LOGARİTMA
I. Üstel Fonksiyonlar ve Logaritmik Fonksiyonlar
34
x eşitliğini sağlayan x değerini bulmak için yapılan işleme üs alma işlemi denir. ( x = 3.3.3.3 = 81)
34
3y eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. ( y = 4)
Buraya kadar anlatılan bilgiler 4a 5 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.
A. Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonları daha iyi anlayabilmek için iyi bilmemiz gerekir.
} 1 { R
a ve xR olmak üzere f:RR , ax
) x (
f biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.
0
a olduğundan f(x)ax 0 olur.
Örnek:
1
a olmak üzere f(x)ax fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
Yukarıdaki tabloda x değerleri artarken y değerlerinin de arttığı görülmektedir.
Tablodaki (x,y) sıralı ikililerini koordinat sisteminde işaretleyelim.
İşaretlediğimiz bu noktaları uygun şekilde birleştirdiğimizde 1
a olmak üzere f(x)ax fonksiyonunun grafiğini çizmiş oluruz. Aşağıdaki şekilde f(x)ax in grafiği verilmiştir.
Örnek:
1 a
0 olmak üzere f(x)ax fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1 a
0 ise a
a
1 dır.
1 a
0 olmak üzere, yax fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
B. Logaritma Fonksiyonu
} 1 { R
a olmak üzere f:RR , f(x)ax biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
R R :
f , x
loga ) x 1(
f şeklinde gösterilir.
Buna göre, x x ay
loga
y olur.
ax log
y ifadesinde yR sayısına xR sayısının a tabanına göre logaritması denir ve “y eşittir a tabanına göre logaritma x” şeklinde okunur.
Örnek:
x 5
4 olduğuna göre göre, x in değerini bulalım.
Çözüm:
x 5
4 ise 5
log4 x tir.
Örnek:
3 8
2 olduğuna göre göre 8 3 log2 tür.
Örnek:
75 log 2
a olduğuna göre 7a2 5 tir.
Örnek:
135 log a .
12 olduğuna göre 12a 5
13 tir.
Örnek:
2 8
3x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
8 9 x. 3 2 8
3 x. 3 2 8
3x
9 8 log3 9 x
x 8
3
Örnek:
5125 log
x olduğuna göre 5x 125 olup x3 tür.
C. Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
Örnek:
66 log
x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
66 log
x ise 6x 6 olup x1 dir.
Buna göre 6 1
log6 dir.
Sonuç
Birden farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir.
Buna göre, her aR {1} için a 1 loga dir.
Örnek:
61 log
x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
61 log
x ise 6x 1 olup x0 dır.
Buna göre 1 0
log6 dır.
Sonuç
Her tabana göre 1 reel sayısının logaritması 0 dır.
Buna göre, her aR {1} için 1 0 loga dır.
Örnek:
81 log 2525 log
x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
1 0 1 81 log 2525 log
x bulunur.
Kural
Her aR {1} , her bR ve m,nR için,
b loga n. m m n b a
log dir.
b
loga n. b 1 an
log dir.
b
loga ..
m m ab
log dir.
Yukarıdaki son iki eşitlik, birinci eşitlikten kolayca elde edilebilir.
Örnek:
525 log
x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
2 x 2 1 . 5 2 log5 . 2 2 55 log 525 log
x dir.
Örnek:
4 216 log 4 1 . 4 22 log . 4 4 22 log 216
log tür.
Örnek:
327 log
x olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm:
6 1 . 3 6 log3 . 2 1 3 3 3 2 1 3 log 327 log
x dır.
II.Yol
Logaritmanın temel özelliğini kullanalım.
327 log
x ise 33
x 2 1 3 x 27
3
33 2 x
3
6 x 2 3
x
Örnek:
5x
y ise, y
log5
x dir. Bu durumda f(x)5x
fonksiyonunun tersi x
log5 ) x 1(
f olur.
Uyarı
) x (
f in grafiği ile f1(x) in grafiği yx doğrusuna göre simetriktir.
Örnek:
0
a olmak üzere x
loga ) x (
f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
ax ) x (
f ise x
loga ) x 1(
f olur.
0
a olmak üzere x
loga
y fonksiyonunun grafiğini aşağıda verilmiştir.
Örnek:
1 a
0 olmak üzere x
loga ) x (
f fonksiyonunun
grafiğini çizelim.
Çözüm:
ax ) x (
f ise x
loga ) x 1(
f olur.
1 a
0 olmak üzere, yax fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
Kural
Her aR {1} ve her x,yR olmak üzere, pozitif reel sayıların çarpımının logaritması, bu sayıların logaritmaları toplamına eşittir.
Buna göre,
y
loga ax log ) y . x a(
log olur.
Örnek:
3 2a
log ve b3 6
log2 olduğuna göre (a.b) log2 kaçtır?
Çözüm:
2 2b log 6 2b log . 3 3 6
2b
log dir.
3 2a
log ve b 2
log2 olduğuna göre 5 2 3 2b log 2a log ) b . a 2(
log tir.
II.Yol
3 8 2 a 3 2a
log dir.
4 3 b
3 4 6 b 3 2 b 3 6
2b
log tür.
5 22 log . 5 5 22 log 232 log ) b . a 2(
log tir.
Örnek:
ay log ax
log ifadesinin özdeşini bulalım.
Çözüm:
ay log ).
1 ( ax log ay log ax
log
(x.y 1)
loga y 1 loga ax
log
y x loga
Sonuç
Pozitif reel sayıların bölümünün logaritması, bu sayıların logaritmaları farkına eşittir.
Buna göre,
y
loga ax y log x
loga olur.
Örnek:
35 log 32 5 log 2
log3
Örnek:
x 25
log olduğuna göre 2,5
log4 ifadesinin x türünden değerini bulalım.
Çözüm:
) 22 log 25 .(log 2 1 2 5 log2 2. 1 2 5 22 log 5 , 42
log
2 1 ) x 1 x 2.(
1
Kural
Her a,cR {1} ve her bR olmak üzere,
ca log
cb lo ab
log dır.
Bu kurala taban değiştirme kuralı denir.
Örnek:
c2 log
c17 log 32 log
317 log 112 log
1117 log 32 log
317 log 217
log
217
log sayısının üç eşitini yukarıda yazdık. c yerine 1 den farklı herhangi bir pozitif sayı yazarak eşitliği arttırabiliriz.
Örnek:
x 25
log olduğuna göre 10
log5 ifadesinin x türünden değerini bulalım.
Çözüm:
x ) 2 . 5 2( log 25 log
210 10 log
log5
x 1 x x
22 log 25
log
II.Yol
x 25
log ise 52x tir.
Buna göre,
x) 2 . 2 x( 2 log ) 2 . 5 5( log 510
log
x 1 1 x 2x 2x
log
Örnek:
x 138
log olduğuna göre 13
log8 ifadesinin x türünden değerini bulalım.
Çözüm:
x 1 138 log
1313 log 813
log bulunur.
Sonuç
ba log b 1
loga dır.
Örnek:
y 23
log olduğuna göre 2
log27 ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
y 3
1 23 log . 3
1 33
log2 1 227
log 2 1
log27 olur.
Örnek:
38 log . 23
log işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
32 log . 23 log . 3 3 32 log . 23 log 38 log . 23
log
3.1 3
23 log . 1 23 log .
3
Sonuç
a 1
logb . ab
log dir.
c
loga bc log . ab
log dir.
d
loga cd log . bc log . ab
log dir.
Örnek:
516 log . 75 log . 27
log işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
24 log2 216 log 516 log . 75 log . 27
log
4 22 log .
4
Örnek:
27 log
2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
7 x log2
2 olsun.
Eşitliğin her iki tarafının 7 tabanında logaritması alınırsa,
7x log 72 log . 27 log 7x 7 log log2 72
log
x x 71 7
log7
1
O halde 7 7
log2
2 bulunur.
Sonuç
} 1 { R c ,
a ve bR olmak üzere,
b b
loga
a dir.
b blogxa
logx
a dır.
Örnek:
8 38 log
3 dir.
Örnek:
53 log 7 57 log
3 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
53 log 7 57 log
3 olduğundan,
3 0 log5 3 7 log5 3 7 log5 7 7 log5
3 olur.
D. Onluk Logaritma Fonksiyonu
ax log ) x (
f fonksiyonunda taban a10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir. Kısaca logx şeklinde gösterilir.
R R :
f , x logx
log10 ) x (
f şeklindedir.
İşlemlerimizde genellikle x
log10 yerine logx ifadesini kullanacağız.
Örnek:
2 1 . 2 1010 log . 2 2 1010 log 100
log dir.
Örnek:
1 1010 log ) 5 . 2 log(
5 log 2
log dir.
Örnek:
51 1051 log 51 10
10log dir.
Örnek:
2 102 log 10 10 log2
1
10 dir.
Örnek:
1011 1 ,
0 sayısının onluk logaritmasını bulalım.
Çözüm:
10 6 2 12 12 10
11 10 10 .1 11 10
10 1 ,
0
olduğuna göre,
6 6 10 11 log 10
1 ,
log 0 dır.
Örnek:
x 4
log olduğuna göre log5 ifadesinin x türünden değerini bulalım.
Çözüm:
2 2 x log x 2 log . 2 2 x
2 log x 4
log dir.
2 x 2 2 1 x 2 log 10 2 log log10 5
log
dir.
Örnek:
301 , 0 2
log olduğuna göre log50 nin eşitini bulalım.
Çözüm:
301 , 0 2
log olduğuna göre,
2 2 log 10 log 2 log 100 2 log log100 50
log
2.log10log22.10,6991,699 dur.
Sonuç
1 den büyük sayıların 10 tabanına göre logaritması pozitiftir.
Örnek:
301 , 0 2
log olduğuna göre log0,002 nin eşitini bulalım.
Çözüm:
10 log . 3 2 log 3) 10 . 2 log(
002 , 0
log
699 , 2 3 301 ,
0
Sonuç
1 den küçük pozitif sayıların 10 tabanına göre logaritması negatiftir.
Örnek:
096 , 3 x
log olduğuna göre, x sayısının tam kısmı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
x in onluk logaritması (10 tabanına göre logaritması) pozitif olduğu için x, 1 den büyüktür.
3 3 10 log 1000
log ve log10000log104 4 olduğuna göre,
10000 log x log 1000
log olup,
10000 x
1000 tir.
Bu durumda x sayısı 1000 ile 10000 arasındadır. Bu aralıktaki sayıların tam kısmı 4 basamaklıdır.
Sonuç
1
x olmak üzere x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının 1 eksiğine eşittir.
Örnek:
4 sayısı 1 basamaklı olduğundan, 4 ün onluk logaritmasının tam 110 dır.
Buna göre, . . . , 0 4
log olur.
Örnek:
23 sayısı 2 basamaklı olduğundan, 23 ün onluk logaritmasının tam 211 dir.
Buna göre, . . . , 1 23
log olur.
Örnek:
4523,12 sayısının tam kısmı 4 basamaklı olduğundan, 4523,12 sayısının onluk logaritmasının tam 413 tür.
Buna göre, . . . , 3 12 , 4523
log olur.
Örnek:
x in onluk logaritmasının tam kısmı 35 ise, x in tam kısmı 36 basamaklıdır.
Buna göre, logx35, . . . ise x in tam kısmı 36 basamaklıdır.
Örnek:
477 , 0 3
log olmak üzere 347 sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
347
x denilirse,
419 , 22 477 , 0 . 47 3 log . 47 47 3 log x
log olup,
347
x sayısının onluk logaritmasının tam kısmı 22 olduğundan, bu sayı 23 basamaklıdır.
Uyarı
108 .
2 sayısının 9 basamaklı olduğunu biliyoruz.
301 , 0 2
log eşitliği kullanılarak 2.108 sayısının 9 basamaklı olduğu görülebilir.
Örnek:
9 1702617153 ,
0 2 9 1702617153 ,
2 148
log olur.
Bu işlemde, 148 in onluk logaritmasının 2 olduğunu 148 in üç basamaklı olmasından bulabiliriz. Ancak 148 in onluk logaritmasının ondalık kısmının yaklaşık değerinin 0,17026171539 olmasını hesap makinesinden veya logaritma cetvelinden bulabiliriz. Ancak ÖSS de bunlar yasak olduğundan sayıların onluk logaritmalarının ondalık kısmı direk sorulmaz.
Örnek:
1 1 10 log 1 , 0
log dir.
0,1 de 1 tane sıfır vardır.
0,1 in onluk logaritması -1 e eşittir.
Örnek:
001 , 0 log 000502 , 0 log 0001 , 0
log
10 3 log 000502 , 0 4 log 10
log
3 000502 , 0 log
4
ise,
. . . , 3 000502 , 0
log olur.
Örnek:
0001 , 0 log 0000502 , 0 log 00001 , 0
log
10 4 log 0000502 , 0 5 log 10
log
4 000502 , 0 log
5
ise,
. . . , 4 000502 , 0
log olur.
Örnek:
00001 , 0 log 0000010202 ,
0 log 000001 , 0
log
10 5 log 0000010202 ,
0 6 log 10
log
5 0000010202 ,
0 log
6
ise,
. . . , 5 0000010202 ,
0
log olur.
Sonuç
1 x
0 olmak üzere x in ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logx in eşitinin tam kısmı - (K-1) dir.
Örnek:
. . . , 7 22 0000000090 ,
0
log dir.
Örnek:
. . . , 2 003122 , 0
log dir.
Örnek:
. . . , 1 04509 , 0
log dir.
E. Doğal Logaritma Fonksiyonu
ax log ) x (
f fonksiyonunda taban ...
5360287 8245904523 7182818281
, 2
e alınırsa
( e sayısı irrasyonel bir sayıdır. Yaklaşık değerini e2,718 kabul ederiz.) f(x) fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,
R R :
f , x lnx
loge ) x (
f olur. İşlemlerimizde genellikle x
loge yerine lnx ifadesini kullanacağız.
Örnek:
1 e ln ee
log dir.
Örnek:
2 e ln 2 2) e e(
log dir.
Örnek:
y ln x ln ) y . x
ln(
Örnek:
x
! 100
ln olduğuna göre, ln99! in x türünden eşitini bulunuz.
Çözüm:
10 ln . 2 x 100 ln
! 100 100 ln
! ln100
! 99
ln
Örnek:
9
eln ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
9 e9 log 9 e
eln bulunur.
Örnek:
5 ln
1
5 ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
e e log5 5 5 loge
1 5 5 ln
1
5 bulunur.
Örnek:
x 289
ln ve ln2y olduğuna göre, 17
log2 ifadesinin x ve y türünden eşitini bulalım.
Çözüm:
2 17 x ln x 17 ln . 2 2 x
17 ln x 289
ln
Taban değiştirme kuralına kullanarak 17 log2 nin e tabanındaki eşitini yazarsak,
y 2
x y 2 x 2 ln
17 17 ln
log2 bulunur.
Örnek:
x 2
ln ve ln3y olduğuna göre, 12
log6 nin x ve y türünden eşitini bulalım.
Çözüm:
y x
y x 2 3 ln 2 ln
3 ln 2 ln . 2 ) 3 . 2 ln(
) 3 2. 2 ln(
6 ln
12 12 ln log6
II.Yol
ex 2 x 2
ln tir. ln3y3ey dir.
Buna göre,
y) e x. e2 ( y) e x. e ( log 3 2. 32 . log2 612
log
y x
y x e 2 loge . y x
y x y 2 x e2 y ex log 612
log
Örnek:
5 ln
x olduğuna göre x sayısının tam kısmı kaçtır?
Çözüm:
1 e
ln , 2 2
e
ln ve e5e2 olduğuna göre,
2 5 ln 2 1
e ln 5 ln e
ln dir.
Bu durumda xln51,. . . olur.
Örnek:
x ln
y fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
2 e ln . 2 2 ee
log dir.
Buna göre ylnx in grafiği (e2,2) noktasından geçmektedir.
0 1
ln dır.
Buna göre ylnx in grafiği (1,0) noktasından geçmektedir.
Bu örnekleri çoğaltabiliriz.
Buna göre aşağıdaki tabloyu düzenleyelim:
Oluşturduğumuz tablodan hareketle ylnx
fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
Örnek:
) x 2 ln(
y fonksiyonunun grafiğini çizelim.
) x 2 ln(
y fonksiyonunun tanımlı olduğu aralığı bulalım:
2 x 0 x
2 dir.
Buna göre yln(2x) fonksiyonu (,2) aralığında tanımlıdır.
1
x için yln(21)ln10 dır.
Buna göre grafik (1,0) noktasından geçer.
0
x için yln(20)ln2 dir.
Buna göre grafik (0,ln2) noktasından geçer. Bu örnekleri çoğaltabiliriz.
Örnek:
2 ln
) 1 x y ln(
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
Fonksiyonunun tanımlı olduğu aralığı bulalım:
1 x 0 1
x dir.
Buna göre fonksiyon (1,) aralığında tanımlıdır.
Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulalım:
0 y için
2 x 1 1 x 0 ) 1 x ln(
2 0 ln
) 1 x
ln(
dir.
Buna göre grafik Ox eksenini (2,0) noktasında kesmektedir.
0
x için y tanımsızdır. Bu nedenle grafik Oy eksenini kesmez.
3
x için 1
2 ln
2 ln 2 ln
) 1 3
y ln(
dir.
Buna göre grafik (3,1) noktasından geçer.
Bu örnekleri çoğaltabiliriz.
Örnek:
) 1 x 2( log
y fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
2 ln
) 1 x ) ln(
1 x 2( log
y
olduğuna göre,
bir önceki örnekte verdiğimiz grafik (x 1) log2
y in
grafiğidir.
II. Logaritmalı Denklemler
Bilinmeyeni logaritmanın içerisinde bulunan denklemlere logaritmalı denklemler adı verilir. Logaritmalı denklemlerin çözümünde, üslü ifadelerin ve logaritmanın özellikleri kullanılır.
Uyarı
a sayısı 1 sayısından farklı pozitif bir sayı olmak üzere tabanı a olan logaritmalı denklem,
f(x) b f(x) ab
loga dir.
g(x) f(x) g(x)
loga ) x ( af
log
özellikleri kullanılarak çözülür.
Logaritmanın tanımından f(x)0 ve g(x)0 olmalıdır.
Örnek:
1 ) 2 x 4(
log olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
4 1 1 4 2 x 1 ) 2 x 4(
log
4 x 9 4 2
x1
