4. BULGULAR ve TARTIŞMA
4.3 Parametre Tahmini
4.3.1 Momentler metoduyla tahmin
Üçüncü bölümde momentler metodu ile tahminin nasıl yapılacağı hakkında bilgi verilmişti. Dağılımdaki parametre sayısı kadar ham momente ihtiyaç duyulmaktaydı.
Dolayısıyla dağılımda iki parametre olduğundan iki moment denklem sistemi
64
oluşturarak parametre tahminini yapılmalıdır. Daha önce (4.3) ve (4.4) numaralı denklemlerle dağılımın birinci ve ikinci momentleri aşağıdaki gibi bulunmuştu.
6 6 36 17
18
Momentler metoduyla tahminin temel aldığı nokta parametre sayısı kadar ham momentin alınarak, oluşturulacak denklemlerin ortak çözümü ile tahmin elde etmektir.
parametresinin momentler tahmininin varlığını araştırmak için ilgili koşulların ne olduğu araştırılmak istenirse,
2 10 2
36 12 4.6 olarak elde edilebilir. İşlem kolaylığı açısından bu değer parametresine eşitlenirse,
2 4.7
2 12 10 36 0 4.8 olarak elde edilir. Burada 12 10 4 2 36 100 528 0 olursa denklemin kökünün var olduğu söylenebilir. Böylece
25
132 4.9 olarak ilk koşul elde edilir.
∑
olduğu hatırlanırsa
1 4.10
65
eşitsizliği geçerlidir. (4.9) numaralı eşitsizlikle ilk olarak elde edilen koşula ilişkin aralık bu durumda denklem (4.7) da belirtilen momentler ile k arasındaki ilişkiden de yararlanılarak, aşağıdaki gibi elde edilir.
1 2,189
1 25
132 4.11 parametresinin 1,1 olması gerekmektedir. Bu sebeple elde edilecek kökler bu çerçevede incelenirse, (4.8) numaralı denklemin köklerinin de yardımıyla aşağıdaki değerlendirmelerde bulunulabilir.
10 12 √100 528
2 4 4.12 Burada kökün belirtilen sınırlar arasında yani
1 10 12 √100 528
2 4 1
biçiminde değer alması gerektiğinden, sırayla alt ve üst sınıra göre için sınırlamalar bulunmak istenirse, 2 4 0 olduğundan alt ve üst sınır bu değer ile çarpılarak nın sınırları için yeni koşulların varlığı araştırılır.
Öncelikle alt sınır ele alındığında,
2 4 10 12 √100 528
olup, gerekli düzenlemelerden sonra
10 14 √100 528
eşitsizliğine dönüşür. (4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin solundaki ifade negatif olup, eşitsizliği yön değiştirerek karesel ifadenin pozitif kısmı için çözümü elde edilir. (4.11) aralığı esas alınarak
12 25
25 132
66
şeklinde aralık biraz daha daralır. İkinci olarak üst sınır değeri göz önüne alınırsa,
10 12 √100 528 2 4
olup, eşitsizlik aşağıdaki gibi düzenlenir:
6 14 √100 528
Bu eşitsizliğin sol tarafının (4.11) eşitsizliği dikkate alındığında pozitif olduğu görülür.
Buna göre, ortaya çıkan karesel ifadenin çözümü sonucunda için yeni üst sınırın 8
49
olduğu sonucuna varılır. Yukarıda için elde edilen (4.11) deki koşuldan daha dar bir aralık elde edildiğinden yeni bir koşul aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
12 25
8
49 4.13 Bu koşul yardımı ile örneklem momentlerinin oranı olan için bulunması gereken aralık aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
38 25
106 49
Bu koşul altında 1,1 aralığında tahmin edilebilir değerlendirmesinde bulunulabilir. Şimdi (4.8) numaralı denklemin diğer kökü aynı şekilde incelenecektir.
10 12 √100 528
2 4
Burada da kökün belirtilen sınırlar arasında yani
1 10 12 √100 528
2 4 1
biçiminde değer alması gerektiğinden, sırayla alt ve üst sınıra göre için sınırlamalar bulunmak istenirse, 2 4 0 olduğundan alt ve üst sınır bu değer ile çarpılarak nın sınırları için yeni koşulların varlığı araştırılır:
67 Öncelikle alt sınır ele alındığında,
2 4 10 12 √100 528
olup, gerekli düzenlemelerden sonra 10 14 √100 528
eşitsizliğine dönüşür. (4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin solundaki ifade negatif olup, eşitsizliği yön değiştirerek karesel ifadenin pozitif kısmı için çözüm elde edilir. (4.11) aralığı esas alınarak
12 25
25 132
olarak ilk kökün sol tarafı için geçerli olan aralığın aynısı elde edilir. İkinci olarak üst sınır değeri göz önüne alınırsa,
10 12 √100 528 2 4
olup, eşitsizlik aşağıdaki gibi düzenlenir:
√100 528 14 6
(4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin sağındaki ifade negatif olup, reel kök gelmemektedir. Böylece sadece (4.12) numaralı denklemin kökleri anlamlı halde bulunur.
parametresinin tahmini için eşitlik elde etmeye çalışılırsa, bunun için (4.3) ve (4.6) numaralı denklemlerden aşağıdaki gibi yararlanıldığında,
6 6
18 102 66 0
olarak elde edilir. Burada 102 4 18 66 0 olursa denklemin reel kökünün var olduğu söylenebilir. O halde öncelikle,
10404 4752
68
olarak ifade edilir. (4.10) numaralı eşitsizlikte momentlerin oranı ile ilgili bir ifade yukarıda verilmişti, bu iki eşitsizlik birleştirilince aşağıdaki gibi bir koşul elde edilir.
1 289
132
eşitsizliği cinsinden yazmak gerekirse,
1 25
132 4.14 elde edilir. Dikkat edilirse, (4.11) ile aynı durum elde edildi. Bu noktaya kadar elde edilen 3 koşulu birleştirerek bütün koşulları sağlayan aralık bulunmalıdır. Burada (4.11), (4.13) ve (4.14) ün kesişimi aşağıdaki gibi elde edilir.
38 Köklerin durumuna tek tek bakılırsa,
102 10404 4752
36
bölümün başında, dağılımın elde edildiği kısımda parametrelerin belirli aralıkta değer alabileceği belirtilmişti. parametresi için 0 olarak verilmişti, o zaman iki kök de bu durumu sağlamalıdır,
102 10404 4752
36 0
Bu kökün parametreyi tahmin edebileceğini varsayarak, (4.15) numaralı koşul altındaki alt ve üst sınır değerlerine göre çözüm yapıldığında, parametresinin aldığı değerler aşağıdaki aralıkta elde edilmiştir.
2,717 11,368
69
Bu da parametresi için bu kökün çözümü yansıtmadığını anlatmaktadır.
Şimdi ikinci köke bakılırsa,
102 10404 4752
36
102 10404 4752
36 0
yine aynı aralıkta çözümlere bakılmalıdır. Koşul (4.15) altında alt ve üst sınır değerlerine göre çözüm yapıldığında değerleri
1 1
olarak tam sınırlar arasında değer vermektedir. İkinci kökün parametreyi temsil edebilecek tahmin yapabileceği elde edilmiş oldu. O halde tahminler koşul (4.15) altında (4.3) numaralı denklem yardımı ile aşağıdaki gibi elde edilir.
102 10404 4752
36
6 102 10404 4752
36 6
Aşağıda bu tahminlere ilişkin sonuçlar nümerik yöntemlerle gözlemlenecektir. Çizelge 4.1 ile hata kareler ortalamasının karekökü de elde edilerek verilmiştir.
1 4.16
1 4.17
Bu tahminlerde tekrar sayısı 100 her defasında 100 olarak alınmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.
70
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri
= - 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,7058 -0,7925 -0,8501 -0,9015
Rmse( 0,3732 0,2113 0,1521 0,0601
55,7698 50,9766 50,7845 49,9039
Rmse( 15,1954 5,4908 4,0093 1,1438
= - 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,4925 -0,3585 -0,2684 -0,2046
Rmse( 0,5349 0,4770 0,4188 0,1961
53,5208 49,5253 49,8407 49,8084
Rmse( 22,1052 7,7049 5,5391 2,1964
= 0,2 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,3772 -0,1904 -0,0668 0,1965
Rmse( 0,7548 0,6138 0,4923 0,2433
51,1377 47,9176 48,6423 50,0875
Rmse( 20,1569 8,8345 6,0312 2,4148
= 0,9 , 50
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,2984 -0,0078 0,2203 0,5695
Rmse( 1,3008 1,0182 0,7988 0,3985
47,4026 43,6746 44,8738 47,4582
Rmse( 23,9251 10,5708 7,7431 3,3739
= - 0,9 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,7185 -0,7926 -0,8317 -0,8893
Rmse( 0,3325 0,2174 0,1646 0,0740
5,4467 5,1362 5,1158 5,0050
Rmse( 1,9134 0,5498 0,4461 0,1231
71
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= - 0,2 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4996 -0,4007 -0,3099 -0,1973
Rmse( 0,5625 0,4501 0,4111 0,1700
5,2169 4,9163 4,9682 5,0169
Rmse( 1,9606 0,7030 0,5588 0,2038
= 0,2 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4545 -0,1828 -0,0550 0,2014
Rmse( 0,8239 0,5976 0,5049 0,2456
4,9762 4,7212 4,9559 4,9872
Rmse( 1,4727 0,8628 0,7305 0,2411
= 0,9 , 5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,4402 0,0255 0,2449 0,5876
Rmse( 1,4181 0,9791 0,7631 0,3871
4,6399 4,3718 4,5266 4,7443
Rmse( 2,8219 1,0629 0,7594 0,3510
= - 0,9 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,7020 -0,7521 -0,8115 -0,9017
Rmse( 0,3497 0,2687 0,1796 0,0554
0,5419 0,5144 0,5080 0,5001
Rmse( 0,1534 0,0555 0,0402 0,0132
= - 0,2 , 0,5
n=10 n=50 n=100 n=1000 -0,3938 -0,3445 -0,2464 -0,1805
Rmse( 0,5195 0,4415 0,3924 0,1650
0,4988 0,4952 0,5070 0,5029
Rmse( 0,1641 0,0718 0,0576 0,0222
72
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= 0,2 , 0,5
73
Çizelge 4.1 Parametrelere ait momentler tahmin değerleri ve RMSE değerleri (devam)
= 0,9 , 0,05
n=10 n=50 n=100 n=1000
-0,4479 -0,0126 0,0969 0,6046
Rmse( 1,4307 1,0057 0,9134 0,3826
0,0439 0,0432 0,0432 0,0477
Rmse( 0,0188 0,0097 0,0092 0,0034
Nümerik yöntemle yapılan gözlem sonucunda elde edilen veriler incelendiğinde, genellikle parametresinin tahmininde sonuçların parametresinin tahminine göre daha yüksek bir sapma ile bulunduğu görülmektedir. Bu durumla ilgili parametresinin tahmin edicisini ve tahmin edicide kullanılan değişkenlerin beklentilerini değerlendirerek aşağıdaki inceleme yapılabilir; tekrar sayısının 100 olduğu ve gözlem sayısının da 100 olduğu varsayalsın, 0,9 , 5 için, Rmse( =0,7594 ve Rmse( =0,7631 olarak çizelge 4.1’de verilmişti. 2 standart sapma için parametrelerin alacağı değer aralıkları bulunarak incelemeye çalışılacaktır. Denklem (4.3) den faydalanarak aşağıdaki şekilde aralıklar elde edilmiştir.
6 6
6 0,9
30 0,23
2Rmse 2Rmse
4,5266 2 0,7594 4,5266 2 0,7594 3,0078 6,0454
Bu parametresinin tahmin aralığında (4.3) numaralı denklemden faydalanarak parametresinin aralığı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
1,8492 2,3426
Buradan da görüleceği gibi, parametresindeki değişiklik parametresinde daha büyük oranlı bir değişiklik olarak kendisini göstermektedir. Bu durum aşağıda, şekil 4.35’de daha kolay bir şekilde gözlenmektedir.
74
Şekil 4.35 Momentler tahmininde λ tahmininin θ parametre tahminine göre grafiği
Çizelge 4.1 değerleri incelendiğinde dikkat çekici bir şekilde parametresine ilişkin tahminlerde, değer arttıkça, yani “1” değerine yaklaştıkça parametre tahmininin bozulduğu ve daha olumsuz sonuçlar verdiği ayrıca daha yüksek bir sapma ile bunları gerçekleştirdiği gözlemlenebilir. Bunun önemli bir nedeni de parametre tahmini kısmında önerilen koşullar sebebiyle parametrenin belli değer aralıklarında bulunması halinde tahmin edicinin anlamlı sonuçlar vermesi olduğu değerlendirilebilir.