3. MATERYAL ve YÖNTEM
3.3 Akaike Bilgi Kriteri (AIC)
AIC (Akaike Information Criterion) ilk defa Akaike tarafından (1974) farklı modelleri, verilen sonuçlara göre karşılaştırmak maksadıyla kullanılmıştır. Klasik hipotez testleri ile belirlenen uygun modeller, daha sonra ilgilenilen model ile olan ilişkilere bakılarak en iyi sonuca ulaşılmaya çalışılır. En iyi modeli bulmak maksadıyla model ile sonuçlar arasındaki ilişkiye bakarak bir değer (ceza) hesaplanır (AIC). Bu değer şu şekilde hesaplanır.
2 2 log
Burada tahmin edilebilir parametre sayısı (serbestlik derecesi) ve log için kullanılan fonksiyon en çok olabilirlik fonksiyonudur. Eğer örnekleme ait gözlenen sayı fazla ise yukarıdaki değeri yeterli olacaktır (Snipes ve Taylorn 2014). Aksi halde eğer örneklem sayısı yeteri kadar büyük değilse daha genel bir ifade olan aşağıdaki
kullanılır.
2 1
1
32
Burada en küçük veya değerine sahip model en iyi modeldir. Bu modelleri sıralamada bir araç olarak kullanılmaktadır. batıda uzun yıllar kullanılmamış, 2002 sonrasında kullanımı artmıştır. geniş bir şekilde biyolojik incelemelerde, çevre bilimleri, şu ve deniz araştırmalarında ve medikal bilimlerde kullanılmaktadır.
pazarlama çalışmalarında da kullanılmış, ayrıca en iyi modelin ekonometri çalışmalarında bulunması maksadıyla da kullanılmıştır.
33 4. BULGULAR ve TARTIŞMA
Bu bölümde ikinci bölümde bilgi verilen Üstel dağılım ve FGM dağılımı kullanılarak yeni tek boyutlu bir dağılım türetildi. Marjinal dağılımı Üstel dağılım olan Dönüştürülmüş dağılım ile arasındaki farklılıklar grafikler yardımıyla değerlendirilmiştir. Daha sonra yeni türetilen dağılımın dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu belirlenmiş ve grafiksel gösterimleri yapılmıştır. Bunun arkasından dağılımın yaşam fonksiyonu elde edilerek incelenmiştir. Dağılımın moment çıkaran fonksiyonu, momentleri, beklenen değer, varyans, çarpıklık ve basıklık katsayıları elde edilerek Üstel dağılım ile arasındaki farklılıkları vurgulanmıştır.
Parametre tahmin metotlarından momentler tahmini, en küçük kareler tahmini ve en çok olabilirlik tahmini nümerik yöntemle yapılarak sonuçları karşılaştırılmıştır. Bölümün son kısmında da uygulama yapılarak dağılımın kullanılabileceği alanlar belirlenmeye çalışılmıştır.
4.1 FGM Dağılımı Kullanılarak Yeni Tek Boyutlu Dağılımın Elde Edilmesi
Marjinalleri ve olan iki boyutlu FGM dağılımı aşağıdaki gibidir.
, 1
Burada birliktelik parametresi olup, 1,1 aralığındadır. Bu dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir;
, 1 1 2 1 2
verilmişken koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
, 1 1 2 1 2
olarak elde edilir.
verilmişken ’in koşullu dağılım fonksiyonu şöyledir;
34
| 1 1 2 1 2
| 1 2
verilmişken için elde edilmek istenen olasılık değeri
| 1 2
olarak bulunur.
1 için, 1 3 2 dir.
1 1 1 3 2 1 4.1
olmaktadır. Bu dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu ise;
1 1 1 3 2 1
1 6 6 , 1,1 , 0 4.2
olarak elde edilir.
Bu noktada gerçek hayatta da karşımıza çıkabilecek örnekler verilerek devam edilirse koşul daha iyi anlaşılacaktır. Genetik rahatsızlığı olan bir ebeveyne sahip bireyin, vefat eden ebeveyn yaşında hala yaşıyor olması olasılığı bulunmak istenirse veya bir bankada ortalama hizmet süresinin bilindiği bir durumda, bankaya gelen müşterinin bu bilinen sürede hizmet alamayıp hala bekliyor olması olasılığı bulunmak istenirse bu gibi bir koşul kullanılabilir. Her yıl belirli bir miktar su taşkını görülen nehirlere ait ortalama su taşma seviyeleri biliniyorken bir sonraki taşmanın ortalamadan fazla olması olasılığı bulunmak istenildiğinde de yukarıdaki gibi bir koşul yardımıyla olasılık hesabı yapılabilir.
35
4.1.1 Yeni dağılım ile Dönüştürülmüş yapının karşılaştırılması
Dönüştürülmüş dağılımlarla ilgili bilgi verirken ifade edilen (2.3) numaralı denklemde Üstel dağılımlı marjinaller kullanılırsa dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir.
1 ve 1,1 için,
1 1 1 1
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ise aşağıdaki gibidir.
1 1 1
1 2
Aşağıda (4.2) numaralı denklem ile elde edilen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ile Dönüştürülmüş Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonlarının grafikleri incelenerek farklılıklar belirlemeye çalışılacaktır.
Şekil 4.1 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri
0 2 4 6 8 10
36
Şekil 4.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri
Şekil 4.1-4.2 incelendiğinde, parametresinin pozitif değerlerinde, iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun kesiştiği noktaya kadar olan ilk kısımda, yeni elde edilen dağılımın daha küçük olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aldığı görünmekte olup, kesişim noktasından itibaren ikinci kısımda ise, daha büyük değerler alarak daha kalın bir kuyruğa sahip olduğu değerlendirilebilir. Bu grafiklerde bazı veri gruplarında daha kalın bir kuyruğa sahip olan yeni dağılımın Dönüştürülmüş Üstel dağılıma göre daha iyi modelleme yapabileceği değerlendirilebilir. Hastaların iyileşme süreçlerinde ve bakteri sayılarındaki değişikliklerde bu şekildeki veri grupları elde edilebilir.
0 2 4 6 8 10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t
f(t),fqrt(t)
teta= 0.5 lamda= 0.5
yeni dağılımm (− − − ) dönüştürülmüş üstel ( )
37
Şekil 4.3 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri
Şekil 4.4 Olasılık yoğunluk fonksiyonları grafikleri
Şekil 4.3-4.4 incelendiğinde, parametresinin negatif değerlerinde, iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun kesiştiği noktaya kadar olan ilk kısımda, yeni elde edilen
0 5 10 15
38
dağılımın daha büyük olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aldığı görünmekte olup tepe noktasının Dönüştürülmüş Üstele göre belirgin bir şekilde çok daha yüksek bir değer aldığı gözlenmiştir. Kesişim noktasından itibaren ikinci kısımda ise, daha küçük değerler alarak daha ince bir kuyruğa sahip olduğu değerlendirilebilir. Yukarıdaki dört grafiğin sonuçlarından hareketle, önerilen yeni dağılımın bazı veri gruplarında Dönüştürülmüş yapılara göre daha elverişli olarak modellemede kullanılabileceği değerlendirilmiştir.
4.2 Dağılımın İncelenmesi
Bu alt bölümde öncelikle elde edilen yeni dağılımın dağılım fonksiyonu, grafikler yardımıyla incelenmiştir. Daha sonra olasılık yoğunluk fonksiyonu benzer yöntemle incelenmiştir. Bu iki incelemeden sonra dağılımın yaşam fonksiyonu elde edilmiş, ve grafikler yardımıyla incelemede bulunulmuştur. Bu esnada yaşam fonksiyonunun dağılımın farklı parametre değerlerinde nasıl bir modeli temsil ettiğine ait değerlendirmelerde bulunulmuştur. Bu incelemenin arkasından dağılıma ait bozulma oranı fonksiyonu elde edilerek grafikler yardımıyla farklı parametre değerlerindeki şekil değişikliği incelenmiş ve zamana göre var olan bu değişiklik değerlendirilmeye çalışılmıştır.
4.2.1 Dağılım fonksiyonu
Elde edilen yeni dağılıma ait dağılım fonksiyonu (4.1) numaralı denklemde,
1 1 1 3 2 1 olarak ifade edilmişti.
Bu dağılım fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
39
Şekil 4.5 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.6 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
40
Şekil 4.7 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.8 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
41
Dağılımın parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
Şekil 4.9 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.10 Yeni dağılımın dağılım fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
42 4.2.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Elde edilen yeni dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonu (4.2) numaralı denklemde verilmişti. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıdaki gibidir.
Şekil 4.11 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
0 50 100 150 200 250 300
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
t
f(t)
teta= 0.01
lamda= 0.9 (mavi) lamda= 0.75 (sarı) lamda= 0.25 (yeşil) lamda= 0 (siyah) lamda= − 0.25 (kırmızı)
43
Şekil 4.12 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.13 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
44
Şekil 4.14 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametresinin bazı değerlerine göre grafikleri aşağıdadır.
Şekil 4.15 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
45
Şekil 4.16 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.17 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
0 5 10 15 20 25 30
46
Şekil 4.18 Yeni dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
4.2.3 Yaşam Fonksiyonu
Yeni dağılıma ait yaşam fonksiyonu;
1 1 1 1 1 3 2 1
1 1 3 2
1 3 2
olarak elde edilebilir. Bu fonksiyon 1,0 aralığında iken, dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
1 1 1 3 2 1
Denklem (2.2) deki sıra istatistiği karakteristikleri kullanılarak elde edilen dağılım aşağıdaki şekilde ifade edilebilmektedir.
0 50 100 150 200 250 300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10−3
t
f(t)
lamda= − 0.9 teta= 0.01
47
1
olsun;
1 :
Bileşenlerin yaşam zamanları birbirinden bağımsız olacak biçimde bir anahtarlı sistem düşünülsün. , , bu sistemin bileşenlerinin yaşam zamanını göstersin ve ~ olsun. 1,0 için 1 ve anahtarın geçiş olasılığını ifade etsin. Birinci parçanın bir yedeği bulunsun. Üç parçanın ikisinin çalışmasına dayandırılan bir diğer sistem anahtarlama ile paralel bağlansın. Bu durumda aşağıdaki gibi bir şekil ortaya çıkacaktır.
Şekil 4.19 λ [-1,0] için oluşacak sistemin şekilsel gösterimi
Anahtarın konumunu belirten iki olay ve olmak üzere, :Anahtarın 1 konumunda bulunması
:Anahtarın 2 konumunda bulunması
Şekil 4.19 ile verilen sistemin yaşam fonksiyonu şöyledir:
| , , |
1 3 2
Burada açık bir şekilde anahtarın bulunma durumunun olasılığı ile sisteme ait parçaların güvenirliklerinin çarpımı sistem güvenirliğini vermektedir. O halde anahtar ile sistemin
1
2
48
parçalarının oluştuğu yapının birbirinden bağımsız olduğu değerlendirilebilir ve anahtarın durumunu gösteren olasılık ile parçaların güvenirliği sistem güvenirliği olarak elde edilebilir. 0,1 olduğu durumda ise aşağıdaki şekilde yaşam fonksiyonu tekrar yazılabilir.
1 2 3 2
Yaşam fonksiyonuna ait grafikler aşağıdaki gibidir. Şekil 4.20-4.21 incelendiğinde belirli bir anında fonksiyonlara ait doğrular düğüm yapmaktadır. Bu düğüm noktasından sonra, parametresinin değeri azaldıkça yaşam foksiyonunun daha fazla aşağıya doğru sarktığını ve düşük değerlere daha erken ulaştığını görebiliyoruz.
Düğümün öncesindeki bölümde de bunun tam tersi olarak parametresinin değeri azaldıkça yaşam fonksiyonunun aldığı değer daha büyük olarak gözlenmektedir.
Şekil 4.20 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
49
Şekil 4.21 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
Şekil 4.22 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
50
Şekil 4.23 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ=0,01 için grafiği
Şekil 4.24 Yeni dağılımın yaşam fonksiyonunun θ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
51
Üstel dağılım kullanılarak elde edilen yeni tek boyutlu dağılımda yine Üstel dağılıma ait izler gözlemlenmektedir. 1 olarak elde edilen Üstel dağılımın ortalama yaşam ömrü göz önüne alınırsa, yaşam fonksiyonu değerinin de parametresine ait değer azaldıkça artması ve parametreye ait değer arttıkça da sıfıra yaklaşması beklenir. Burada da parametre değeri arttıkça yaşam fonksiyonu eğrisini sıfıra daha erken yaklaştırdığı açıkça belli olmaktadır.
4.2.4 Bozulma oranı
Yaşam fonksiyonu bir parçanın belirli bir zaman noktasındaki bozulmasına ait bir olasılık değeri hakkında bilgi verir. Eğer parçanın tüm yaşamı boyunca var olan bu durum gözlemlenmek istenirse, bozulma oranı kullanılır. Burada yaşlanma kavramı da ön plana çıkmaktadır. Yaşlanma, zaman ilerledikçe parçanın işlevini yerine getirebilme olasılığının azalması yani bozulma riskinin artması anlamındadır. Yaşlanma kavramı olasılıksal olarak aşağıdaki gibi incelenebilir.
Yeni bir parçanın zaman kadar işlevini sürdürmesi olasılığı,
1 1
şeklindedir. yaşındaki bir parçanın en az kadar daha yaşaması olasılığı aşağıdadır.
| ,
0, 0
Aynı parçanın , aralığında hata vermesi olasılığı,
| 1
olarak ifade edilebilir. Aşağıdaki işlemler yapılarak bozulmanın hızı bulunabilir.
1 | 1 1
52
lim 1 1 1
lim1
log
Bu orana noktasındaki bozulma oranı denilir ve ile gösterilir. Türetilen yeni dağılımın bozulma oranı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
1 6 6
İlk andaki bozulma oranı hesaplanmak istenilirse
lim 1 6 6
1 3 2 1
elde edilir. 0 anında anahtarın 3 den 2 çıkışlı sistemde olması durumunda bozulma yokken, anahtar tek parçanın çalışmasına izin verdiğinde bozulma oranı kadardır.
Ancak pozitif değerli iken bu oran daha yüksektir. Öte yandan ∞ iken nın 1 olup olmamasına göre iki farklı bozulma oranı ortaya çıkmaktadır.
lim , 1
lim 6 1
3 2 2 , 1
0 , 1 değerine yaklaşmaktadır. Bu oran da denklemden de görülebildiği gibi herhangi bir anda elde bulunan parçalardan ömrü tamamlananların, yaşamını sürdürenlere oranı olarak görünmektedir. Bozulma oranı fonksiyonuna ait grafikler aşağıdadır. nın pozitif değerleri için 0 anında yüksek olan bozulma oranı, zamanı artıkça parçanın ortalama ömrünün tersine doğru yaklaşmaktadır. nın negatif değerlerinde ise 0 anında düşük olan bozulma oranı, zamanı artıkça parçanın ortalama ömrünün tersine doğru yaklaşmaktadır. Bozulma oranı fonksiyonunun monotonluk incelemesi için şöyle bir yol izlenebilir; Bozulma oranının birinci türevi alınarak uç sınır noktaları bulunur:
53
3 8 8 6 3
3 2 1
olup, pay ifadesindeki parantezdeki kısmın sıfıra eşitlenmesi ile
̂
iki kritik nokta λ ‐1,0 için elde edilir. Buradan, bozulma oranının ya göre minimum ve maksimum noktalarına sahip olduğu söylenebilir. 1 için bozulma oranı monoton artan iken, λ 0 için bozulma oranı sabittir. Bozulma oranı fonksiyonunun parametresinin farklı değerlerine göre grafikleri aşağıda verilmiştir.
Şekil 4.25 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
54
parametresi sıfır değerini aldığında dağılım fonksiyonu (4.1) numaralı denklemden de yaralanarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
1
Bu da Üstel dağılımın olasılık dağılımına eşit olmaktadır. Bilindiği gibi Üstel dağılımın önemli özelliklerinden birisi de sabit bir bozulma oranına sahip olmasıdır. Üstel dağılımın sabit olan bu bozulma oranı ise ortalama yaşam ömrünün tersi, yani parametresinin değeridir. Şekil 4.25’de açıkça göründüğü gibi parametresi sıfır değerini aldığında bozulma oranı sabit bir hal almış (siyah çizgi ile gösterilen) ve parametresinin değerinde bulunmuştur. Bu durum şekil 4.26’da da gözlemlenebilir.
Şekil 4.26 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun λ parametresinin farklı değerlerine ait grafikleri
parametresi pozitif değerler aldığında, bozulma oranı bathtube olarak da adlandırılan banyo küvetine benzer bir yapı olarak ortaya çıkmaktadır. Burada başlangıçtaki aşağı yünlü olan grafik bölümü azalan bir hızla gerçekleşen başlangıç ölümlerini göstermekte olup, başlangıçta bazı parçalar sistemden hızlıca çıkıp, sistemin uzun ömürlü
0 10 20 30 40 50 60
55
çalışmasına fazla katkı sağlamamaktadır. Daha sonra ise denge kurulmakta ve bozulma oranı belli bir süre sabite yakın değer alarak fazla kayıp vermemekte veya belli bir standartta bozulma vererek sistemin devamı sağlanmaktadır. Arkasından son bölümde de ömrünü tamamlamış parçalar hızlanan bir oranla bozularak sistemin sonlanmasına kadarki süreç tamamlanmaktadır.
parametresi negatif değerler aldığında ise bozulma oranı tam tersi bir yapı oluşturmaktadır. Bu yapı parametrenin pozitif değer aldığındaki karşılığının 0 durumunda alınan değere yani parametre değerine sahip olan doğruya göre simetrik olmaktadır. Bu durumda başlangıçta artarak devam eden bir bozulma oranı oluşmakta, belli bir süre sonra maksimum noktasına ulaşıp, daha sonra azalarak sabit bir noktaya yaklaşmaktadır. Bu yaklaştığı nokta da parametresinin değeri olan noktadır. Bu tipte olan bozulma oranı grafikleri önce yukarı sonra aşağı banyo küveti manasında upside-down bathtub veya ters banyo küveti ya da unimodel olarak adlandırılmaktadır.
Aşağıda bozulma oranı fonksiyonunun farklı parametre değerlerine göre grafikleri verilmiştir.
Şekil 4.27 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,01, λ=-0,5 için grafiği
0 200 400 600 800 1000
56
Şekil 4.28 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=0,1, λ=-0,5 için grafiği
Şekil 4.29 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=-0,5 için grafiği
0 50 100 150 200
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14
t
r(t)
lamda= − 0.5 teta= 0.1
0 1 2 3 4 5 6
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
t
r(t)
lamda= − 0.5 teta= 1
57
Şekil 4.30 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=-0,5 için grafiği
Şekil 4.31 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=1, λ=0,5 için grafiği
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
58
Şekil 4.32 Yeni dağılımın bozulma oranı fonksiyonunun θ=10, λ=0,5 için grafiği
parametresinin aldığı değere göre, bozulma oranının aldığı değerin büyüklüğü değişmekle beraber, sabit bir değere ulaşma zamanı da değişmektedir. Parametrenin değeri arttıkça, bozulma oranının aldığı değerde önemli bir artış olmaktadır. Bununla beraber yine değer arttıkça, daha erken zamanda sabit bir bozulma oranına yaklaşmaktadır.
4.2.5 Dağılıma ilişkin karakteristikler
4.2.5.1 Momentler
Birinci moment (Beklenen değer)
1 6 6
1 3 2 2 3
0 0.5 1 1.5 2
7 8 9 10 11 12 13 14 15
t
r(t)
lamda= 0.5 teta= 10
59
Burada birinci integrasyonda , ikinci integrasyonda , üçüncü integrasyonda ortalamalı Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunduğundan, Üstel dağılımın beklenen değeri yardımıyla yapılan çözümde beklenen değer;
1 3
2 2 3 6
6 4.3 olarak bulunur.
İkinci moment
1 6 6
1 3 2 2 3
Yine Üstel dağılımın ikinci momenti bilindiğinden,
2 1 6
4
4 9 36 17
18 4.4 olarak bulunur.
Üçüncü Moment
1 6 6
1 3 2 2 3
Burada Gamma fonksiyonu yardımıyla yapılan çözümün sonucunda;
6 1 36
16
36 81
60 216 151
36 olarak elde edilmiştir.
Varyans
36 17 18
6 6
36 22
36
Çarpıklık
3 2
36 22 36
2 33 147 216
36 22 ⁄
2 1 33 1 147 1 35
36 22 ⁄
Yukarıdaki ifadeye göre, parametresinin aldığı değer çarpıklık katsayısının değerini tek başına belirlemektedir. Katsayı ile parametresi arasında nasıl bir ilişkinin var olduğunu daha kolay görmek için parametre ile katsayı arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki grafikten yararlanılabilir. Şekil 4.33 incelendiğinde parametre değerini alana kadarki ilk bölümde parametre değeri arttıkça katsayı değeri de artmakta, bu zirve noktasından sonra katsayı ile parametre değeri arasında bir ters orantılı ilişki bulunmakta ve parametre değeri arttıkça katsayı değeri azalmaktadır. Üstel dağılımda çarpıklık katsayısı 2 iken nın pozitif değerlerinde Üstel dağılıma göre daha kısa bir sağ kuyruğa, 0,8348 ile 0 arasında değer alırken daha uzun bir sağ kuyruğa sahiptir.
61
Şekil 4.33 Çarpıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği
Basıklık
66 44 464 3016 3888
432 36 22
36
3 44 464 3016 3888
36 22
Elde edilen katsayı denklemine göre parametresinin aldığı değer basıklık katsayısının değerini tek olarak belirlemektedir. Katsayı ile parametresi arasında nasıl bir ilişkinin var olduğunu daha kolay görmek için parametre ile katsayı arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki grafikten yararlanılabilir. Üstel dağılımın basıklık katsayısı değeri 9 olduğundan elimizdeki dağılımın 0 için katsayı değerinin de 9 olması gerekmektedir. Aşağıdaki şekil 4.34’de yukarıda ifade edilen durum gözlenmektedir.
−1 −0.5 0 0.5 1
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2
lamda
C(x)
62
Şekil 4.34 Basıklık katsayısının farklı λ parametre değerlerine göre grafiği
4.2.5.2 Moment çıkaran fonksiyon
1 6 6
1 6 6
1 6 6
şekline dönüşür, bu integrallerin sonlu olabilmesi için sırası ile 0, 2 0 ve 3 0 olması gerekmektedir. Bu üç koşul birleştirildiğinde olması yeterli olacağından moment çıkaran fonksiyon,
1 6
2
6
3 ,
biçiminde elde edilir. Dikkat edilirse, moment çıkaran fonksiyon ortalamaları sırası ile , ve olan Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonlarının birer lineer
−1 −0.5 0 0.5 1
5 6 7 8 9 10 11 12
lamda
B(x)
63
kombinasyonu şeklinde ortaya çıkmaktadır. Denklem (2.1) ile daha önce Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu verilmişti. Buna göre, ~Ü , 1,2,3 için olmak üzere,
1 3 2 , 4.5
olarak ifade edilebilir.
4.2.5.3 k. ham moment
k. ham moment yukarıdaki denklem (4.5) ifadesinden kolaylıkla elde edilebilir:
1 3 2
1 Γ 1
3 Γ 1
2 2 Γ 1
3
k! 1 3 1
2 2 1
3
olarak bulunur.
4.3 Parametre Tahmini
4.3.1 Momentler metoduyla tahmin
Üçüncü bölümde momentler metodu ile tahminin nasıl yapılacağı hakkında bilgi verilmişti. Dağılımdaki parametre sayısı kadar ham momente ihtiyaç duyulmaktaydı.
Dolayısıyla dağılımda iki parametre olduğundan iki moment denklem sistemi
64
oluşturarak parametre tahminini yapılmalıdır. Daha önce (4.3) ve (4.4) numaralı denklemlerle dağılımın birinci ve ikinci momentleri aşağıdaki gibi bulunmuştu.
6 6 36 17
18
Momentler metoduyla tahminin temel aldığı nokta parametre sayısı kadar ham momentin alınarak, oluşturulacak denklemlerin ortak çözümü ile tahmin elde etmektir.
parametresinin momentler tahmininin varlığını araştırmak için ilgili koşulların ne olduğu araştırılmak istenirse,
2 10 2
36 12 4.6 olarak elde edilebilir. İşlem kolaylığı açısından bu değer parametresine eşitlenirse,
2 4.7
2 12 10 36 0 4.8 olarak elde edilir. Burada 12 10 4 2 36 100 528 0 olursa denklemin kökünün var olduğu söylenebilir. Böylece
25
132 4.9 olarak ilk koşul elde edilir.
∑
olduğu hatırlanırsa
1 4.10
65
eşitsizliği geçerlidir. (4.9) numaralı eşitsizlikle ilk olarak elde edilen koşula ilişkin aralık bu durumda denklem (4.7) da belirtilen momentler ile k arasındaki ilişkiden de yararlanılarak, aşağıdaki gibi elde edilir.
1 2,189
1 25
132 4.11 parametresinin 1,1 olması gerekmektedir. Bu sebeple elde edilecek kökler bu çerçevede incelenirse, (4.8) numaralı denklemin köklerinin de yardımıyla aşağıdaki değerlendirmelerde bulunulabilir.
10 12 √100 528
2 4 4.12 Burada kökün belirtilen sınırlar arasında yani
1 10 12 √100 528
2 4 1
biçiminde değer alması gerektiğinden, sırayla alt ve üst sınıra göre için sınırlamalar bulunmak istenirse, 2 4 0 olduğundan alt ve üst sınır bu değer ile çarpılarak nın sınırları için yeni koşulların varlığı araştırılır.
Öncelikle alt sınır ele alındığında,
2 4 10 12 √100 528
olup, gerekli düzenlemelerden sonra
10 14 √100 528
eşitsizliğine dönüşür. (4.11) eşitsizliğine dikkat edilirse, son eşitsizliğin solundaki ifade negatif olup, eşitsizliği yön değiştirerek karesel ifadenin pozitif kısmı için çözümü elde edilir. (4.11) aralığı esas alınarak
12 25
25 132
66
şeklinde aralık biraz daha daralır. İkinci olarak üst sınır değeri göz önüne alınırsa,
10 12 √100 528 2 4
olup, eşitsizlik aşağıdaki gibi düzenlenir:
6 14 √100 528
Bu eşitsizliğin sol tarafının (4.11) eşitsizliği dikkate alındığında pozitif olduğu görülür.
Buna göre, ortaya çıkan karesel ifadenin çözümü sonucunda için yeni üst sınırın 8
49
olduğu sonucuna varılır. Yukarıda için elde edilen (4.11) deki koşuldan daha dar bir aralık elde edildiğinden yeni bir koşul aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
olduğu sonucuna varılır. Yukarıda için elde edilen (4.11) deki koşuldan daha dar bir aralık elde edildiğinden yeni bir koşul aşağıdaki gibi ifade edilebilir.