4. BULGULAR ve TARTIŞMA
4.2 Dağılımın İncelenmesi
4.2.1 Dağılım fonksiyonu
Elde edilen yeni dağılıma ait dağılım fonksiyonu (4.1) numaralı denklemde,
1 1 1 3 2 1 olarak ifade edilmişti.
Bu dağılım fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
39
Şekil 4.5 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.6 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
40
Şekil 4.7 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.8 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
41
Dağılımın parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
Şekil 4.9 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.10 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
42 4.2.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Elde edilen yeni dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu (4.2) numaralı denklemde verilmişti. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdaki gibidir.
Şekil 4.11 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
0 50 100 150 200 250 300
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
t
f(t)
teta= 0.01
lamda= 0.9 (mavi) lamda= 0.75 (sarı) lamda= 0.25 (yeşil) lamda= 0 (siyah) lamda= − 0.25 (kırmızı)
43
Şekil 4.12 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.13 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
44
Şekil 4.14 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametresinin bazı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
Şekil 4.15 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
45
Şekil 4.16 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.17 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
0 5 10 15 20 25 30
46
Şekil 4.18 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
4.2.3 Yaşam Fonksiyonu
Yeni dağılıma ait yaşam fonksiyonu;
1 1 1 1 1 3 2 1
1 1 3 2
1 3 2
olarak elde edilebilir. Bu fonksiyon 1,0 aralığında iken, dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
1 1 1 3 2 1
Denklem (2.2) deki sıra istatistiği karakteristikleri kullanılarak elde edilen dağılım aşağıdaki şekilde ifade edilebilmektedir.
0 50 100 150 200 250 300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10−3
t
f(t)
lamda= − 0.9 teta= 0.01
47
1
olsun;
1 :
Bileşenlerin yaşam zamanları birbirinden bağımsız olacak biçimde bir anahtarlı sistem düşünülsün. , , bu sistemin bileşenlerinin yaşam zamanını göstersin ve ~ olsun. 1,0 için 1 ve anahtarın geçiş olasılığını ifade etsin. Birinci parçanın bir yedeği bulunsun. Üç parçanın ikisinin çalışmasına dayandırılan bir diğer sistem anahtarlama ile paralel bağlansın. Bu durumda aşağıdaki gibi bir şekil ortaya çıkacaktır.
Şekil 4.19 λ [-1,0] için oluşacak sistemin şekilsel gösterimi
Anahtarın konumunu belirten iki olay ve olmak üzere, :Anahtarın 1 konumunda bulunması
:Anahtarın 2 konumunda bulunması
Şekil 4.19 ile verilen sistemin yaşam fonksiyonu şöyledir:
| , , |
1 3 2
Burada açık bir şekilde anahtarın bulunma durumunun olasılığı ile sisteme ait parçaların güvenirliklerinin çarpımı sistem güvenirliğini vermektedir. O halde anahtar ile sistemin
1
2
48
parçalarının oluştuğu yapının birbirinden bağımsız olduğu değerlendirilebilir ve anahtarın durumunu gösteren olasılık ile parçaların güvenirliği sistem güvenirliği olarak elde edilebilir. 0,1 olduğu durumda ise aşağıdaki şekilde yaşam fonksiyonu tekrar yazılabilir.
1 2 3 2
Yaşam fonksiyonuna ait grafikler aşağıdaki gibidir. Şekil 4.20-4.21 incelendiğinde belirli bir anında fonksiyonlara ait doğrular düğüm yapmaktadır. Bu düğüm noktasından sonra, parametresinin değeri azaldıkça yaşam foksiyonunun daha fazla aşağıya doğru sarktığını ve düşük değerlere daha erken ulaştığını görebiliyoruz.
Düğümün öncesindeki bölümde de bunun tam tersi olarak parametresinin değeri azaldıkça yaşam fonksiyonunun aldığı değer daha büyük olarak gözlenmektedir.
Şekil 4.20 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
49
Şekil 4.21 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.22 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
50
Şekil 4.23 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
Şekil 4.24 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
51
Üstel dağılım kullanılarak elde edilen yeni tek boyutlu dağılımda yine Üstel dağılıma ait izler gözlemlenmektedir. 1 olarak elde edilen Üstel dağılımın ortalama yaşam ömrü göz önüne alınırsa, yaşam fonksiyonu değerinin de parametresine ait değer azaldıkça artması ve parametreye ait değer arttıkça da sıfıra yaklaşması beklenir. Burada da parametre değeri arttıkça yaşam fonksiyonu eğrisini sıfıra daha erken yaklaştırdığı açıkça belli olmaktadır.
4.2.4 Bozulma oranı
Yaşam fonksiyonu bir parçanın belirli bir zaman noktasındaki bozulmasına ait bir olasılık değeri hakkında bilgi verir. Eğer parçanın tüm yaşamı boyunca var olan bu durum gözlemlenmek istenirse, bozulma oranı kullanılır. Burada yaşlanma kavramı da ön plana çıkmaktadır. Yaşlanma, zaman ilerledikçe parçanın işlevini yerine getirebilme olasılığının azalması yani bozulma riskinin artması anlamındadır. Yaşlanma kavramı olasılıksal olarak aşağıdaki gibi incelenebilir.
Yeni bir parçanın zaman kadar işlevini sürdürmesi olasılığı,
1 1
şeklindedir. yaşındaki bir parçanın en az kadar daha yaşaması olasılığı aşağıdadır.
| ,
0, 0
Aynı parçanın , aralığında hata vermesi olasılığı,
| 1
olarak ifade edilebilir. Aşağıdaki işlemler yapılarak bozulmanın hızı bulunabilir.
1 | 1 1
52
lim 1 1 1
lim1
log
Bu orana noktasındaki bozulma oranı denilir ve ile gösterilir. Türetilen yeni dağılımın bozulma oranı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
1 6 6
İlk andaki bozulma oranı hesaplanmak istenilirse
lim 1 6 6
1 3 2 1
elde edilir. 0 anında anahtarın 3 den 2 çıkışlı sistemde olması durumunda bozulma yokken, anahtar tek parçanın çalışmasına izin verdiğinde bozulma oranı kadardır.
Ancak pozitif değerli iken bu oran daha yüksektir. Öte yandan ∞ iken nın 1 olup olmamasına göre iki farklı bozulma oranı ortaya çıkmaktadır.
lim , 1
lim 6 1
3 2 2 , 1
0 , 1 değerine yaklaşmaktadır. Bu oran da denklemden de görülebildiği gibi herhangi bir anda elde bulunan parçalardan ömrü tamamlananların, yaşamını sürdürenlere oranı olarak görünmektedir. Bozulma oranı fonksiyonuna ait grafikler aşağıdadır. nın pozitif değerleri için 0 anında yüksek olan bozulma oranı, zamanı artıkça parçanın ortalama ömrünün tersine doğru yaklaşmaktadır. nın negatif değerlerinde ise 0 anında düşük olan bozulma oranı, zamanı artıkça parçanın ortalama ömrünün tersine doğru yaklaşmaktadır. Bozulma oranı fonksiyonunun monotonluk incelemesi için şöyle bir yol izlenebilir; Bozulma oranının birinci türevi alınarak uç sınır noktaları bulunur:
53
3 8 8 6 3
3 2 1
olup, pay ifadesindeki parantezdeki kısmın sıfıra eşitlenmesi ile
̂
iki kritik nokta λ ‐1,0 için elde edilir. Buradan, bozulma oranının ya göre minimum ve maksimum noktalarına sahip olduğu söylenebilir. 1 için bozulma oranı monoton artan iken, λ 0 için bozulma oranı sabittir. Bozulma oranı fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıda verilmiştir.
Şekil 4.25 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
54
parametresi sıfır değerini aldığında dağılım fonksiyonu (4.1) numaralı denklemden de yaralanarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
1
Bu da Üstel dağılımın olasılık dağılımına eşit olmaktadır. Bilindiği gibi Üstel dağılımın önemli özelliklerinden birisi de sabit bir bozulma oranına sahip olmasıdır. Üstel dağılımın sabit olan bu bozulma oranı ise ortalama yaşam ömrünün tersi, yani parametresinin değeridir. Şekil 4.25’de açıkça göründüğü gibi parametresi sıfır değerini aldığında bozulma oranı sabit bir hal almış (siyah çizgi ile gösterilen) ve parametresinin değerinde bulunmuştur. Bu durum şekil 4.26’da da gözlemlenebilir.
Şekil 4.26 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
parametresi pozitif değerler aldığında, bozulma oranı bathtube olarak da adlandırılan banyo küvetine benzer bir yapı olarak ortaya çıkmaktadır. Burada başlangıçtaki aşağı yünlü olan grafik bölümü azalan bir hızla gerçekleşen başlangıç ölümlerini göstermekte olup, başlangıçta bazı parçalar sistemden hızlıca çıkıp, sistemin uzun ömürlü
0 10 20 30 40 50 60
55
çalışmasına fazla katkı sağlamamaktadır. Daha sonra ise denge kurulmakta ve bozulma oranı belli bir süre sabite yakın değer alarak fazla kayıp vermemekte veya belli bir standartta bozulma vererek sistemin devamı sağlanmaktadır. Arkasından son bölümde de ömrünü tamamlamış parçalar hızlanan bir oranla bozularak sistemin sonlanmasına kadarki süreç tamamlanmaktadır.
parametresi negatif değerler aldığında ise bozulma oranı tam tersi bir yapı oluşturmaktadır. Bu yapı parametrenin pozitif değer aldığındaki karşılığının 0 durumunda alınan değere yani parametre değerine sahip olan doğruya göre simetrik olmaktadır. Bu durumda başlangıçta artarak devam eden bir bozulma oranı oluşmakta, belli bir süre sonra maksimum noktasına ulaşıp, daha sonra azalarak sabit bir noktaya yaklaşmaktadır. Bu yaklaştığı nokta da parametresinin değeri olan noktadır. Bu tipte olan bozulma oranı grafikleri önce yukarı sonra aşağı banyo küveti manasında upside-down bathtub veya ters banyo küveti ya da unimodel olarak adlandırılmaktadır.
Aşağıda bozulma oranı fonksiyonunun farklı parametre değerlerine göre grafikleri verilmiştir.
Şekil 4.27 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,01, λ=-0,5 için grafiği
0 200 400 600 800 1000
56
Şekil 4.28 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,1, λ=-0,5 için grafiği
Şekil 4.29 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=-0,5 için grafiği
0 50 100 150 200
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14
t
r(t)
lamda= − 0.5 teta= 0.1
0 1 2 3 4 5 6
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
t
r(t)
lamda= − 0.5 teta= 1
57
Şekil 4.30 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=-0,5 için grafiği
Şekil 4.31 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=0,5 için grafiği
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
58
Şekil 4.32 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=0,5 için grafiği
parametresinin aldığı değere göre, bozulma oranının aldığı değerin büyüklüğü değişmekle beraber, sabit bir değere ulaşma zamanı da değişmektedir. Parametrenin değeri arttıkça, bozulma oranının aldığı değerde önemli bir artış olmaktadır. Bununla beraber yine değer arttıkça, daha erken zamanda sabit bir bozulma oranına yaklaşmaktadır.
4.2.5 Dağılıma ilişkin karakteristikler
4.2.5.1 Momentler
Birinci moment (Beklenen değer)
1 6 6
1 3 2 2 3
0 0.5 1 1.5 2
7 8 9 10 11 12 13 14 15
t
r(t)
lamda= 0.5 teta= 10
59
Burada birinci integrasyonda , ikinci integrasyonda , üçüncü integrasyonda ortalamalı Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunduğundan, Üstel dağılımın beklenen değeri yardımıyla yapılan çözümde beklenen değer;
1 3
2 2 3 6
6 4.3 olarak bulunur.
İkinci moment
1 6 6
1 3 2 2 3
Yine Üstel dağılımın ikinci momenti bilindiğinden,
2 1 6
4
4 9 36 17
18 4.4 olarak bulunur.
Üçüncü Moment
1 6 6
1 3 2 2 3
Burada Gamma fonksiyonu yardımıyla yapılan çözümün sonucunda;
6 1 36
16
36 81
60 216 151
36 olarak elde edilmiştir.
Varyans
36 17 18
6 6
36 22
36
Çarpıklık
3 2
36 22 36
2 33 147 216
36 22 ⁄
2 1 33 1 147 1 35
36 22 ⁄
Yukarıdaki ifadeye göre, parametresinin aldığı değer çarpıklık katsayısının değerini tek başına belirlemektedir. Katsayı ile parametresi arasında nasıl bir ilişkinin var olduğunu daha kolay görmek için parametre ile katsayı arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki grafikten yararlanılabilir. Şekil 4.33 incelendiğinde parametre değerini alana kadarki ilk bölümde parametre değeri arttıkça katsayı değeri de artmakta, bu zirve noktasından sonra katsayı ile parametre değeri arasında bir ters orantılı ilişki bulunmakta ve parametre değeri arttıkça katsayı değeri azalmaktadır. Üstel dağılımda çarpıklık katsayısı 2 iken nın pozitif değerlerinde Üstel dağılıma göre daha kısa bir sağ kuyruğa, 0,8348 ile 0 arasında değer alırken daha uzun bir sağ kuyruğa sahiptir.
61
Şekil 4.33 Çarpıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği
Basıklık
66 44 464 3016 3888
432 36 22
36
3 44 464 3016 3888
36 22
Elde edilen katsayı denklemine göre parametresinin aldığı değer basıklık katsayısının değerini tek olarak belirlemektedir. Katsayı ile parametresi arasında nasıl bir ilişkinin var olduğunu daha kolay görmek için parametre ile katsayı arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki grafikten yararlanılabilir. Üstel dağılımın basıklık katsayısı değeri 9 olduğundan elimizdeki dağılımın 0 için katsayı değerinin de 9 olması gerekmektedir. Aşağıdaki şekil 4.34’de yukarıda ifade edilen durum gözlenmektedir.
−1 −0.5 0 0.5 1
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2
lamda
C(x)
62
Şekil 4.34 Basıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği
4.2.5.2 Moment çıkaran fonksiyon
1 6 6
1 6 6
1 6 6
şekline dönüşür, bu integrallerin sonlu olabilmesi için sırası ile 0, 2 0 ve 3 0 olması gerekmektedir. Bu üç koşul birleştirildiğinde olması yeterli olacağından moment çıkaran fonksiyon,
1 6
2
6
3 ,
biçiminde elde edilir. Dikkat edilirse, moment çıkaran fonksiyon ortalamaları sırası ile , ve olan Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonlarının birer lineer
−1 −0.5 0 0.5 1
5 6 7 8 9 10 11 12
lamda
B(x)
63
kombinasyonu şeklinde ortaya çıkmaktadır. Denklem (2.1) ile daha önce Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu verilmişti. Buna göre, ~Ü , 1,2,3 için olmak üzere,
1 3 2 , 4.5
olarak ifade edilebilir.
4.2.5.3 k. ham moment
k. ham moment yukarıdaki denklem (4.5) ifadesinden kolaylıkla elde edilebilir:
1 3 2
1 Γ 1
3 Γ 1
2 2 Γ 1
3
k! 1 3 1
2 2 1
3
olarak bulunur.
4.3 Parametre Tahmini
4.3.1 Momentler metoduyla tahmin
Üçüncü bölümde momentler metodu ile tahminin nasıl yapılacağı hakkında bilgi verilmişti. Dağılımdaki parametre sayısı kadar ham momente ihtiyaç duyulmaktaydı.
Dolayısıyla dağılımda iki parametre olduğundan iki moment denklem sistemi
64
oluşturarak parametre tahminini yapılmalıdır. Daha önce (4.3) ve (4.4) numaralı denklemlerle dağılımın birinci ve ikinci momentleri aşağıdaki gibi bulunmuştu.
6 6 36 17
18
Momentler metoduyla tahminin temel aldığı nokta parametre sayısı kadar ham momentin alınarak, oluşturulacak denklemlerin ortak çözümü ile tahmin elde etmektir.
parametresinin momentler tahmininin varlığını araştırmak için ilgili koşulların ne olduğu araştırılmak istenirse,
2 10 2
36 12 4.6 olarak elde edilebilir. İşlem kolaylığı açısından bu değer parametresine eşitlenirse,
2 4.7
2 12 10 36 0 4.8 olarak elde edilir. Burada 12 10 4 2 36 100 528 0 olursa denklemin kökünün var olduğu söylenebilir. Böylece
25
132 4.9 olarak ilk koşul elde edilir.
∑
olduğu hatırlanırsa
1 4.10
65
eşitsizliği geçerlidir. (4.9) numaralı eşitsizlikle ilk olarak elde edilen koşula ilişkin aralık bu durumda denklem (4.7) da belirtilen momentler ile k arasındaki ilişkiden de yararlanılarak, aşağıdaki gibi elde edilir.
1 2,189
1 25
132 4.11 parametresinin 1,1 olması gerekmektedir. Bu sebeple elde edilecek kökler bu çerçevede incelenirse, (4.8) numaralı denklemin köklerinin de yardımıyla aşağıdaki değerlendirmelerde bulunulabilir.
10 12 √100 528
2 4 4.12 Burada kökün belirtilen sınırlar arasında yani
1 10 12 √100 528
2 4 1
biçiminde değer alması gerektiğinden, sırayla alt ve üst sınıra göre için sınırlamalar bulunmak istenirse, 2 4 0 olduğundan alt ve üst sınır bu değer ile çarpılarak nın sınırları için yeni koşulların varlığı araştırılır.
Öncelikle alt sınır ele alındığında,
2 4 10 12 √100 528
olup, gerekli düzenlemelerden sonra
10 14 √100 528
eşitsizliğine dönüşür. (4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin solundaki ifade negatif olup, eşitsizliği yön değiştirerek karesel ifadenin pozitif kısmı için çözümü elde edilir. (4.11) aralığı esas alınarak
12 25
25 132
66
şeklinde aralık biraz daha daralır. İkinci olarak üst sınır değeri göz önüne alınırsa,
10 12 √100 528 2 4
olup, eşitsizlik aşağıdaki gibi düzenlenir:
6 14 √100 528
Bu eşitsizliğin sol tarafının (4.11) eşitsizliği dikkate alındığında pozitif olduğu görülür.
Buna göre, ortaya çıkan karesel ifadenin çözümü sonucunda için yeni üst sınırın 8
49
olduğu sonucuna varılır. Yukarıda için elde edilen (4.11) deki koşuldan daha dar bir aralık elde edildiğinden yeni bir koşul aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
12 25
8
49 4.13 Bu koşul yardımı ile örneklem momentlerinin oranı olan için bulunması gereken aralık aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
38 25
106 49
Bu koşul altında 1,1 aralığında tahmin edilebilir değerlendirmesinde bulunulabilir. Şimdi (4.8) numaralı denklemin diğer kökü aynı şekilde incelenecektir.
10 12 √100 528
2 4
Burada da kökün belirtilen sınırlar arasında yani
1 10 12 √100 528
2 4 1
biçiminde değer alması gerektiğinden, sırayla alt ve üst sınıra göre için sınırlamalar bulunmak istenirse, 2 4 0 olduğundan alt ve üst sınır bu değer ile çarpılarak nın sınırları için yeni koşulların varlığı araştırılır:
67 Öncelikle alt sınır ele alındığında,
2 4 10 12 √100 528
olup, gerekli düzenlemelerden sonra 10 14 √100 528
eşitsizliğine dönüşür. (4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin solundaki ifade negatif olup, eşitsizliği yön değiştirerek karesel ifadenin pozitif kısmı için çözüm elde edilir. (4.11) aralığı esas alınarak
12 25
25 132
olarak ilk kökün sol tarafı için geçerli olan aralığın aynısı elde edilir. İkinci olarak üst sınır değeri göz önüne alınırsa,
10 12 √100 528 2 4
olup, eşitsizlik aşağıdaki gibi düzenlenir:
√100 528 14 6
(4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin sağındaki ifade negatif olup, reel kök gelmemektedir. Böylece sadece (4.12) numaralı denklemin kökleri anlamlı halde bulunur.
parametresinin tahmini için eşitlik elde etmeye çalışılırsa, bunun için (4.3) ve (4.6) numaralı denklemlerden aşağıdaki gibi yararlanıldığında,
6 6
18 102 66 0
olarak elde edilir. Burada 102 4 18 66 0 olursa denklemin reel kökünün var olduğu söylenebilir. O halde öncelikle,
10404 4752
68
olarak ifade edilir. (4.10) numaralı eşitsizlikte momentlerin oranı ile ilgili bir ifade yukarıda verilmişti, bu iki eşitsizlik birleştirilince aşağıdaki gibi bir koşul elde edilir.
1 289
132
eşitsizliği cinsinden yazmak gerekirse,
1 25
132 4.14 elde edilir. Dikkat edilirse, (4.11) ile aynı durum elde edildi. Bu noktaya kadar elde edilen 3 koşulu birleştirerek bütün koşulları sağlayan aralık bulunmalıdır. Burada (4.11), (4.13) ve (4.14) ün kesişimi aşağıdaki gibi elde edilir.
38 Köklerin durumuna tek tek bakılırsa,
102 10404 4752
36
bölümün başında, dağılımın elde edildiği kısımda parametrelerin belirli aralıkta değer alabileceği belirtilmişti. parametresi için 0 olarak verilmişti, o zaman iki kök de bu durumu sağlamalıdır,
102 10404 4752
36 0
Bu kökün parametreyi tahmin edebileceğini varsayarak, (4.15) numaralı koşul altındaki alt ve üst sınır değerlerine göre çözüm yapıldığında, parametresinin aldığı değerler aşağıdaki aralıkta elde edilmiştir.
2,717 11,368
69
Bu da parametresi için bu kökün çözümü yansıtmadığını anlatmaktadır.
Şimdi ikinci köke bakılırsa,
102 10404 4752
36
102 10404 4752
36 0
yine aynı aralıkta çözümlere bakılmalıdır. Koşul (4.15) altında alt ve üst sınır değerlerine göre çözüm yapıldığında değerleri
1 1
olarak tam sınırlar arasında değer vermektedir. İkinci kökün parametreyi temsil edebilecek tahmin yapabileceği elde edilmiş oldu. O halde tahminler koşul (4.15) altında (4.3) numaralı denklem yardımı ile aşağıdaki gibi elde edilir.
102 10404 4752
36
6 102 10404 4752
36 6
Aşağıda bu tahminlere ilişkin sonuçlar nümerik yöntemlerle gözlemlenecektir. Çizelge 4.1 ile hata kareler ortalamasının karekökü de elde edilerek verilmiştir.
1 4.16
1 4.17
Bu tahminlerde tekrar sayısı 100 her defasında 100 olarak alınmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.
70
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri
= - 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,7058 -0,7925 -0,8501 -0,9015
Rmse( 0,3732 0,2113 0,1521 0,0601
55,7698 50,9766 50,7845 49,9039
Rmse( 15,1954 5,4908 4,0093 1,1438
= - 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,4925 -0,3585 -0,2684 -0,2046
Rmse( 0,5349 0,4770 0,4188 0,1961
53,5208 49,5253 49,8407 49,8084
Rmse( 22,1052 7,7049 5,5391 2,1964
= 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,3772 -0,1904 -0,0668 0,1965
Rmse( 0,7548 0,6138 0,4923 0,2433
51,1377 47,9176 48,6423 50,0875
Rmse( 20,1569 8,8345 6,0312 2,4148
= 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,2984 -0,0078 0,2203 0,5695
Rmse( 1,3008 1,0182 0,7988 0,3985
47,4026 43,6746 44,8738 47,4582
Rmse( 23,9251 10,5708 7,7431 3,3739
= - 0,9 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,7185 -0,7926 -0,8317 -0,8893
Rmse( 0,3325 0,2174 0,1646 0,0740
5,4467 5,1362 5,1158 5,0050
Rmse( 1,9134 0,5498 0,4461 0,1231
71
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= - 0,2 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4996 -0,4007 -0,3099 -0,1973
Rmse( 0,5625 0,4501 0,4111 0,1700
5,2169 4,9163 4,9682 5,0169
Rmse( 1,9606 0,7030 0,5588 0,2038
= 0,2 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4545 -0,1828 -0,0550 0,2014
Rmse( 0,8239 0,5976 0,5049 0,2456
4,9762 4,7212 4,9559 4,9872
Rmse( 1,4727 0,8628 0,7305 0,2411
= 0,9 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4402 0,0255 0,2449 0,5876
Rmse( 1,4181 0,9791 0,7631 0,3871
4,6399 4,3718 4,5266 4,7443
Rmse( 2,8219 1,0629 0,7594 0,3510
= - 0,9 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,7020 -0,7521 -0,8115 -0,9017
Rmse( 0,3497 0,2687 0,1796 0,0554
0,5419 0,5144 0,5080 0,5001
Rmse( 0,1534 0,0555 0,0402 0,0132
= - 0,2 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,3938 -0,3445 -0,2464 -0,1805
Rmse( 0,5195 0,4415 0,3924 0,1650
0,4988 0,4952 0,5070 0,5029
Rmse( 0,1641 0,0718 0,0576 0,0222
72
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= 0,2 , 0,5
73
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= 0,9 , 0,05
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,4479 -0,0126 0,0969 0,6046
Rmse( 1,4307 1,0057 0,9134 0,3826
0,0439 0,0432 0,0432 0,0477
Rmse( 0,0188 0,0097 0,0092 0,0034
Nümerik yöntemle yapılan gözlem sonucunda elde edilen veriler incelendiğinde, genellikle parametresinin tahmininde sonuçların parametresinin tahminine göre daha yüksek bir sapma ile bulunduğu görülmektedir. Bu durumla ilgili parametresinin tahmin edicisini ve tahmin edicide kullanılan değişkenlerin beklentilerini değerlendirerek aşağıdaki inceleme yapılabilir; tekrar sayısının 100 olduğu ve gözlem sayısının da 100 olduğu varsayalsın, 0,9 , 5 için, Rmse( =0,7594 ve Rmse( =0,7631 olarak çizelge 4.1’de verilmişti. 2 standart sapma için parametrelerin alacağı değer aralıkları bulunarak incelemeye çalışılacaktır. Denklem (4.3) den faydalanarak aşağıdaki şekilde aralıklar elde edilmiştir.
6 6
6 0,9
30 0,23
2Rmse 2Rmse
4,5266 2 0,7594 4,5266 2 0,7594 3,0078 6,0454
Bu parametresinin tahmin aralığında (4.3) numaralı denklemden faydalanarak parametresinin aralığı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
1,8492 2,3426
Buradan da görüleceği gibi, parametresindeki değişiklik parametresinde daha büyük oranlı bir değişiklik olarak kendisini göstermektedir. Bu durum aşağıda, şekil 4.35’de daha kolay bir şekilde gözlenmektedir.
74
Şekil 4.35 Momentler tahmininde λ tahmininin θ parametre tahminine göre grafiği
Çizelge 4.1 değerleri incelendiğinde dikkat çekici bir şekilde parametresine ilişkin tahminlerde, değer arttıkça, yani “1” değerine yaklaştıkça parametre tahmininin bozulduğu ve daha olumsuz sonuçlar verdiği ayrıca daha yüksek bir sapma ile bunları gerçekleştirdiği gözlemlenebilir. Bunun önemli bir nedeni de parametre tahmini kısmında önerilen koşullar sebebiyle parametrenin belli değer aralıklarında bulunması halinde tahmin edicinin anlamlı sonuçlar vermesi olduğu değerlendirilebilir.
4.3.2. En küçük kareler metoduyla tahmin
Üçüncü bölümde en küçük kareler metoduyla tahmin anlatılırken hata teriminin en küçük değerde bulunmasının sağlanması amaç olarak verilmişti. Bu sebeple hata terimlerinin karesini minimum yapan parametre değerleri bulunmalıdır. Buna göre elde edilen dağılım ele alındığında;
, ; ,
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
teta
lamda
75
1 1 1 3 2 1
1
şeklinde eşitlik elde edilir. Burada amaç bu eşitlikte sonucu minimum yapan ve parametre değerlerini bulmaktır. Dolayısı ile parametrelere ilişkin türevleri alarak uç değerleri bulup, ikinci türevler ile de en küçük değer olup olmadığı kontrol edilebilir.
, 1 1 3 1 2 1
1
Kolaylık olması bakımından
1 3 1 2 1
alınırsa
, 2 1
1 0 4.18
, 2 ∑ 1 1 0 4.19
elde edilir. Bu iki denklem sisteminin nümerik yöntemlerle çözümlerine ilişkin sonuçlar çizelge 4.2’de incelenecektir. Bu tahminlerde tekrar sayısı 100 her defasında 100 olarak alınmıştır. (4.16) ve (4.17) numaralı denklemlerde belirtildiği gibi hata kareler ortalamasının karekökü de hesaplanarak verilmiştir.
76
Çizelge 4.2 Parametrelere ait en küçük kareler tahmin değerleri ve RMSE değerleri
= - 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,5747 -0,8359 -0,8672 -0,9028
Rmse( 0,5463 0,2048 0,1334 0,0708
51,5155 51,0164 50,3005 49,8133
Rmse( 13,6651 5,5667 4,4143 1,0953
= - 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,0146 -0,1884 -0,2096 -0,1977
Rmse( 0,6752 0,3414 0,2447 0,0843
51,0939 50,5987 49,5289 49,9925
Rmse( 18,3187 8,3353 5,4519 2,0498
= 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
0,2824 0,2115 0,2173 0,1874
Rmse( 0,6542 0,3546 0,2439 0,0763
53,9959 49,5590 50,3470 50,0168
Rmse( 25,7503 9,9067 6,9744 2,0170
= 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
0,5901 0,8209 0,8509 0,8981
Rmse( 0,6476 0,2799 0,1766 0,0718
52,0055 51,9178 50,6503 49,7805
Rmse( 28,6814 10,4583 6,4954 2,1594
= - 0,9 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,4460 -0,8233 -0,8271 0,8937
Rmse( 0,7225 0,2260 0,1744 0,0707
5,3610 4,9498 4,9845 5,0151
Rmse( 1,4302 0,5064 0,3880 0,1201
77
Çizelge 4.2 Parametrelere ait en küçük kareler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= - 0,2 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,0675 -0,1696 -0,1193 -0,1875
Rmse( 0,6385 0,3496 0,2610 0,0794
5,2298 5,0518 5,0607 4,9814
Rmse( 1,7028 0,8670 0,5728 0,1841
= 0,2 , 5
-0,5621 -0,7625 -0,8355 -0,8915
Rmse( 0,6042 0,2668 0,1807 0,0656
0,5054 0,4972 0,5052 0,5012
Rmse( 0,1254 0,0540 0,0378 0,0125
= - 0,2 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000
0,0527 -0,1869 -0,1841 -0,1944
Rmse( 0,7217 0,3568 0,2339 0,0791
0,5479 0,5183 0,5069 0,5026
Rmse( 0,1719 0,0803 0,0519 0,0170
78
Çizelge 4.2 Parametrelere ait en küçük kareler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= 0,2 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000
0,2691 0,2650 0,1709 0,1884
Rmse( 0,6561 0,3869 0,2667 0,0738
0,5464 0,5162 0,5106 0,4999
Rmse( 0,2636 0,0799 0,0693 0,0195
Rmse( 0,2636 0,0799 0,0693 0,0195