ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MARJİNALLERİ ÜSTEL OLAN KOŞULLU FARLIE-GUMBEL-
MORGENSTERN DAĞILIMI İLE ELDE EDİLEN TEK BOYUTLU YENİ BİR DAĞILIM ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Hüseyin ÜNÖZKAN
İSTATİSTİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2016
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAY SAYFASI
Hüseyin ÜNÖZKAN tarafından hazırlanan “Marjinalleri Üstel Olan Koşullu Farlie- Gumbel-Morgenstern Dağılımı ile Elde Edilen Tek Boyutlu Yeni Bir Dağılım Üzerine Bir Çalışma” adlı tez çalışması __/__/2016 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman : Doç. Dr. Mehmet YILMAZ Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı
Jüri Üyeleri :
Üye : Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÜNVER
Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı
Üye : Yrd. Doç. Dr. Altan TUNÇEL
Kırıkkale Üniversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. İbrahim DEMİR Enstitü Müdürü
i ETİK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim.
27/06/2016
Hüseyin ÜNÖZKAN
ii ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
MARJİNALLERİ ÜSTEL OLAN KOŞULLU FARLIE-GUMBEL-MORGENSTERN DAĞILIMI İLE ELDE EDİLEN TEK BOYUTLU YENİ BİR DAĞILIM ÜZERİNE
BİR ÇALIŞMA Hüseyin ÜNÖZKAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Mehmet YILMAZ
Günümüzde istatistik biliminde daha uygun sonuçların elde edilmeye çalışılması ve geleceğe ilişkin tahminlerin daha gerçeğe yakın olması hedeflenmiştir. Bunun için de incelenecek verilerin daha uygun dağılımlar ile modellenmesi gerekliliği doğmuştur.
Uzun süredir kullanılan ve en çok bilinen istatistik dağılımlarına ek olarak yeni dağılımlar üretilmiştir. Verileri daha çok temsil edebilecek modeller üzerinden hesaplamalar ve tahminler yaparak güvenilirliğin arttırılması hedeflenmiştir. Yeni dağılım türetme yöntemleri var olmak ile beraber son yıllarda adından sıkça bahsettiren bir konu da Dönüştürülmüş dağılımlar olarak karşımıza çıkmaktadır. Mevcut dağılımların belirli bir formül dahilinde kullanılarak yapıları değiştirilmekte ve bu esnek yapıların bazı veri grupları için mevcut dağılımlara kıyasla daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmektedir. Bu çalışmada, marjinalleri Üstel olan koşullu Farlie-Gumbel- Morgenstern dağılımı ile yeni bir dağılım türetilerek, dağılım özellikleri ve karakteristikleri incelenmiştir. Dağılımın yapısı istatistiksel olarak ele alınmış, bilinen parametre tahmin metotları ile parametrelerin tahmin yöntemleri irdelenmiştir. Bunun yanı sıra, sistem ve güvenilirlik analizinde kullanılan bazı temel kavramlar incelenmiştir. Literatürde kullanılmış verilerden yararlanarak, dağılımın türlü alanlarda uygulanabilirliği gösterilmeye çalışılmıştır.
Haziran 2016, 108 sayfa
Anahtar Kelimeler: Farlie-Gumbel-Morgenstern Dağılımı, Copula, Transmuted Dağılımlar, Güvenilirlik İncelemesi, Dağılım Türetme, Üstel dağılım, Koşullu Dağılım.
iii ABSTRACT
Master Thesis
A STUDY ON A NEW UNIVARIATE DISTRIBUTION OBTAINED VIA THE CONDITIONAL FARLIE-GUMBEL-MORGENSTERN DISTRIBUTION WITH
EXPONENTIAL MARGINALS
Hüseyin ÜNÖZKAN
Ankara University
Graduate School Institute of Natural and Applied Sciences Department of Statistics
Supervisor : Assoc.Prof.Dr. Mehmet YILMAZ
Today, studies for better results in statistics and better estimates for future is on target.
Through this, there needs more appropriate distributions for modeling data. So, new distributions generates adding to classical most known distributions. For increasing reliability, counting and estimating data with more presentable models were targeted.
There are methods of generating new distribution, in addition in recent years transmuted distributions has been a very popular subject. In transmutation theory, classical distributions are used with a formula and their structures are changed and this new structures are better than classical others for some data groups. In this study a new distribution was generated by conditional Farlie-Gumbel-Morgenstern distribution with exponential marginals, and specifications and characteristics of this new distribution was surveyed. Structure of new distribution was discussed statistically and parameter estimation for new distribution was investigated with known methods. Besides these, reliability analysis was carried out. And at last in which fields new distribution could use was detected by using data in literature.
June 2016, 108 pages
Key Words: Falie-Gumbel-Morgenstern Distribution, Copula, Transmuted Distributions, Reliability Analysis, Generating Distribution, Exponential Distribution, Conditional Distribution.
iv TEŞEKKÜR
Öncelikle bana desteğini esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam Doç. Dr. Mehmet YILMAZ(Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı)’a, Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğü çalışanı Sayın Salih BABAGİRAY’a, tez çalışmam esnasında desteğini esirgemeyen Ümit DİRİCAN’a ve çalışma boyunca desteğini hissettiren eşim Fahriye ve oğlum Göktürk’e teşekkür ediyorum.
Hüseyin ÜNÖZKAN Ankara, Haziran 2016
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAY SAYFASI
ETİK ... i
ÖZET ... ii
ABSTRACT ... iii
TEŞEKKÜR ... iv
KISALTMALAR DİZİNİ ... vii
ŞEKİLLER DİZİNİ ... viii
ÇİZELGELER DİZİNİ ... x
1. GİRİŞ ... 1
2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ÖZETLERİ ... 4
2.1 Üstel Dağılım ... 4
2.1.1 Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ... 5
2.1.2 Poisson sürecinin Üstel dağılım ile ilişkisi ... 6
2.1.3 Üstel dağılım sıra istatistikleri karakteristikleri ... 9
2.1.4 Üstel dağılımların kullanıldığı alanlar ... 10
2.2 FGM Dağılımı ... 12
2.2.1 Copula ... 12
2.2.2 FGM Dağılımının incelenmesi ... 16
2.3 Literatür İncelemesi ... 18
2.3.1 FGM Copulası (Dağılımı) çalışmaları ... 18
2.3.2 Dönüştürülmüş (Transmuted) Dağılımlar ile var olan benzerlikler ... 20
3. MATERYAL ve YÖNTEM ... 23
3.1 Parametre Tahmin Metotları ... 23
3.1.1 Momentler metodu ... 23
3.1.2 En küçük kareler metodu ... 24
3.1.3 En çok olabilirlik tahmini... 25
3.2. Kolmogorov-Smirnov Uyum Testi ... 28
3.3 Akaike Bilgi Kriteri (AIC) ... 31
4. BULGULAR ve TARTIŞMA ... 33
4.1 FGM Dağılımı Kullanılarak Yeni Tek Boyutlu Dağılımın Elde Edilmesi ... 33
4.1.1 Yeni dağılım ile Dönüştürülmüş yapının karşılaştırılması ... 35
4.2 Dağılımın İncelenmesi ... 38
4.2.1 Dağılım fonksiyonu ... 38
4.2.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu ... 42
4.2.3 Yaşam Fonksiyonu ... 46
vi
4.2.4 Bozulma oranı ... 51
4.2.5 Dağılıma ilişkin karakteristikler ... 58
4.3 Parametre Tahmini ... 63
4.3.1 Momentler metoduyla tahmin ... 63
4.3.2. En küçük kareler metoduyla tahmin ... 74
4.3.3 En çok olabilirlik tahmini... 82
4.4 Uygulama ve Sonuçları ... 88
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 102
KAYNAKLAR ... 105
ÖZGEÇMİŞ... 108
vii
KISALTMALAR DİZİNİ
Akaike Bilgi Kriteri
Basıklık Katsayısı Fonksiyonu
Çarpıklık Katsayısı Fonksiyonu
, Copula Fonksiyonu
k. Ham Moment
, İki Boyutlu Dağılım Fonksiyonu
, İki Boyutlu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Tek Boyutlu Dağılım Fonksiyonu
Dönüştürülmüş (Transmuted) Dağılım Fonksiyonu
Dönüştürülmüş (Transmuted) Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Kolmogorov-Smirnov Dağılım Fonksiyonu
; , , … , En Çok Olabilirlik Fonksiyonu
; , , … , Logaritmik Olabilirlik Fonksiyonu
Moment Çıkaran Fonksiyon
Ham Örneklem Momenti
Hata Kareleri Toplamı
Bozulma Oranı Fonksiyonu
Dağılımın Yaşam Fonksiyonu
Dağılımın Varyansı
Parametrenin Tahmini
viii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 3.1 Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiği örnek grafiği ... 30
Şekil 4.1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri... 35
Şekil 4.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri... 36
Şekil 4.3 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri... 37
Şekil 4.4 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri... 37
Şekil 4.5 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 39
Şekil 4.6 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 39
Şekil 4.7 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 40
Şekil 4.8 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 40
Şekil 4.9 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 41
Şekil 4.10 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 41
Şekil 4.11 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 42
Şekil 4.12 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 43
Şekil 4.13 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 43
Şekil 4.14 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 44
Şekil 4.15 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 44
Şekil 4.16 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 45
Şekil 4.17 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği ... 45
Şekil 4.18 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği ... 46
Şekil 4.19 λ [-1,0] için oluşacak sistemin şekilsel gösterimi ... 47
Şekil 4.20 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 48
Şekil 4.21 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 49
Şekil 4.22 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 49
Şekil 4.23 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği ... 50
Şekil 4.24 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 50
Şekil 4.25 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 53
Şekil 4.26 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri ... 54
Şekil 4.27 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,01, λ=-0,5 için grafiği ... 55
Şekil 4.28 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,1, λ=-0,5 için grafiği ... 56
Şekil 4.29 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=-0,5 için grafiği ... 56
Şekil 4.30 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=-0,5 için grafiği ... 57
ix
Şekil 4.31 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=0,5 için grafiği ... 57
Şekil 4.32 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=0,5 için grafiği ... 58
Şekil 4.33 Çarpıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği ... 61
Şekil 4.34 Basıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği ... 62
Şekil 4.35 Momentler tahmininde λ tahmininin θ parametre tahminine göre grafiği ... 74
Şekil 4.36 θ için momentler ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 79
Şekil 4.37 θ için momentler ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 80
Şekil 4.38 λ için momentler ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 81
Şekil 4.39 λ için momentler ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 81
Şekil 4.40 θ için en çok olabilirlik ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 86
Şekil 4.41 θ için en çok olabilirlik ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 87
Şekil 4.42 λ için en çok olabilirlik ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 87
Şekil 4.43 λ için en çok olabilirlik ve en küçük kareler parametre tahmin değerlerinin karşılaştırılması ... 88
x
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri ... 70
Çizelge 4.2 Parametrelere ait en küçük kareler tahmin değerleri ve RMSE değerleri ... 76
Çizelge 4.3 Parametrelere ait en çok olabilirlik tahmin değerleri ve RMSE değerleri ... 83
Çizelge 4.4 Veri seti 1 60 banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) ... 89
Çizelge 4.5 60 banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) verilerine ait test sonuçları ... 90
Çizelge 4.6 Veri seti 2 kömür madeni kazasız gün sayısı verisi ... 90
Çizelge 4.7 Kömür madeni kazasız gün sayısı verilerine ait test sonuçları ... 90
Çizelge 4.8 Veri seti 3 radyoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları ... 91
Çizelge 4.9 Radyoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları verilerine ait test sonuçları ... 91
Çizelge 4.10 Veri seti 4 radyoterapi ve kemoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları ... 91
Çizelge 4.11 Radyoterapi ve kemoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları verilerine ait test sonuçları ... 91
Çizelge 4.12 Veri seti 5 uçağa ait havalandırma sistemin bozuk olma zamanları ... 92
Çizelge 4.13 Uçağa ait havalandırma sistemin bozuk olma zamanları verilerine ait test sonuçları ... 92
Çizelge 4.14 Veri seti 6 Pamuk üretiminde başarılı dönem sayısı ... 93
Çizelge 4.15 Pamuk üretiminde başarılı dönem sayısı verilerine ait test sonuçları ... 93
Çizelge 4.16 Veri seti 7 Mesane kanseri hataları iyileşme zamanları (aylık) ... 93
Çizelge 4.17 Mesane kanseri hastaları iyileşme zamanları verilerine ait test sonuçları ... 94
Çizelge 4.18 Mesane kanseri hastaları iyileşme zamanları verilerine ait test sonuçları ... 94
Çizelge 4.19 Veri seti 8 telsiz tamir süresi verisi (saat) ... 94
Çizelge 4.20 Telsiz tamir süresi verilerine ait test sonuçları ... 95
Çizelge 4.21 Telsiz tamir süresi verilerine ait test sonuçları ... 95
Çizelge 4.22 Veri seti 9 100 banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) ... 95
Çizelge 4.23 100 Banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) verilerine ait test sonuçları ... 96
Çizelge 4.24 Banka müşterilerinin bekleme zamanlarına ait test sonuçlarında parametre tahmin değerleri ... 96
Çizelge 4.25 Veri Seti 10 Wheaton Nehri taşma verisi (m3⁄s) ... 97
Çizelge 4.26 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları ... 97
Çizelge 4.27 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları ... 97
Çizelge 4.28 Veri Seti 11 Floyd Nehri taşma verisi((ft3)⁄s) ... 98
Çizelge 4.29 Floyd Nehri taşma verilerine ait test sonuçları ... 98
Çizelge 4.30 Floyd Nehri taşma verilerine ait test sonuçları ... 98
Çizelge 4.31 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları ... 99
Çizelge 4.32 Terme Çayı mart ayı aylık toplam taşma verilerine ait test sonuçları (hm3 )... 100
Çizelge 4.33 Terme Çayı Temmuz ayı aylık toplam taşma verilerine ait test sonuçları (hm3 ) ... 100
Çizelge 4.34 Terme Çayı mart ve temmuz ayları için test sonuçları ... 101
1 1. GİRİŞ
Teknoloji çağı olarak adlandırılan bir dönemde yaşamaktayız. Bu zaman diliminde teknolojinin hızlı gelişiminden insanoğlu her alanda faydalanarak, hayat kalitesini geliştirmeye çalışmaktadır. Kaynakların artan nüfus için optimal kullanımının daha da önemli olduğu, insan hayatına verilen değerin arttığı, zamanın en pahalı kaynak olduğu günümüzde, toplumu oluşturan bireylerin hatalara ve yanlışlara tahammülü azalmıştır.
Günümüzde insanlar hayatlarını daha mutlu olacakları hale getirmek için, bilimden yararlanmakta, firmalar kazançlarını arttırmak için, devletler planlamalarını daha doğru yapmak için, bilimden yararlanma yolunu seçmektedir. Bunlar yapılırken de hataların maliyeti yukarıda saydığımız sebeplerle arttığından kararların doğruluğu daha da önem kazanmıştır.
Bireylerin hayat kalitelerini arttırmak için aldığı kararların bazıları: müşteri hizmetlerine ulaşmanın kolay olduğu veya kuyrukta beklemenin az olduğu firmaların tercihi, doğal afet riskinin az olduğu şehirlerde veya ilçelerde ikamet etmenin tercih edilmesi, hasta iken daha erken ve daha etkili iyileşme sağlayan ilacın kullanılması, daha kısa sürede veya daha konforlu vasıtalarla yolculukların tercih edilmesi olarak sıralanabilir.
Firmaların kazançlarını arttırmak için, müşterilerinin sayısını arttırmak veya mevcut müşterileri kaybetmemek için aldığı kararlar ise: daha güvenilir tedarikçi ile çalışmak, daha güvenilir fonlara yatırım yapmak, daha öngörülebilir müşteri risk oranı ile prim hesabı yapmak olarak sayılabilir. Devletlerin optimal kaynak kullanımı maksadıyla aldığı kararların bazıları ise: daha doğru planlamalar yaparak vatandaşlarının güvenliğini sağlamak ve daha ucuz ve güvenilir kaynak sağlamak olarak sayılabilir.
Bu beklentiler sonucunda istatistik biliminde de daha uygun sonuçların elde edilmeye çalışılması, incelenecek verilerin daha uygun dağılımlar ile modellenerek geleceğe ilişkin tahminlerin daha gerçeğe yakın olması hedeflenmiştir. Böylece uzun süredir kullanılan ve en çok bilinen istatistik dağılımlarına ek olarak yeni dağılımlar üretilmiştir. Verileri daha iyi temsil edebilecek modeller üzerinden hesaplamalar ve tahminler yaparak, güvenilirliğin arttırılması hedeflenmiştir. Burada da genel olarak
2
Kolmogorov-Smirnov uyum testi ile verilerin dağılıma uygunluğu test edilirken, Akaike Bilgi Kriteri (Akaike Information Criterion-AIC) ile de uygun olan dağılımlar arasında hangisinin daha iyi uyum sağladığı belirlenmeye çalışılmıştır.
Yeni dağılım türetme yöntemleri var olmak ile beraber son yıllarda adından sıkça bahsettiren bir konu da Dönüştürülmüş (transmuted) dağılımlar olarak karşımıza çıkmaktadır. Mevcut dağılımların belirli bir formül ile kullanılarak yapıları değiştirilmekte ve bu esnek yapıların bazı veri gruplarında mevcut dağılımlara kıyasla daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmektedir. Son dönemde bu şekildeki çalışmalar sıklıkla literatürde kendisine yer etmiş olmakla beraber, birçok dağılım Dönüştürülmüştür.
Bu çalışmada, marjinalleri Üstel olan koşullu Farlie-Gumbel-Morgenstern dağılımı (FGM) ile yeni bir dağılım türetilmiştir. Bu dağılımın özellikleri incelenip, yaşam fonksiyonu ve bozulma oranı elde edilmiş ve dağılımın karakteristikleri incelenip, parametre tahmini yapıldıktan sonra, literatürde var olan verilerden yararlanarak dağılımın kullanılabileceği veri grupları ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır. Bu incelemeler esnasında dağılımın bir parametresinin belirli bir aralıkta değer alması halinde, parça sayısı önceden belli bir sistemin modellenmesinde kullanılabilecek bir yapı elde edilebilmektedir.
Dağılımın sağlık sektöründe hasta yaşam zamanları, bankacılık sektöründe müşterilerin bekleme zamanları, tarımda verimli dönem sayısı, bazı elektronik parçaların tamir süreleri gibi verilerin yanı sıra akarsulara ait taşma miktarlarının modellenmesine kadar geniş bir alanda kullanılabileceği değerlendirilmiştir.
Çalışmaya ikinci bölümde marjinal dağılımların Üstel olmasından dolayı Üstel dağılım tanıtılarak başlandı. Bu bölümde gelecek bölümlerde kullanabileceğimiz Üstel dağılımın bazı özellikleri belirtildi. Arkasından Copula hakkında bilgi verildi ve FGM dağılımının incelemesi yapılarak, koşullu halde Copulanın nasıl kullanıldığına ait bazı bilgiler verildi. Bu bölümde Copulanın tarihi gelişiminden de bahsedildi. Daha sonra literatür incelemesi yapılarak Copulanın özellikle son dönemde nasıl kullanıldığı ve hangi çalışmalarda Copulanın yer bulduğu anlatıldı. Yine bu bölümde yeni dağılım
3
türetmede son dönemde kullanılan en gözde yöntemlerden birisi olan Dönüştürülmüş dağılımlar hakkında bilgi verildi. Dönüştürülmüş dağılımların esas itibariyle çıkış noktasının Copulaya alternatif olarak dağılım türetme olduğu belirtildi (Shaw ve Buckley 2007).
Üçüncü bölümde çalışmanın ilerleyen safhalarında kullanılacak yöntemler hakkında bilgiler verildi. Bu bölümde ilk olarak parametre tahmin metotları tanıtılarak tez çalışmasında yararlanılacak yöntemler incelendi. Bu yöntemler dördüncü bölümdeki parametre tahmini alt bölümünde kullanıldı. Arkasından uygulama ve sonuçlar kısmında kullanılacak olan iki yöntem tanıtıldı. Bu yöntemlerden ilki Kolmogorov- Smirnov uyum testi olup, diğeri de Akaike Bilgi Kriteri olarak adlandırılan (AIC ) değeridir.
Dördüncü bölümde yeni tek boyutlu dağılım marjinalleri Üstel dağılımlı olacak şekilde koşullu FGM dağılımı vasıtasıyla elde edildi. Bu bölümde elde edilen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu bulundu ve Dönüştürülmüş Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ile karşılaştırması grafikler yardımı ile yapıldı. Arkasından elde edilen yeni dağılımın dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, yaşam fonksiyonu ve bozulma oranı fonksiyonları elde edilerek, grafikler yardımıyla incelendi. Yine dördüncü bölümde dağılımın karakteristikleri incelenmeye çalışıldı, momentler ve dağılımın çarpıklık ile basıklık katsayı değerleri incelendi. Arkasından parametre tahmin metotlarından momentler tahmini, en küçük kareler tahmini ve en çok olabilirlik tahmini yöntemleri kullanılarak nümerik metotlar yardımıyla parametre tahmini yapıldı.
Bu tahmin metotlarının sonuçları birbirleriyle kıyaslandı. Daha sonra Kolmogorov- Smirnov uyum testi ile dağılımın kullanılabileceği alanlar literatürde kullanılmış veriler ile belirlenmeye çalışıldı. Bölümün ilerleyen veri gruplarında dağılıma uygunluk ile beraber diğer dağılımlarla karşılaştırılması Akaike Bilgi Kriteri vasıtasıyla yapıldı.
4
2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ÖZETLERİ
2.1 Üstel Dağılım
Üstel dağılım aileleri mühendislik ve bilim alanlarında çok yoğun bir şekilde kullanılan olasılık modelleri sunar. ’in aşağıdaki gibi bir olasılık dağımı olması halinde parametreli Üstel dağılıma sahip olduğu söylenir.
; , 0
0, , 0
Bazı kaynaklarda Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak verilir, böylece ve 0 olmaktadır. Üstel dağılan rasgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı , integrasyon ile bulunduğunda, 1 , 1 olarak elde edilir. Bu da Üstel dağılımın ortalaması ve standart sapmasının 1 olarak eşit olduğu anlamına gelmektedir.
Üstel dağılım, başarılar arası zamanların dağılımına ilişkin modellemelerde sıklıkla kullanılmaktadır. Örnek olarak müşterilerin servise gelişleri arası zaman, herhangi bir hizmete ilişkin telefon aramalarının zamanı, hastaneye gelen hastalar arası zaman, bankaya gelen müşteriler arası zaman, müşterilerin aldığı hizmetin verilme süresi, iki afet arası zaman, trafikteki kazalar arası zaman, kasko şirketinden para isteyen müşteriler arası zaman verilebilir. Üstel dağılım sadece zamana ait modellemelerde değil başka veri gruplarına ait modellemelerde de etkili olarak kullanılmaktadır. Buna örnek verecek olunursa, herhangi bir tedavide iyileşen hastadaki bakteri ya da virüs yoğunluğu gösterilebilir.
Üstel dağılımın bir diğer önemli kullanımı da parçaların yaşam sürelerinin modellenmesinde gözlenmektedir. Bunun bir sebebi de Üstel dağılımın hafızasızlık özelliğidir. Parçaların yaşam zamanının parametreli Üstel dağılıma sahip olduğunu
5
varsayılırsa, parçayı hizmete soktuktan sonra belli bir süre bekleyip daha sonra parçanın hala çalışıyor olduğunu gözlendiğinde, parçanın ilave bir t süresi kadar daha çalışacağının olasılığı aşağıdaki gibidir.
|
Burada gereksiz bir hal almaktadır; çünkü gerçekleştiğinde zaten iki olayda gerçekleşmiş olacaktır. Dolayısıyla,
| 1
1
olarak elde edilir.
Bu koşullu olasılık başlangıçtaki bir parçanın t süre kadar çalışması ile aynı olarak bulundu. Böylece ilave ek yaşam süresi başlangıçtaki yaşam süresi dağılımı ile aynıdır ve zamana bağlı olarak parça herhangi bir değişiklik göstermez. Diğer bir ifade ile kalan zamana ilişkin dağılım şimdiki zamandan bağımsızdır. Bu hafızasızlık özelliği birçok alanda kullanılmaktadır (Devore 2004).
2.1.1 Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu
2.1
için elde edilir.
Daha önceden Üstel dağılımın birinci momentinin 1 olduğu söylenmişti. İkinci moment ve varyans da moment çıkaran fonksiyon yardımı ile bulunabilir. t=0 için,
6 2
olarak bulunur. Buradan varyans;
2 1 1
olarak elde edilir.
2.1.2 Poisson sürecinin Üstel dağılım ile ilişkisi
Olayların rasgele zaman noktalarında olduğu varsayılsın ve , 0, aralığında gerçekleşen olay sayısını göstersin. Bu olaylar aşağıdaki kuralları sağlıyorsa poisson sürecine sahip olduğu söylenebilir.
a. 0 0
b. Ayrık zaman aralıklarında gerçekleşen olay sayıları bağımsızdır.
c. Verilmiş bir zaman aralığında gerçekleşen olay sayısının dağılımı sadece aralığın uzunluğuna bağlıdır ve zamanın yerine bağlı değildir.
d. lim
e. lim 0
Böylece (a) maddesi sürecin 0 zamanında başladığını belirtmektedir. (b) maddesi ise bağımsız artışı belirtmekte olup, örnek verilirse; t zamanındaki olay sayısının, t ile t+s arasındaki olay sayısından bağımsız olduğu belirtilebilir. (c) maddesi durağan artışı belirtmekte olup, nin olasılık dağılımının t nin her değeri için aynı olduğunu ifade eder. (d) ve (e) maddeleri ise uzunluğundaki küçük bir zaman aralığında bir olayın gerçekleşme olasılığının neredeyse olduğunu 2 ve daha çok olay gerçekleşme ihtimalinin ise neredeyse olmadığını anlatır.
Şimdi bu varsayımların, t zaman aralığında gerçekleşen olay sayısının parametreli bir Poisson rasgele değişkeni olduğunu ifade ettiği gösterilmek istensin. Belirgin olması açısından aralığın 0, olduğu ve nin bu aralıkta gerçekleşen olay sayısı olduğu
7
düşünülürse, için bir ifade elde edebilmek maksadıyla, 0, aralığı aralığa sahip n eşit parçaya bölünsün ve bu aralıklar birbirinin üstüne binmeyen alt aralıklar olsun. Şimdi , 0, aralığında k tane olay gerçekleşecektir, eğer;
a. k ya eşit ve her bir alt aralıkta en çok bir olay gerçekleşmiş ise;
b. k ya eşit ve an az bir alt aralıkta 2 veya daha fazla olay gerçekleşmiş ise;
Bu iki olasılık ayrık olduğundan ve (a) koşulu n alt aralıktan k tanesinde 1 olay, ve diğer n-k tane alt aralıkta 0 olay içermesi olduğundan
n adet alt aralıktan k tanesi kesinlikle 1 olay içeriyor ve diğer n‐k tane alt aralık 0 olay içeriyor
k ve en az 1 alt aralık 2 veya daha fazla olay içeriyor Daha önceki (e) koşuluna göre;
k ve en az 1 alt aralık 2 veya daha fazla olay içeriyor 0 eğer 0
Yine (d) ve (e) koşuluna göre
alt aralıkta tam olarak 1 olayın gerçekleşmesi
alt aralıkta 0 olayın gerçekleşmesi 1
Böylece, farklı alt aralıklarda gerçekleşen olay sayıları birbirinden bağımsız olduğundan (b) koşuluna göre,
n adet alt aralıktan k tanesi kesinlikle 1 olay içeriyor ve n‐k tanesi 0 olay içeriyor
1
8
Burada n ve , ya eşit olduğu parametrelere sahip bir Binomial rasgele değişkenin olasılığı elde edilmiş oldu. Böylece n büyüdükçe, olasılığı ortalaması
olarak k ya eşit olan Poisson rasgele değişkenine yaklaşır. n sonsuza yaklaşırken;
! oranlı bir Poisson sürecinde;
! , 0,1,2, …
olup, herhangi bir t aralığında gerçekleşen olay sayısının ortalamalı Poisson dağılımına sahip olduğunu belirtir. Bir Poisson süreci için, ilk olayın gerçekleşme zamanı olsun. Bununla birlikte, 1 için 1 ’inci ile n’inci olaylar arası geçen zamanı göstersin. , 0,1,2, … dizisi, gelişler arası zaman dizisi olarak adlandırılsın. Mesela, 5, 10 olduğu düşünülürse Poisson sürecinin ilk olayı 5 zamanında, ikinci olay ise 15 zamanında gerçekleşmiş demektir.
Şimdi ’in dağılımı değerlendirilsin. Bunun için önce olayının gerçekleşmesi için 0, aralığında hiçbir olayın gerçekleşmemesi gerekmektedir. Böylece
0
Görüldüğü gibi , 1 ortalamalı Üstel dağılıma sahip oldu. nin dağılımını elde etmek için aşağıdaki işlemler yapılabilir.
| 0 olay , aralığında|
0 olay , aralığında
Böylece de 1 ortalamalı Üstel dağılıma sahip oldu. Bağımsız ve durağan artışlılığın sonucu olarak bu durum elde edildi (Ross 2003).
9
2.1.3 Üstel dağılım sıra istatistikleri karakteristikleri
Sıra istatistiklerine ilişkin dağılımlarla ilgili, aynı dağılıma sahip birbirinden bağımsız rasgele değişkenlerin maksimum sıra istatistiğine ait dağılım aşağıdaki gibidir.
:
Bu durumda aşağıdaki sonuç elde edilebilir.
: /
Ayrıca herhangi bir sıradaki rasgele değişkenin dağılımı aşağıdaki şekilde gözlenebilir.
:
!
1 ! ! 1
Bu noktadan sonra acaba ve fonksiyonlarının sıra istatistiği olarak dağılımına ilişkin neler söylenebilir. Bu noktada standart Üstel dağılıma ait 1 bazı çalışmalar yapılmıştır. Standart Üstel dağılıma sahip iki sıra istatistiğinin farkı
: : yine standart Üstel dağılıma gitmektedir (Rossberg 1972).
Acaba standart Üstel dağılım olmasa da 1 aynı şekilde, bir denklik var mıdır? Bu konu ile ilgili yayımlanan bir çalışmada şöyle bir durumun Üstel dağılım için var olduğu gösterilmiştir (Desu 1971).
: : , 1,2, …
Daha başka çalışmalar ise Üstel dağılıma ilişkin yaşam fonksiyonu üzerinden yapılmıştır.
Buradan
10
olarak elde edilir. Bu sonuç yardımı ile aşağıdaki sonuca Desu (1971) tarafından ulaşılmıştır.
2 : :
Devamında c bir sabit olmak üzere;
: : ve : :
: : , , , : :
dağılım denkliklerini elde ederek sunmuştur. Yine aşağıdaki denkliklerin varlığından bahsetmiştir (Balakrishnan vd. 2008).
2 : :
: : :
: : :
: : : 2.2
2.1.4 Üstel dağılımların kullanıldığı alanlar
Üstel dağılıma ait bazı özelliklerden yukarıda bahsedilmişti. Üstel dağılımın kullanılması ile ilgili Üstel dağılımı cazip hale getiren özelliklerden bazıları aşağıdaki gibi sıralanabilir.
a. Hafızasızlık Özelliği
|
b. ’ ler birbirinden bağımsız aynı Üstel dağılımlı rasgele değişkenler olsun, ortalaması 1⁄ olsun, 1,2, … , o zaman
1 !
11
olarak elde edilir. Dağılım , dağılımıdır.
c. ve birbirinden bağımsız Üstel dağılıma sahip rasgele değişkenler olsun.
Ortalamaları 1⁄ ve 1⁄ olsun. Bu durumda
olarak elde edilir.
Üstel dağılım ile modellenen veri türlerine bakıldığında; sel felaketlerinde taşma verileri, bireylerin yaşam zamanları, kanser hastalarına uygulanan tedavi süreci, hastaların hastanede kalma süreleri, banka müşterilerinin işlemleri başlayana kadarki bekleme süreleri, banka müşterilerinin işlemleri esnasında geçen süreler, kan kanseri hastalarının yaşam zamanları, parçaların ilk bozuluncaya kadar sistemde geçirdikleri yaşam zamanları, sistemlerin müdahaleye gerek duymadan çalıştıkları süre gibi verilerin var olduğu gözlenebilir. Kullanıldığı alanlara göre ayrılırsa aşağıdaki şekilde gruplama yapılabilir.
Bir Poisson sürecinde, geliş zamanları arasındaki geçen zaman için, Üstel dağılımın kullanılması gündeme gelebilir. Üstel dağılım kesikli dağılım olan geometrik dağılımın, sürekli dağılım karşılığı olarak görülebilir (www.wikipedia.org 2015).
Kuyruk teorisinde Üstel dağılım, hizmet zamanını temsil eden bir rasgele değişkenin olasılık dağılımını modellemek için kullanılabilir. Örneğin, bir mağazadaki müşterilerin gelişleri arasında geçen zaman, bir diş polikliniğinde hastaların muayeneleri arasındaki zaman, bilet kontrolleri arasındaki zaman, kuyruk teorisinde müşterilerin gelişleri arasındaki zaman gibi.
Güvenilirlik uygulamalarında, Üstel dağılım, bozulan parçaların kullanım ömürlerini modellemek için kullanılabilir. Buna örnek olarak, her türlü parçaya ait ömürler, bataryaların ömürleri, aletlerin ve anahtarların ömürleri gibi birçok örnek verilebilir.
Yine fizikte, bir yerçekimi sahasında sabit bir sıcaklık ve basınçta bir gaz gözlendiğinde, çeşitli moleküllerin yükseklikleri yaklaşık Üstel dağılım gösterir.
12 2.2 FGM Dağılımı
Bu kısımda önce Copulanın tanımı yapılmış, ardından Sklar’ın teoremi anlatılmıştır. Bu ilk iki bölümdeki anlatımlarda Copulanın bir sayıyı aynı anda üç veya daha fazla anlam içerecek şekilde kendisinde barındırabildiği de anlatılmıştır. Tekil Copulalar hakkında bilgi verildikten sonra yatay ve dikey bölümler olarak tanımlanan Copulalar hakkında da bilgi verilmiştir. Bölümün sonunda da FGM dağılımının incelemesi yapılmıştır.
2.2.1 Copula
Kelime anlamı latince bağlaç anlamına gelen Copulanın ne olduğu ile ilgili iki farklı görüş bulunmaktadır. Bunlardan ilki Copulanın çok boyutlu dağılım fonksiyonlarını, kendilerinin tek boyutlu marjinal dağılım fonksiyonlarına bağlayan bir fonksiyon olduğudur. Diğer görüşe sahip olanlar ise Copulanın marjinalleri 0,1 aralığındaki Düzgün dağılım olan çok boyutlu dağılım fonksiyonu olduğunu düşünür.
Copulanın matematik veya istatistikte ilk defa kullanımı Sklar (1959) tarafından olmuş ve kendi adıyla bilinen teoremi geliştirmiştir. Burada teorem ile tek boyutlu dağılım fonksiyonlarından, çok boyutlu dağılım fonksiyonu olarak birleştirilmiş bir fonksiyon elde edilmesi anlatılmıştır(Sklar 1959).
Copulanın nasıl bir fonksiyon olduğu biraz daha irdelenirse; daha önceden çok boyutlu dağılım ile onun marjinalleri arasında bir bağlaç fonksiyonu ya da tek boyutlu marjinalleri Düzgün dağılım olan bir, çok boyutlu dağılım fonksiyonu olduğu belirtilmişti. ve gibi iki rasgele değişken çifti olduğu düşünülsün. Bu değişkenlere
ait dağılım fonksiyonları da ve olsun. Ortak
dağılım fonksiyonu ise , , olsun. Her bir , reel sayı çifti için üç sayı ilişkilendirilebilir , , , . Bu üç sayı da 0,1 aralığındadır.
Diğer bir ifade ile her , reel sayı çifti , noktasına gider ve bu 0,1 0,1 birim karedir. Bu tanımlanmış çift , gibi bir sayıya eşittir ve yine 0,1 aralığındadır. Dolayısıyla ortak dağılım fonksiyonun değeri ile her bir tanımlanmış
13
, reel sayı çiftinin ayrı ayrı dağılım fonksiyonu değerleri arasında bir ilişki bulunmaktadır. Bu ilişkiyi tanımlayan fonksiyona Copula denilir (Nelsen 2006).
2.2.1.1 Sklar’ın teoremi
bir ortak dağılım fonksiyonu olsun ve marjinalleri ve olsun, o zaman gibi bir Copula de tanımlanmış her ve için vardır.
, ,
Aslında Copula ile ilgili birçok temel sonuç iki boyutlu standartlaştırılmış dağılımı (standardized distributions) bulan Hoeffding (1940) tarafından yapılan çalışmalara dayanır. Çalışmada iki boyutlu dağılımı , aralığında olan ve , aralığında Düzgün dağılıma sahip marjinalleri bulunan bir yapı incelenmiştir.
Hoeffding ayrıca bu fonksiyonların sınırları için olabilecek en iyi eşitsizliği de temel olarak elde etmiştir. Dağılımları bu sınırlara göre karakterize etmiş (fonksiyonel bağımlılık) ve bağımlılığın ölçülmesi ile ilgili çalışmıştır. Ancak bu çalışmalar İkinci Dünya Savaşı sebebiyle Almanya’da basılamamıştır. Frechet (1951) bu çalışmalardan bağımsız olarak hemen hemen aynı sonuçları elde etmiş ve “Frechet sınırları” (Frechet bounds) ya da “Frechet sınıfları” (Frechet classes) olarak adlandırmıştır.
Sklar’ın çalışmalarına katılan Schweizer (1976) olasılık metrik uzayı (probability metric spaces) PM ile ilgili çalışmalarda bulunmuş ve Copula ile ilgili birçok önemli sonuca ulaşmıştır. olasılık uzayı olsun ve bu uzaydaki ve gibi iki nokta arası uzaklık olsun, uzaklık şu şekilde ifade edilirse; , burada dağılım fonksiyonu da olarak ve bu fonksiyonun değeri olarak arası uzaklığın den küçük olmasının olasılığı şeklinde ifade edildiğinde, bu olasılığın bulunabilmesi için üçgen eşitsizliğinin dağılımlara uyarlanması gerekmektedir. Bunu Menger (1942) t-norm olarak göstermiştir.
, , ,
14 , , için;
, ;
Burada üçgensel norm yani t-norm dur. Copula gibi t-norm da 0,1 den 0,1 e giden ve dağılımları bağlayan bir fonksiyondur. Olasılık metrik uzayı için istatistiksel olarak en önemli sonuçlar Archimedean t- norm ile elde edilmiştir. Burada;
0,1 aralığındaki bütün lar için, bu aynı zamanda Archimedean Copulanın da temelidir.
,
Standartlaştırılmış dağılımların temel özellikleri hakkındaki çalışmasına ilave olarak Hoeffding Copulayı Spearmanın rho su gibi parametrik olmayan ölçümlerde ve kendisine ait bağımlılık indeksinde de kullanmıştır (Nelsen 2006).
2.2.1.2 Tekil Copulalar
Tekil Copulalar, doğru parçaları ile açıklanan destek kümelerine sahiptir. , 0,1 aralığında olsun, nın olasılık yoğunluk fonksiyonu Düzgün dağılımlı ve 0,0 ile
, 1 arasında ve 1 nın olasılık yoğunluk fonksiyonu da Düzgün dağılımlı , 1 ile 1,0 arasında olsun. Bu durumda 1 iken destek kümesi ye gider ve üst sınır olan Copula sınırıdır. 0 iken destek kümesi ye gider ve alt sınır olan Copula sınırıdır,
,
böylece bu iki sınır arasında olacaktır,
iken 0, 0, ile 0, 0,1 arasındadır,
0, 0,1
15 ,
ve 1 1 , , 0, 0
, ,
ve son olarak
1 1
,1 , 1 0 , 1 , 1
, 1
,
, 0
, 0 1 1
1 , 1 1 1
olarak elde edilir.
2.2.1.3 Yatay ve dikey bölümler
Bir Copula ne kadar basit ifade edilebileceği incelenirse, Copula üretme fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
,
ve için lineer olsun, , , ,
ve düzgün 0,1 dağılsın. 0,1 için;
| , ,
Böylece ve nin küçük dereceli polinomları ile oluşmuş tek dereceli lineer Copulaların da var olduğu değerlendirilebilir.
16 (aa) Lineer Bölümler
, ,
0 0, ve 1,
Olarak elde edilirse, sadece bir tane lineer Copulanın var olduğu açıkça görünmektedir.
(bb) Karesel Bölümler Bu bölüme ait Copulalar;
,
0 0, ve 1,
olarak düşünülürse;
, 1
0 1 0
, 0 0 ve , 1
Bu tez çalışmasında kullanılan FGM dağılımı da aynı tür bir dağılım olup anlatılan şekilde türetilmiştir.
2.2.2 FGM Dağılımının incelenmesi
FGM Copula ailesi için, ’nin simetrik ve ’da karesel bölümleri olan bir Copula olduğu varsayılsın. Böylece
, 1
, 1
olacaktır. Sonuç olarak bazı değerleri için;
17 1
olarak elde edilir. Bu durumda,
, 1 1
’nın doğrusal(üçgensel hacmi) , ,
, , 1 1 1
1 1 1,1 olduğundan , , , ve 1,1
iken bir Copuladır.
Bu aile FGM ailesi olarak bilinir ve hem hem de de tüm Copulaları içerir. Bu konu Morgenstern (1956), Gumbel (1958) ve Farlie (1960) tarafından çalışılmıştır. Özellikle basit analitik formu sebebiyle FGM dağılımı modellemelerde yaygın olarak kullanılmaktadır (Nelsen 2006).
Teorem 2.1
tanım kümesi olan bir fonksiyon ve , ve ’nin de bir Copula olması için gerek ve yeter şart;
(1) 0 1 0
(2) | | | | , , ,
olarak ifade edilebilir ve tamamı ile sürekli , 0 0 ve , 1 olduğu bilinmektedir.
, , 1 0
Eğer , yada 1 ise
, , 0
Böylece , için
18 1
1 , 1
1
1 , 1
olarak elde edilir. Dolayısıyla
1 1 , , ,
olarak elde edilir.
, 1 karesel Copulası var ise aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır.
(1) ’da tamamı ile sürekli
(2) da hemen hemen her yerde | | 1
(3) tamamı ile sürekli ve ’daki bütün ’ler için | | , 1
Karesel bölümlü Copulayı ’da oluşturmak için, sadece fonksiyonunu bu üç özelliğe uygun şekilde seçmek gerekmektedir. Bir örnek verilirse;
1 , 1,1
FGM ailesine ait bir Copuladır.
2.3 Literatür İncelemesi
2.3.1 FGM Copulası (Dağılımı) çalışmaları
Lai (2000) yaptığı çalışmada iki boyutlu dağılımlara ilişkin pozitif karesel bağımlılığa ait yeni bir aile ile ilgili bir araştırma yapmıştır. PQD kısaltması ile kullanılan pozitif karesel bağımlılık, iki pozitif rasgele değişkenin ikili bağımlılığını gösterir. Burada FGM dağılımı yardımı ile yapılan bir türetme ile PQD için yeni bir parametrik aile elde edilmiştir (Lai 2000).
19
Çalışmada birçok güvenilirlik incelemesinde, sistemi oluşturan parçaların birbirinden bağımsız olarak kabul edilerek hesap yapıldığı ama bunun genellikle uygun olmadığı, çünkü uygulamada çoğunlukla parçaların bağımlı olduğu bu sebeple bağımlılığın ifade edilmesinin önemli olduğu belirtilmiştir.
Çalışma esnasında FGM dağılımına bir dönüşüm uygulanarak FGM dağılımında kullanılan yaşam fonksiyonlarının kuvvetleri alınmış ve yeni bir yaklaşımla bağımlılık ölçülmeye çalışılmıştır. Dolayısı ile yeni Copula formu şu şekildedir.
, 1 1
Bir çok farklı çalışmada ise FGM Copulasının genelleştirilmesi ve Copulaya eklenecek yeni parametreler ile dağılımların verilere daha uygun hale getirilmesi amaçlanmıştır.
Bu çalışmalardan bir tanesinde (Bekrizadeh 2012) genelleştirme ile yüksek negatif değerlere ait bağımlılığın ölçülmesi amaçlanmıştır. Çalışmada bulunan ve incelenen yeni dağılım aşağıdaki gibidir.
, 1 1 1
Bir diğer çalışma ise FGM dağılımının marjinal dağılımlarından birer fonksiyon çıkarılarak bağımlılık parametresinin olduğu bölüm değiştirilmiştir (Cuadras ve Diaz 2012). Bir diğer çalışmada ise FGM dağılımı farklı bir boyuta götürülmüş ve bağımlılık parametresi dışında dağılıma eklenen dört parametre ile yeni dağılımın analizi yapılmıştır. İncelenen dağılım aşağıdaki gibidir (Bairamov vd. 2001).
, 1 1 1
, 1, , 1, 0 , 1
Stoica (2013) tarafından yapılan çalışmada iki bağımsız FGM dağılımının ortak dağılımına ilişkin incelemede bulunulmuş ve yeni dağılıma ait bağımlılık
20
parametresinin olasılık yoğunluk fonksiyonunda aldığı değer olarak elde edilmiştir. Böylece FGM dağılımının sıklıkla kullanıldığı Spearman ve Kendall korelasyon katsayı değerlerinin daha farklı elde edilebileceği gösterilmiştir.
2.3.2 Dönüştürülmüş (Transmuted) Dağılımlar ile var olan benzerlikler
Bir önceki alt bölümde FGM dağılımına ilişkin yapılan çalışmaları ve FGM dağılımının kullanım alanları ile ilgili bilgi verilirken, yeni dağılım elde edilerek incelenmesi ile ilgili çalışmalar hakkında da bilgi verilmişti. Bu incelenen yapılarda, marjinalleri Düzgün dağılımlı olan iki boyutlu dağılımın genelleştirilmesi veya parametre eklenmesi ve bir diğerinde de iki aynı dağılımlı iki boyutlu FGM dağılımından ortak dağılım elde edilerek incelemesinin yapıldığı belirtilmiştir.
Buna benzer başka dağılım elde etme yöntemleri de bulunmaktadır. Mesela belirgin bir yapı üzerinden dağılımı çeşitlendirerek yeni dağılım üretilmektedir. Shaw ve Buckley (2007) çalışmalarında olasılık dağılımlarının simyasını ortaya çıkarmaya çalışmışlardır.
Çalışmalarında, bir olasılık dağılımının tersi ile bir başka olasılık dağılımının bileşkesini kullanarak yeni bir dağılım oluşturmayı hedeflemişlerdir (Shaw ve Buckley 2007).
Yapılan çalışmada birkaç farklı arayış belirtilerek yeni bir formül ile dağılımın elde edilebileceği ortaya konulmuştur. Bu arayışlardan, karesel sıra (rank) dönüştürme fonksiyonu yardımıyla türetilecek yeni dağılımların, Copula ile türetilenlere alternatif olup olamayacağı değerlendirilmiştir.
Daha sonra, temel dağılımlar kullanılarak Dönüştürülmüş dağılımlar elde edilmeye başlanmıştır. Bu konudaki ilk çalışmalardan birisi de Dönüştürülmüş Uç Değer dağılımının incelenmesidir. Bu çalışma Aryal ve Tsokos (2009) tarafından yapılmıştır.
Arkasından iki yazar tarafından Dönüştürülmüş Weibull dağılımı türetilerek incelemesi yapılmıştır (Aryal ve Tsokos 2011).
21
Merovci (2013 a,b,c) de bu konu ile ilgili çalışmalarda bulunmuş ve birçok dağılımın çeşitlendirmesine gitmiştir. Kendisinin Dönüştürülmüş dağılımlar (transmuted distributions) olarak adlandırdığı yapılarda aşağıdaki gibi bir dönüşüm uygulamıştır.
1 , | | 1 2.3
Bu çalışmalarda denklem (2.3) deki yapı kullanılarak yeni dağılım fonksiyonunu elde edilmiş, daha sonra sırası ile olasılık yoğunluk fonksiyonu, yeni dağılıma ilişkin momentler, en çok olabilirlik tahmin edicisi, güvenirlik incelemesi, bozulma oranı ve sıra istatistikleri elde edilmiş ve uygulaması yapılmıştır.
Başka dağılımlar da dönüştürülerek çalışılmıştır. Sırası ile şu dağılımlarla ilgili çalışmalar yapılarak Dönüştürülmüş dağılımlar elde edilmiştir: Lindley dağılımı, Rayleigh dağılımı, Genelleştirilmiş Ters Weibull dağılımı, Üstelleştirilmiş Üstel dağılım, Pareto dağılımı. Bu çalışmalarda yukarıda belirtildiği gibi bir düzen dahilinde dağılımlar incelenmiş ve yeni dağılımlar üretilerek bazı veriler için daha anlamlı analizler yapılabildiği ifade edilmiştir (Merovci 2013 a,b,c, 2014).
Yukarıdaki çalışmalarla aynı dönemde yapılan bazı çalışmalarla başka dağılımlar da dönüştürülerek incelenmiştir. Bunlardan bir tanesi Log-Logistic dağılım için yapılan çalışmadır (Aryal 2013). Yukarıdaki çalışmalarda kullanılan sıra ile yeni dağılım incelenmiş ve özellikleri ortaya konulmuştur.
Üstelleştirilmiş gamma dağılımı için de aynı şekilde bir çalışma yapılmış, dağılım tanıtıldıktan sonra dönüştürülerek yukarıdaki çalışmalarda uygulanan esaslarla incelemede bulunulmuştur, bu çalışmanın diğerlerinden farkı ise parametre tahmininin en küçük kareler ve ağırlıklandırılmış en küçük kareler metodu ile de yapılmış olmasıdır (Mohamed 2014).
22
Ters Üstel dağılım için de çalışma yapılmış, önce Üstel dağılımın tersi alınarak yaşam fonksiyonu üzerinden Dönüştürülmüş yapı elde edilmiştir ve bu dağılımın özellikleri daha önceki çalışmalarda olduğu gibi incelenmiştir (Oguntunde ve Adejumo 2015).
Genelleştirilmiş Lineer Üstel dağılım da yine dönüştürülerek çalışılmıştır. Çalışmada önce genelleştirilmiş lineer Üstel dağılım ortaya koyulmuş, arkasından bu dağılım dönüştürülmüş ve yukarıdaki çalışmalar gibi incelesi yapılmıştır (Elbatal vd. 2013).
23 3. MATERYAL ve YÖNTEM
Bu bölümde daha sonra kullanacağımız yöntemler bazı materyaller yardımı ile anlatılmıştır. Öncelikle bir sonraki bölümde kullanacağımız parametre tahmin yöntemleri anlatılacak, arkasından da önce bir sonraki bölümde, daha sonra da sonuç bölümünde yararlanacağımız Kolmogorov-Smirnov Uyum testi ile Akakike Bilgi Kriteri (AIC), hakkında bilgi verilerek nasıl kullanıldıkları anlatılacaktır.
3.1 Parametre Tahmin Metotları
3.1.1 Momentler metodu
Bu yöntem, parametre sayısı kadar ham momentlerin, n birimlik rasgele olarak alınan örneklem ile elde edilen örneklem momentlerine eşitlenmesi ile bulunan denklem sisteminin çözümüne dayanır. Burada dikkat edilmesi gereken husus dağılımın parametre sayısı kadar ham momentinin var olmasının gerekliliğidir. Buna göre
, , … , rasgele örneklemi, x; , , … , olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir kitleden alınmış örneklem olsun.
∞ , 1,2, … ,
, , … , , nın bir fonksiyonu E X g θ , θ , … , θ
. . .
E X g θ , θ , … , θ
elde edilen r tane kitle momentini ham örneklem momenti olan 1 , 1,2, … ,
24 ile eşitlenerek denklem sistemleri elde edilir.
, , … ,
g θ , θ , … , θ m .
. .
g θ , θ , … , θ m
olarak r bilinmeyenli r tane denklem sisteminin çözümü;
h m , m , … , m h m , m , … , m .
. .
h m , m , … , m
olarak elde edilir. Bu çözüm setine parametre vektörü için momentler tahmin edicisi denir.
3.1.2 En küçük kareler metodu
Bu yöntem gözlem alınan , , … , noktalarına bağlı olarak elde edilen ampirik dağılım ile : dağılım fonksiyonu arasındaki ilişkiye dayanır. Öyle ki;
, . “.” Sıra istatistiğini göstermek üzere, gözlemler küçükten büyüğe sıralanır. Buna karşı gelen ampirik dağılım fonksiyonu olmak üzere;
, 1,2, … ,
şeklindedir. Ancak örneklem değerleri ile karşılaştırılan dağılım değerleri uç değerlerde 1 gibi en küçük kareler yöntemi için sıkıntı yaratacağından, yerine
25
olduğundan, alınması ile daha iyi sonuçlar elde edilir. Buradan;
: , 1,2, … ,
olarak elde edilen denklemde amaç ile ifade edilen hata terimini minimum yapan, daha doğrusu ile arasındaki mesafeyi en küçük yapan doğruyu (eğriyi) bulmaktır.
3.1.3 En çok olabilirlik tahmini
Bu yöntem elde edilen gözleme göre parametrenin değer kümesini tarar, olasılığı en yükseğe çıkaran parametre en çok olabilirlik tahminidir. Bu yöntem Fisher (1925) tarafından ortaya atılmıştır. Bir olabilirlik fonksiyonu tanımlanarak, bu fonksiyonun en yüksek değeri bulunur ve çözüm elde edilir. Bu yapılırken genellikle tanımlanan olabilirlik fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eşitlenir. Aynı şekilde ikinci türev alınarak bu noktanın en büyük değer noktası olduğu kontrol edilir ve tahmin edici elde edilir. , , … , rasgele örneklemi
; , , , , … , Θ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kitleden alınmış olsun. Bu örnekleme dayalı olabilirlik fonksiyonu,
; , , … , , , … , ; ;
olarak elde edilir. Bu fonksiyonu maksimum yapan değeri en çok olabilirlik tahminidir.
0 , 1,2, … ,
Denklem sistemi çözülüp, kritik noktası elde edilir.
için elde edilen matriste minörlerin işareti tek minörlerde negatif, çift minörlerde pozitif ise yi maksimum yapan değerdir. Eğer olabilirlik fonksiyonunun türevi alınırken zorlukla karşılaşılırsa, doğal logaritması alınarak kolaylık sağlanır ve bu fonksiyon üzerinden işlemler yapılarak yukarıda anlatıldığı gibi tahmin edici elde edilir.
Bunun nedeni logaritmik fonksiyonun monoton artan olmasıdır. Bu durumda yukarıdaki denklem sisteminin çözümü
26 log 0, 1,2, … ,
denklem sisteminin çözümüne eşittir. Çok değişkenli durumda, çözümü elde edilen kritik noktanın bir maksimum noktası olup olmadığı veya maksimum nokta ise parametre uzayında global maksimum olup olmadığı, Hessian matrisinin asal minörlerine bakılarak kontrol edilir. Buna göre,
, , ,
, ,
, ,
Burada matrise ait
, 0 3.1
, ,
, ,
0 3.2
, , ,
, ,
, ,
3.3
nın tek değerleri için 0 , nın çift değerleri için 0olur.Yukarıdaki (3.1), (3.2) eşitsizlikleri ile (3.3) ifadesinin kontrolü sonucu, , , , en çok olabilirlik değerleri olup olmadığı belirlenir. En çok olabilirlik tahmini için yukarıdaki
27
denklem sisteminin çözümü ve eşitsizliklerin kontrolü her zaman kolay olmayabilir ve açık bir şekilde çözüm elde edilemeyebilir. Bu yüzden Newton-Raphson yöntemi gibi nümerik metotlar yardımıyla tahmin yapılmaya çalışılabilir.
3.1.3.1. Newton-Raphson yöntemi
bir skaler, ve elemanları sabit olan bir vektör ve pozitif tanımlı simetrik matris olmak üzere, bir karesel fonksiyon
1 2
olarak tanımlansın. Böyle bir fonksiyon
noktasında minimum değerini alır. türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, Taylor açılımından
1
2 H
olsun. Burada, : Gradyan vektörü
: Hessian matrisi ( ’nin ikinci türevlerinin boyutlu bir matrisi)dir. ’nın minimumu için uygun değer, ’nın minimumu olabilir. Bu değer
olarak elde edilir. Newton-Raphson yöntemi daha genel olarak,
ya da
28
ile ifade edilir. Burada , minimumun sağlanması için gerekli adım uzunluğudur (Açıkgöz 2007).
3.2. Kolmogorov-Smirnov Uyum Testi
“ uygunluk testlerinin alternatifi olan Kolmogorov-Simirnov testi, Kolmogorov tarafından 1933 yılında, tek örnek için uyum iyiliği testi olarak önerilmiştir. 1939 yılında ise bir Rus matematikçisi olan Simirnov tarafından iki bağımsız örnek için uyum iyiliği testi geliştirilmiştir. Kolmogorov ve Simirnov testi benzerlik nedeniyle, uygulamada, Kolmogorov– Simirnov uyum iyiliği testleri olarak bilinirler.
Kolmogorov-Simirnov testinde beklenen frekanslar için bir alt limit söz konusu değildir” (Bircan vd. 2003). Bu çalışmada Kolmogorov-Simirnov tek örnek testi kullanılacaktır. Tek örnek için Kolmogorov-Simirnov testi iki dağılım fonksiyonunun incelenmesi temeline dayanır. Bunlardan birincisi sıfır hipotezinde belirtilen dağılım fonksiyonudur. İkincisi örneklemden elde edilen gözlenen dağılım fonksiyonudur.
Kolmogorov-Simirnov tek örnek testinde hipotezler şöyle kurulur.
H :Gözlenen frekanslar beklenen frekanslara uygundur
H :Gözlenen frekanslar beklenen frekanslara uygundur denilemez.
İstatistikte Kolmogorov-Smirnov testi sürekli eşitliği ölçen parametrik olmayan bir test olup, referans alınan bir dağılım ile örneklemin karşılaştırılmasına dayanır.
Kolmogorov-Smirnov istatistiği örnekleme ilişkin ampirik dağılım fonksiyonu ile karşılaştırılacak dağılım fonksiyonu arası bir uzaklığı ölçer. Eğer test istatistiği red edilemez olarak elde edilirse örneklem ile referans dağılımın aynı olduğu değerlendirilebilir. Kolmogorov-Smirnov testi iki farklı örneklemin aynı dağılımlı olup olmadığı, veya normallik testi amaçlı da kullanılabilir.
Birbirinden bağımsız aynı dağılımlı , , … , örneklemi olsun ve bu F dağılımının belirgin bir dağılımına eşit olup olmadığı test edilmek istensin.
Aşağıdaki hipotezler belirlenerek başlansın.
29 H : F F
H : F F
Şimdi de olarak veriye ait dağılım fonksiyonu tanımlansın. Ampirik dağılım ise aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
1
Bu değerinden daha küçük örneklem noktalarının oranı oldu. Bu durumda;
3.4
∞, arasındaki örneklem oranını göstermektedir. Buna genellikle örneklem dağılım fonksiyonu denilir. Genel olarak örneklem dağılım fonksiyonu her bir gözlem değerinde
artan bir kesikli dağılım olarak karşımıza çıkar. Böylece bir adım dağılımıdır ve atlama genişliği her bir gözlem noktasında dir. Şimdi , , … , örneklem sıra istatistikleri olsun. için 0 dır. için dir. (3.4) deki gibi tanımlı olan örneklem dağılım fonksiyonu idi. Verilmiş bütün sayılar için
∞, ∞ herhangi bir gözlem değeri nin den küçük olma olasılığı dir.
Büyük sayılar kanununa göre ∞ gözlemlere ait oranların da den küçük olması olasılıksal olarak den e yakınsar.
, ∞ ∞
Glivenko-Cantelli Lemması in bütün değerleri için in e düzgün bir şekilde yakınsadığını güçlü bir şekilde gösterir.
Teorem 3.1 (Glivenko-Cantelli)
| | 0
30
| | bir rasgele değişkendir ve ∞ giderken 0 a yaklaşır. Böylece hakkında yeterli bilgi olmadığında yerine kullanılabilir.
Buradaki sıkıntılardan bir tanesi de in kesikli olmasından kaynaklanan bir durumdur. Sürekli bir dağılımın kesikli ile karşılaştırılması için atlamaların olmadığı düzleştirme yöntemleri kullanılabilir. Eğer
| |
ise , ile hipotez testinde karşılaştırılan arasındaki en büyük farktır. Eğer hipotezi doğruysa, in bütün değerleri için in olasılık dağılımı belirgin bir dağılım olacaktır. Bu değer in herhangi bir probleme ait özel halinden de bağımsız olacaktır (DeGroot ve Schervish 2012).
Şekil 3.1 Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiği örnek grafiği (Panchenco 2005)
Glivenko-Cantelli Lemmasına göre , doğruysa küçük, değilse büyük olacaktır.
Bu lemmaya göre bir test kuralı oluşturulmuştur. Eğer √ ise reddedilir. Bu durum Kolmogorov ve Smirniovun çalışmaları ile aşağıdaki gibi de ifade edilebilmiştir.
31
√ | | 1 2 1 , 0
Buradan √ den faydalanılırsa,
√ 1 2 1 , 0
Burada Kolmogorov-Smirnov dağılım fonksiyonudur.
3.3 Akaike Bilgi Kriteri (AIC)
AIC (Akaike Information Criterion) ilk defa Akaike tarafından (1974) farklı modelleri, verilen sonuçlara göre karşılaştırmak maksadıyla kullanılmıştır. Klasik hipotez testleri ile belirlenen uygun modeller, daha sonra ilgilenilen model ile olan ilişkilere bakılarak en iyi sonuca ulaşılmaya çalışılır. En iyi modeli bulmak maksadıyla model ile sonuçlar arasındaki ilişkiye bakarak bir değer (ceza) hesaplanır (AIC). Bu değer şu şekilde hesaplanır.
2 2 log
Burada tahmin edilebilir parametre sayısı (serbestlik derecesi) ve log için kullanılan fonksiyon en çok olabilirlik fonksiyonudur. Eğer örnekleme ait gözlenen sayı fazla ise yukarıdaki değeri yeterli olacaktır (Snipes ve Taylorn 2014). Aksi halde eğer örneklem sayısı yeteri kadar büyük değilse daha genel bir ifade olan aşağıdaki
kullanılır.
2 1
1
32
Burada en küçük veya değerine sahip model en iyi modeldir. Bu modelleri sıralamada bir araç olarak kullanılmaktadır. batıda uzun yıllar kullanılmamış, 2002 sonrasında kullanımı artmıştır. geniş bir şekilde biyolojik incelemelerde, çevre bilimleri, şu ve deniz araştırmalarında ve medikal bilimlerde kullanılmaktadır.
pazarlama çalışmalarında da kullanılmış, ayrıca en iyi modelin ekonometri çalışmalarında bulunması maksadıyla da kullanılmıştır.
33 4. BULGULAR ve TARTIŞMA
Bu bölümde ikinci bölümde bilgi verilen Üstel dağılım ve FGM dağılımı kullanılarak yeni tek boyutlu bir dağılım türetildi. Marjinal dağılımı Üstel dağılım olan Dönüştürülmüş dağılım ile arasındaki farklılıklar grafikler yardımıyla değerlendirilmiştir. Daha sonra yeni türetilen dağılımın dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu belirlenmiş ve grafiksel gösterimleri yapılmıştır. Bunun arkasından dağılımın yaşam fonksiyonu elde edilerek incelenmiştir. Dağılımın moment çıkaran fonksiyonu, momentleri, beklenen değer, varyans, çarpıklık ve basıklık katsayıları elde edilerek Üstel dağılım ile arasındaki farklılıkları vurgulanmıştır.
Parametre tahmin metotlarından momentler tahmini, en küçük kareler tahmini ve en çok olabilirlik tahmini nümerik yöntemle yapılarak sonuçları karşılaştırılmıştır. Bölümün son kısmında da uygulama yapılarak dağılımın kullanılabileceği alanlar belirlenmeye çalışılmıştır.
4.1 FGM Dağılımı Kullanılarak Yeni Tek Boyutlu Dağılımın Elde Edilmesi
Marjinalleri ve olan iki boyutlu FGM dağılımı aşağıdaki gibidir.
, 1
Burada birliktelik parametresi olup, 1,1 aralığındadır. Bu dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir;
, 1 1 2 1 2
verilmişken koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
, 1 1 2 1 2
olarak elde edilir.
verilmişken ’in koşullu dağılım fonksiyonu şöyledir;
34
| 1 1 2 1 2
| 1 2
verilmişken için elde edilmek istenen olasılık değeri
| 1 2
olarak bulunur.
1 için, 1 3 2 dir.
1 1 1 3 2 1 4.1
olmaktadır. Bu dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu ise;
1 1 1 3 2 1
1 6 6 , 1,1 , 0 4.2
olarak elde edilir.
Bu noktada gerçek hayatta da karşımıza çıkabilecek örnekler verilerek devam edilirse koşul daha iyi anlaşılacaktır. Genetik rahatsızlığı olan bir ebeveyne sahip bireyin, vefat eden ebeveyn yaşında hala yaşıyor olması olasılığı bulunmak istenirse veya bir bankada ortalama hizmet süresinin bilindiği bir durumda, bankaya gelen müşterinin bu bilinen sürede hizmet alamayıp hala bekliyor olması olasılığı bulunmak istenirse bu gibi bir koşul kullanılabilir. Her yıl belirli bir miktar su taşkını görülen nehirlere ait ortalama su taşma seviyeleri biliniyorken bir sonraki taşmanın ortalamadan fazla olması olasılığı bulunmak istenildiğinde de yukarıdaki gibi bir koşul yardımıyla olasılık hesabı yapılabilir.
