• Sonuç bulunamadı

Tanım X bir rasgele değişken ve g : bir fonksiyon olmak üzere, i) X kesikli ve    

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Tanım X bir rasgele değişken ve g : bir fonksiyon olmak üzere, i) X kesikli ve    "

Copied!
6
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

BEKLENEN DEĞER ve VARYANS

Tanım X bir rasgele değişken ve g : bir fonksiyon olmak üzere, i) X kesikli ve    

x D

X

g x f x

   olduğunda,

       

x D

X

E g X g x f x

 

ii) X sürekli ve g x f x dx    



   olduğunda,

       

E g X g x f x dx



 

sayısına g X   in beklenen değeri denir.

Tanım X bir rasgele değişken, c ve k bir doğal sayı olmak üzere:

a) E X ck  değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti, b) E X   k   değerine X ‘in k ‘inci momenti,

c) E X   değerine X ‘in beklenen değeri, d) E X EX2  değerine X ‘in varyansı,

e) E X X 1  X 2   X   k 1  değerine X ‘in k ‘inci çarpımsal momenti denir.

Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri  X veya sadece   varyansı ise

 

Var X   veya sadece X 2  ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne standart sapma 2 denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması  X veya sadece  ile gösterilmektedir.

Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 

3 4 1

0

x x

f x

d y

   

  

   

 olsun.

2 4

1 1

3 3

( ) 3

2 2

x f x dx x x dx x

   



    

  

olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve

  4 2

1 1

3 3

( ) 3

2 2

E X xf x dx x x dx x

   



   

  

(2)

dır.   3 için x 3 x dx 4

 

  integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur.

Teorem a b   olmak üzere,

   

  2  

) )

a E aX b aE X b b Var aX b a Var X

  

 

c Var X )   E X 2 E X ( )2

İspat: a) Kesikli halde,

1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

E X

E a bX a bx f x a f x b xf x a bE X

sürekli halde,

1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E X

E a bX a bx f x dx a f x dx b xf x dx a bE X

dır.

b) Var aX ( b ) E aX b E aX ( b ) 2 E aX b aE X ( ) b 2 E aX aE X ( ) 2 a E X 2 E X ( ) 2 a Var X 2 ( ) c)

       

 

2 2 2 2 2

2 2

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

( )

Var X E X E X E X XE X E X E X E X E X E X E X E X

 

 

 

 

 

 

       

 

Örnek X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu

  1 2 1 0 1 2 3

f x  6  x        olsun.

  3  

2

1 1 1 1 1 1 1

( 2) ( 1) 0 1 2 3

6 6 6 6 6 6 2

x

E X xf x



                

  2 3 2   2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 19

( 2) ( 1) 0 1 2 3

6 6 6 6 6 6 6

x

E X x f x



                

  3 3 3   3 3 3 3 3 3

2

1 1 1 1 1 1 27

( 2) ( 1) 0 1 2 3

6 6 6 6 6 6 6

x

E X x f x



                

2 2 19 1 2 35

( ) ( ) ( ( )) ( )

6 2 12

Var X E X E X

dır.

(3)

Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 

3 4 1

0

x x

f x

d y

   

  

   

 olsun.

2 4

1 1

3 3

( ) 3

2 2

x f x dx x x dx x

   



    

  

olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve

  4 2

1 1

3 3

( ) 3

2 2

E X xf x dx x x dx x

   



   

  

dır.   3 için x 3 x dx 4

  integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den büyük olan momentleri yoktur.

  2 2 2 4 1

1 1

( ) 3 3 3

1 E X x f x dx x x dx x

   



   

  

olmak üzere, X rasgele değişkenin varyansı,

2 2 2 3 2 25

( ) ( ) ( ( )) 3 ( )

2 36

Var X E X E X

dır. Bir rasgele değişkenin varyansının var olması için ikinci momentinin var olması yeterlidir.

Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,  

2 3 1

0

x x

f x

d y

   

  

   

olduğunda X in birinci momenti (beklenen değeri) var ve

  3 1

1 1

( ) 2 2 2

1 E X xf x dx x x dx x

   



   

  

olup, ikinci momenti, dolayısı ile varyansı yoktur.

Örnek X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,

  e x 0 1 2 ( 0)

f x x

x

  

       

olsun.

0

x

x

x e

x olduğundan X in bütün momentleri vardır.

(4)

1

0 1 1 0

( ) ( 1)

x x x n

x x x n

e e

E X x x e e

x x x n

dır. X 2 X X    ifadesinden faydalanarak, 1X

   

 

 

 

2

0

2

2 2

2

2

1

1

1

2

x

x

x

x

x

x

E X E X X E X

x x e x

x x e x

e x

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

  

  

 

 

 

elde edilir. Buradan,

  2   2

Var XE X      EX   bulunur.

Örnek X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

 

1 / 5

5 0

0

e x x

f x

d y

   

 

      

 olsun.

  5 0

0 0

( ) 1

5

x

u dv

E X xf x dx x e dx uv vdu

    



      

5

5 5 5

0 0

0

0

( ) 5

1 5

x

x x x

xe e dx e dx e

2 2 5

0

0 0

( ) 1

5

x

u dv

E X x f x dx x e dx uv vdu

    

 

 

 



      

2 5 5 5 5

0 0 0

0

( )2 2 10 1 50

5

x x x x

x e e xdx e xdx e xdx

ve

(5)

  2   2 50 5 2 25

Var XE X EX    elde edilir.

Örnek Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği parçaların sayısı X olsun. X in olasılık fonksiyonunun

  5 4 1 5 0 1 2 3 4 5

5 5

x x

f x x

x

     

                  

x 0 1 2 3 4 5

  5 4 1 5

5 5

x x

f x x

     

           

1 3125

20 3125

160 3125

640 3125

1280 3125

1024 3125 olduğu bilinsin.

5

0

1 20 160 640 1280 1024

( ) ( ) 0 1 2 3 4 5 4

3125 3125 3125 3125 3125 3125

x

E X xf x

5

2 2

0

( ) ( 4) ( 4) ( )

x

Var X E X x f x

2

1

2

20

2

160

2

640

2

1280

2

1024 4

(0 4) (1 4) (2 4) (3 4) (4 4) (5 4) 0.8

3125 3125 3125 3125 3125 3125 5

İşlenmemiş parçanın alış değeri a , işleme masrafı b , kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük kazancın beklenen değeri nedir?

K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere,

K   5a b      5 X c Xd 5( c a b     ) ( d c X )

olarak ifade edilebilir.

 

  2

( ) 5( ) ( ) 5( ) ( ) ( )

( ) 5( ) ( ) ( ) ( )

E K E c a b d c X c a b d c E X Var X Var c a b d c X d c Var X

         

      

olmak üzere, örneğin işlenmemiş parçanın alış değeri a =100 TL, işleme masrafı b =100 TL, kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c =10 TL ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri

d =310 TL olduğunda,

5( ) ( ) 950 300

Kc a b    dc X    X

2 2

( ) 950 300 ( ) 950 300 4 250

( ) 300 ( ) 300 4 72000

5 72000 268.3

X

E K E X

Var X Var X

       

   

 

Günlük kazancın beklenen değeri, başka bir ifade ile ortalama günlük kazanç 250 TL dir.

Günlük kazancın olasılık dağılımı,

x 0 1 2 3 4 5

(6)

P X (  x ) 1 3125

20 3125

160 3125

640 3125

1280 3125

1024 3125 950 300

k    x -950 -650 -350 -50 250 550

P K (  k ) 1

3125

20 3125

160 3125

640 3125

1280 3125

1024 3125

olmak üzere, bazı günlerde 550 TL kazanç olduğu gibi, 950, 650 ya da 350 TL kayıp söz konusu

olabilir.

Referanslar

Benzer Belgeler

K¨ o¸segeni 10 olan dikd¨ ortgenler arasında, bir kenarı etrafında d¨ ond¨ ur¨ uld¨ u˘ g¨ unde en b¨ uy¨ uk silindiri olu¸sturan dikd¨ ortgenin kenar

.} olarak kabul

Dik prizmaları tanır, temel elemanlarını belirler, inşa eder ve açınımını çizerX. Dik dairesel silindirin temel elemanlarını belirler, inşa eder ve

11. 52 yafl›ndaki bir baban›n üç çocu¤undan iki tanesi ikizdir. Di¤er çocuk, ikizlerden 5 yafl büyüktür. Bir baba ve iki çocu¤unun yafllar› toplam› 49 dur. Bir anne

Ortogonal Polinomlara Örnekler.

Kutuda kalan; mavi bilyelerin sayısı, siyah bilyelerin sayısından 10 fazla olduğuna göre, son durumda kutuda en çok kaç siyah bilye

alınırsa bu fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu denir ve lnx

Aşağıdaki çarpma işlemi gerektiren problemleri çözünüz. 1) 36 sayısının 23 katı kaç eder? 6) Ahmet 24 sayfalık fotoğraf albümünün her sayfasına 6 fotoğraf koymuş. Her