Ayça’nın İşlemsel Anlamaya Yönelik Durumu

Ayça‟nın, eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 5 numaralı ve 6 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İki durumda da Ayça‟nın, bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kuruduğu görülmüştür.

Ayça 5 numaralı sorudaki şıkların hepsine istenilen düzeyde ikna edici cevaplar verebilmiştir. (d) şıkkını cevapladıktan sonra ise Ayça‟nın yorumu aşağıdaki gibi olmuştur.

“ =3. Bu da zaten eğimi veriyor. Demiştik ya türev, bu zaten biraz da türev. Hani h gibi bir değer kadar artarsa ikisi de x‟i h kadar artarsa görüntüsü de artınca o ikisinin oranını biz hep türevle ilişkilendirdik. Hakikaten bunun (y=3x-1 denklemini kastederek) türevini aldığımızda x‟e göre türevini aldığımızda 3 sonucunu buluyoruz. Bu da zaten eğime eşit oluyor.”

Araştırmacı: “Sen y=3x-1‟e baktığında direk eğimi bulabilirdim diyorsun. Peki, burada sana neyi keşfettirdi o zaman?”

Ayça: “Burada bana y‟deki değişim miktarının x‟e oranının yani x‟deki değişime oranının bize eğimi verdiğini gösteriyor. Değişimler oranı eğimi veriyor.”

Ayça‟nın bu soruya verdiği cevaplar incelendiğinde eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasındaki bağlantıyı başarıyla kurduğu ve eğim kavramının aynı zamanda eksenlerdeki değişimlerin bir oranı olduğunu rahatlıkla söylediği gözlenmiştir.

Ayça rumuzlu öğretmen adayı, öncelikle çeşitli çaplarda diskler düşünüp bu disklerin çap ve çevrelerini grafiğe dökerek 6 numaralı soru için yorumlarına başlamıştır.

“Mesela çapı 2 olsa, çevresi 2π olur direk. Mesela 4 olsa 4π olacak. Şöyle bir şey (Grafiği çizer). Sıfırken zaten çevresi olmaz. Şu noktadan geçecek. Eğimi yine değişim miktarlarını bulursam… Şuraya Δy, şuraya Δx dersem 2π/2 den π olarak bulurum. Bu da çapın π katının çevreye eşit olduğunu gösterir bana.”

Eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki bağlantıyı kurup, bulduğu sonucu yorumlayan Ayça, eğim kavramının cebirsel temsilinden de faydalanarak eğimin burada sabit olduğunu ifade etmiştir.

Araştırmacının “Başka bir şey ifade ediyor olabilir mi peki eğim?” sorusu üzerine biraz daha düşündükten sonra çapın gördüğü yay uzunluğu ile ilgili de bir yorum yapmak istese de cümleleri düzgün ifade edemediğini belirterek bu yorumundan vazgeçmiştir.

Ayça‟nın, eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 7 numaralı ve 11 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İki durumda da Ayça‟nın, bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kuruduğu görülmüştür.

Ayça, 7 numaralı soru için yorumlarına bağımlı ve bağımsız değişkenin tanımlarını yaparak başlamıştır.

“Bağımsız değişken değiştirebileceğimiz, üzerinde oynayabileceğimiz, kontrol edebileceğimiz diyelim. Bağımlı değişken bu kontrollerimiz sırasında o bağımsız değişkenin aldığı değerlere göre değişebilen değişken.”

Araştırmacı: “Bu soruya uyarladığımızda hangisi bağımlı, hangisi bağımsız?”

Ayça: “Dakika bağımsız, para ise bağımlı… Dakikayı değiştirebiliyoruz sonuçta, değişen bu dakikaya bağlı olarak da ödediğimiz ücret de değişiyor. Bu sebepten bu bağımlı değişken oluyor.”

Verilenlere bağlı olarak iki tane denklem oluşturan Ayça, bilinmeyenleri bulmuş ve (a) şıkkında istenilen denklemi olarak oluşturmuştur. Araştırmacı, bu aşamaya kadar grafik çizmeyen Ayça‟dan grafik çizmesini istemiştir. Bulduğu denklemde sırasıyla x ve y değerlerine sıfır veren Ayça, denklemin eksenleri kestiği noktaları tespit etmiş ve denklemin grafiğini çizmiştir.

Şekil–10, Ayça’nın 7 numaralı soruya ait çizimi

“Eğim pozitif olduğu için bizim konuşma süremiz arttıkça ücret de artacak. Ama biz ilk şurası kaçsa artık ilk o kadar dakikayı biraz daha kazançlı konuşmuş olacağız. İlk 5 dakikada konuştuğum, 10 dakikada konuştuğumdan daha avantajlı olacak. Beş dakika beş dakika konuşup kapatsam daha kardayım. Çünkü ilk şurada (grafiğin altta kalan kısmını göstererek) eksi ücrette olacak. Ücret ödemeyeceğim.”

Araştırmacı: “Eğimle nasıl ilişkilendirirsin peki bunu? Eğimi 1,08 buldun.”

Ayça: “Eğim 1‟den büyük olduğu için daha fazla olacak herhalde şurada (grafiğin üstte kalan kısmını gösterir). Mesela şuradaki daha az olacak, daha az ödeyeceğim (grafiğin altta kalan kısmını gösterir).”

Diğer 5‟er dakikalık periyotlarda (0-5, 5-10, 10-15…) durumun ne olacağını çeşitli işlemlerle de ispatlayan Ayça, o periyotlardaki fazlalıkların eğimin 1‟den büyük olmasından kaynaklandığını söylemiştir. İstenilen grafiği de eksiksiz çizen Ayça‟nın yaptığı yorumlar sonucunda eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki bağlantıyı kurduğu görülmüştür.

Ayça,11 numaralı soruda ilk olarak y ekseninde sabit bir zaman belirlemiş, bu sabit zaman diliminde araçların ne kadar yer değiştirdiklerine bakmış ve aynı zaman diliminde daha fazla yer değiştirdiği için aracının daha hızlı olduğuna karar vermiştir. Yol-zaman grafiğinden hıza geçişini ise aşağıdaki gibi anlatmıştır.

“Yoldaki değişimin zamandaki değişime oranı hızı veriyor. Yani yol-zaman grafiğinin eğimi hızı veriyor.”

Ayça sorunun (b) şıkkı için yorumlarına ise şöyle devam etmiştir.

“Hızlarının eşit olduğu bir an yoktur. Çünkü bu eğim yani bunların ikisinin de eğimi sabit ve sabit bir hızı verecek yani hızları hep aynı gidecek, sabit hızla hareket edecek bu ikisi de. Zaten aracının daha hızlı olduğunu söylemiştim. O yüzden hızlarının eşit olması imkânsız.”

Birim zamandaki yer değiştirmenin zamana oranını hız olarak ifade eden, kısa ve öz bir şekilde hangi aracın daha hızlı olduğunu söyleyen Ayça, eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi başarıyla kurmuştur. Bu araçların hızlarının hiçbir zaman eşit olmayacağını da eğimle ilişkilendirerek ve (a) şıkkına verdiği cevapla destekleyerek yanıtlamıştır.

Ayça, eğim kavramının cebirsel temsilini içeren 8 numaralı soruya denklem yorumu ile başlamıştır.

“Bu denklemi şöyle yorumlarım. t ne kadar artarsa sabit olduğundan şurası artacak (denklemin sol tarafını gösterir). Burası sabit (a ‟ı gösterir), bu da sabit bir sayı ( ‟ı gösterir). Doğal olarak buranın (l‟yi gösterir) da artması gerekecek. Dolayısıyla sıcaklık ve boyun doğru orantılı olduğunu düşünüyorum.”

Şekil–11, Ayça’nın 8 numaralı soruya ait çizimi

“Grafiğe dökersek mesela, sıcaklıkla boy grafiğine… Mesela başlangıçtaki olsun, şurası l diyelim. , t… Mesela şöyle bir şey olacak. Doğal olarak eğim buradaki değişimin buradaki değişime (eksenlerdeki değişim oranlarını gösterir) oranı olacağı için a ‟ın eğim olduğuna karar veririm.”

Araştırmacı: “Peki eğimle ilgili yorumlarını alabilir miyim? Eğim nelere bağlı, nelerden bağımsız?”

Ayça: “Eğim maddenin cinsine bağlı olur çünkü şu a sabiti maddenin cinsi ile alakalı bir şey. Yine da maddenin ilk boyu artık ne kadar boyutta bir şeyse. Sonuçta ikisine de bağlıdır.”

Araştırmacı: “O zaman şimdi sıcaklıktan bağımsız mı oldu eğim? İlk sıcaklık ve son sıcaklıktan?”

Ayça: “Bağımsız diyorum. Çünkü değişimine bağımlı sonuçta, şuna ve şu farkına (grafikte eksenler arasındaki değişim oranını göstererek).”

Araştırmacı: “Farklarına bağımlı ise kendilerine de bağımlı olmaz mı?”

Ayça: “Ama şöyle bir şey olması lazım… (Yine denkleme döner ve ilk yaptığı yorumu tekrarlar). Eğer burası sabitse şunlar da sabit sonuçta. Bu ne kadar artarsa (sıcaklık), bunun da o kadar artması (boy) lazım diye düşünüyorum.”

Ayça eğim kavramının cebirsel temsilini gerektiren bu soruda denklemi başarıyla yorumlamış, eğimi bulmuş ve eğimin nelere bağımlı nelerden bağımsız olduğunu açıklamıştır. Eğimin ilk sıcaklık ve son sıcaklıktan bağımsız olmasına getirdiği yorum ise dikkate değerdir.

Ayça, 9 numaralı soru için koordinat sisteminde P(3,2) noktasını belirledikten sonra orijinden geçen bir doğru çizmiştir. Daha sonra ise bu doğrunun orijinden geçip geçmediği noktasında kararsızlık yaşayan Ayça, çizdiği doğruyu silmiştir.

Şekil–12, Ayça’nın 9 numaralı soruya ait çizimi

“O zaman şöyle herhangi bir noktadan geçse desem. Şurası da yapsa, şuraya da herhangi bir a değeri desem. Şuradaki (y eksenindeki) değişim 2 olur, şuradaki (x eksenindeki) değişim 3-a olur.

‟yı tan ‟a eşitlersem a‟yı 3-2

bulurum.”

Bulduğu sonuçtan, doğrunun x eksenini negatif bir değerde kestiğini anlayan Ayça grafikte düzeltme yapmadan sadece “Negatif, şu tarafta bir yerde kesmesi lazım.” şeklinde cevap vermiştir.

Araştırmacı: “Şimdi burada ilk ‟lik deyince pozitif yönlü düşündün. Peki, negatif yönlü olsaydı ne değişirdi eğimde? Eğim değişir miydi?”

Araştırmacının bu sorusu üzerine Ayça, farklı bir koordinat sistemi üzerinde yine (3,2) noktasından geçen fakat bu defa x ekseni ile negatif yönlü yapan bir başka doğru çizmiştir. Bir önceki durumda yaptığı işlemlerin benzerini tekrarlayarak bu kez eğimi 2 -3 olarak tespit eden Ayça, doğrunun yönü değiştiği için eğimin az önceki durumun tersi yani negatifi olduğunu söylemiştir. Eğimin nicelik olarak aynı kaldığını, sadece işaretinin farklı olduğunu eklemiştir.

Şekil–13, Ayça’nın 9 numaralı soruya ait çizimi

Araştırmacı: “Eğimin negatif olması ne ile alakalıdır o zaman?”

Ayça: “Yönüyle, açının pozitif veya negatif yönlü olmasından kaynaklanıyor.” Ayça‟nın yaptığı yorumlardan ve çizdiği grafiklerden eğim kavramının trigonometrik temsilini başarıyla ifade ettiği görülmüştür. Her ne kadar ilk bakışta çizdiği grafikteki doğruyu orijinden geçirse de daha sonrasında hatasını fark eden Ayça, gerekli matematiksel işlemleri yaptıktan sonra doğrunun geçeceği yeri tespit etmede problem yaşamamıştır. Doğrunun x ekseni ile negatif yönlü açı yapması durumunu da aynı şekilde analiz eden Ayça, eğimin pozitif veya negatif olmasını doğrunun yönü ile ilişkilendirmiştir.

Ayça, 10 numaralı soru için eğimleri kesinlikle birbirinin iki katı değildir diyerek yorumlarına başlamıştır. Daha sonrasında ise ve ‟nın trigonometrik ifadelerini düşünmüştür. olarak ifade etmiş fakat yorumlarını eksenlerdeki değişimin oranları üzerinden devam ettirmiştir.

“ ‟nın eğimi daha büyük olur. Çünkü sonuçta y‟deki değişim bölü x‟deki değişim diyorum. Şöyle düşünürsek mesela şuradan bir çizgi çeksek (k doğrusundan x eksenine dik bir doğru indirir), şuradaki değişim ve şuradaki değişimi bulacağım. Aynı şekilde x‟i alsak burada şöyle bir şey daha az yani y‟deki değişim daha az, ama x‟tekiler aynı olacak. O yüzden k doğrusunun eğimi daha büyük derim.”

Araştırmacı: “Peki bunu direkt şekle bakarak söyleyebilir misin, tanjant vb… düşünmeden?”

Ayça: “Evet söyleyebilirim. Çünkü bu k doğrusu biraz daha dik duruyor. y‟si daha büyük. Mesela x‟e 1 verdiğimizde y‟yi daha uzaklara götürecek. Ama diğeri biraz daha yatay olduğu için mesela x‟e 1 versem yine y‟yi daha yakın bir yere götürecek gibi gözüktüğü için k‟nin eğiminin daha büyük olduğunu düşünebilirim.”

Ayça‟nın eğim kavramının trigonometrik temsilini başarıyla ifade etmesinin yanında eksenlerdeki değişim oranlarını ve doğruların dikliğini de kullanarak yorumlarını genişletmesi dikkat çekicidir.