BEKLENEN DEĞER ve VARYANS
Tanım X bir rasgele değişken ve g : bir fonksiyon olmak üzere, i) X kesikli ve
x D
Xg x f x
olduğunda,
x D
XE g X g x f x
ii) X sürekli ve g x f x dx
olduğunda,
E g X g x f x dx
sayısına g X in beklenen değeri denir.
Tanım X bir rasgele değişken, c ve k bir doğal sayı olmak üzere:
a) E X c k değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti, b) E X k değerine X ‘in k ‘inci momenti,
c) E X değerine X ‘in beklenen değeri, d) E X EX 2 değerine X ‘in varyansı,
e) E X X 1 X 2 X k 1 değerine X ‘in k ‘inci çarpımsal momenti denir.
Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri X veya sadece varyansı ise
Var X veya sadece X 2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne standart sapma 2 denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması X veya sadece ile gösterilmektedir.
Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3 4 1
0
x x
f x
d y
olsun.
2 4
1 1
3 3
( ) 3
2 2
x f x dx x x dx x
olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve
4 2
1 1
3 3
( ) 3
2 2
E X xf x dx x x dx x
dır. 3 için x 3 x dx 4
integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur.
Teorem a b olmak üzere,
2
) )
a E aX b aE X b b Var aX b a Var X
c Var X ) E X 2 E X ( ) 2
İspat: a) Kesikli halde,
1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x
E X
E a bX a bx f x a f x b xf x a bE X
sürekli halde,
1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
E X
E a bX a bx f x dx a f x dx b xf x dx a bE X
dır.
b) Var aX ( b ) E aX b E aX ( b ) 2 E aX b aE X ( ) b 2 E aX aE X ( ) 2 a E X 2 E X ( ) 2 a Var X 2 ( ) c)
2 2 2 2 2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
( )
Var X E X E X E X XE X E X E X E X E X E X E X E X
Örnek X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
1 2 1 0 1 2 3
f x 6 x olsun.
3
2
1 1 1 1 1 1 1
( 2) ( 1) 0 1 2 3
6 6 6 6 6 6 2
x
E X xf x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 19
( 2) ( 1) 0 1 2 3
6 6 6 6 6 6 6
x
E X x f x
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1 1 27
( 2) ( 1) 0 1 2 3
6 6 6 6 6 6 6
x
E X x f x
2 2 19 1 2 35
( ) ( ) ( ( )) ( )
6 2 12
Var X E X E X
dır.
Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3 4 1
0
x x
f x
d y
olsun.
2 4
1 1
3 3
( ) 3
2 2
x f x dx x x dx x
olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve
4 2
1 1
3 3
( ) 3
2 2
E X xf x dx x x dx x
dır. 3 için x 3 x dx 4
integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur.
2 2 2 4 1
1 1
( ) 3 3 3
1 E X x f x dx x x dx x
olmak üzere, X rasgele değişkenin varyansı,
2 2 2 3 2 25
( ) ( ) ( ( )) 3 ( )
2 36
Var X E X E X
dır. Bir rasgele değişkenin varyansının var olması için ikinci momentinin var olması yeterlidir.
Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2 3 1
0
x x
f x
d y
olduğunda X in birinci momenti (beklenen değeri) var ve
3 1
1 1
( ) 2 2 2
1 E X xf x dx x x dx x
olup, ikinci momenti, dolayısı ile varyansı yoktur.
Örnek X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
e x 0 1 2 ( 0)
f x x …
x
olsun.
0
x
x
x e
x olduğundan X in bütün momentleri vardır.
1
0 1 1 0
( ) ( 1)
x x x n
x x x n
e e
E X x x e e
x x x n
dır. X 2 X X ifadesinden faydalanarak, 1 X
2
0
2
2 2
2
2
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
E X E X X E X
x x e x
x x e x
e x
elde edilir. Buradan,
2 2
Var X E X EX bulunur.
Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 / 5
5 0
0
e x x
f x
d y
olsun.
5 0
0 0
( ) 1
5
x
u dv
E X xf x dx x e dx uv vdu
5
5 5 5
0 0
0
0
( ) 5
1 5
x
x x x
xe e dx e dx e
2 2 5
0
0 0
( ) 1
5
x
u dv
E X x f x dx x e dx uv vdu
2 5 5 5 5
0 0 0
0
( )2 2 10 1 50
5
x x x x
x e e xdx e xdx e xdx
ve
2 2 50 5 2 25
Var X E X EX elde edilir.
Örnek Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği parçaların sayısı X olsun. X in olasılık fonksiyonunun
5 4 1 5 0 1 2 3 4 5
5 5
x x
f x x
x
x 0 1 2 3 4 5
5 4 1 5
5 5
x x
f x x
1 3125
20 3125
160 3125
640 3125
1280 3125
1024 3125 olduğu bilinsin.
5
0
1 20 160 640 1280 1024
( ) ( ) 0 1 2 3 4 5 4
3125 3125 3125 3125 3125 3125
x
E X xf x
5
2 2
0
( ) ( 4) ( 4) ( )
x
Var X E X x f x
2