Öğretmen adaylarının eğim kavramı ile ilgili sahip oldukları kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının incelenmesi üzerine bir durum çalışması

(1)

1

ORTAÖĞRETĠM BÖLÜMÜ

MATEMATĠK ÖĞRETMENLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI

ÖĞRETMEN ADAYLARININ EĞĠM KAVRAMI ĠLE ĠLGĠLĠ SAHĠP

OLDUKLARI KAVRAM

ĠMAJLARININ VE MATEMATĠKSEL ANLAYIġLARININ

ĠNCELENMESĠ

ÜZERĠNE BĠR DURUM ÇALIġMASI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Hazırlayan

FETĠYE AYDENĠZ

Ankara Mayıs, 2011

(2)

(3)

3

EĞĠTĠM BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

ORTAÖĞRETĠM BÖLÜMÜ

MATEMATĠK ÖĞRETMENLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI

ÖĞRETMEN ADAYLARININ EĞĠM KAVRAMI ĠLE ĠLGĠLĠ SAHĠP

OLDUKLARI KAVRAM

ĠMAJLARININ VE MATEMATĠKSEL ANLAYIġLARININ

ĠNCELENMESĠ

ÜZERĠNE BĠR DURUM ÇALIġMASI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

FETĠYE AYDENĠZ

DanıĢman: Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU

Ankara Mayıs, 2011

(4)

ANLAYIŞLARININ İNCELENMESİ ÜZERİNE BİR DURUM ÇALIŞMASI” başlıklı

tezi 27.05.2011 tarihinde, jürimiz tarafından ORTAÖĞRETİM BÖLÜMÜ MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Adı Soyadı İmza

Üye (Tez Danışmanı): Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU Üye: Prof. Dr. Ahmet ARIKAN

(5)

iii

AraĢtırmanın gerçekleĢmesinde görüĢleriyle yardımcı olan ve çalıĢma boyunca yol gösteren tez danıĢmanım Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU‟ya en derin saygılarımla teĢekkür ederim.

Yüksek lisansa baĢladığım ilk günden beri sorularıma sabırla cevap verip, her zaman destek olarak görüĢlerini benden esirgemeyen hocalarım Prof. Dr. Ziya ARGÜN‟e, Prof. Dr. Ahmet ARIKAN‟a ve ArĢ. Gör. Hilal GÜLKILIK‟a;

AraĢtırma süresince gereken her durumda severek çalıĢmaya dâhil olduklarını hissettiğim beĢ öğretmen adayına ve dersi alan tüm adaylara;

Doktora eğitimimi Amerika‟da tamamlama Ģansını veren Milli Eğitim Bakanlığı‟na;

Eğitim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme içtenlikle teĢekkür ederim.

(6)

iv

ÖĞRETMEN ADAYLARININ EĞĠM KAVRAMI ĠLE ĠLGĠLĠ SAHĠP OLDUKLARI KAVRAM

ĠMAJLARININ VE MATEMATĠKSEL ANLAYIġLARININ ĠNCELENMESĠ ÜZERĠNE BĠR DURUM ÇALIġMASI

AYDENĠZ, Fetiye

Yüksek Lisans, Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı Tez DanıĢmanı: Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU

Mayıs–2011, 140 sayfa

Bu araĢtırmanın amacı; eğim kavramı ile ilgili öğretmen adaylarının sahip oldukları kavram imajlarını ve matematiksel anlayıĢlarını incelemektir. Ayrıca öğretmen adaylarının eğim kavramının farklı temsilleri arasındaki iliĢkileri kurup kuramadıkları da araĢtırılmıĢtır.

Katılımcılar, bir devlet üniversitesinin Orta Öğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı‟nda lisans eğitimi alan beĢ öğretmen adayıdır. BeĢ öğretmen adayı amaçlı örneklem tekniğine göre seçilmiĢ ve çalıĢmaya gönüllü olarak katılmıĢlardır. Veriler, görüĢmeler ve öğrencilerin yazılı dokümanlarından elde edilmiĢtir.

AraĢtırmanın modeli, nitel araĢtırma desenlerinden durum çalıĢmasıdır. AraĢtırmaya katılan her bir öğretmen adayı ayrı bir “durum” olarak incelenmiĢtir. Veriler içerik analizi yöntemi ile analiz edilmiĢtir. Yapılan analizde, katılımcıların sahip oldukları kavram imajlarını ve matematiksel anlayıĢlarını teĢhis etmek üzere, görüĢme sorularına odaklanılmıĢtır. Elde edilen veriler, Tall ve Vinner (1981) tarafından geliĢtirilen kavram imajı ve kavram tanımı yapısı esas alınarak analiz edilmiĢtir.

Eğim kavramının, öğretmen adaylarının zihinlerinde en baskın olan temsilleri trigonometrik ve fiziksel temsillerdir. Bu durumun ortaya çıkmasında adayların lise ve üniversitede aldıkları eğitimin ve günlük hayat tecrübelerinin etkili olduğu düĢünülmektedir.

(7)

v

matematiksel anlayıĢları hakkında bilgi vermiĢtir. Adayların, çeĢitli matematiksel iĢlemler gerektiren bu görüĢme sorularında, sorudaki verileri grafiğe doğru aktarabilmeleri durumunda eğim kavramının farklı temsilleri arasındaki iliĢkiyi yüksek seviyede kurdukları görülmüĢtür.

AraĢtırmada ayrıca bulgular çerçevesinde, bu konularda çalıĢma yapmak isteyen araĢtırmacılara ve eğitimcilere yönelik önerilerde bulunulmuĢtur.

Anahtar Kelimeler: Geometri Öğretimi, Geometrik Kavramlar, Öğretmen Adayları, Eğim, Kavram Tanımı, Kavram Ġmajı, Matematiksel AnlayıĢ.

(8)

vi

A CASE STUDY ON THE CONCEPT IMAGES AND MATHEMATICAL UNDERSTANDING OF PROSPECTIVE SECONDARY MATHEMATICS

TEACHERS‟ RELATED WITH CONCEPT OF „SLOPE‟ AYDENĠZ, Fetiye

M. Sc. Thesis, Secondary School Mathematics Education Department Thesis Counselor: Prof. Dr. Hasan Hüseyin UĞURLU

May–2011, 140 pages

The purpose of this study is to investigate prospective secondary mathematics teachers‟ concept images and mathematical understanding of „slope‟. It also examines the connections that prospective teachers‟ make among various representations of „slope‟.

The participants were five prospective secondary mathematics teachers enrolled in a Faculty of Education Department of Secondary Mathematics Education. Five prospective secondary mathematics teachers were chosen through a purposeful sampling technique and they voluntarily participated in this study. Data were obtained through interviews and participants‟ written work.

Case study design is used as a research approach for this study. Each of the five prospective mathematics teachers‟ was studied as a distinct case and their data was analyzed individually. Content analyses were administered for data and each case was investigated individually. The analysis particularly focused on identifying participants‟ concept images and mathematical understandings as they answered interview questions during the interviews. The whole data was analyzed considering mostly Tall and Vinner‟s (1981) framework of concept image and concept definition.

The trigonometric and physical representations were the most dominant types of representations‟ of slope in the prospective teachers‟ mind. It is thought that prospective teachers‟ own high school and university education and daily life experiences affect their thoughts.

With some of the interview questions, investigating the connections that prospective teachers‟ make among various representations of slope gives some

(9)

vii

operations, they make the connections among different representations of slope in a higher level.

Finally, suggestions are made for both researchers and educators who want to work on this issue in the future.

Keywords: Geometry Education, Geometric Concepts, Prospective Secondary Mathematics Teachers, Slope, Concept Definition, Concept Image, Mathematical Understanding.

(10)

viii ÖNSÖZ ... iii ÖZET ... iv ABSTRACT ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... viii TABLOLAR LĠSTESĠ ... x ġEKĠLLER LĠSTESĠ ... xi 1. GĠRĠġ ... 1 1.1. Problem Durumu ... 1

1.1.1. Geometri ve Geometrik Kavramlar ... 1

1.1.2. Kavram Ġmajı ve Matematiksel AnlayıĢ ... 4

1.1.3. Öğretmen Adayları ... 7 1.2. AraĢtırmanın Problemi ... 8 1.3. AraĢtırmanın Amacı ... 8 1.4. AraĢtırmanın Önemi ... 9 1.5. AraĢtırmanın Varsayımları ... 10 1.6. AraĢtırmanın Sınırlılıkları ... 11 1.7. Tanımlar ... 11 2. KAVRAMSAL ÇERÇEVE ... 12

2.1. Kavram Öğrenme ve Geometrik Kavramları Öğrenme ... 12

2.2. Kavram Tanımı ve Kavram Ġmajı ... 15

2.3. Matematiksel AnlayıĢ ... 19

2.4. Eğim Kavramı ... 23

2.5. Ġlgili AraĢtırmalar ... 25

2.5.1. Eğim Kavramı ile Ġlgili AraĢtırmalar ... 25

2.5.2. Kavram Tanımı ve Kavram Ġmajı ile Ġlgili AraĢtırmalar ... 28

2.5.3. Matematiksel AnlayıĢ ile Ġlgili AraĢtırmalar ... 31

3. YÖNTEM ... 33

3.1.AraĢtırmanın Modeli ... 33

3.2.Katılımcılar ... 35

3.3.Verilerin Toplanması ... 35

3.3.1. AraĢtırmada Yer Alan Soruların Kullanılma Amaçları... 35

3.3.2. Veri Toplama Teknikleri ... 41

3.3.3.Geçerlilik ÇalıĢmaları ... 43

3.4. Verilerin Analizi ... 44

4. BULGULAR ve YORUM ... 46

4.1. Öğretmen Adaylarının Eğim Kavramı Hakkında Kavramsal ve ĠĢlemsel Anlamalarına Yönelik Bulgular ve Yorumlar ... 47

4.1.1. Kavramsal Anlamaya Yönelik Bulgular ve Yorumlar ... 47

4.1.2. ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Bulgular ve Yorumlar ... 53

4.2. Durumlar ... 58

4.2.1. Ayça‟nın Durumu ... 58

4.2.1.1 Ayça‟nın Kavramsal Anlamaya Yönelik Durumu ... 58

4.2.1.2 Ayça‟nın ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Durumu ... 61

(11)

ix

4.2.3. Gökçe‟nin Durumu ... 81

4.2.3.1 Gökçe‟nin Kavramsal Anlamaya Yönelik Durumu ... 81

4.2.3.2 Gökçe‟nin ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Durumu ... 85

4.2.4. Selim‟in Durumu ... 94

4.2.4.1 Selim‟in Kavramsal Anlamaya Yönelik Durumu ... 94

4.2.4.2 Selim‟in ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Durumu ... 96

4.2.5. Tülay‟ın Durumu ... 107

4.2.5.1 Tülay‟ın Kavramsal Anlamaya Yönelik Durumu ... 107

4.2.5.2 Tülay‟ın ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Durumu ... 109

5. SONUÇ ve ÖNERĠLER ... 118

5.1. Sonuçlar ... 118

5.1.1. Kavramsal Anlamaya Yönelik Sonuçlar ... 118

5.1.2. ĠĢlemsel Anlamaya Yönelik Sonuçlar ... 120

5.2. Öneriler ... 121

KAYNAKÇA ... 123

(12)

x

Tablo 1 AraĢtırmada Yer Alan Soruların Kullanılma Amaçları ... 35

Tablo 2 Öğretmen Adaylarının Rumuzları ve Numaraları ... 46

Tablo 3 Öğretmen Adaylarının 1 Numaralı Soruya Verdikleri Cevapların Analizi ... 47

Tablo 6 Öğretmen Adaylarının 4 numaralı Soruya Verdikleri Cevapların Analizi ... 52

Tablo 7 Öğretmen Adaylarının Eğim Kavramının Geometrik, Cebirsel ve Fonksiyonel Temsilleri Arasındaki GeçiĢi Sağlama Düzeyleri ... 53

Tablo 8 Öğretmen Adaylarının Eğim Kavramının Geometrik ve Fonksiyonel Temsilleri Arasındaki GeçiĢi Sağlama Düzeyleri ... 55

Tablo 9 Öğretmen Adaylarının Eğim Kavramının Cebirsel Temsilini Ġfade Etme Düzeyleri ... 56

Tablo 10 Öğretmen Adaylarının Eğim Kavramının Trigonometrik Temsilini Ġfade Etme Düzeyleri ... 57

(13)

xi

ġEKĠLLER LĠSTESĠ

ġekil–1, Kavram OluĢum Süreci ... 16

ġekil–2, Formal Tanımın BiliĢsel GeliĢimi ... 17

ġekil–3, Tanım ve Ġmaj Arasındaki Bağlantı ... 17

ġekil–4, Tamamen Formal Öğretim ... 18

ġekil–5, Sezgisel DüĢünce ile Öğretim ... 18

ġekil–6, Sezgisel YaklaĢım ... 19

ġekil–7, Matematiksel AnlayıĢta GeliĢim ... 22

ġekil–8, Ayça‟nın 1 numaralı soruya ait çizimi ... 59

ġekil–14, Aylin‟in 1 numaralı soruya ait çizimi ... 70

ġekil–22, Gökçe‟nin 1 numaralı soruya ait çizimi ... 81

(14)

xii

ġekil–33, Selim‟in 6 numaralı soruya ait çizimi ... 98

ġekil–38, Tülay‟ın 1 numaralı soruya ait çizimi ... 107

(15)

BÖLÜM I

GİRİŞ

Bu bölümde problem durumu, araştırmanın problemi ve alt problemler, araştırmanın amacı ve önemi, araştırmanın varsayımları ile sınırlılıkları ele alınacaktır.

1.1. Problem Durumu

1.1.1. Geometri ve Geometrik Kavramlar

Tarihsel olarak matematiğin gelişim çizgisine bakıldığında, geometrinin aritmetikten önce ve daha hızlı geliştiği; yapılan çalışmalarla geliştirilerek zenginleştirildiği görülmektedir. Geometri kavramları ve kuralları, çok çeşitli bilim ve sanat dallarında/alanlarında yaygın olarak kullanılır (Duatepe ve Ersoy, 2001). Matematik olgusunun ilk esin kaynakları doğa ve yaşamdır. Geometri yanını doğa ile ilişkilendirmek daha kolay ve gereklidir (Develi ve Orbay, 2003). Clements ve Battista (1992)‟a göre ise Geometri, uzayı (evreni) anlamaktır ki; uzay (evren) yaşadığımız, nefes aldığımız ve hareket ettiğimiz yerdir. İnsan, bu aktiviteleri gerçekleştirmek için bilmeyi, öğrenmeyi, araştırmayı ve elde etmeyi öğrenmelidir. Sözcük anlamı olarak da Geometri, Yer (Dünya)‟in ölçümü anlamına gelmektedir (Dönmez, 2002).

Matematiğin önemli bir dalı olan geometrinin eğitimdeki yeri oldukça büyüktür. Geometri, içinde yaşanılan dünyanın düzeninin anlaşılmasına ve açıklanabilmesine yardımcı olan bir matematik dalıdır. Matematiksel kavramlar için temel oluşturan ve ileri matematik ve fen eğitimi için önemli olan geometri, aynı zamanda uzamsal algının ve estetik değerlerin gelişimini sağlar (Duatepe, 2004).

Geometri, çeşitli bilim dallarında yaygın olarak kullanılan, temel eğitim matematiği içinde tüm dünyada önemli bir alandır. Geometrinin oluşturduğu bakış açısı

(16)

sayesinde öğrenciler problemleri analiz edebilir, çözebilir ve matematik ile hayat arasında bağ kurabilir. Bunun yanında geometrik gösterimler soyut kavramların oluşmasında yardımcı olur (Duatepe, 2000).

Geometri, doğal olarak içinde yaşadığımız dünyayı düzgün resmetmenin ve tanımlamanın bir yoludur. İnsanın çevresinde yer alan objelerin büyük bir bölümü geometrik şekillerle ilgilidir. Örneğin; odanın şekli, pencere, oyuncaklar vb. (Hacısalihoglu, Mirasyedioglu ve Akpınar, 2004).

Geometrik ve uzamsal zekâ, matematik öğreniminin başlıca öğeleridir. Fiziksel çevre ile ilgili derinlemesine düşünmek ve yorum yapmak için ya yollar sunabilirler, ya da matematik ve bilimin diğer çalışma alanlarında yardımcı olurlar. Geometri, matematiğin doğal bir alanıdır. Öğrencilerin mantıksal ve düşünsel yeteneklerinin gelişimini sağlar (National Council of Teachers of Mathematics, 2006). Günlük hayatta insanların çözmek zorunda kaldıkları basit problemlerin pek çoğunun (çerçeve yapma, duvar kâğıdı kaplama, boya yapma, depo yapma gibi) çözümü temel geometrik beceriler gerektirir. Bu öneminden ötürü geometri öğretimi tüm eğitim kademelerinde yer verilen geniş bir şerittir (Altun, 2001). O halde, hayatın içine bu kadar yerleşmiş bir disiplin olarak Geometri ve bu bağlamda Geometri öğrenimi ile öğretimi için neler söylenilebilir? Hangi yöntemlerden bahsedilebilir? Geometri eğitiminin amacı nedir? Ne tür sıkıntılar ya da eksiklikler vardır?

Freudenthal (1973)‟a göre; geometri öğrenimi ve öğretimi ile ilgili iki ana “temel” yöntem vardır. Birincisi geometriyi bir alan bilimi olarak görmek, ikincisi ise onu, öğrencinin matematik alt yapısı için, his alabileceği bir çevre olduğu ortamda, mantıksal bir yapı olarak görmektir. Burada, geometri ortamına daha kapsamlı bir anlam yüklenir ki ortamda gerçek bir çevre temel olarak alınmaz. Bu iki yöntemin birbirine bağlı olduğu konusunda fikir birliği vardır, çünkü geometrinin alan bilimi olarak ele alındığı bazı öğretim seviyelerinde geometrinin öğrenilmesi için geometrinin mantıksal bir yapı olarak görülmesine ihtiyaç duyulur.

(17)

a. Öğrenci, fiziksel dünyasını, çevresini ve evreni açıklamada ve anlamlaştırmada geometriyi kullanabilmelidir.

b. Öğrenci, problem çözme becerilerini geliştirmeli (Geometrik şekilleri tanıyabilmeli, açıklayabilmeli, karşılaştırabilmeli ve sınıflandırabilmeli, varlıklar arasında ilişkiler kurabilmeli, mekân, uzay kavramı geliştirebilmeli, geometrik şekiller arasında dönüşümleri keşfedebilmeli, üç boyutlu nesneleri özelliklerine göre sınıflandırabilmeli, tanıyabilmeli ve açıklayabilmelidir.) (Baki,2001).

Amaçlanan bu kazanımların gerekleşmediği, Geometri alanında Türk öğrencilerinin zorluklar yaşadığı, uluslararası çalışmalarla (TIMSS) da teyit edilmiştir (Akt: Durmuş, Olkun ve Toluk, 2000). Geometri öğretiminin ilköğretimden başlayarak öğrencilere yeterince kavratılamamış olması, ortaöğretim geometri öğretiminde ve bu alana bağlantılı diğer konuların kavratılmasında büyük sıkıntılar yarattığı bir gerçektir. Ülke genelinde ilk ve ortaöğretimde bu konu üzerinde yapılmış olan çok fazla istatistiksel araştırma bulunmasa da geometri öğretiminin matematik öğretimi içerisinde öğrenciler tarafından anlaşılması konusunda büyük sorunların olduğu göz ardı edilemez (Yılmaz, Keşan, Turgut ve Kabakçı,2000).

Geometri kavramlarının ve kurallarının, çok çeşitli bilim ve sanat dallarında/alanlarında yaygın olarak kullanıldığı (Duatepe ve Ersoy,2001), matematiksel düşüncenin geliştirilmesinde geometrik düşüncenin vazgeçilmez bir öneme sahip olduğu ve insanoğlunun tüm hayatını çevreleyen geometrik dünyadan verimli şekilde yararlanmasının bu geometrik dünyayı kavramaya bağlı olduğu (Altun, 2001) göz önüne alındığında, geometri eğitiminin ne derece önemli olduğu daha iyi anlaşılacaktır.

Geometri ve öğretiminin öneminin açıklanmasından sonra araştırmada neden özellikle geometrik bir kavramla ilgili bir çalışma yapıldığı açıklanacaktır. Geometrik kavramlar, insanoğlunun etrafını tanımlama ihtiyacından ve deneyim kazanma aktivitelerinden ortaya çıkan geometrik özelliklerin yavaş yavaş kendi başlarına kuramsal anlamlar kazanmasıyla şekillenmiştir. Mayberry (1983)‟e göre de; öğrencilerin geometrik kavramları öğrenmeleri, çoğunlukla ezbere dayanmaktadır. Geometriksel ifadelerde yer alan özellikler, kapsamlar, ilişkilendirmeler ve anlamlar yeterince öğretilememektedir (Akt: Clements ve Battista, 1992).

(18)

Ayrıca geometrik kavramlar ve muhakeme yeteneğinin geliştirilmesi öğrencilerin matematik eğitiminde büyük rol oynamaktadır (Clements ve Battista, 1992).

Öğrencilerin bahsedilen geometrik dünya ile doğru etkileşimde bulunmaları ve yukarıda geçen amaçlara ulaşabilmelerinde, geometrik kavramların büyük payı olduğu düşünülmektedir. Öğrencilerin geometrik kavramlarla ilgili nasıl bir kavrayış modeli geliştirdiklerini bilmek, var olan eksiklikleri gidermek ve yeni yapılandırmalar inşa etmek için çok önemli bulunmaktadır. Bu konuda yapılan araştırma sayısının az olduğu düşünülmektedir. Bu nedenle fark edilen bu eksikliği kısmen de olsa gidermek için bu araştırmada geometrik bir kavramın ele alınmasına karar verilmiştir.

1.1.2. Kavram imajı ve Matematiksel Anlayış

Türk Dil Kurumu‟nun Türkçe sözlüğünde kavram; “Nesnelerin veya olayların ortak özelliklerini kapsayan ve bir ortak ad altında toplayan genel tasarım, mefhum, nosyon. Bir nesnenin veya düşüncenin zihindeki soyut ve genel tasarımı” olarak açıklanmaktadır. Kavram karmaşası ise; “anlaşılmazlık, anlam yetersizliği” olarak açıklanmaktadır.

Kavramlar, toplumsal olarak kabul edilmiş sözcüklerin anlamı olarak ifade edilebilecekleri gibi ortak özellikleri olan nesne, olay, fikir ve davranışların oluşturduğu sınıflamaların soyut temsilcisi olarak da ifade edilebilir. Doğuştan getirilen herhangi bir kavram yoktur. Bazı kavramların kolay öğrenilebilmesine karşın bazı kavramların öğrenilmesi zordur ve zihinsel gelişimle yakından ilişkilidir.

Kavramlar birçok özelliği içermesine rağmen, gerçek hayatta tam karşılıkları yoktur ancak örnekleri vardır. Örneğin uzaklık, sayı, güzellik, masa, kalem v.s… (Albayrak, 2000). Pek çok öğrencinin matematikle ilgili, bazen “saf teori” olarak adlandırılan ve onları pasif öğrencilere dönüştüren kavram yanılgıları bulunmaktadır (Eric, 1989).

(19)

Öğrenciler sınıfa “boş levhalar” olarak gelmezler. Bunun yerine, günlük deneyimlerinden oluşan teorilerle gelirler. Öğrencilerin dünyayı anlamaya yönelik teorilerinin bazıları aldatmacadır. Bunlar kavram yanılgılarıdır. Kavram yanılgıları iki sebepten ötürü problem yaratır. İlki, örgenciler yeni deneyimleri yorumlamak için kullandıklarında, öğrenme süreci ile çatışma yaşarlar. İkincisi, öğrenciler yanılgıları ile duygusal ve zihinsel olarak ilgilidirler. Çünkü bu yanılgıları kendileri faal olarak yaratırlar. Bundan dolayı, öğrenme üzerinde zararlı etkisi olabilecek kavram yanılgılarından (yanlış fikirlerden) ancak büyük bir isteksizlikle vazgeçerler (Champagne, Klopfer ve Gunstone, 1982; Akt: Eric, 1989).

Geometri öğretiminde yaşanan en büyük problemlerden biri de geometrik kavramların yeterince öğrenilmemesidir. Geometri dersinde, müfredatta yer alan bilgi ve becerilerin öğrencilere kazandırılarak çevrelerini tanımlayabilmeleri ve problem çözümünde geometriyi kullanabilmeleri amaçlanmaktadır (Baykul, 1999).

Bunun gerçekleşebilmesi için geometrik kavramların öğrencilerin zihninde kesin ve açık biçimde oluşması gerekir. Öğrenciler kavrayamadıkları kavramları ezberler. Ezberlenen kavramların özellikleri anlaşılamaz. Kavramların yeterince anlaşılmaması kavramlar arasındaki ilişkilerin ve bağıntıların anlaşılmamasına neden olur. Bu da karşılaşılan farklı durumlara ve problemlere çözüm getirilememesine ve uzun süreli bir öğrenmenin gerçekleşmemesine neden olur. Bunun sonucunda geometri öğrenciler tarafından, şekillere ait anlamsız özellik ve formüllerden oluşan bir ders olarak görülür (Çelik, 2001).

Öğrencilerin geometrik kavramları öğrenirken kavram yanılgılarına sahip olmalarının sebeplerini Clements ve Battista,(1992) ise;

 Öğrencilerin konuları yeteri kadar iyi anlayamamaları,  Geometrik ifadelerle ilgili özel kuralları genelleştirmeleri,

 Öğrenilen pek çok bilginin ezbere dayanması sebebiyle, kavramların tam anlamıyla anlaşılamaması

olarak belirlemiştir.

Bahsedilen bu tespitler, geometri öğretiminde geometrik kavramların önemini ve öğrenci zihninde geometrik kavramların nasıl yapılandığının anlaşılmasının gerekliliğini

(20)

işaret etmektedir. Öğrencinin zihnindeki yapılanmanın fotoğrafını bütün bir halde çekebilmek ancak kavramla ilgili her türlü bağlantıya ulaşmakla mümkün olacaktır. Araştırma da bu yüzden öğrencilerin geometrik bir kavram olan eğim kavramına ait kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının belirlenmesi esas alınmıştır.

Tall ve Vinner (1981)‟e göre kavram imajı, kavramla birlikte anılan tüm bilişsel yapı olarak tanımlanır. Bu yapı tüm zihinsel resimleri ve çağrışım yapan özellikleri ve yöntemleri içerir. O halde herhangi bir kavrama ait kavram imajı, kavramla bağlantılı her şeyi içerdiğinden (Tall ve Vinner,1981) kavramla ilgili kısmen doğru olan yapılar ve kavram yanılgıları da kavram imajının içinde yer alır. Tall ve Vinner (1981)‟in ortaya koyduğu kavram imajı ve kavram tanımı yapısı, öğrencilerin zihinsel imajları ile kavramları nasıl anladıklarını belirlememizi mümkün kılacaktır.

Matematiğin esnek anlayışı, disiplinler arası ilişkileri kurma yeteneğini gerektirmesinin yanı sıra okul dışındaki dünyada bağlantı kurmayı da gerektirir (McDiarmid, Ball ve Anderson, 1989). Matematikte anlamlı öğrenme kavramsal (conceptual) ve işlemsel (procedural) bilgi arasında kurulan ilişkiyi gerektirir (Hiebert ve Lefevre, 1986). Kavramsal bilgi ilişki kurma bakımından zenginken, işlemsel bilgi formal dil ve işlem sistemleri yanı sıra algoritma ve kurallardan oluşmaktadır.

Dreyfus (1991)‟e göre matematiksel bir kavramı temsil etmek bir örnek veya bir imaj oluşturmaktır. Yazılı ya da sözlü sembolik bir temsil ya da zihinsel bir temsil iç bir çerçeve ya da referansa karşılık gelir. Bir birey için verilen bir kavramın birbiri ile yarışan pek çok zihinsel temsili olmasına rağmen, farklı bireyler değişik matematiksel durumlar için farklı yorumlarda bulunabilirler. Bir kavram için birbirinden farklı temsillere sahip olmak önemli bir durumdur (Stump, 1996).

Çevirme (translation) süreci bir kavramın matematiksel bir temsilinden başka bir temsiline gidebilmektir. Janvier (1987) çevirme sürecini, değişkenlerin sözel tanım, tablo, grafik ya da eşitlikler şeklinde temsil edildiği durumlar olarak tanımlamıştır. Örneğin sözel bir ifadeden grafiğe geçiş taslak yapmayı, bütünleştirme süreci yorumlama yapmayı gerektirir. Başarılı bir çeviri, düşünme esnekliği ve hedeflenen temsilin bakış açısından kaynak alınan temsile bakabilmeyi gerektirir.

(21)

Bu araştırmada ise öğretmen adaylarının, eğim kavramına ait cebirsel, geometrik, trigonometrik ve fonksiyonel matematiksel anlayışlarını ve bu çeşitli temsiller arasında bağlantı kurmadaki yetenekleri incelenecektir.

Bireyin kavram ile ilişkilendirdiği her şeyi içeren kavram imajları ve matematiksel anlayış ile ilgili birçok çalışma bulunmasına rağmen, araştırmacı tarafından yapılan literatür taramasında geometri öğretimi içerisinde geometrik kavramlarla ilgili yeterli sayıda araştırma bulunmamaktadır.

Yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı bu araştırmada geometrik kavramlar arasında yer alan eğim kavramına ait kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının belirlenmesi esas alınmıştır.

1.1.3. Öğretmen adayları

Etkili bir geometri öğretimi için öğretmenin; öğrenciyi anlama, öğrencinin bulunduğu düzeyi görebilme ve bu düzeye uygun iletişim dilini kullanma becerilerine sahip olması önemlidir. Öğrencinin geometri başarısı, öğretmenin geometri bilgisi ve bu bilgisini geliştirebilmesiyle doğrudan ilişkilidir. Öğretmenin geometri bilgisi ise onun bir öğretmen adayı iken sahip olduğu geometri bilgisine de bağlıdır. Ancak yapılan araştırmalar bir öğretmen adayının geometri geçmişine bakıldığında geçirdiği öğrenme-öğretme sürecinde geometrik kavramlarla yeteri kadar karşılaşmadığını ve buna bağlı olarak da öğretmen adaylarının geometri kavram bilgilerinin çok güçlü olmadığını göstermektedir (Mooney, Fletcher ve Jones, 2003).

Geometri öğretimi karmaşık bir süreçte gerçekleşmektedir. Bu nedenle öğrenciler bulundukları düzeyde belirli yeterliliğe ulaşamadan üst düzeylerle karşı karşıya getirilirse öğrenmeyle ilgili sorunlar ortaya çıkmaktadır. Ancak geometrinin bu karmaşık yapısını iyi anlayan bir öğretmen, öğrencilerin bulundukları düzeyde yeterliliğe ulaşıp ulaşmadıklarını gözlemleyebilir ve karşılaşacakları sorunları gidermede başarılı olabilir. Bu nedenle matematik öğretmen adaylarının geometri bilgilerinin hangi düzeyde olduğunun bilinmesi, bu düzeylerin geliştirilmesi ve üst

(22)

düzeylere çıkarılabilmesi, geometri öğretimi için gerekli bulunmaktadır (Durmuş vd., 2002).

Yukarıda belirtilen tespitler, araştırmada neden öğretmen adaylarının esas alındığının gerekçesini özetlemektedir. Öğretmen adayların öğrenim hayatları boyunca oluşturup lisans öğretimine taşıdıkları kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının belirlenmesi, önceki öğrenim süreçlerinin incelenmesine de ışık tutacaktır. Ayrıca öğretmen adaylarının bir kavrama ait kavram imajlarının belirlenmesi; o kavrama ait yanılgılarının ve eksikliklerin, lisans öğreniminde giderilmesine yardımcı olacaktır.

1.2. Araştırmanın Problemi

Araştırmanın temel problemi “Eğim kavramı ile ilgili öğretmen adaylarının kavram imajları ve matematiksel anlayışları nasıldır?” sorusunun araştırılmasıdır.

1.3. Araştırmanın Amacı

Öğrencilerin genel matematikteki bazı matematiksel kavramlara ait kavram imajları ve kavram tanımlarına ait görüşlerini ortaya çıkarmak, onların matematiğe bakış tarzlarını ve matematiksel ifadelere yaklaşımlarını ortaya koyacaktır. Herhangi bir kavramla karşılaştıklarında bilişlerinin ne gibi süreçlerden geçtiğini bize gösterecektir (Soğancı, 2006).

Kavram yanılgıları, yanlış anlamlara dayalı yanılgılardır. Çünkü zihinsel betimlemeler, imajlar anlamın daha önünde yer alır. Dolayısıyla kavram yanılgıları üzerinde çalışmak, zorunlu olarak imajlar üzerine çalışmaya yol açar. Matematik öğrenenlerin kavram yanılgılarının kökeni, onların anlayış eksikliği veya üzerinde çalıştıkları matematik konusu ile ilgili imaj yetersizliği olabilir. İstenilen imaj olmaksızın, kavram yanılgılarının doğru bir şekilde yeniden düşünülmesi ya da çok derin bir matematik anlayışının kazanılabilmesi mümkün görünmemektedir (Akt: Eraslan, 2005).

(23)

Bu araştırma ile matematik öğretmen adaylarının geometrik bir kavram olan eğim kavramına ait kavram imajlarının ve matematiksel anlayışlarının tespit edilmesi amaçlanmıştır. Bu amacı gerçekleştirmek için bazı öğretmen adayları ile görüşülecek, onların eğim kavramı hakkındaki görüşleri öğrenilecek ve yorumları alınacaktır.

1.4. Araştırmanın Önemi

Günümüz matematik öğrenimi ve öğretimi konusunda önemli bazı sorunlarla karşılaşılmaktadır. Davis ve Vinner (1986); Tall ve Vinner (1981); Vinner (1982,1983), Tall (1987) de bazı genel matematik kavramlarının ne olduğuna karar vermeye çalışmışlardır, bazı temel durumları ortaya koymuşlardır. Birçok araştırmada bazı kavramlarda karşılaşılan zıtlıklar (conflicts) ortaya çıkarılmıştır. Bunlardan bazıları, teğetin iki noktada kesmesi (Orton, 1977), ondalıklı sayılardaki sözlü ya da diğer zorluklar (Tall, 1977), geometrik kavramlar (Vinner ve Hershkowitz, 1980), fonksiyon kavramı (Vinner, 1983), limit ve süreklilik (Tall ve Vinner, 1981), dizilerin limiti (Robert, 1982), fonksiyonların limiti (Ervynck,1983), eğim (Vinner, 1983; Tall 1987), sonsuzluk kavramı (Fischbein ve diğ., 1979), diferensiyel kavramı (Artigue 1986), ve bunlara benzer diğerleri (Akt: Soğancı, 2006).

Geometri ise matematiğin önemli bir alanı teşkil eder. Birçok derste ve problem çözümlerinde geometri bilgileri oldukça sık kullanılmaktadır. Bu sebeplerden dolayı geometri öğretimi matematik öğretiminin de önemli bir kısmını teşkil etmektedir. Geometrik düşünmenin gerçekleşebilmesi için geometrik kavramların öğretilmesi gerekir. Kavramların yeterince anlaşılmaması eğitimden beklenen hedeflere ulaşılmasını engeller. Kavramların öğreniminde ve öğretiminde yaşanan sıkıntılar, kavramların hangi düzeyde öğrenildiği, oluşan kavram yanılgılarının tespit edilmesi eğitimciler açısından büyük önem taşır. Yaşanan sıkıntıların tespit edilerek bunlara çözüm bulunması sağlıklı bir öğretimin gerçekleşmesi açısından oldukça önemlidir (Kesici, 2005). Yapılan literatür taraması sonucunda Türkiye‟de, geometrik kavramlarla özellikle de eğim kavramı ile ilgili çok az çalışmanın bulunduğu belirlenmiştir. Matematik öğretmen adaylarının eğim kavramına ait kavram imajlarını ve matematiksel anlayışlarının ne düzeyde olduğunu tespit etmeyi amaçlayan çalışmamız geometri eğitimi açısından büyük önem taşımaktadır.

(24)

Araştırmada öğretmen adaylarının seçilmesi bu bağlamda önemli görülmektedir. Zira öğretmen adaylarında tespit edilen kavram imajları ve matematiksel anlayış, geçmiş eğitim yaşantılarının ve özellikle geçmiş öğrenimlerinin bir sonucu oluşmuştur (Tall, 1981). Öğretmen adaylarının lisans öğreniminde bahsedilen kavramlarla ilgili nasıl bir kavram imajına ve matematiksel anlayışa sahip olduklarını görmelerinin, kavram imajlarındaki olumsuzlukları gidererek zengin ve doğru bir kavram imajı geliştirmelerine fayda sağlayacağı düşünülmektedir (Gülkılık, 2008). Öğretmen adaylarının bütün bu evrelerin farkındalığı ile öğrencilerini yönlendireceği ve dolayısıyla doğru, net ve farklı durumlarda işe yarayan kavram imajlarına sahip öğrenciler yetiştirmede istekli olacakları beklenilebilecektir.

Öğretmenlerin matematiksel kavramları ve bunlar arasındaki bağlantıları anlamaları tek başına yeterli değildir. Önemli olan bu düşünceleri öğrencilerine sunabilmeleridir. NCTM (1991)‟in tavsiyeleri yoluyla, matematik öğretmen eğitiminde adaylar aşağıdaki bilgilerini geliştirmelidir:

 Matematiksel kavramlar ve işlemler ve bunlar arasındaki bağlantılar  Matematiksel kavram ve işlemlerin çoklu temsilleri

 Teknoloji içerikli eğitsel materyal ve kaynaklar

 Matematiksel kavram ve işlemleri temsil edecek yollar

Bu çalışmada öğretmen adaylarının bilgilerini çeşitli görüşlerle keşfedebilmek için tek bir kavrama, eğim kavramına odaklanılmıştır.

1.5. Araştırmanın Varsayımları

Araştırmada aşağıdaki durumlar varsayım olarak kabul edilmiştir.

1. Görüşme yapılan öğretmen adaylarının görüşme formundaki soruları ciddiyetle

yanıtlayacakları, sorulara samimiyetle ve açık cevaplar verecekleri varsayılmıştır.

2. Araştırmada kullanılan ölçme araçlarının ölçülmek istenen davranışları doğru

(25)

3. Araştırmanın kavramsal çerçevesini oluşturmak için taranacak kaynakların

güvenilir ve yeterli bilgi vereceği varsayılmıştır.

1.6.Araştırmanın Sınırlılıkları

1. Bu araştırma yapılacak olan görüşmeler ve yazılı dokümanlarla sınırlıdır.

2. Bu araştırma bir devlet üniversitesinin Ortaöğretim Fen ve Matematik Alan

Eğitimi Bölümü Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı‟ndan seçilen öğretmen adayları ile sınırlıdır.

1.7. Tanımlar

Kavram Tanımı (Concept Definition): Bir kavramın formal (biçimsel)

tanımıdır.

Kavram İmajı (Concept Image): Bir kavramın kişiden kişiye değişebilen

informal (sezgisel) tanımıdır.

Matematiksel Anlayış (Mathematical Understanding): Bireyin beyninde veya

hafızasında organize edilmiş bilgidir.

Bilgi, başka bilgilerle ilişkilendirildiğinde, bu bilgiler arasında bir bağlantı kurulduğunda ya da bilgi şema, grafik vb… gibi somut hale getirildiğinde matematiksel anlayıştan söz edilebilir.

Eğim: ve birbirinden farklı iki nokta olmak üzere bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimi

olarak tanımlanır.

Çeşitli parametrelere sahip y=mx+b lineer denkleminde eğim m‟dir.

Eğim, bir doğrunun x ekseni ile yaptığı dar açının tanjantı şeklinde de düşünülebilir. m=tan olarak gösterilir.

(26)

BÖLÜM II

KAVRAMSAL ÇERÇEVE

2.1. Kavram Öğrenme ve Geometrik Kavramları Öğrenme

İnsanlar doğaları gereği çevrelerindeki olayların nedenini sürekli araştırma, öğrenme isteğindedir. Bu merak duygusunu giderirken de sürekli olarak yeni bilgilere maruz kalmaktadırlar. Bireyin zihnine eklenen her yeni bilgi bireyin zihninde bir karmaşaya yol açmakta ve yeni kavramlar oluşturma gereğini ortaya çıkarmaktadır. Yarının toplumunda başarılı ve teknolojik gelişmelere önder olmalarını beklediğimiz öğrencilerin yaratıcı birer birey olmaları beklenmektedir (Yaşar, 2006).

Yaratıcı bir düşüncenin ortaya konulması yüksek seviyede düşünmeyi gerektirir. Yüksek seviyede düşünmenin yapıtaşları ise kavramlardır. Kavramlar, bireyin nesneleri sınıflandırma ilke ve kurallar koyma, düşünme ve düşüncenin ufkunu genişletmesine imkân verir. Kavramlar yine kavramlarla açıklanabildiğinden bireyin, düşüncesine yardımcı olmakta, düşünce ağını kurmasına zemin hazırlamaktadır (Akt: Akgün, 2001).

Kavram, insan zihninde anlamlanan, farklı obje ve olguların değişebilen ortak özelliklerini temsil eden bir bilgi yapısıdır, bir değişkendir; bir sözcükle ifade edilir. Kavramların genel anlamlarının yanında, bir de kullanıldığı alana göre değişebilen anlamları vardır (Ülgen, 2001).

Kavramlar somut eşya, olaylar veya varlıklar değil, onları belirli gruplar altında topladığımızda ulaştığımız soyut düşünce birimleridir. Kavramlar gerçek dünyada değil, düşüncelerimizde vardır. Gerçek dünyada kavramların sadece örnekleri bulunabilir (Vural, 2003).

(27)

1. Kavramlar, insan tecrübesine dayalı olarak zaman içerisinde değişirler. 2. Obje ve olayların algılanan özellikleri bireyden bireye değişebilir. 3. Kavramın orijinali vardır.

4. Kavramların bazı özellikleri bazen birden fazla kavramın üyesi olabilirler.

5. Kavramlar objelerin ve olayların hem doğrudan hem de dolaylı olarak gözlenebilen özelliklerinden oluşurlar. “Her kavramın soyut ve somut özellikleri vardır”

6. Kavramlar çok boyutludur.

7. Kavramlar kendi içlerinde, özelliklerine uygun belli ölçütlere göre gruplanabilirler.

8. Kavramlar dille ilgilidir. “Bir kültürü oluşturan insanların düşünce ve duygu zenginliği, eğilimleri ve ihtiyaçlarını çeşitliliği ve geliştirdikleri değerlerin niteliği, kısaca o insanların yasam biçimi kavram oluşturma ve geliştirme sürecini etkiler.”

9. Kavramların özellikleri de kendi içinde birer kavramdır.

Kavramların öğrenciler tarafından algılanabilmesi için onların önbilgilerinin yeterli olması, etkin olarak kavramları ve o kavramlar arasındaki ilişkileri düşünmeleri de gereklidir (Demirel, 2000).

Matematik öğretiminde, öğrenciler tarafından alınan bilgiler ya da tecrübeler her birey tarafından farklı şekilde özümsenmektedir. Bu nedenle; öğrencilerin kavram anlayış yeteneklerinin üstündeki konuları öğrenmelerini beklemek yerine, onların kendi zihinlerinde oluşturdukları kavram organizasyonlarını tanımaya çalışarak yeni bilgileri onun üstüne yapılandırmak çok daha etkili ve kalıcı bir matematik eğitimi gerçekleşmesini sağlayacaktır. Öğrencilerin sınıfa getirdikleri önceden kendi dünyalarına ait olan fikirlerin ve var olan ön kabullerin eğitimciler tarafından ortaya çıkarılması gereklidir. Aynı zamanda öğrencinin bu kabulleri değiştirmesine imkân tanıyan bir ortam hazırlanması şarttır. Böylece, çocuklar bilimsel olarak kabul edilen kavramlara daha yakın olurlar (Akt: Şensoy, Aydoğdu, Yıldırım, Uşak ve Hançer, 2005).

Kavram hangi öğrenme yöntemiyle öğrenilirse öğrenilsin, iki aşamada geçekleştirilir: İlk aşama kavram oluşturma (concept formation/method of reception), ikinci aşama ise kavram kazanmadır (concept attainment/ method of development). Kavram oluşturma genelleme yapmaya dayalıdır. Birey uyaranların benzer ve farklı

(28)

yanlarını algılayarak, benzerliklerden genelleme yapar. Kavram kazanma, oluşturulan kavramı uygun kural ve ölçütlerle sınıflara ayrıştırma işlemine işaret eder (Ülgen, 2001).

Kavram öğrenme sürecini etkileyen etmenlerden bahsetmek gerektiğinde Ülgen (2001) zaman, bellek süreci, dikkat ve odaklaşma, kavram öğrenme stratejileri, dil, gelişim düzeyi ve uyarıcı sunusunu sıralamaktadır. Clements ve Battista (1992) kavramların anlaşılır olmasında ve öğrenilmesinde kullanılan dilin önemine dikkat çeker. Onlara göre bu durum geometride kullanılan terimler için de geçerlidir. Terimsel dilin çok kullanılması, öğrencilerin geometriye bakışını olumsuz yönde etkilemekte ve bunların (terimsel ifadelerin) seviyeler ilerledikçe öğrenilmesi uygun bulunmaktadır. Bu nedenle öğretmenler şunu düşünmelidir ki kullanılan dille, öğrencilerin kavram anlayışı, öğretmenin ima etmek istediğinden farklı olabilir. Bu yüzden, eğer terimler ilk derslerde kullanılmaya başlanırsa ve öğretmen günlük dili kullanmazsa öğrenme ezbere dayalı olur. Van Hiele-Geldof (1984), yaptıkları araştırma sonuçlarında; “eğer öğrenciler geometrik kavramları gerçek dünyadan verilen örneklerle öğrenirlerse, bu durum onlara çok yardımcı olmaktadır” sonucunu elde etmişlerdir (Akt: Gülkılık, 2008).

Bilgi çağının yaşandığı günümüzde matematik eğitiminin temel amacı, öğrencilere bilgiye ulaşma becerilerini kazandırmaktır. Bu da ezberci eğitimden uzaklaşarak, kavrayarak öğretme ile mümkündür. Son yıllarda matematik eğitiminde yapılan araştırmalar ile daha iyi bir matematik eğitimi için okullara yeni teknolojik olanaklar sağlanırken, bir taraftan da eğitimin aksayan yönleri saptanmaya çalışılmaktadır. Bunun için ayrıca öğrencilerin edindikleri bilgilerin kalıcılığı araştırılmakta ve yeni, daha etkin öğretim yöntem ve teknikleri uygulanarak öğrencilerin kavramları doğru ve kalıcı olarak öğrenmeleri sağlanmaktadır. Yeterli bir matematik eğitimi için temel matematik kavramlarının ilk ve orta eğitim sürecinde tam ve doğru olarak öğretilmesi son derece önemlidir. Çünkü bu konular daha ilerideki matematik konularının temelini teşkil eder. Bunu gerçekleştirecek olanlar ise geleceğin öğretmenleridir. Bu sebeplerden dolayı bu çalışmanın öğretmen adayları ile yapılması uygun görülmüştür.

(29)

2.2. Kavram Tanımı ve Kavram İmajı

Bir kavramın ismi duyulduğunda veya görüldüğünde bu durum belleğimizi uyarır. Belleğimizde kavramın ismi ile bir şeyler çağrışır/uyarılır. Genelde bu kavramın tanımı değildir. Buna Tall ve Vinner „kavram imajı‟ ve bazıları da „kavram çerçevesi‟ derler (Vinner, 1991). Örneğin fonksiyon kelimesi duyulduğunda, „y=f(x)‟ eşitliği, bir fonksiyonun grafiği, belki de , y=sinx, y=lnx, gibi belirgin birkaç fonksiyon türü hafızada canlanabilir. Buradan söylenebilecek şey; kavram imajının kişiye özel bağlantıları vardır, hatta bir kavrama ait imaj çeşitli durumlarda değişebilir (Vinner, 1991). Tall ve Vinner‟ın 1981 de kullandığı „çağrıştırılmış/uyarılmış kavram imajı‟ verilen bağlamda hafızanın bir kısmını açıklayabilir (Vinner, 1991, Akt: Soğancı, 2006).

Tall ve Vinner (1981), öğrencilerin yeni bir ortamda eski bir kavramla karşılaşmaları durumunda, önceki durumlardan özetlenen tüm dolaylı (örtülü) varsayımlarla birlikte, duruma cevap verenin kavram imajı olduğunu belirtir. Bu da öğrencinin bir problemle karşılaştığında, kavram tanımını geri plana iterek kavram imajını kullanmaya eğilimli olduğunun göstergesidir.

Vinner (1991)‟a göre, eğer bir fikir diyagramlar halinde sunulmak isteniyorsa, bilişsel yapıda iki „hücre‟ye başvurulur. Birinci „hücre‟ kavram tanımı ve ikinci „hücre‟ de kavram imajı hücresidir. İlk hücre ve hatta bazen ikisi de boş olabilir. (Kavram imajı hücresi, herhangi bir anlamlandırma ile kavram ismi birleşmemişse boş olarak düşünülebilir. Kavram tanımı anlamsız bir yolla hatırlandıysa bu durum oluşabilir.) Bu iki hücre arasında belli bir ilişki olmasına rağmen bu ilişki bağımsız olarak şekillendirilmiştir. Bir öğrenci, çeşitli durumlarda birçok grafik görmek suretiyle koordinat sistemi hakkında kavram imajı oluşturabilir. Bu kavram imajına göre, iki eksen birbirini dik keser. Matematik öğretmenleri, koordinat sistemini birbirini dik kesen iki düz çizgi olarak tanımlayabilir. Bunun sonucunda 3 durum ortaya çıkabilir:

1*- Kavram imajı, koordinat sisteminin eksenleri arasında dik açı yokmuş gibi değişebilir. (Yeniden yapılandırma – uyum / reconstructivism-accommodation)

(30)

2*- Kavram imajı olduğu gibi kalabilir. Kavram tanımı hücresi bir süreliğine öğretmenin tanımlamasını içerir fakat kısa bir süre sonra unutulabilir ve öğrenciden koordinat sistemini tanımlaması istendiğinde, öğrenci eksenlerin arasındaki dik açıdan bahsedebilir. (Formal tanım özümsenmemiş durumdadır.)

3*- İki hücre de olduğu gibi kalabilir. Öğrenciye sunulduğunda öğretmenin tanımını tekrardan söyleyebilir fakat bütün diğer durumlarda öğrenciler, birbirine dik iki ekseni düşünürler (Vinner, 1991).

Benzer bir süreç, kavramla ilk defa o kavramın tanımı yardımı ile karşılaşıldığında gerçekleşir. Burada kavram imajı hücresi boştur. Birçok örnekten ve açıklamadan sonra, bu hücre tamamen dolar. Ama bu tamamen kavram tanımını yansıtmaz. Benzer senaryolar 1* den 3* e yaşanır (Akt: Gülkılık, 2008).

Vinner (1991), kavram oluşum süresince kavram tanımı ile kavram imajı arasında var olan etkileşimi göstermek için aşağıdaki şekli kullanmaktadır.

Şekil–1 Kavram Oluşum Süreci

Şekil–1 de kavram oluşumunun uzun süreli bir süreci gösterilmiştir. Bu da gösterir ki bazı öğretmenler orta öğretim seviyesindeki (secondary ve collegiate level) öğrencilere, bu sürecin tek yönünü yaşatmaktadırlar. Bu durum Şekil–2 de gösterilmiştir. Öğretmenler, kavram imajının kavram tanımından şekillendiğini ve tamamen onun tarafından kontrol edildiğini düşünmektedirler (Vinner, 1991).

(31)

Şekil–2 Formal Tanımın Bilişsel Gelişimi

Kavram oluşum sürecine ek olarak ayrıca, problem çözme ve görev performans süreçleri de mevcuttur. Bilişsel bir görev, bir öğrenciyi meraka düşürdüğü zaman, kavram imajı ve kavram tanım hücrelerinin aktif hale geldiği varsayılır. Daha önceden de bahsettiğimiz gibi, çoğu ortaokul ve lise öğretmeni verilen entelektüel görev performansı içeren entelektüel sürecin aşağıdaki üç şekilden biriyle sistematik olarak açıklanmış olmasını beklerler.(şekiller sadece sürecin içerdiği kavram tanımı ve kavram imajı görünümlerini göstermektedir)Şekillerdeki oklar bilişsel sistemin görevini yaptığı farklı yolları gösterir (Vinner, 1991).

(32)

Şekil–4 Tamamen Formal Öğretim

Şekil–5 Sezgisel Düşünce ile Öğretim

Şekil 3 ve 5 teki bütün süreçlerin genel özelliklerindeki yanılsama aşağıda

verilmiştir: Teknik içerikli bir problemle karşılaşıldığında bilgileri birleştirme sisteminin nasıl çalıştığında bir sorun yoktur; kavramın tanımına başvurmadan önce çözümü formülleştirmek gerekmez. Bu tabii ki istenilen bir süreçtir. Aksi takdirde uygulama farklıdır. Bilişsel sistemin doğasına aykırı olacak şekilde geliştirmek zordur ve hem kavram imajını şekillendirirken hem de bilişsel bir iş üzerinde çalışırken tanımlara başvurmaya sevk etmek zordur. Aşağıda, uygulamada daha çok kullanılabilecek bir model görülmektedir (Vinner, 1991):

(33)

Şekil–6 Sezgisel Yaklaşım

Burada kavram tanımı hücresine problem çözme sürecinde hiç başvurulmamıştır. Günlük yaşamdaki düşünce alışkanlıklarımız, formal tanıma başvurmaya ihtiyaç duyduğumuzu fark etmeden, idareyi ele almıştır. Kavram imajına başvurmak genelde işe yarar, bu da insanların kavram tanımına başvurmalarını gerekli kılmaz. Belirli bilişsel işlerde kavram imajı ile bağlantı kurarız fakat farklı durumlarda aynı imajın tekrar canlanabileceğini iddia etmiyoruz. Analizciler, bilişsel sistemin sadece bir kısmını anlatmaktadırlar ki bu kısım, bir bilişsel iş üzerinde çalışırken aktif hale geçmektedir. Şu da açıktır ki teknik içerikli durumlarda kavram imajı kendi başına yeterli olmayabilir (Vinner, 1991).

2.3. Matematiksel Anlayış

Matematiksel anlayış, kavramları idrak etme, bu kavramlarla günlük dil veya fiziksel objeler arasındaki ilişkiyi kurma olarak düşünülebilir. Böyle bir idrak etme aynı zamanda bu ilişkilerdeki benzerliklere dayanan işlem ve süreç yeteneklerini de içermelidir. Matematiksel anlayış bu ilişkilerin de ötesinde „Bu nasıl yapılır?‟ sorusundan farklı olarak „Küçük bir parça matematik nasıl çalışır?‟ tabanına oturtulur. Bu yüzden, derin matematiksel anlayış öncelikle ilişkisel (relational) bir anlayış olmalıdır (Skemp,1976). Bilinç, kavramlar için daha ileri düzeyde düşünebilsin diye matematiğin doğası basit işlemler yardımıyla otomatik bir hale sokulur. Bu da, işlemsel anlayış matematiksel anlayışın büyük bir parçasını oluşturur ve ilişkisel anlayış var

(34)

olduğunda gözlemlenebilir, anlamına gelmektedir. İşlemsel anlayışı ezbere öğrenmeden ayırt etmek her zaman kolay olmayabilir. Bir ödevi ya da işi herhangi bir fikre sahip olmadan sadece tesadüfî bir şekilde önceki zamanda yaptığı gibi yapma yeteneği matematiksel bir anlayış olarak kabul edilemez (Pirie,1988).

Aynı şekilde sadece dil veya gösterim yanlış eşleştirmeleri matematiksel anlayıştaki eksikliğe delil olarak kabul edilemez. Bir öğrenci, her ne kadar öğretmen tarafından sunulan anlayış ve içeriklerden kısmen faydalansa da kaçınılmaz bir şekilde kendi kavram çerçevelerini oluşturacaktır. Sıklıkla kullanılan bir örnek olan kesirlerde toplamayı düşünelim (Hart, 1981; Kerslake, 1986). Bazı öğrenciler ezbere öğrenmiş olmalarına ya da az bir matematiksel anlayışa sahip olmalarına rağmen

sonucuna ulaşabileceklerdir. Başka bir öğrenci ise „nin „b bölü c (b out of c)‟ anlamına geldiğini bilmesi ve bununla ilgili verilen bir testi başarıyla çözmesine rağmen sıklıkla gözlenen bir hataya düşmüş ve anlayışa dayanan matematiksel muhakemeyi

düşünüp sonucuna ulaşmıştır (Confrey,1987).

Yukarıdaki örnekten de açıkça görüldüğü gibi matematiksel anlayış, bazı sorulardan oluşan testlerle belirlenemez. Matematiksel anlayışın varlığı direk olarak ölçülemez fakat çıkarımda bulunulabilir. Böyle bir çıkarıma öncülük edecek önemli elemanlar, kavramlar arasındaki ilişkilerin varlığında veya veride, dilde ya da sağlanan içerikte değişikliklerle karşılaşıldığında sürece adapte olma yeteneğinde farkındalık gösterebilir. Matematiksel anlayışın derecelerinin delillerinin bir hassas bir röportaj sonucu ortaya çıktığı zamanlar da gelecektir. Hatta daha ileri analizlere ihtiyaç duyulmadan matematiksel anlayışın eksikliği ya da varlığı gösterilebilecektir (Pirie ve Schwarzenberger, 1988).

Acaba neden pek çok insan için matematikle alakalı ilişkiler bu kadar olumsuzdur? Eğer „İnsanlar nasıl öğrenir?‟ penceresinden bakarsak üç temel prensip karşımıza çıkar:

1) Öğrencinin matematiksel anlayış kapsamında ilişki kurma, yapılandırma ve saf hale getirme yerine sezgisel yaklaşımla sınıfa gelmesi,

(35)

2) Matematik öğretiminin, öğrencinin muhakeme yeteneğinin üzerini örtmesi ve pek çok kural ile işlemin anlayarak matematik yapmayı engellemesi, başka bir deyişle matematik yapmak için gerekli olan yetenek ve yeterliliklerinin organize edilmesi yerine temel matematik kavramları üzerine yoğunlaşılması,

3) Bu yetenek ve yeterliliklerin matematik öğretiminin tümünü kapsaması ya da merkezine oturması ve öğrencilerin bilişsel stratejileri kullanmayarak işlemsel bilgi kazanımını matematik yapmadan ayrı tutmaları (Fuson, Kalchman ve Bransford, 2005)

Pirie ve Kieren (1994)‟e göre matematiksel anlayış süreci ilkel bilme (Primitive Knowing) ile başlar. Buradaki ilkel bilme düşük seviyede matematik değil matematiksel anlayışın büyümeye başladığı aşamadır. İkinci aşama ise öğrenene önceki bilgisinin fark ettirildiği ve bunu yeni durumlara nasıl uyarlayacağının sorulduğu aşamadır. Bu aşama imaj oluşturma (Image Making) aşaması olarak adlandırılır. Üçüncü aşama ise öğrenenin imaj sahibi (Image Having) olduğu aşamadır. Bu aşamadaki imaj sahibi belirli aktiviteleri yapmadan zihinsel inşalar yapar duruma gelmiştir. Öğrenen, belirli özelliklere sahip içerik oluşturabilmek için farklı imajları birleştirebilme yeteneğini elde ettiğinde ise dördüncü aşamayı tamamlamış olur. Bu aşama da özelliği fark etme (Property Noticing) olarak adlandırılır. Beşinci aşama biçimlendirme aşamasıdır ki bu aşamada öğrenen önceki sahip olduğu imaja bağlı olarak yeni bir metod oluşturur. Öğrenen, formal bir aktiviteyi koordine etme ya da yansıtma ve bu durumları teorem olarak ifade etme aşamasına gelirse bu aşama gözlemleme (Observing) aşaması olarak adlandırılır. Yapılandırma (Structuring) aşaması ise formal gözlemlerin bir teori olarak düşünülmesine teşebbüs edildiği aşamadır. Son aşama ise yaratma (Inventising) aşamasıdır. Bu aşamada öğrenen verilen bir konu hakkında tam bir matematiksel anlayışa sahiptir ve hatta yeni bir kavram oluşturma adına da özgün sorular oluşturma potansiyelindedir.

(36)

PK- Primitive Knowing IM- Image Making IH- Image Having PN- Property Noticing F- Formalising

O- Observing S- Structuring I- Invetising

Şekil - 7 Matematiksel Anlayışta Gelişim

Pirie ve Kieren (1994) bu modellerinde matematiksel anlayışı, durgun bilgi edinimi ve uygulaması gerektiren içselleşmiş ve zihinsel süreçlerden farklı olarak görmektedirler. Bunun yerine anlayışı kazanılmış belli sonuçlardan öte hareketli bir süreç olarak tanımlamışlardır. Özellikle matematiksel etkileşimler (başka insanlarla veya çevre ile) bireyin matematiksel anlayışını belirler.

Matematiksel anlayış belli kural ve sınırlandırma içermeyen pek çok aşamaya sahiptir. Anlayış hiçbir zaman sınırlı ya da tamamlanmış bir olamaz, her zaman açık uçludur. Anlayışa sebep olan durumlar kesin bir şekilde hiçbir zaman bilinemez ve anlayışı önceden belirlenmiş sonuçları tahmin ederek mekanik bir yolla elde etmek mümkün değildir (Nesher, 1986).

(37)

2.4. Eğim Kavramı

Fonksiyon kavramı, matematiksel kavramlar ve işlemler arasında ilişki kurmada ve farklı içeriklere sahip alanlar arasında bağlantı oluşturmada birleştirici bir fikir olarak kullanılabilir. Fonksiyonlar aynı zamanda gerçek hayat durumları için modeller de sunar (Day, 1995). Fonksiyonel ilişkilerle sıklıkla karşılaşıldığı için fonksiyonla ilgili araştırma ve çalışmalar öğrencilerin dünyasından seçilen örneklerle başlamalıdır (NCTM, 1989). Doğrusal fonksiyonlar ise öğrencilerin dünyasında en yaygın olanıdır. Doğrusal fonksiyonlar, niceliklerin lineer birleşmelerini, sabit artma ve azalma durumlarını, en kısa mesafe olarak doğruları ve eğrilerin yaklaşımını temsil ederler (Usiskin, 1989).

Doğrusal fonksiyonların tanımlanmış özelliklerinden biri de eğim kavramıdır. Fonksiyonun, dinamik bir ilişkiye sahip iki değişkenden oluştuğu düşünüldüğünde, eğim bir değişkendeki değişim oranının, diğer değişkendeki değişime sebep olması olarak ifade edilebilir. Doğrusal fonksiyonlarda bu değişim oranı sabittir. Doğrusal bir fonksiyon geometrik olarak bir doğru gibi düşünüldüğünde doğrunun eğimi sabittir (Stump, 1996).

Eğim birkaç farklı formda düşünülebilir. Eğim bir doğrunun özelliği anlamında geometrik (geometric) olarak şöyle tanımlanır: ve birbirinden farklı iki nokta olmak üzere bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimi

olarak tanımlanır.

Dik doğruların eğimi sıfır iken, yatay doğruların eğimi tanımsızdır.

Eğimi cebirsel (algebraic) olarak da tanımlayabiliriz. Çeşitli parametrelere sahip y=mx+b lineer denkleminde eğim m‟dir. Lineer bir denklem bu şekilde yazılırsa sadece denkleme bakarak eğim belirlenebilir. Fakat lineer denklem, standart form olan ax+by=c gibi daha faklı şekillerde yazılırsa, eğimi belirlemek için çeşitli hesaplamalar gerekecektir.

Eğim aynı zamanda fiziksel objelerin dikliği olarak da tanımlanır. Charles, Thompson, Garland, Moresh ve Ross (1996) günlük hayattan örnekleri aşağıdaki gibi vermişlerdir:

(38)

„Günlük dilde düz veya dik olmayan nesneleri tanımlamak için eğim, dik, eğik gibi kelimeleri kullanırız.‟

„Eğim usta kayakçılar içindir.‟ „Otoyol deprem yüzünden eğildi.‟

„Çatıdaki eğim karın kaymasına neden oldu.‟ „Yolun eğimi yaklaşık %6‟dır.‟

„Hendek, kuyuyu boşaltmak için yeterince eğimli değil.‟

„Bir doğru da eğime sahiptir. Eğimi bir doğrunun eğikliği ya da dikliği olarak düşünün. Bazı yüzeyler diğerlerine göre daha yatıktır, yani bir doğrunun eğimi başka bir doğrunun eğiminden daha farklı olabilir. ‟

Eğim trigonometrik olarak bir doğrunun x ekseni ile yaptığı dar açının tanjantıdır. m=tan olarak gösterilir.

Herhangi bir a niceliğindeki değişimin, herhangi bir b niceliğindeki değişime oranına a niceliğinin değişim oranı denir. Eğim, günlük hayat durumlarında fonksiyonel ilişkileri içeren değişimin oranı olarak yorumlanabilir. Lineer bir fonksiyonun grafiğinin eğimi, bağımlı değişkendeki artma veya azalmanın oranını gösterir. Burada da eğimin fonksiyonel (functional) yönden tanımını görmüş olduk.

Eğim bir orandır. Oran ise artan iki niceliğin kıyaslanmasının sonucudur (Thompson, 1994). Charles ve diğerleri (1996) eğim ve oranı şu şekilde ilişkilendirir:

„Bir doğru düşünülür ve üzerinde iki nokta alınırsa, soldaki nokta sağdaki noktaya doğru hareket ettirildikçe y eksenindeki değişimin x eksenindeki değişime oranı doğrunun eğimini verecektir.

‟

Böylece eğim kavramının geometrik, cebirsel, fiziksel, trigonometrik, fonksiyonel ve oransal temsilleri özetlenmiş oldu. Bu çalışmada da öğretmen adaylarının eğim kavramının bu farklı temsilleri arasındaki ilişkiyi kurup kuramadıkları ve aynı kavrama ait farklı gösterimlerin farkına varıp varamadıklarına bakılacaktır.

(39)

2.5. İlgili Araştırmalar

2.5.1. Eğim Kavramı ile İlgili Yapılan Araştırmalar

Matematik eğitiminde eğim kavramı ile ilgili çalışmaların önemi NCTM (1989) vurgulanmıştır. Eğim kavramının öneminin pek çok platformda tartışılıp, sorunlara çözüm aranmasına rağmen öğrenciler halen bu kavramla ilgili zorluklar yaşamaktadırlar.

Yaklaşık 20 yıldır pek çok araştırmacı bu zorlukları keşfetmeye çalışıyor (Barr, 1980,1981; Moschkovich, 1999; Schoenfeld, Arcavi ve Smith, 1993). Öğrenciler özellikle, eğimi iki sayının oranı olarak düşünmede (Barr, 1980,1981), lineer fonksiyonlar ve onların grafiklerini yorumlamada (Moschkovich, 1999), lineer denklemler ve grafikleri arasında bağ kurmada (Kerslake, 1981) ve grafikler ile değişim oranı düşüncesi arasında ilişki kurmada (Bell ve Janvier, 1981) güçlük çekiyorlar. Yakın geçmişte yapılan çalışmalar ise bu zorlukların başında bilişsel durumların geldiğini söylüyor (Chiu, Kessel, Moschkovich ve Munoz-Nunez, 2002; Hauger, 1997; Stump, 2001; Zaslavsky, Sela ve Leron, 2002)

Bu bağlamda başta eğim kavramı olmak üzere belli başlı geometrik kavramlarla ilgili yapılan çalışmaları aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:

Beck (2000)‟in ‘An Evaluation of Student Learning and Engagement in a Technology-Enhanced Algebra Unit on Slope‟ isimli doktora tezinde Topological Panorama Camera (Topocam) kullanımının eğim kavramı öğretimi üzerindeki etkililiği araştırılmıştır. Deney ve kontrol gruplu bir çalışma benimsenmiş, üç sınıfta geleneksel eğitim gerçekleştirilirken sadece bir sınıfta Topocam uygulamalı olarak ders işlenmiştir. İstatistiksel anlamda araştırma sonuçlarına bakıldığında ise gelişmiş teknoloji kullanılarak dersin işlendiği sınıfta eğim kavramını anlamada ve bu kavramı başka durumlara transfer edebilmede önemli bir farklılık görülmüştür. Aynı zamanda Topocam‟ la öğrenme esnasında öğrencilerin daha aktif bir şekilde derse katıldıkları gözlemlenmiştir.

(40)

Zaslavsky, Sela ve Leron (2002)‟in „Being Sloppy About slope: The Effect of Changing the Scale‟ isimli çalışmalarında eğim, ölçü ve açının cebirsel ve geometrik temsilleri arasında ilişki kurulması konusunda araştırmaya katılanların karmaşa yaşadıkları ispatlanmıştır. Bu çalışma, 11. sınıf öğrencileri, öğretmen adayları, öğretmenler, matematik eğitimcileri ve matematikçilerden oluşan toplam 124 kişi ile gerçekleştirilmiştir. Sonuç olarak ise, matematik öğrenirken aşikâr ya da örtülü pek çok zan ve kurala maruz kalındığı, çoğu zaman da bu zanların ve sonuçların farkında olunmadığı görülmüştür.

Reiken (2008)‟in „Coming to Understand Slope and the Cartesian Connection: An Invesitigation of student Thinking‟ isimli doktora tezinde bu konuda yapılan önceki çalışmaları tarayan araştırmacı, bu konular çok önemli olmasına rağmen lise öğrencilerinin bu kavramları anlamada güçlük çektiklerini fark etmiştir. Öğrenciler çoklu temsiller ya da geleneksel ödevlerden oluşan görevlerini yaparken araştırmacı verilerini toplamıştır. Çalışmanın ilk aşamasını, öğrencilerin bu görevlerinin ortasında iken bu kavramlar hakkında nasıl düşündükleri oluşturmuştur. Araştırmacı, öğrencilerin kartezyen koordinat sistemini iki farklı bakış açısından, eğim kavramını ise beş değişik yoldan düşündükleri sonucuna ulaşmıştır.

Stump (2001) çalışmasında öğrencilerin eğim kavramını diklik ve değişim oranı yönünden nasıl anladıklarına bakmıştır. Bunun için 22 lise öğrencisi için birbirinden farklı eğim görevleri hazırlamıştır. Öğrencilerin eğimi, diklikten ziyade değişim oranı olarak yorumlamaya eğimli oldukları görülmüştür. Pek çok öğrenci için eğimin cebirsel ifadesini grafiksel gösterime dökmek zor olmuştur. Öğrencilerin eğimin farklı temsilleri arasında bağlantı kurarken çelişkiye düşmelerinin sebebi görsel olarak gördükleri ve analitik olarak bildiklerini bağdaştıramamaları olabilir.

Eğimin niceliksel ve niteliksel farklarını anlamak da öğrenciler için başka bir güçlüktür. Moschkovich (2004) çalışmasında 16 yaşında bir kız öğrenci ile doğruların eğimini içeren problemler üzerinde çalışmıştır. İki bölüm halinde 3 saatik bir çalışmanın ardından öğrenci Dynamic Grapher isimli bir bilgisayar programı kullanmış ve altı gün sonra öğrenci ile tekrar görüşülmüştür. Öğrencinin eğim kavramı hakkındaki tutumunun zaman içinde değiştiği görüşmüştür. Başlangıçta öğrenci bir doğrunun eğimini nasıl

(41)

hesaplayacağını bilemezken, çalışma sonunda eğim formülleri kullanarak doğruların eğimlerini hesaplar hale gelmiştir.

Önür (2008) „Effects of Graphing Calculators on Eight Grade Students‟ Achievement in Graphs of Linear Equations and Concept of Slope‟ isimli yüksek lisans çalışmasında grafiksel hesap makinelerinin sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemlerin grafiğini çizme ve eğim konusu üzerine etkilerini araştırmıştır. Deney ve kontrol grubundaki öğrencilerin başarısı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunmuştur. Çalışmanın sonuçları grafiksel hesap makinelerinin ilköğretim okulu seviyesinde kullanıldığı zaman öğrencilerin başarısı ve bazı yönlerden de tutumları üzerinde olumlu etkileri olduğunu göstermiştir.

Demir (2009)‟in „Effects of Virtual Manipulatives with Open- Ended Versus Structured Questions on students Knowledge of Slope‟ isimli doktora tezinde iki farklı yaklaşım kullanarak bilgisayar tabanlı, dinamik ve görsel bir program olan Virtual Manipulatives (VMs)‟in öğrencilerin eğim kavramını öğrenmesi üzerindeki etkileri araştırılmıştır. Araştırmacı çalışmada deney ve kontrol grupları kullanmayı tercih etmiştir. Sonuç olarak ise öğrencilerin matematiksel bilgilerini geliştirmek için VMs kullanımının iyi bir yol olduğu ortaya çıkarılmıştır.

Adamson (2005) „Student Sense-Making in an Intermediate Algebra Classroom: Investigating Student Understanding of Slope‟ isimli doktora çalışmasında öğrencilerin eğim kavramı hakkındaki anlayışalarına yardım etmek için 7 farklı durum ve öğerncilerin aktif olabileceğini düşündüğü bir sınıf atmosferi oluşturmuştur. Bulgular öğrencilerin eğim kavramını tam anlamıyla kavramada bu modelleme yaklaşımının etkili olduğu sonucunu göstermiştir. Bu yaklaşım aynı zamanda öğrencilerin modelleme durumunu anlamalarına ve tahmin yürütebilmelerine olanak sağlamıştır. Sınıf içi etkileşimler, öğrencilerin eğim kavram ile ilgili bilgilerini paylaşma, kıyas yapma, değerlendirme, tartışma ve ifadelerini yansıtma konusunda yardımcı olmuştur.

Stump (1996) „Secondary Mathematics Teachers‟ Knowledge of the Concept of Slope‟ isimli doktora tezinde ortaokul matematik öğretmenlerinin eğim kavramı hakkındaki kavram tanımları ve imajları, pedagojik alan bilgileri ve matematiksel anlayışları araştırılmıştır. Aynı zamanda eğim kavramının farklı temsilleri arasındaki