksek Lisans : Gazi ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Ana Bilim Dalı Geometri Bilim Dalı (2008-2011).

Mesleki Deneyim ve ¨Od ¨uller :

1- Bing¨ol ¨Universitesi Fen-Edebiyat Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u Aras¸tırma G¨orevlisi (2009-Halen),

2- Y¨uksek Lisans Tez Aras¸tırma Deste˘gi (Y¨ok Bursu)

3- T¨ubitak Bilimsel Yayın Tes¸vik ¨Od¨ul¨u (2013-2014) (2-Adet) Yayın Listesi :

1. Akyol M. A, Vanlı A. T and Fernandez L. M., (2013): Curvtaure Properties of a semi-symmetric metric connection defined on S-manifolds, Annales Polonici Mathematici.

107(1) (2013), 71-86.

2. Akyol M. A, Fernandez L. M and Martin A. P, The L-sectional curvature of S-manifolds, arXiv:1302.1973.

3. Akyol M. A, Vanlı A. T and Fernandez L. M., (2014): Semi-symmetric properties of S-manifolds endowed with a semi-symmetric non-metric connection, Annals of the Alexandru Ioan Cuza University, Mathematics. DOI: 10.2478/aicu-2013-0039.

4. S¸ahin B. Akyol M. A., (2014): Golden maps between Golden Riemannian manifolds and constancy of certain maps, Math. Commun., 19(2) (2014), 333-342.

TEZDEN T ¨URET˙ILEN YAYINLAR:

1. Akyol M. A, S¸ahin B., (2015): Conformal anti-invariant submersions from almost Hermitian manifolds, Turkish Journal of Mathematics. DOI: 10.3906/mat-1408-20.

Belgede T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015 (sayfa 99-129)