Aylin’in İşlemsel Anlamaya Yönelik Durumu

Aylin‟in, eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 5 numaralı ve 6 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İlk durum Ayça‟nın, bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kurmasına rağmen ikinci durumda düşük seviyede kurduğu görülmüştür.

Aylin, 5 numaralı soruda dört şık için gereken matematiksel işlemleri yaptıktan sonra araştırmacının sorduğu sorular eşliğinde genel yorumlamalara gitmiştir.

Araştırmacı: “Bu şimdi neyi gösterdi sana? 3‟ü buldun.”

Aylin: “Yani oranı 3 yani katı şeklinde değişmiş yani oranı. Yani eğimi bunun. Bu doğrunun eğimi bize 3‟tür denir.”

Araştırmacı: “Peki sen bu işlemleri yapmadan başka bir yoldan da bu doğrunun eğimi y=3x-1‟in eğimine ulaşabilir miydin?”

Aylin: “Şuradan bu 3‟tür derim (x‟in katsayısını göstererek).”

Araştırmacı: “Neden bu kadar uzattı acaba meseleyi. Neyi görmeni istiyor?” Aylin: “O zaman hani x‟e bağlı oluyor y‟ye bağlı. İkisine de bağlı ya da x‟e bir a değeri verdiğinde y‟nin değeri denkleme göre bu şekilde olur. Yani x‟e ve y‟ye bağlı olduğunu gösterir ya da oranını almış işte eğimi.”

Araştırmacı: “Neyin oranını almış?”

Aylin: “Artış değerlerinin… Yani y ne kadar artıyorsa mesela şuradayken ya da şuradayken hani burada mesela daha farklı bir sayı verdiğimizde artışın oranının hep 3 olduğunu gösteriyor bize.”

Aylin‟in kurmuş olduğu cümlelerdeki bazı anlam karışıklıklarına rağmen eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasındaki bağlantıyı kurduğu düşünülmektedir. Araştırmacının bu sorudaki eğimin sabitliği ile ilgili sorduğu soruya ise “Evet sabittir. x ile y hangi değerleri alırsa alsın değişmeyecek.” cevabını vermiştir. Aylin‟in artış oranını ifade etmeye çalıştığı çizimi ise aşağıdaki gibidir.

Şekil–16, Aylin’in 5 numaralı soruya ait çizimi

Aylin, 6 numaralı soruda yarıçaplarını olarak belirlediği metal disklerin çevrelerini yine aynı cinsten bulup verilerini grafiğe dökmüştür. Çizdiği doğrunun sıfır noktasından geçmeyeceğini söylemiştir. Aylin‟in yarıçap ölçülerine belli sayısal değerler yerine bilinmeyenli değerler vermesi başlangıçta kafasını karıştırsa da araştırmacının soruları yardımıyla eğime ulaşmıştır.

Şekil–17, Aylin’in 6 numaralı soruya ait çizimi

Aylin: “Şuradan çevreyi biliyorumdur. Çapı da biliyorum. Direk oranlarsam eğimi bulabilirim. Sonuçta hep farklı çap değeri için farklı çevre olacak yani açı hepsinde aynıdır. Yani bence sabittir eğim. Eğer bu değerleri biliyorsam bulabilirim.”

Araştırmacı: “Biliyor musun peki?”

Aylin: “Ama bilmiyorum şu anda bana hiçbir şey vermediği için. ” Araştırmacı: “Senin elinde bir metre olsa bilebilir misin?”

Aylin: “O zaman bilebilirim. Çevresini ölçerim, çapını da ölçerim. Buradaki değerleri yerine yazdığım zaman zaten oradan, orandan bulmuş olurum.”

Araştırmacı: “Bana o zaman şimdi söyleyebilecek misin eğim eşittir şudur diye?”

Aylin: “Mesela şuna diyelim, buna diyelim, buna da diyelim. Burası olsa, bu olsa buradan dir. Buradan da eğim dir.”

Bu sorudaki eğime sayısal olarak ulaşan Aylin‟in, eğimi yorumlamada zorluk çektiği görülmüştür. Ulaştığı değer olan ‟yi olarak düşünmüştür. (Soruda çap- çevre değişkenlerinin gösterildiği bir grafik kullanılmasına rağmen Aylin çapı yarıçap olarak düşünüp eğim için π yerine 2π sonucuna ulaşmıştır). Eğimin sabit olduğunu söylemiş fakat nin sadece disklerin şekillerinde etkisi olduğunu söylemiştir.

“Çapı ne olursa olsun eğimi hep ‟dir. Yani çapa hangi değeri verirsek verelim çevresi yamuk yumuk değildir, şöyle daire şeklindedir (Şekiller çizer). Şöyle başlarsam bu şekilde tam ‟dir diyebilirim. Yani kafamda bu şekilde canlandırabilirim.”

Aylin bu soruda eğim kavramının geometrik temsilini ifade edebilmiştir, ancak cebirsel ve özellikle fonksiyonel temsil anlamında bir bütünlük kuramamıştır. Aylin‟in değişimin oranları hakkında ise hiçbir yorumunun olmaması dikkat çekicidir.

Aylin‟in, eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasında bağlantı kurmayı gerektiren 7 numaralı ve 11 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İki durumda da Aylin‟in, bu temsiller arasındaki ilişkiyi yüksek seviyede kuruduğu görülmüştür.

Aylin, 7 numaralı soruda öncelikle soru kökündeki verileri kullanarak eğime ulaşmaya çalışır. Yaptığı bazı işlem hatalarından dolayı eğimi bulma noktasında biraz güçlük çekmesine rağmen eğimi sonunda 1,08 olarak bulmuş ve (a) şıkkında istenilen denklemi oluşturmuştur. İlk aşamada denklemi orijinden geçirerek çizen Aylin‟e araştırmacı çeşitli sorular yöneltmiştir.

Araştırmacı: “Denklemdeki -0,20 neyi ifade eder?”

Aylin: “-0,20… Biraz daha şeyden başladığımızı, yani ilk belli bir dakikaya kadar ücret yok.”

Araştırmacının, “Nereden nereye kadar ücret yok?” sorusuna cevap arayan Aylin, çizimde yaptığı hatayı fark etmiş ve orijinden geçirdiği grafiği silmiştir. Herhangi bir işlem yapmadan tahmini olarak grafiğin geçeceği yerleri doğru olarak ifade etmiştir. Ücret ödemediği yerin ise grafiğin altında kalan zaman dilimi olduğunu söylemiştir. Araştırmacının, grafiği çizerken sayısal değerini tespit etmediği iki noktayı bulup bulamayacağını sorması üzerine Aylin‟in cevabı aşağıdaki gibi olmuştur.

“Oraları da bulabilirim. Sonuçta eğimi biliyorsam buranınki de aynıdır, yani düzgün bir doğru olduğu için, şu karşılıklı açılar birbirine eşit olduğu için ( açısı ile işaretlediği yerleri gösterir).”

Bu cevabıyla Aylin, bu doğrunun her yerinde eğimin sabit olduğunu da vurgulamıştır. Eğimin 1‟den büyük olmasını ise şöyle yorumlamıştır.

“Eğim 1‟den büyük olduğu için daha fazla para ödüyoruz her… Normalde ilk 5 dakikaya kadar 5,20 ödemişiz. Normalde düzgün doğrusal olsaydı (eğimin 1 ya da 1‟den küçük olma durumundan bahsettiği düşünülmüştür) 10,40 ödememiz gerekiyordu yani oran-orantı şeklinde hesap edersek. Ama eğimden dolayı daha fazla ödüyoruz 10 dakikaya kadar.”

Araştırmacı: “Nasıl konuşmak en ekonomik olur?”

Aylin: “5 dakikada bir kapatmak daha iyi olur herhalde. Ya da şuraya kadar (doğrunun grafiği x ekseninde kestiği noktayı göstererek) konuşup kapatmak, orada yazmıyor zaten.”

Yorumlarından anlaşıldığı üzere Aylin, eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki bağlantıyı kurmuştur. Sorunun (b) şıkkı için yaptığı yorumlar ise istenen düzeydedir. Özellikle üçgenlerin benzerliğini kullanarak bu sorudaki eğimin, doğrunun her noktasında sabit olduğunu ispatı ise dikkate değerdir.

Aylin, 11 numaralı soruda ise yol-zaman grafiğinin eğiminin hız-zaman grafiğini verdiğini söylemiş ve hız-zaman grafiği çizmeye çalışmıştır. Fakat sonrasında bazı değerleri bilmeden bu grafiği çizemeyeceğini ifade etmiştir ve yorumlarına şöyle devam etmiştir.

“ A noktasından başlamış. Yani daha öndeymiş, demek ki daha gerideymiş. Şimdi bu da hızlanarak gidecek.”

Aylin: “… Hayır hızlanmazlar. Sabit hızlı giderler. Çünkü bu doğrusal bir grafiktir. Yani doğrusal olduğu için, eğimi hız verdiği için de hızları sabit, eğim her zaman sabit olduğu için. t=2 saniyeye kadar bu ( ) zaten gidecek. Bu ( ) da arkasından gidecek. Bence her zaman önde olur yani.”

Aylin, araştırmacının“Hiç yakalayamayacak mı ‟yi?” sorusu üzerinde biraz düşündükten sonra yer değiştirmeden faydalanarak (a) şıkkını yanıtlamıştır.

“ ‟in hızı daha büyüktür galiba. Çünkü ,belli bir t anında ‟yi yakalamış. Bu ( ) zaten geriden başlamıştı, yani o kadar sürede arayı kapattı. Yani ‟in hızı daha büyüktür diyorum.”

Araştırmacı: “Bu soruyu eğim gözlüğünü takarak düşünürsen ne dersin?” Aylin: “Diklik açısından düşünürsem, , ‟ye göre daha dik olmuş oluyor. Eğimi daha fazladır diyorum o zaman. Eğimi fazla olduğu için hızı da fazladır.”

Aylin son olarak (b) şıkkını değerlendirerek yorumlarını sonlandırmıştır.

“Şimdi burada sabit hızla gidiyorlar dedik. Belli bir anda daha hızlı dersem zaten sabit hızla gittiği için hızı değişmemiş olacak. O zaman ikisinin hızı birbirine eşit diyemem ben hiçbir zaman.”

Aylin her ne kadar başlangıçta biraz zorluk çekse de soru ve yorumları üzerinde biraz düşündükçe hangi aracın daha hızlı olduğunu farklı bakış açıları sergileyerek tespit etmiş ve eğime dayanarak bu araçların hızlarının hiçbir zaman eşit olamayacağını söylemiştir. (a) ve (b) şıklarına tatmin edici cevaplar vererek eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi kurabilmiştir.

Aylin, eğim kavramının cebirsel temsilinin sorgulandığı 8 numaralı soru için ise grafik çizerek yorumlarına başlamıştır. Sadece kartezyen koordinat sistemini ve soruda verilen değerleri x ve y eksenlerine yerleştiren Aylin, herhangi bir doğru çizmemiştir.

Şekil–20, Aylin’in 8 numaralı soruya ait çizimi

“Sıcaklık arttıkça daha fazla uzama miktarı artar derim ben, grafiğe bu şekilde bakarım. Sıcaklık değerleri sürekli arttıkça…, ilk sabit değerini seçtik. Sıcaklığı ben artırdıkça, sonuçta burası artınca buranın da artması gerekecek (denklemin sağ ve sol taraflarını gösterir). O zaman benim l uzunluğumun da sürekli artıyor olması gerekiyor. Yani sıcaklık arttıkça genleşme de artar derim ben.”

Araştırmacı: “Genleşme sadece sıcaklığın artmasına mı bağlıdır?”

Aylin: “Ya burada metalin cinsine de bağlı. Yani metalin cinsine bağlı olarak az ya da fazla genleşebilir, artabilir o şekilde.”

Sorudaki denklemi, çizdiği grafiği de kullanarak yorumlayan Aylin, uzunluklar değişimini sıcaklıklar değişimine oranlayarak eğimi de a olarak bulmuştur. Eğimin hem genleşme katsayısına hem de ilk uzunluğa bağlı olduğunu söylemiştir. Bu yorumları genel çerçevede düşünüldüğü zaman Aylin‟in eğim kavramının cebirsel temsili konusunda bir problem yaşamadığı söylenebilir.

İlk başta eğimin sıcaklıktan bağımsız olduğunu vurgulayan Aylin, daha sonrasında eğimin sıcaklıktan bağımsız olup olmadığı konusunda kararsızlıklar yaşamış ve yorumlarını aşağıdaki gibi sonlandırmıştır.

“Tabi a değiştikçe ya da ilk boyu aynı kalacak ama farklı bir madde için mesela daha az uzayabilir ya da daha çok genleşebilir. Ona bağlı derim.”

Aylin‟in, eğim kavramının trigonometrik temsilini gerektiren 9 numaralı ve 10 numaralı soruya verdiği yanıtlardan elde edilen bulgular aşağıdaki gibidir. İlk durumda yüksek bir seviyede trigonometrik temsile sahip olan Aylin‟in, ikinci durumda düşük seviyede olduğu görülmüştür.

Aylin, 9 numaralı soru için çizdiği koordinat sisteminde tahminen yerleştirdiği doğru üzerinde üçgeni kullanarak uzunlukları tespit etmiştir. Sonrasında ise bu uzunluklardan hiç faydalanmadan ‟u göz önüne alarak direk

olarak cevap

vermiştir. Çizdiği grafik üzerinde tekrar düşünen Aylin çelişkiye düşmüştür.

Şekil–21, Aylin’in 9 numaralı soruya ait çizimi

“Eğim budur diyorum

, direk ‟yi alınca. Ama (3,2) noktasından geçiyor.

O zaman burası imiş, burası 4, burası da olur. O zaman burası 3-2 ise burası negatif bir değer. Böyle bir şey olamaz. Yani x ekseninin pozitif tarafında böyle bir şey olamaz.”

Araştırmacı: “O zaman nasıl düşünebilirsin?”

Aylin: “Şeyden başlayacak olabilirim eksi y ekseninin altından ya da orijinden…”

Araştırmacı: “Bu 3-2 sana neyi verdi?”

Aylin: “Böyle bir şeyin olamayacağını, negatif değer verdi sonuçta burada. Ama x ekseninin pozitif tarafındayız. Yani bunun bu şekilde olmaması gerekiyor.”

Aylin‟in, hem tan ‟den hem de çizmiş olduğu 30,60,90 üçgeninden benzer sonuçlara ulaşmasına rağmen ilk başta tahmini olarak değil de kesin olarak çizdiği doğru yüzünden böyle bir çelişkiye düştüğü düşünülmektedir. Doğrunun x ekseninin negatif tarafından geçmesi gerektiğini keşfetmesine rağmen çizmiş olduğu doğru, Aylin‟i şaşırtmıştır.

Araştırmacı: “O zaman nasıl olacak? Eğimi bulabiliyor muyuz, bulamıyor muyuz?”

Aylin: “Başka nasıl çizebilirim diye düşünüyorum da… Hem ‟lik… Bence eğimi bulamayız buradan, çelişki çıkıyor.”

Araştırmacı: “Doğrunun eğimi geçtiği noktalara göre değişkenlik gösteriyor mu?”

Aylin: “Evet. Ama açı aynı olduğu zaman sonuçta belli bir tanjantı… Hani bu bilindik açılar olduğu için ben bunun eğiminin o olduğunu biliyorum. Ama farklı noktadan geçtiği zaman benim eğimimle aynı çıkmıyor bu sefer.”

Trigonometri ve geometri bilgilerini doğru yerde doğru şekilde kullanan Aylin, ilk başta doğruluğuna inanarak çizdiği grafiğin etkisinde kalmış, eğim için matematiksel anlamda doğru sonuçlar elde etmesine rağmen bu sorudaki eğim için net bir şey söylenemeyeceğini savunmuştur.

Aylin, 10 numaralı sorudaki açısı için belli bir sayı vererek yorumlarına başlamıştır.

“Belki küçük sınıflarda biri diğeri 2 olduğu için biri diğerinin 2 katıdır gibi bir şey olabilir ama l doğrusunun eğimi tan , k doğrusunun eğimi ise tan ‟dır. Burada mesela ‟ya herhangi bir değer verirsem olsun desem

‟tür. Bunları oranlayabilirim ama kesinlikle iki katıdır diyemem.”

Araştırmacı: “Sen böyle işlemler yapmadan direkt bu grafiğe bakarak da eğimleri karşılaştırabilir miydin?”

Aylin: “Evet çünkü l doğrusu daha yatık ama k doğrusu daha diklemesine duruyor. O yüzden k‟nın eğimi daha fazladır diyebilirim bu şekilde de.”

Eğim kavramının trigonometrik temsilini bu soruya başarıyla uyarlayan Aylin, küçük bir hesaplama ile de fikirlerini ispatlamıştır. Aynı zamanda doğruların dikliği ya da yatıklığından da faydalanan Aylin, bir başka açıdan da düşüncelerini doğrulamıştır.