Konform Yarı-˙Invaryant Submersiyonlar

Tanım 4.1.1. (M, g_M, J_M) ve (N, g_N) sırasıyla m ve n boyutlu bir hemen hemen Hermityen manifold ve Riemann manifold olsun. Bu durumda F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir yatay konform submersiyon olmak ¨uzere, D₁⊆ c¸ekF_∗distrib¨usyonu var,

c¸ekF_∗= D₁⊕ D₂ (4.1.1)

ve

J(D₁) = D₁, J(D₂) ⊆ (c¸ekF_∗)^⊥ (4.1.2) ise F d¨on¨us¸¨um¨une bir konform yarı-invaryant submersiyon denir. Burada D₂ dist-rib¨usyonu c¸ekF∗da D1distrib¨usyonunun ortogonal tamamlayıcısıdır.

Oncelikle not edelim ki c¸ekF¨ _∗distrib¨usyonu integrallenebilirdir. Bu y¨uzden, Tanım 4.1.1’den c¸ekF∗’ın F⁻¹(q), q ∈ N integral manifoldu (lif) M manifoldunun bir CR− alt-manifoldudur.

As¸a˘gıda, yukarıda verilen konform yarı-invaryant submersiyonlar ic¸in ¨ornekler ve-rilmektedir.

Ornek 4.1.1. Bir hemen hemen Hermityen manifoldundan bir hemen hemen Hermit-¨ yen manifolduna tanımlı her Hermityen submersiyon D₂= {0} olan bir konform yarı-invaryant submersiyondur [59].

Ornek 4.1.2. Bir hemen hemen Hermityen manifoldundan bir Riemann manifolduna¨ tanımlı her konform anti-invaryant submersiyon D₁= {0} olan bir konform yarı-invaryant submersiyondur [55].

E˘ger λ 6= 1 ise bir konform invaryant submersiyona has konform yarı-invaryant submersiyon denir. S¸imdi bir has konform yarı-yarı-invaryant submersiyona ¨ornek verelim. R^2m ile 2m-boyutlu standart metrikli ¨Oklid uzayını g¨osterelim. E˘ger (R^2m, J), standart flat Kaehler metrikli C^m kompleks sayılar uzayına kompleks analitik olarak izometrik ise R^2m ¨uzerinde bir hemen hemen kompleks yapı J ye uyumludur denir.

R^2m ¨uzerinde standart ic¸ c¸arpım ile uyumlu hemen hemen kompleks yapı J’yi J(a¹, ..., a^2m) = (−a², a¹, ..., −a^2m, a^2m−1)

s¸eklinde tanımlayalım.

Ornek 4.1.3. R¨ ⁶ ve R² standart ic¸ c¸arpımları ile verilen ¨Oklidyen uzaylar olsun. Bu durumda

F: R⁶ −→ R²

(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆) (e^x3cos x₅, e^x3sin x₅),

diferensiyellenebilir d¨on¨us¸¨um¨u s¸eklinde tanımlansın. Burada {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆} ile R⁶ uzayının bir koordinat sistemi g¨osterilmis¸tir. Do˘grudan is¸lemlerle

F_∗'

elde edilir. Buradan, rankF∗= boyR²= 2 bulunur. B¨oylece F bir submersiyondur. Di˘ger taraftan,

elde edilir. Ayrıca R⁶ ¨uzerinde tanımlı J hemen hemen kompleks yapısı J(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) = (−a₂, a₁, −a₄, a₃, −a₆, a₅)

olsun. Buradan JV₁ = V₂ olup D₁= {V₁,V₂} distrib¨usyonu invaryanttır. Aynı s¸ekilde JV₃= −e^−x3cos x₅X₁− e^−x3sin x₅X₂ ve JV₄= e^−x3sin x₅X₁− e^−x3cos x₅X₂ bulunur. Bu-radan da D₂ = {V₃,V₄} distrib¨usyonu anti-invaryanttır. { ^∂

∂y1, ^∂

∂y2}, R² nin standart bazı olmak ¨uzere, do˘grudan hesaplamalarla

F_∗X₁ = (e^x3)² ∂

∂y₁, F_∗X₂ = (e^x3)² ∂

∂y2

bulunur. R⁶ve R² ¨uzerindeki standart ic¸ c¸arpımlar g ve g⁰ ile g¨osterilirse g⁰(F_∗X₁, F_∗X₁) = (e^x3)²g(X₁, X₁)

ve

g⁰(F_∗X₂, F_∗X₂) = (e^x3)²g(X₂, X₂)

olup F d¨on¨us¸¨um¨u λ = e^x3 olan bir konform yarı-invaryant submersiyondur.

S¸imdi D₁ve D₂distrib¨usyonlarının integrallenebilirli˘gini inceleyece˘giz.

Lemma 4.1.1. (M, g_M, J_M) ve (N, g_N) sırasıyla m ve n boyutlu bir hemen hemen Her-mityen manifold ve Riemann manifold, F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda∀X,Y ∈ Γ(D1) ve Z ∈ Γ(D2) ic¸in

i) D₁ distrib¨usyonunun integrallenebilir olması ic¸in d¨on¨us¸¨um¨un ikinci temel formu (∇F∗)(Y, JX ) − (∇F∗)(X , JY ) ∈ Γ(F∗(µ)) s¸artını sa˘glamalıdır.

ii) D₂distrib¨usyonu her zaman integrallenebilirdir.

˙Ispat. (i) D₁ distrib¨usyonunun integrallenebilmesi ic¸in X ,Y ∈ Γ(D₁), Z ∈ Γ(D2) ve W ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in g_M([X ,Y ], Z) = 0 ve g_M([X ,Y ],W ) = 0 dır. c¸ekF_∗ distrib¨usyonu

integrallenebilir oldu˘gu ic¸in g_M([X ,Y ],W ) = 0 dır. Bu y¨uzden D₁distrib¨usyonunun integ-rallenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_M([X ,Y ], Z) = 0 olmasıdır. X ,Y ∈ Γ(D1) ve Z∈ Γ(D2) ic¸in (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g_M([X ,Y ], Z) = g_M(

H

^∇MXJY, JZ) − g_M(

H

^∇Y^MJX, JZ)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) denklemi kullanılırsa g_M([X ,Y ], Z) = 1

λ²g_N((∇F∗)(Y, JX ) − (∇F∗)(X , JY ), F_∗JZ)

olur. [X ,Y ] ∈ D₁ ise D₁ integrallenebilirdir ⇔ (∇F_∗)(Y, JX ) − (∇F∗)(X , JY ) ∈ Γ(F∗(µ)) dır.

(ii) M bir Kaehler manifold oldu˘gu ic¸in, temel 2-form Ω kapalıdır. X ∈ Γ(D₁) ve Y, Z ∈ Γ(D2) ic¸in

3dΩ(X ,Y, Z) = X Ω(Y, Z) −Y Ω(X , Z) − ZΩ(X ,Y )

− Ω([X,Y ], Z) + Ω(Y, [X, Z]) + Ω(X, [Y, Z])

= X g_M(Y, JZ) −Y g_M(X , JZ) − Zg_M(X , JY )

− g_M([X ,Y ], JZ) − g_M(JY, [X , Z]) − g_M(JX , [Y, Z])

= −g_M(JX , [Y, Z])

= 0

elde edilir. Buradan [Y, Z] ∈ Γ(D₂) olup D₂her zaman integrallenebilirdir.

F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. c¸ekF_∗ da JD₂ ye tamamlayıcı ortogonal distrib¨usyonu µ ile g¨osterelim. Kolayca g¨or¨ul¨ur ki, µ distrib¨usyonu J altında (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun invaryant distrib¨usyonudur. V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in,

JV = φV + ωV (4.1.3)

yazılır, burada φV ∈ Γ(D₁) ve ωV ∈ Γ(JD2) dir. Ayrıca X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in,

JX =

B

^X+

C

^{X (4.1.4)}

yazılır. Burada da

B

^{X ∈ Γ(D}2) ve

C

^X ∈ Γ(µ) dır. Bu durumda ∀V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in (2.4.6), (2.4.7), (4.1.3) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa

(∇_V^Mφ)W =

B

^TVW− T_VωW (∇_V^Mω)W =

C

^TVW− T_VφW elde edilir. Burada

(∇_V^Mφ)W = ˆ∇_VφW − φ ˆ∇_VW ve

(∇_V^Mω)W =

H

^∇V^MωW − ω ˆ∇VW dır.

S¸imdi (c¸ekF∗)^⊥ distrib¨usyonunun integrallenebilirli˘gini, c¸ekF∗ ve (c¸ekF∗)^⊥ dist-rib¨usyonlarının liflerininin geometrisini inceleyece˘giz.

Teorem 4.1.1. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥), V ∈ Γ(D1) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun integral-lenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²{g_M(A_Y

B

^{X− A}X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X +}

C

X(lnλ)Y + 2gM(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )}

= g_N(∇_Y^FF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JW) ve

A_Yω

B

^{X− A}Xω

B

^{Y+ J(A}Y

C

^{X− A}X

C

^{Y) /∈ Γ(D}1) dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥), V ∈ Γ(D1) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in, Tanım 4.1.1 den (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun integrallenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_M([X ,Y ],V ) = 0 ve g_M([X ,Y ],W ) = 0 dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa

g_M([X ,Y ],V ) = g_M(∇^M_X

B

Y, JV ) + g_M(∇^M_X

C

Y, JV ) − g_M(∇_Y^M

B

X, JV ) − g_M(∇_Y^M

C

^{X, JV )}

elde edilir. (2.4.9) denkleminden

g_M([X ,Y ],V ) = −g_M(

B

^{Y, ∇M}XJV) + g_M(A_X

C

Y, JV ) + g_M(

B

^{X, ∇M}YJV) − g_M(A_Y

C

^{X, JV )}

= g_M(J

B

^{Y, ∇M}XV) + g_M(A_X

C

Y, JV ) − g_M(J

B

^{X, ∇}Y^MV) − g_M(A_Y

C

^{X, JV )}

olur. (2.4.8) ve (4.1.3) denklemleri g¨oz¨on¨une alınırsa

g_M([X ,Y ],V ) = g_M(A_XV, ω

B

^{Y) − g}M(A_YV, ω

B

^{X) + g}M(A_X

C

Y, JV ) − g_M(A_Y

C

^{X, JV )}

= g_M(A_Yω

B

^{X− A}Xω

B

^{Y− JA}X

C

^{Y+ JA}Y

C

^{X,V ) (4.1.5)}

elde edilir. Di˘ger taraftan (2.5.1) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa g_M([X ,Y ],W ) = g_M(∇^M_X

B

Y, JW ) + g_M(∇^M_X

C

^{Y, JW )}

− g_M(∇_Y^M

B

^{X, JW ) − g}M(∇_Y^M

C

^{X, JW )}

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, g_M([X ,Y ],W ) = 1

elde edilir. Gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa

g_M([X ,Y ],W ) = −g_M(A_X

B

Y, JW ) + g_M(A_Y

B

^{X, JW )}

− 1 λ²

g_M(gradlnλ, X )gN(F_∗

C

^{Y, F}∗JW)

− 1

λ²g_M(gradlnλ,

C

^Y)gN(F_∗X, F_∗JW) + 1

λ²g_M(X ,

C

^Y)gN(F_∗(gradlnλ), F∗JW) + 1

λ²g_N(∇^F_XF_∗

C

^{Y, F∗JW)}

+ 1

λ²g_M(gradlnλ,Y )gN(F_∗

C

^{X, F}∗JW) + 1

λ²

g_M(gradlnλ,

C

^X)gN(F_∗Y, F_∗JW)

− 1

λ²g_M(Y,

C

^X)gN(F_∗(gradlnλ), F∗JW) − 1

λ²g_N(∇^F_YF_∗

C

^{X, F}∗JW) bulunur. Tanım 4.1.1 kullanılırsa

g_M([X ,Y ],W ) = g_M(A_Y

B

^{X− A}X

B

Y, JW ) − g_M(gradlnλ,

C

^Y)gM(X , JW ) + g_M(gradlnλ,

C

^X)gM(Y, JW ) + 2g_M(X ,

C

^Y)gM(gradlnλ, JW )

− 1

λ²g_N(∇_Y^FF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F∗JW)}

= g_M(A_Y

B

^{X− A}X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X +}

C

^X(lnλ)Y

+ 2g_M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )

− 1

λ²g_N(∇_Y^FF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JW) (4.1.6) dır. (4.1.5) ve (4.1.6) denklemlerinden ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.2. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon ve (c¸ekF_∗)^⊥ dis-trib¨usyonu integrallenebilir olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨un¨un yatay homotetik d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²g_M(A_Y

B

^{X− A}X

B

Y, JW ) = g_N(∇_Y^FF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JW) (4.1.7) dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in, (4.1.6) denkleminden

g_M([X ,Y ],W ) = g_M(A_Y

B

^{X− A}X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X +}

C

^X(lnλ)Y

+ 2g_M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW ) − 1

λ²g_N(∇^F_YF_∗

C

^{X− ∇F}XF_∗

C

^{Y, F}∗JW) dır. E˘ger F bir yatay homotetik d¨on¨us¸¨um ise (4.1.7) denklemi elde edilir. Benzer s¸ekilde (4.1.7) denklemi varsa,

−g_M(gradlnλ,

C

^Y)gM(X , JW ) + g_M(gradlnλ,

C

^X)gM(Y, JW ) (4.1.8) +2g_M(X ,

C

^Y)gM(gradlnλ, JW ) = 0

olur. (4.1.8) denklemi W ∈ Γ(D₂) olmak ¨uzere Y = JW ic¸inde do˘grudur. Bu durumda (4.1.8) denkleminde Y = JW yazılırsa g_M(gradlnλ,

C

^X)gM(JW, JW ) = 0 olur. Buradan λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Di˘ger taraftan (4.1.8) denklemi X ∈ Γ(µ) olmak ¨uzere Y = CX ic¸inde do˘grudur. Bu durumda (4.1.8) es¸itli˘ginde Y = CX yazılırsa

2g_M(X ,

C

^2X)gM(gradlnλ, JW ) = 2gM(X , X )g_M(gradlnλ, JW ) = 0

olup λ, Γ(JD₂) ¨uzerinde sabittir. Buradan ispat tamamlanır.

Bir konform yarı-invaryant submersiyon ic¸in JD₂ = (c¸ekF_∗)^⊥ ise bir konform anti-holomorfik invaryant submersiyon denir. Bir konform anti-holomorfik yarı-invaryant submersiyon ic¸in as¸a˘gıdaki sonuc¸ gec¸erlidir.

Sonuc¸ 4.1.1. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform anti-holomorfik yarı-invaryant submersiyon olsun.

Bu durumda ∀W₁,W₂∈ Γ(D2) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu integrallenebilirdir.

ii) g_N(F_∗JW₁, (∇F∗)(V, JW₂)) = g_N(F_∗JW₂, (∇F∗)(V, JW₁)) dır.

˙Ispat. ∀W₁,W₂∈ Γ(D2) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in, M bir Kaehler manifold oldu˘gundan

g_M([JW₁, JW₂],V ) = −g_M(JW₂, ∇_V^MJW₁) + g_M(JW₁, ∇^M_VJW₂)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.1.6) denklemi kullanılırsa g_M([JW₁, JW₂],V ) = 1

λ²{g_N(F_∗JW₂, (∇F∗)(V, JW₁)) − g_N(F_∗JW₁, (∇F∗)(V, JW₂))}

olur. [JW₁, JW₂] ∈ (c¸ekF_∗)^⊥ olması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_N(F_∗JW₁, (∇F∗)(V, JW₂)) = g_N(F_∗JW₂, (∇F∗)(V, JW₁)) dır. Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.3. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥), V ∈ Γ(D1) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun M mani-foldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²{g_M(A_X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X + g}M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )} = g_N(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^Y)

ve

A_X

C

^Y+

V

^∇MX

B

^{Y ∈ Γ(D}2) dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥), V ∈ Γ(D1) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in Tanım 4.1.1 den (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_M(∇^M_XY,V ) = 0 ve g_M(∇^M_XY,W ) = 0 dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g_M(∇^M_XY,V ) = g_M(−J∇^M_XJY,V )

elde edilir. Burada (2.4.8), (2.4.9) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa g_M(∇^M_XY,V ) = −g_M(

B

^AX

B

^{Y,V ) − g}M(φ

V

^∇MX

B

^{Y,V )}

− g_M(φAX

C

^{Y,V ) − g}M(

BH

^∇MX

C

^{Y,V )}

= −g_M(φ(AX

C

^Y+

V

^∇MX

B

^{Y),V ) (4.1.9)}

bulunur. Di˘ger taraftan, ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in (2.5.1) ve (4.1.4) denk-lemleri kullanılırsa

g_M(∇^M_XY,W ) = −g_M(

B

^{Y, ∇M}XJW) − g_M(

C

^{Y, ∇M}XJW)

olur. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, (2.4.9), (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kul-lanılırsa

g_M(∇^M_XY,W ) = −g_M(

B

^{Y, A}XJW) − 1

λ²g_N{−X(lnλ)F∗JW− JW (lnλ)F∗X + g_M(X , JW )F_∗(gradlnλ) + ∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^Y}

= −g_M(

B

^{Y, A}XJW) + 1

λ²g_M(gradlnλ, X )gN(F_∗JW, F_∗

C

^Y)

+ 1 λ²

g_M(gradlnλ, JW )gN(F_∗X, F_∗

C

^Y)

− 1

λ²g_M(X , JW )g_N(F_∗(gradlnλ), F∗

C

^{Y) − 1}

λ²g_N(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^Y)

dır. Gerekli d¨uzenlemeler yapılır ve Tanım 4.1.1 kullanılırsa

g_M(∇^M_XY,W ) = g_M(A_X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X + g}M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )

− 1

λ²g_N(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^{Y) (4.1.10)}

elde edilir. (4.1.9) ve (4.1.10) denklemlerinden ispat tamamlanır.

As¸a˘gıdaki kavram homotetik d¨on¨us¸¨um kavramında ¨onemli bir rol oynamaktadır.

Tanım 4.1.2. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in ∇^M_XW ∈ Γ(D2) ise D₂ distrib¨usyonuna (c¸ekF_∗)^⊥ boyunca paraleldir denir.

Yukarıdaki tanımı sa˘glayan konform yarı-invaryant submersiyonlar ic¸in as¸a˘gıdaki sonuc¸ gec¸erlidir.

Sonuc¸ 4.1.2. (M, g_M, J_M) ve (N, g_N) sırasıyla bir Kaehler manifold ve Riemann mani-fold olsun. F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon ve D₂, (c¸ekF_∗)^⊥ boyunca paralel olsun. Bu durumda ∀X ,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨un¨un yatay homotetik d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²g_M(A_X

B

Y, JW ) = g_N(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^{Y) (4.1.11)}

dır.

˙Ispat. ∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in, (4.1.10) denkleminden

g_M(∇^M_XY,W ) = g_M(A_X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X + g}M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )

− 1

λ²g_N(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^Y)

dır. F yatay homotetik d¨on¨us¸¨um ise yukarıdaki es¸itlikten (4.1.11) denklemi elde edilir.

E˘ger (4.1.11) denklemi var ise

−g_M(gradlnλ,

C

^Y)gM(X , JW ) + g_M(X ,

C

^Y)gM(gradlnλ, JW ) = 0 (4.1.12) olur. (4.1.12) denklemi W ∈ Γ(D2) olmak ¨uzere X = JW ic¸inde do˘grudur. Bu du-rumda (4.1.12) denkleminde X = JW yazılırsa g_M(gradlnλ,

C

^Y)gM(JW, JW ) = 0 elde edilir. Buradan λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir. Benzer s¸ekilde (4.1.12) denklemi Y ∈ Γ(µ) olmak ¨uzere X = CY ic¸inde do˘grudur. (4.1.12) denkleminde X =

C

^{Y yazılırsa}

g_M(

C

^Y,

C

^Y)gM(gradlnλ, JW ) = 0 elde edilir. Bu durumda λ, Γ(JD2) ¨uzerinde sabit olup F bir yatay homotetik d¨on¨us¸¨umd¨ur.

Konform anti-holomorfik durumunda as¸a˘gıdaki sonuc¸ gec¸erlidir.

Sonuc¸ 4.1.3. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform anti-holomorfik yarı-invaryant submersiyon olsun.

Bu durumda ∀W₁,W₂∈ Γ(D2) ve V ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in as¸a˘gıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) (c¸ekF_∗)^⊥ distrib¨usyonu M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlar.

ii) (∇F_∗)(V, JW₁) ∈ Γ(F∗(µ)) dır.

˙Ispat. ∀W₁,W₂∈ Γ(D₂) ve V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ic¸in, JW₁∈ Γ((c¸ekF_∗)^⊥) olup M bir Kaehler manifold oldu˘gundan

g_M(∇^M_JW1JW₂,V ) = −g_M(JW₂, ∇^M_VJW₁)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan (2.1.6) denklemi kullanılırsa g_M(∇^M_JW1JW₂,V ) = 1

λ²g_N(F_∗JW₂, (∇F∗)(V, JW₁)) bulunur. Bu durumda (i) ⇔ (ii) dir.

Teorem 4.1.4. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀U,V ∈ Γ(c¸ekF∗), X ∈ Γ(µ) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in c¸ekF_∗ distrib¨usyonunun M manifoldu

¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²{g_M(

C

^TUφV + A_ωVφU + g_M(ωV, ωU )gradlnλ, X )} = gN(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU ) ve

T_VωU + ˆ∇_VφU ∈ Γ(D₁) dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗), X ∈ Γ(µ) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in, Tanım 4.1.1 den c¸ekF_∗ dist-rib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art gM(∇_U^MV, X ) = 0 ve g_M(∇^M_UV, JW ) = 0 dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) ve (4.1.3) denklemleri kullanılırsa

g_M(∇_U^MV, X ) = g_M(∇^M_UφV, JX ) + gM(JU, ∇^M_ωVX)

= g_M(∇^M_UφV, JX ) + gM(φU, ∇^M_ωVX) + g_M(ωU, ∇^M_ωVX)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan (2.4.6), (2.4.9), (2.1.6) and (2.6.1) denklemleri g¨oz¨on¨une alınırsa

g_M(∇_U^MV, X ) = g_M(T_UφV + ˆ∇_UφV, JX ) + g_M(φU, AωVX+

H

^∇MωVX) + 1

λ²g_N(F_∗(∇^M_ωVX), F_∗ωU )

= g_M(T_UφV, JX ) + gM(φU, AωVX) + 1

λ²g_N{−ωV (lnλ)F∗X

− X(lnλ)F∗ωV + g_M(ωV, X )F∗(gradlnλ) + ∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU }

= g_M(T_UφV, JX ) + gM(φU, A_ωVX) − 1

λ²g_M(gradlnλ, ωV )gN(F_∗X, F_∗ωU )

− 1 λ²

g_M(gradlnλ, X )gN(F_∗ωV, F_∗ωU ) + 1

λ²g_M(ωV, X )gN(F_∗(gradlnλ), F∗ωU ) + 1

λ²g_N(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU )

bulunur. Tanım (4.1.1) kullanılıp gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa

g_M(∇_U^MV, X ) = g_M(T_UφV, JX ) + gM(φU, A_ωVX) − g_M(gradlnλ, X )gM(ωV, ωU ) + 1

λ²

g_N(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU )

= g_M(−

C

^TUφV − A_ωVφU − g_M(ωV, ωU )gradlnλ, X ) + 1

λ²g_N(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU ) (4.1.13)

dır. Di˘ger taraftan ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve W ∈ Γ(D2) ic¸in (2.5.1) ve (4.1.3) denklemleri kullanılırsa

g_M(∇^M_UV, JW ) = −g_M(J(∇^M_VφU + ωU ), JW )

= −g_M(

B

^TVφU +

C

^TVφU + φ ˆ∇_VφU + ω ˆ∇_VφU + φTVωU + ωT_VωU +

BH

^∇V^MωU +

C H

^∇V^MωU, JW )

= −g_M(

C

^TVφU, JW ) − g_M(ω ˆ∇_VφU, JW )

− g_M(ωTVωU, JW ) − g_M(

C H

^∇V^MωU, JW )

= −g_M(ω( ˆ∇_VφU + T_VωU ), JW ) (4.1.14) elde edilir. (4.1.13) ve (4.1.14) denklemlerinden ispat tamamlanır.

As¸a˘gıdaki kavram d¨on¨us¸¨um¨un µ distrib¨usyonu ¨uzerinde sabit olması durumu ic¸in oldukc¸a kullanıs¸lıdır.

Tanım 4.1.3. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda U ∈ Γ(c¸ekF∗) ve X ∈ Γ(µ) ic¸in ∇^M_UX ∈ Γ(µ) ise µ distrib¨usyonuna c¸ekF∗ boyunca paraleldir denir.

Sonuc¸ 4.1.4. (M, g_M, J_M) ve (N, g_N) sırasıyla bir Kaehler manifold ve Riemann manifold olsun. F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon ve µ, c¸ekF_∗ distrib¨usyonu boyunca paralel olsun. Bu durumda ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ(µ) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨un¨un µ distrib¨usyonu ¨uzerinde sabit olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²g_M(

C

^TUφV + A_ωVφU, X ) = g_N(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU ) (4.1.15)

dır.

˙Ispat. ∀U,V ∈ Γ(c¸ekF_∗) ve X ∈ Γ(µ) ic¸in, (4.1.13) denkleminden

g_M(∇_U^MV, X ) = g_M(−

C

^TUφV − A_ωVφU − g_M(ωV, ωU )gradlnλ, X )

+ 1

λ²

g_N(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU )

dır. F d¨on¨us¸¨um¨u µ distrib¨usyonu ¨uzerinde sabit ise (4.1.15) denklemi elde edilir. E˘ger (4.1.15) denklemi var ise g_M(ωV, ωU )gM(gradlnλ, X ) = 0 olup λ, Γ(µ) ¨uzerinde sabittir.

Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.3 ve Teorem 4.1.4 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.

Teorem 4.1.5. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu du-rumda∀X,Y ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve U,V,W ∈ Γ(c¸ekF∗) ic¸in M manifoldunun M = Mc¸ekF∗×_λ M₍c¸ekF∗)^⊥ s¸eklinde bir yerel c¸arpım manifoldu olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

λ²{g_M(

C

^TUφV + A_ωVφU + g_M(ωV, ωU )gradlnλ, X )} = gN(∇^F_ωVF_∗X, F_∗ωU ),

T_VωU + ˆ∇_VφU ∈ Γ(D₁) ve

A_X

C

^Y+

V

^∇MX

B

^{Y ∈ Γ(D}2),

λ²{g_M(A_X

B

^Y−

C

^{Y(lnλ)X + g}M(X ,

C

^Y)gradlnλ, JW )} = gN(∇^F_XF_∗JW, F_∗

C

^Y)

olmasıdır.

(M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. (c¸ekF_∗)^⊥ = J(D₂) ⊕ µ oldu˘gundan X ∈ Γ(D2) ve Y ∈ Γ(µ) ic¸in

1

λ²g_N(F_∗JX, F_∗Y) = g_M(JX ,Y ) = 0

dır. Bu ifade F_∗(JD₂) ve F_∗(µ) distrib¨usyonlarının ortogonal oldu˘gunu g¨osterir. S¸imdi D₁ ve D₂distrib¨usyonlarının liflerinin geometrisini inceleyece˘giz.

Teorem 4.1.6. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X₁,Y₁∈ Γ(D1), X₂∈ Γ(D2) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in D₁distrib¨usyonunun M manifoldu

¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art (∇F∗)(X₁, JY₁) ∈ Γ(F∗(µ))

ve

1

λ²g_N((∇F∗)(X₁, JY₁), F_∗

C

^{X) = g}M(Y₁, T_X1ω

B

^X)

dır.

˙Ispat. ∀X₁,Y₁ ∈ Γ(D1), X₂∈ Γ(D2) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in Tanım 4.1.1 den D₁ dist-rib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_M(∇^M_X1Y₁, X₂) = 0 ve g_M(∇^M_X1Y₁, X ) = 0 dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan, (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g_M(∇^M_X1Y₁, X₂) = g_M(

H

^∇MX1JY₁, JX₂)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gundan (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kul-lanılırsa

g_M(∇^M_X1Y₁, X₂) = − 1

λ²g_N((∇F∗)(X₁, JY₁), F_∗JX₂) (4.1.16) olur. Di˘ger taraftan M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa

g_M(∇^M_X1Y₁, X ) = −g_M(JY₁, ∇^M_X1

B

^{X) + g}M(

H

^∇MX1JY₁,

C

^X)

= g_M(Y₁, ∇^M_X1J

B

^{X) + g}M(

H

^∇MX1JY₁,

C

^X)

bulunur. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, Tanım 4.1.1, (2.4.7), (2.6.1) ve (4.1.3) denklemleri kullanılırsa

g_M(∇^M_X1Y₁, X ) = g_M(Y₁, T_X1ω

B

^X+

H

^∇MX1ω

B

^X)

+ 1 λ²

g_N(−(∇F∗)(X₁, JY₁) + ∇^F_X1F_∗JY₁, F_∗

C

^X)

= g_M(Y₁, T_X1ω

B

^{X) − 1}

λ²g_N((∇F∗)(X₁, JY₁), F_∗

C

^{X) (4.1.17)}

elde edilir. (4.1.16) ve (4.1.17) denklemlerinden ispat biter.

Benzer s¸ekilde D₂distrib¨usyonu ic¸in as¸a˘gıdaki ifade s¨oylenebilir.

Teorem 4.1.7. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X₂,Y₂∈ Γ(D2), X₁∈ Γ(D1) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in D₂distrib¨usyonunun M manifoldu

¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art (∇F∗)(X₂, JX₁) ∈ Γ(F∗(µ))

ve

− 1 λ²

g_N(∇^F_JY2F_∗JX₂, F_∗J

C

^{X) = g}M(Y₂,

B

^TX2

B

^{X) + g}M(X₂,Y₂)g_M(

H

^{gradlnλ, J}

C

^X)

dır.

˙Ispat. ∀X₂,Y₂∈ Γ(D2), X₁∈ Γ(D1) ve X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ic¸in, Tanım 4.1.1 den D₂ dist-rib¨usyonunun M manifoldu ¨uzerinde tamamen jeodezik foliasyon tanımlaması ic¸in gerek ve yeter s¸art g_M(∇^M_X2Y₂, X₁) = 0 ve g_M(∇^M_X2Y₂, X ) = 0 dır. M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1) denklemi kullanılırsa

g_M(∇^M_X2Y₂, X₁) = −g_M(JY₂,

H

^∇MX2JX₁)

elde edilir. F bir konform submersiyon oldu˘gu ic¸in, (2.1.6) ve (2.6.1) denklemleri kul-lanılırsa

g_M(∇^M_X2Y₂, X₁) = 1

λ²g_N((∇F∗)(X₂, JX₁), F_∗JY₂) (4.1.18) bulunur. Di˘ger taraftan M bir Kaehler manifold oldu˘gundan (2.5.1), (2.4.6) ve (4.1.4) denklemleri kullanılırsa

g_M(∇^M_X2Y₂, X ) = −g_M(JY₂, T_X2

B

^{X) + g}M(∇^M_JY2JX₂, J

C

^X)

dır. F bir konform submersiyon oldu˘gundan, Tanım 4.1.1 ve (2.6.1) denklemi kullanılırsa g_M(∇^M_X2Y₂, X ) = −g_M(JY₂, T_X2

B

^{X) + 1}

λ²g_N{−JY₂(lnλ)F_∗JX₂− JX₂(lnλ)F_∗JY₂ + g_M(JY₂, JX₂)F_∗(gradlnλ) + ∇^F_JY2F_∗JX₂, F_∗J

C

^X}

= g_M(Y₂,

B

^TX2

B

^{X) + g}M(Y₂, X₂)g_M(

H

^{gradlnλ, J}

C

^X)

+ 1

λ²g_N(∇^F_JY2F_∗JX₂, F_∗J

C

^{X) (4.1.19)}

elde edilir. (4.1.18) ve (4.1.19) denklemlerinden ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.6 ve Teorem 4.1.7 den as¸a˘gıdaki sonuc¸ bulunur.

Teorem 4.1.8. (M, g_M, J_M) bir Kaehler manifold, (N, g_N) bir Riemann manifold ve F : (M, g_M, J_M) −→ (N, g_N) bir konform yarı-invaryant submersiyon olsun. Bu durumda

∀X₁,Y₁∈ Γ(D1), X ∈ Γ((c¸ekF∗)^⊥) ve X₂,Y₂∈ Γ(D2) ic¸in F d¨on¨us¸¨um¨un¨un lifleri D₁ve D₂ distrib¨usyonlarının yerel c¸arpım manifoldu olması ic¸in gerek ve yeter s¸art

(∇F∗)(X₁, JY₁) ∈ Γ(F∗(µ)),

1

λ²g_N((∇F∗)(X₁, JY₁), F_∗

C

^{X) = g}M(Y₁, T_X1ω

B

^X)

ve

(∇F∗)(X₂, JX₁) ∈ Γ(F∗(µ)),

− 1

λ²g_N(∇^F_JY2F_∗JX₂, F_∗J

C

^{X) = g}M(Y₂,

B

^TX₂

B

^{X) + g}M(X₂,Y₂)g_M(

H

^{gradlnλ, J}

C

^X)

dır.

Belgede T. C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U KOMPLEKS GEOMETR˙IDE KONFORM SUBMERS˙IYONLAR Mehmet Akif AKYOL DOKTORA TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI TEMMUZ 2015 (sayfa 76-92)