Uygulama ve Sonuçları - BULGULAR ve TARTIŞMA

4. BULGULAR ve TARTIŞMA

4.4 Uygulama ve Sonuçları

Üçüncü bölümde kullanılacak yöntemler anlatılırken, Kolmogorov-Smirnov uyum testi hakkında bilgiler verilmişti. Bu çalışmada da verilerin dağılıma uygunluğunu test etmek amacıyla aynı test kullanılmıştır. Elde edilen yeni dağılma verilerin uygunluğunun yanında, bu uygunluğun diğer dağılımlarla kıyaslamasının yapılması maksadıyla, yine üçüncü bölümde hakkında bilgi verilen AIC değeri kullanılmıştır. İncelenen dağılıma ilişkin AIC değeri aşağıdaki şekilde elde etmeye çalışılacaktır, bunun için daha önceden bulunan en çok olabilirlik fonksiyonu kullanılacaktır.

, ; , , , … , , ,

log , ; log log 1 6 6

2 2 2 log log 1 6 6

12 3

Yukarıda anlatılanlar altında Kolmogorov-Smirnov test istatistiği ve Akaike bilgi kriterini daha önce kullanılmış veriler üzerinden bularak, dağılımın hangi veri gruplarında etkili olarak kullanılabileceği belirlenmeye çalışılacaktır. Aşağıda on üç ayrı veri grubunun elde edilen yeni dağılıma uygunluğu test edilerek sonuçları incelenmeye çalışıldı. Bu inceleme yapılırken önce sadece veri gruplarının dağılıma uygunluğu test edildi. Arkasından başka veri grupları kullanılarak daha önceden modelleme yapılan dağılımlar ile karşılaştırma yapıldı. Hem uygunluk değerlendirilmeye, hem de dağılımlar arasında üstünlük olup olmadığı gözlemlenmeye çalışıldı. Bu yapılırken özellikle Dönüştürülmüş dağılımlar ile olan farklılıklar da belirlenmeye çalışıldı. Daha sonra da dağılımın uygunluk sağladığı verilerden, daha önce kullanılmamış akarsu taşma verileri Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğü’nden elde edilerek, modellemede uygunluk değerlendirmesi yapıldı.

Veri Seti 1: Birinci olarak incelenecek veri grubu 60 banka müşterisinin bekleme zamanlarıdır. İlk olarak Ghitany ve arkadaşları tarafından (2008) kullanılmış olan veriler daha sonra yeni türetilen Lindley-Exponential dağılımının analizi için kullanılmıştır (Bhati vd. 2015). Yeni verilere dağılımın uygunluğu aşağıdadır.

Çizelge 4.4 Veri Seti 1 60 Banka Müşterisinin Bekleme Zamanı (dakika)

0,1 0,2 0,3 0,7 0,9 1,1 1,2 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 2,3 2,3 2,5 2,6 2,7 2,7 2,9 3,1 3,1 3,2 3,4 3,4 3,5 3,9 4,0 4,2 4,5 4,7 5,3 5,6 5,6 6,2 6,3 6,6 6,8 7,3 7,5 7,7 7,7 8,0 8,0 8,5 8,5 8,7 9,5 10,7 10,9 11,0 12,1 12,3 12,8 12,9 13,2 13,7 14,5 16,0 16,5 28,0

Çizelge 4.5 60 banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) verilerine ait test sonuçları K-S

0,0618 0,9651 0,1394 -0,5777

Bankaya ait müşteri bekleme zamanlarında dağılımın modellemede etkili olarak kullanılabileceği değerlendirilebilir.

Veri seti 2: Bir kömür madeni verisidir. Veriler madendeki kazalar arası geçen gün sayısını göstermektedir (Yılmaz vd. 2016). Dağılımın uygunluğuna ilişkin değerler aşağıdadır.

Çizelge 4.6 Veri seti 2 kömür madeni kazasız gün sayısı verisi

378 96 59 108 54 275 498 228 217 19 156 36 124 61 188 217 78 49 271 120 329 47 15 50 1 233 113 17 131 208 275 330 129 31 120 13 28 32 1205 182 517 20 312 1630 215 203 189 22 23 644 255 1613 66 171 29 11 176 345 61 151 467 195 54 291 145 217 137 55 20 78 361 871 224 326 4 75 7 4 93 81 99 312 48 566 1312 369 364 18 15 59 286 326 354 123 390 348 338 37 1357 72 315 114 275 58 457 72 745 336 19 156

Çizelge 4.7 Kömür madeni kazasız gün sayısı verilerine ait test sonuçları K-S

0,0887 0,3326 0,0042 0,1454

Bu veri grubunda da dağılımın kullanılabilir olduğu değerlendirilebilir.

Veri seti 3: Üçüncü veri grubu ise radyoterapi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanlarına ait olup, ilk olarak Efron (1988) tarafından bir çalışmada kullanılmıştır. Veriler daha sonra Shanker (2015) tarafından Üstel ve Lindley dağılımlarıyla yaşam zamanlarının modellenmesi amaçlı kullanılmıştır.

Çizelge 4.8 Veri seti 3 radyoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları

6,53 7 10,42 14,48 16,10 22,70 34 41,55 42 45,28 49,40 53,62 63 64 83 84 91 108 112 129 133 133 139 140 140 146 149 154 157 160 160 165 146 149 154 157 160 160 165 173 176 218 225 241 248 273 277 297 405 417 420 440 523 583 594 1101 1146 1417

Çizelge 4.9 Radyoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları verilerine ait test sonuçları

K-S

0,1673 0,0689 0,0043 -0,3147

Bu veri grubunda da dağılımın kullanılabilir olduğu değerlendirilebilir.

Veri seti 4: Bu veri seti radyoterapi ve kemoterapi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanlarına ait olup, ilk olarak Efron tarafından bir çalışmada kullanılmıştır (Efron 1988). Veriler daha sonra Shanker (2015) tarafından Üstel ve Lindley dağılımlarıyla yaşam zamanlarının modellenmesi amaçlı kullanılmıştır.

Çizelge 4.10 Veri seti 4 radyoterapi ve kemoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları

12,20 23,56 23,74 25,87 31,98 37 41,35 47,38 55,46 58,36 63,47 68,46 78,26 74,47 81,43 84 92 94 110 112 119 127 130 133 140 146 155 159 173 179 194 195 209 249 281 319 339 432 469 519 633 725 817 1776

Çizelge 4.11 Radyoterapi ve kemoterapi tedavisi gören kafa ve göğüs kanseri hastaların yaşam zamanları verilerine ait test sonuçları

K-S

0,1330 0,3836 0,0045 -0,2891

Bu veri grubunda da dağılımın kullanılabilir olduğu değerlendirilebilir. Veri seti 3 ile incelenen radyoterapi tedavisi gören hastalara ait verilerle Veri seti 4 de incelenen radyoterapi ve kemoterapi tedavisini birlikte gören hastaların verilerinin dağılıma

uygunluğu karşılaştırıldığında, aynı anda iki tedavi gören hastaların verileri ile yeni dağılımın daha fazla uyum sağladığı değerlendirilebilir. Özellikle parametresinin negatif değer aldığı durumlarda aynı anda iki ya da üç girdili verilerde dağılımın daha fazla uyum sağlayabileceği daha önce şekil 4.19’da belirtilmiş ve belirli bir yapıyı temsil ettiği değerlendirilmişti. Burada da aynı anda iki tedavi gören hastaların yaşam sürelerinin, tek tedavi görenlere kıyasla daha fazla dağılımla uygunluk gösterdiği gözlenebilir.

Veri seti 5: Bu veriler bir uçağa ait havalandırma sisteminin bozuk olma zamanına ait olup, ilk olarak Linhart ve Zucchini (1986) tarafından bir çalışmada kullanılmıştır.

Veriler daha sonra Shanker tarafından Üstel ve Lindley dağılımlarıyla yaşam zamanlarının modellenmesi amaçlı kullanılmıştır (Shanker vd. 2015).

Çizelge 4.12 Veri seti 5 uçağa ait havalandırma sistemin bozuk olma zamanları 23 261 87 7 120 14 62 47 225 71 246 21 42 20 5 12 120 11 3 14 71 11 14 11 16 90 1 16 52 95

Çizelge 4.13 Uçağa ait havalandırma sistemin bozuk olma zamanları verilerine ait test sonuçları

K-S

0,1528 0,4414 0,0173 0,6889

Bu veri grubunda da dağılımın kullanılabilir olduğu değerlendirilebilir. Daha önce bozulma oranı anlatılırken pozitif lamda değerine sahip olunduğunda başlangıçta yüksek olan bozulma oranının zamanla azaldığı tespit edilmişti. Burada da başlangıçta arıza sebebi belli olmayan ve tamir süresi öngörülemeyen bir durum varken, zamanla arıza sebebi ve tamir süresi ile ilgili belirsizlikler ortadan kalktığından, bozulma oranının azalması beklenebilir.

Veri seti 6: Altıncı veri grubu ise verimli pamuk üretimi dönmelerinin sayısıdır. Bir sonraki başarısız döneme kadarki başarılı üretim döneminin sayısına ait verilerdir.

Picciotto ve Hersch (1972) tarafından bir çalışmada kullanılan veriler daha sonra

Shanker (2015) tarafından Üstel ve Lindley dağılımlarıyla yaşam zamanlarının modellenmesi amaçlı kullanılmıştır.

Çizelge 4.14 Veri seti 6 pamuk üretiminde başarılı dönem sayısı

86 146 251 653 98 249 400 292 131 169 175 176 76 264 15

Çizelge 4.15 Pamuk üretiminde başarılı dönem sayısı verilerine ait test sonuçları K-S

0,1111 0,1567 0,0037 -1

Bu veri grubunda da dağılımın kullanılabilir olduğu değerlendirilebilir.

Veri seti 7: Diğer dağılımlarla yeni dağılımın karşılaştırılması maksadıyla kullanılacak ilk veri grubu mesane kanseri hastalarının sansürlenmemiş aylık olarak elde edilmiş iyileşme (hafifleme) zamanlarına ait 128 hastanın verileridir. Veriler ilk olarak Lee ve Wang tarafından kitaplarında kullanılmış (Lee ve Wang 2003), daha sonra Merovci (2013 a.) Dönüştürülmüş Lindley dağılımının uygunluğunu ölçmek için kullanmıştır.

Çizelge 4.16 Veri seti 7 mesane kanseri hataları iyileşme zamanları (aylık) 0,08 2,09 3,48 4,87 6,94 8,66 13,11 23,63 0,20 2,23

Çizelge 4.17 Mesane kanseri hastaları iyileşme zamanları verilerine ait test sonuçları

Model -2LL AIC AICc

Üstel 853,52 855,53 855,5617

Lindley 839,04 841,06 841,0917

Dönüştürülmüş Lindley 830,3 834,31 834,406

Yeni Dağılım 823,3374 827,3375 827,4335

Çizelge 4.18 Mesane kanseri hastaları iyileşme zamanları verilerine ait test sonuçları K-S

0,0589 0,7434 0,1021 -0,4360

Sonuçlar incelendiğinde her açıdan bakıldığında elde edilen dağılımın mesane kanseri hastalarının iyileşme zamanlarına ait verilerde daha önce modellemede kullanılmış olan iki dağılıma göre daha iyi sonuçlar verdiği belirtilebilir. AIC değerlerine bakıldığında her iki dağılıma karşı açık bir şekilde incelenen dağılımın daha küçük ceza puanı bulunmaktadır. Örneklem sayısı yeteri kadar büyük olduğundan AIC değeri yeterli olacaktır ancak; AICc değerine bakılsa da dağılımın yine daha küçük ceza puanına sahip olduğu belirgin bir şekilde gözlenmektedir.

Veri seti 8: İncelenecek sekizinci veri grubu ise hava yolları iletişiminde kullanılan telsizlerin tamir sürelerine (saat) ait 40 gözlem verileridir. İlk olarak Jorgensen (1982) tarafından genelleştirilmiş ters Gauss dağılımı için kullanılmış olan veriler daha sonra Üstelleştirilmiş bir tür haline getirilmiş Lindley dağılımına ilişkin kullanılabilirlik analizi için değerlendirilmiştir (Ashour ve Eltehiwy 2015).

Çizelge 4.19 Veri seti 8 telsiz tamir süresi verisi (saat) 0,50 0,60 0,60 0,70 0,70 0,70 0,80 0,80 1,00 1,00 1,00 1,00 1,10 1,30 1,50 1,50 1,50 1,50 2,00 2,00 2,20 2,50 2,70 3,00 3,00 3,30 4,00 4,00 4,50 4,70 5,00 5,40 5,40 7,00 7,50 8,80 9,00 10,20 22,00 24,50

Çizelge 4.20 Telsiz tamir süresi verilerine ait test sonuçları

Model -LL AIC K-S

Üstelleştirilmiş power Lindley 90,2861 186,5721 0,0909 Power Lindley 95,9427 195,8854 0,1596 Generalized Lindley 97,9109 199,8218 0,1410

Lindley 98,7913 198,5826 0,1907

Üstelleştirilmiş Üstel 95,4579 194,9158 0,1334 Dönüştürülmüş Weibull 94,7023 195,4046 0,1631

Weibull 95,5114 195,0227 0,1540

Yeni Dağılım 95,3076 194,6151 0,1614

Çizelge 4.21 Telsiz tamir süresi verilerine ait test sonuçları K-S

0,1614 0,2230 0,2488 -0,2830

Sonuçlar incelendiğinde Üstelleştirilmiş power Lindley ve Dönüştürülmüş Weibull dağılımlarından sonra en uygun olarak modellemede kullanılabilecek dağılımın incelenen dağılım olduğu görünmektedir. AIC değerlerine bakıldığında diğer incelenen beş dağılıma göre, elde edilen yeni dağılımın daha iyi sonuçlar verdiği görünmektedir.

Veri seti 9: 100 banka müşterisinin bekleme zamanlarına (dakika) ait verilerdir. İlk olarak Ghitany ve arkadaşları tarafından kullanılmış olan veriler (2008) daha sonra yeni türetilen Lindley-Üstel dağılımının analizi maksatlı kullanılmıştır (Bhati ve Malik 2014). Diğer dağılımlara ait değerlerle elde edilen değerler aşağıdadır.

Çizelge 4.22 Veri Seti 9 100 Banka Müşterisinin Bekleme Zamanı (dakika) 0,8 0,8 1,3 1,5 1,8 1,9 1,9 2,1 2,6 2,7 2,9 3,1 3,2 3,3 3,5 3,6 4,0 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,4 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9 4,9 5,0 5,3 5,5 5,7 5,7 6,1 6,2 6,2 6,2 6,3 6,7 6,9 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,7 8,0 8,2 8,6 8,6 8,6 8,8 8,8 8,9 8,9 9,5 9,6 9,7 9,8 10,7 10,9 11,0 11,0 11,1 11,2 11,2 11,5 11,9 12,4 12,5 12,9 13,0 13,1 13,3 13,6 13,7 13,9 14,1 15,4 15,4 17,3 17,3 18,1 18,2 18,4 18,9 19,0 19,9 20,6 21,3 21,4 21,9 23,0 27,0 31,6 33,1 38,5

Çizelge 4.23 100 Banka müşterisinin bekleme zamanı (dakika) verilerine ait test sonuçları

Model -LL AIC K-S

Lindley Üstel 317,005 638,01 0,0360 Power Lindley 318,319 640,64 0,0520

Lindley 319,00 640,00 0,0680

Üstel 329,00 660,00 0,1624

Genelleştirilmiş Lindley 317,30 640,60 0,0425

Yeni Dağılım 317,243 638,4860 0,0392

Yeni dağılım bu verilerin modellenmesinde uygun bir dağılım olarak değerlendirilebilir.

Diğer dağılımlarla karşılaştırıldığında Lindley-Üstel dağılımı ile birlikte en iyi sonuçları verdiği gözlenmiştir. Yukarıda daha önce 60 banka müşterisine ait bekleme zamanlarının modellenmesinde uygun bir dağılım olarak değerlendirilen dağılım, burada da modellemede kullanılabileceği yönünde bizi ümitlendirmiştir. Banka müşterilerine ait bekleme zamanları ile ilgili en çok olabilirlik parametre tahmin değerleri aşağıdaki gibidir.

Çizelge 4.24 Banka müşterilerinin bekleme zamanlarına ait test sonuçlarında parametre tahmin değerleri

K-S tahmin tahmin

60 Banka Müşterisi 0,0618 0,9650 0,1394 - 0,5777 100 Banka Müşterisi 0,0392 0,9963 0,0844 -1

Daha önce dağılıma ait yaşam fonksiyonu alt bölümünde anlatılan parametresinin 1,0 aralığındaki değerlerinde oluşan sistem tekrar hatırlanırsa, şekil 4.19’daki gibi 3 de 2’li sistemin var olduğu bir yapının oluştuğu belirtilmişti.

Bu şekildeki bir sistemin var olma olasılığı ise 1 ile sistemin yukarıda yani 1 durumunda, olasılığı ile ise aşağıda yani 2 durumunda bulunması anlatılmaktaydı.

Literatürde daha önce kullanılan ve iki ayrı bankadan alındığı bilinen verilerden, 100 banka müşterisinin bekleme zamanlarına ait verilerin parametresi için tahmin değerini göz önüne alarak olasılık değerlerine bakıldığında, bu bankanın tek bir gişe ile hizmet vermediği ve aynı anda en az iki ayrı hizmet elemanının aktif olarak hizmet verdiği sonucuna ulaşılabilir.

Veri seti 10: Dağılımın test edileceği onuncu veri grubu ise Yukon bölgesinde Carcross yakınlarında Kanada da bulunan Wheaton Nehri ne ilişkin ⁄ olarak ölçülen sel taşma miktarlarına ilişkin 1958-1984 yılları arasındaki 72 taşmaya ait verilerdir. Bu veriler ilk olarak Choulakian ve Stephans (2001) tarafından yapılan 238 nehire ilişkin yapılan bir çalışmada kullanılmış (Choulakian ve Stephens 2001), daha sonra Merovci (2014) Dönüştürülmüş Pareto dağılımının uygunluğunu bu veriler ile test etmiştir.

Çizelge 4.25 Veri seti 10 Wheaton Nehri taşma verisi (m³⁄s) 1,7 2,2 14,4 1,1 0,4 20,6 5,3 0,7

Çizelge 4.26 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları

Model K-S -2LL AIC AICc

Pareto 0,456 606,128 610,128 610,302

Dönüştürülmüş Pareto

0,389 572,401 578,402 578,755

Yeni Dağılım 0,0827 496,0552 500,0551 500,2290

Çizelge 4.27 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları K-S

0,0827 0,6774 0,1015 0,9706

Sonuçlar incelendiğinde her açıdan bakıldığında elde edilen dağılımın, nehir taşma verilerinde daha önce modellemede kullanılmış olan iki dağılıma göre daha iyi sonuçlar verdiği değerlendirilebilir. Kolmogorov-Smirnov test istatistiğine bakıldığında daha küçük bir değerle uygunluk sağlanmıştır. AIC değerlerine bakıldığında ise her iki dağılıma karşı açık bir şekilde yeni dağılımın daha küçük ceza puanına sahip olarak daha iyi uygunluk gösterdiği belirlenmiştir. Örneklem sayısı yeteri kadar büyük

olduğundan AIC değeri yeterli olacaktır ancak; AICc değerine bakılsa da dağılımın yine daha iyi değerlerle sonuç verdiği gözlenmektedir.

Veri seti 11: İkinci olarak dağılımın test edileceği nehir taşma verileri James,Iowa bölgesinde Amerika Birleşik Devletlerinde bulunan Floyd nehrine ilişkin ⁄ olarak ölçülen sel taşma miktarlarına ait 1935-1973 yılları arasındaki 39 adet yıllık taşmanın verileridir. Bu veriler ilk olarak Mudholkar ve Hutson (1996) tarafından yapılan bir çalışmada kullanılmış, daha sonra Merovci (2014) Dönüştürülmüş Pareto dağılımının uygunluğunu bu veriler ile test etmiştir. Veriler ayrıca başka bazı makale ve kitaplarda da kullanılmıştır.

Çizelge 4.28 Veri seti 11 Floyd Nehri taşma verisi((ft³)⁄s)

1460 4050 3570 2060 1300 1390 1720 6280 1360 7440 5320 1400 3240 2710 4520 4840 8320 13900 71500 6250 2260 318 1330 970 1920 15100 2870 20600 3810 726 7500 7170 2000 829 17300 4740 13400 2940 5660

Çizelge 4.29 Floyd Nehri taşma verilerine ait test sonuçları

Model K-S -2LL AIC AICc

Pareto 0,459 785,619 789,619 789,722

Dönüştürülmüş Pareto

0,287 770,698 776,698 777,014

Yeni Dağılım 0,1282 765,2108 769,2108 769,5442

Çizelge 4.30 Floyd Nehri taşma verilerine ait test sonuçları K-S

0,1282 0,5023 0,0001 -0,3238

Sonuçlar incelendiğinde her açıdan bakıldığında elde edilen dağılımın nehir taşma verilerinde daha önce modellemede kullanılmış olan iki dağılıma göre daha iyi sonuçlar verdiği belirtilebilir. Kolmogorov-Smirnov test istatistiğine bakıldığında daha küçük bir değerle uygunluk sağlanmıştır. AIC değerlerine bakıldığında ise her iki dağılıma karşı açık bir şekilde daha küçük ceza puanı elde edildiğinden, incelenen dağılımın daha uygun olduğu belirlenmiştir.

Bu iki veri grubuna dağılımın uygun olduğunu belirledikten sonra, şimdi de literatürde kullanılan akış dağılımları ile türetilen dağılımın uygunlukları karşılaştırılacaktır.

Literatürde kullanılan akış dağılımları akarsulara ait iki belirgin veri grubu ile ilgilenir.

Bu veri grubunun ilki yüksek akış değerleridir (high flow). Diğeri de alçak akış değerleridir (low flow). Bu iki veri grubunun modellenmesinde kullanılan dağılımlar ise Genelleştirilmiş Extreme Value (GEV), Pearson Type III, Genelleştirilmiş Pareto, Weibull, Log-Normal dağılımlardır (Zaidman vd. 2002). Wheaton nehri verileri göz önüne alınarak, dağılımların karşılaştırılmasına ait değerler aşağıdadır.

Çizelge 4.31 Wheaton Nehri taşma verilerine ait test sonuçları Model K-S

GEV 0,1398 0,1087

Log Pearson III 0,09948 0,44568 Genelleştirilmiş Pareto 0,1005 0,43177

Weibull 0,09045 0,5666

Log-Normal 0,1394 0,1103

Yeni Dağılım 0,0827 0,6774

Yukarıdaki karşılaştırmada yeni türetilen dağılımın da diğer dağılımlarla beraber taşma verilerinin modellenmesinde kullanılabileceği değerlendirilebilir.

Veri Seti 12: Nehir verilerindeki bu uygunluktan sonra, şimdi de Türkiye’de bulunan Kızılırmak Havzasındaki Terme Çayının 1969-2000 arasındaki 31 adet aylık toplam akım verileri göz önüne alınarak uygunluk değerlerine bakılacaktır. Akarsuyun en yüksek değerleri Mart ayında, en düşük değerleri de Temmuz, Ağustos ve Eylül ayında aldığı gözlenmiştir. Çalışmada önce Mart ayı sonra da Temmuz ayı değerlendirilerek modellemeye uygunluk ölçülmeye çalışılacaktır. Mart ayı verileri göz önüne alındığında modellere ait uygunluk değerleri çizelge 4.32’dedir.

100

Çizelge 4.32 Terme Çayı Mart Ayı Aylık Toplam Taşma verilerine ait test sonuçları (hm³ )

Model K-S

GEV 0,1419 0,5148

Log Pearson III 0,1490 0,4530 Genelleştirilmiş Pareto 0,1515 0,4319

Weibull 0,13766 0,5533

Log-Normal 0,17121 0,2892

Yeni Dağılım 0,1418 0,5158

Çizelge 4.32 değerleri incelendiğinde en yüksek uygunluk değerine sahip ikinci dağılım, yeni türetilen dağılım olarak gözlenmektedir. Diğer modellemede kullanılan beş dağılım ile beraber etkili olarak modellemede kullanılabileceği değerlendirmesinde burada da bulunulabilir.

Veri Seti 13: Şimdi de en küçük akış değerlerinin modellenmesine ait veriler incelenerek değerlendirmede bulunulacaktır. Temmuz ayı verileri kullanılarak elde edilen değerler aşağıdadır.

Çizelge 4.33 Terme Çayı temmuz ayı aylık toplam taşma verilerine ait test sonuçları (hm³ )

Model K-S

GEV 0,1128 0,7837

Log Pearson III 0,1333 0,5933 Genelleştirilmiş Pareto 0,0910 0,9388

Weibull 0,1285 0,6382

Log-Normal 0,1703 0,2949

Yeni Dağılım 0,1273 0,6504

Son olarak incelenen çizelge 4.31-4.33’ün değerlerine bakıldığında türetilen dağılımın en düşük ve en yüksek akış değerlerinin modellenmesinde kullanılabileceği değerlendirilebilir. Peki türetilen yeni dağılım her iki veri grubunu da iyi şekilde nasıl modelliyor? Bu sorunun cevabı parametre değerleri göz önüne alınarak verilmeye çalışılacaktır. Aşağıda Terme Çayının Mart ve Temmuz aylarındaki modellemelerine ait parametre değerleri bulunmaktadır.

101

Çizelge 4.34 Terme Çayı mart ve temmuz ayları için test sonuçları Ay K-S

Mart 0,1418 0,5158 0,0377 -1

Temmuz 0,1273 0,6504 0,7478 0,5506

Çizelge 4.34 değerleri incelendiğinde dağılıma ait parametresinin, en yüksek akış değerlerin modellendiği Mart ayına ait verilerde negatif değer aldığı, en düşük akış değerlerin modellendiği Temmuz ayına ait verilerde pozitif değer aldığı gözlenmektedir.

Bu da daha önce bahsedilen dağılımın esnekliğinin bir sonucudur. parametresinin aldığı değerin, dağılımın esnekliğini nasıl sağladığı buradan da anlaşılabilir.

İncelenen veri grupları sonunda yeni dağılımın nehir taşma verilerine ait modellemelerde kullanılmasının mümkün olduğunun değerlendirilebileceğini düşünmekteyiz. Bu incelemeler sonucunda incelenen dağılımın nehir taşma miktarlarına ait verilerin modellenmesinde, hastaların tedavi süreçlerinin ve hasta bireylerin kalan yaşam sürelerinin modellenmesinde, bazı elektronik parçaların bozuk bulunma sürelerinin, banka müşterilerinin bekleme zamanlarının modellenmesinde uygun bir dağılım olduğu değerlendirilebilir.

102 5. SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu tez çalışmasında marjinal dağılımları Üstel olan koşullu FGM dağılımı kullanılarak yeni bir tek boyutlu daha esnek dağılım elde edilmiştir. Bu dağılımın incelemesi yapılmış, arkasından literatürde kullanılan veri grupları vasıtasıyla kullanılabileceği alanlar ortaya konulmaya çalışılmıştır.

Dördüncü bölümde elde edilen yeni dağılımın Dönüştürülmüş Üstel ile karşılaştırılması esnasında, şekil 4.1-4.2’de parametresinin pozitif değerlerinde, Dönüştürülmüş Üstel dağılıma göre daha büyük değerler alarak daha kalın bir kuyruğa sahip olduğu gözlenmiştir. Şekil 4.3-4.4’de parametresinin negatif değerlerinde ise, iki grafiğin kesiştiği noktaya kadarki ilk bölümde yeni elde edilen dağılımın daha büyük olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aldığı gözlenmiş, tepe noktasının Dönüştürülmüş Üstele göre bariz bir şekilde çok daha yüksek bir değer aldığı belirlenmiştir. İkinci kısımda ise, daha küçük değerler alarak daha ince bir kuyruğa sahip olduğu değerlendirilebilir. Bu durumun neticesinde parametresinin aldığı değerin dağılımın şeklini değiştirdiği ve birçok farklı alandaki veri grubu için kullanılabileceği değerlendirilebilir. Dağılımın uygulama alt bölümünde farklı veri gruplarında kullanılabilir olduğu gösterilerek bu durum desteklenmeye çalışılmıştır.

Yine dördüncü bölümde elde edilen yeni dağılımın dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, yaşam fonksiyonu ve bozulma oranı fonksiyonları grafikler yardımıyla incelendi. Yaşam fonksiyonu yardımıyla güvenilirlik incelemesi yapılırken şekil 4.19’da dağılımın parametresinin belirli bir aralığında, parça sayısı belirgin bir sistemi temsil edebilecek hale geldiği fark edildi ve bu bir sonraki alt bölümde uygulama ile desteklendi. Yine aynı bölümde dağılımın karakteristikleri ortaya koyulmaya çalışıldı, momentleri ve dağılımın çarpıklık ile basıklık katsayı değerleri incelendi. Arkasından parametre tahmin metotlarından momentler tahmini, en küçük kareler tahmini ve en çok olabilirlik tahmini yöntemleri kullanılarak nümerik yolla parametre tahmini yapıldı. Bu tahmin metotlarının sonuçları birbirleriyle kıyaslandı. Bu değerlendirmeler esnasında momentler tahmininin dağılım için diğerlerine nazaran daha

103

az kullanılabilir olduğu değerlendirildi. Bunun tahmin yapılırken var olan bazı koşullar sebebiyle gerçekleştiği değerlendirildi.

Yine dördüncü bölümde bozulma oranı incelenirken, şekil 4.25’de parametresi pozitif değerler aldığında, bozulma oranı bathtube olarak da adlandırılan banyo küvetine benzer bir yapı olarak ortaya çıkmıştır. Burada başlangıçtaki aşağı yünlü olan grafik bölümü azalan bir hızla gerçekleşen başlangıç ölümlerini göstermektedir. Başlangıçta bazı parçalar sistemden hızlıca çıkmaktadır ve sistemin uzun ömürlü çalışmasına fazla katkı sağlamamaktadır. Daha sonra ise denge kurulmakta ve bozulma oranı belli bir süre sabite yakın değer alarak fazla kayıp vermemekte, veya belli bir standartta bozulma vererek sistemin devamı sağlanmaktadır. Arkasından son bölümde de ömrünü tamamlamış parçalar hızlanan bir oranla bozularak sistemin sonlanmasına kadarki süreç tamamlanmaktadır. Şekil 4.26’da parametresi negatif değerler aldığında ise bozulma oranı tam tersi bir yapı oluşturmaktadır. Bu yapı parametrenin pozitif değer aldığındaki karşılığının 0 durumunda alınan değere yani parametre değerine sahip olan doğruya göre simetrik olmaktadır. Bu durumda başlangıçta artarak devam eden bir bozulma oranı oluşmakta, belli bir süre sonra maksimum noktasına ulaşıp, daha sonra azalarak sabit bir noktaya yaklaşmaktadır. Bu tipte olan bozulma oranı grafikleri önce yukarı sonra aşağı banyo küveti manasında upside-down bathtub veya ters banyo küveti

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ (sayfa 100-0)