SONUÇ VE ÖNERİLER
5.1.2. İşlemsel Anlamaya Yönelik Sonuçlar
Görüşme sorularının son yedi tanesi ise adayların eğim kavramı ile ilgili matematiksel anlayışlarını belirlemeye yöneliktir. Bu amaç doğrultusunda, eğim kavramının farklı temsilleri arasındaki ilişkileri belirlemeye yönelik sorular oluşturulmuştur.
Öğretmen adaylarına, eğim kavramının geometrik, cebirsel ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi kurup kuramadıklarını gözlemlemeyi amaçlayan iki soru yöneltilmiştir. Adayların eğim kavramının bu üç temsili arasındaki bağlantıyı başarıyla kurdukları görülmüştür. Özellikle doğrunun eğimini adım adım buldurmayı amaçlayan soruda, adayların değişim oranını fark edip sözel olarak da ifade ettikleri görülmüştür. Bu sorudaki aşamaları fark eden adayların, diğer sorularda da benzer çözüm yollarını kullanarak sonuca ulaşmaya çalıştıkları düşünülmektedir. Bu sorulardaki eğimin
sabitliği konusunda adayların yine trigonometri gözlüğü ile yorum yapmaları dikkat çekicidir.
Eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi gösteren iki soru da adaylara yöneltilmiştir. Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin de sorgulandığı soruda adayların çoğu eğim kavramının bu iki temsili arasındaki ilişkiyi kurabilmişleridir. Çizdikleri grafikte herhangi bir hata bulunmayan adayların, sadece grafiğe bakarak soruya başarılı yorumlar getirdikleri görülmüştür. Adayların, eğim kavramının geometrik ve fonksiyonel temsilleri arasındaki ilişkiyi sorgulayan bir diğer soruya da başarıyla cevap vermelerinde, lisede aldıkları Fizik dersinin de etkisi olduğu düşünülmektedir. O yıllarda aldıkları bilgiyi üniversitede aldıkları kazandıkları bilgi ile bütünleştiren adayların bu temsiller arasındaki ilişkiyi kurmada problem yaşamadıkları gözlenmiştir.
Adaylara, eğim kavramının trigonometrik temsilini sorgulayan diğer iki soru da yöneltilmiştir. x ekseni ile belli bir açı yaparak belli bir noktadan geçen doğrunun eğiminin tespit edilmesine yönelik soruda matematiksel olarak doğru cevap veren adayların, grafik çiziminde başarısız oldukları görülmüştür. Tahmini olarak bir çizim yapan adayların bu şekilde oluşturdukları önyargının, eğimi yorumlamalarına engel oldukları düşünülmektedir. Diğer soruda ise açıların birbirinin iki katı olmasının eğimlerin de birbirinin iki katı olmadığını vurgulayan adayların, doğru trigonometri bilgilerini doğru yerde kullandıkları düşünülmektedir.
5.2. Öneriler
Bu çalışmalarının ışığı altında eğitimcilere ve araştırmacılara faydalı olacağı düşünülen bazı önerilere yer verilecektir.
1. Araştırmada elde edilen bulgulara göre öğrencilerin kavramları öğrenirken ezber yöntemini kullanmaktadırlar. Bu durumun aşılabilmesi için bir kavram tanıtılırken öncelikle o kavram daha sonra o kavramın tanımı ve imajı üzerinde öğretmen adayları ve öğrenciler düşünmeye ve yorum yapmaya sevk edilebilir.
2. Öğretmenler, geometrik bir kavramı öğretirken, öğrencinin ezbere yönlenmesini engellemek için o kavramın hiyerarşisi hakkında öğrenciyi bilgilendirip, o kavramı eğer mümkünse daha somut hale getirebilecek bir öğrenme ortamı hazırlayabilirler.
3. Matematik Eğitimi fakültelerinde okuyan öğretmen adaylarını, alışageldikleri matematik yaşantısı alışkanlıklarından uzaklaştırıp daha profesyonel ve daha pedagojik davranmaya sevk etmek ve hatta bu davranışları öğretmek faydalı olabilir.
4. Bir kavramın tanıtılması için kullanılan kavram imajları öğretmenin ders sunumunda, matematik kitaplarında hep aynı örnekle verildiği takdirde öğrencilerin tek bir kavram imajına sahip oldukları gözlenmiştir. İşte bu tür durumları engellemek için öğrencileri hep aynı tipte düşünmeye sevk etmeyen örnekler verilebilir. Öğretmenler ders sunumlarında kullandıkları örnekleri iyi seçebilir ve seçtikleri örneklerin aynı tipte olmamasına dikkat edebilirler.
5. Öğrencilerde oluşan olası kavram imajları açığa çıkarılmalı ve bu kavram imajları tartışılmalıdır. Uygun olmayan kavram imajı, bazen çok güçlü olabilir. Öğretmenlerin bu konuda sabırlı olması ve sınıflarında oluşturdukları geometri ortamının kavramları anlamlandırmaya uygun olması gerekmektedir.
6. Geometri derslerinde öğretmenler çizimlerinde kullandıkları sembol ve gösterimlerle ilgili detaylı açıklama yapmalıdır. Öğretmenler, öğrencilerin kavram imajlarını verilen örnekleri genelleyerek oluşturduklarını dikkate alarak, örneklerle ilgili ayrıntıları ve istisnai durumları özellikle belirtmelidirler.
7. Farklı geometrik kavramlarla ilgili imajların ve matematiksel anlayışların ne olduğu sorgulanarak, geometri alanındaki diğer kavramlarla ilgili öğrenci anlamalarının düzeyi tespit edilebilir. Özellikle farklı deneyimler sonucu değişen ve gelişen kavram imajlarının kalıcılığı sorgulanabilir.
KAYNAKÇA
Adamson, S. L. (2005). Student sense making in an intermadiate algebra classroom: Investigating student understanding of slope (Doctoral Dissertation, Arizona State University).
Akgün, S. (2001). Fen bilgisi öğretimi. PegemA Yayıncılık, Ankara.
Albayrak, M. (2000). Eğitim fakülteleri ve öğretmenler için ilköğretimde matematik ve öğretimi. Ankara: Aşık Matbaası.
Altun, M. (2001). İlköğretim ikinci kademede (6,7 ve 8. sınıflarda) matematik öğretimi. Alfa Yayıncılık. 1. Baskı, İstanbul.
Attorps, I. Teachers‟ images of the „equation‟ concept. (University of Gävle). http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG1/TG1_attorps_cerme3.pdf
adresinden 12.03.2010‟da indirilmiştir.
Baki, A. (2001). Bilişim teknolojisi ışığı altında matematik eğitiminin değerlendirilmesi. Milli Eğitim Dergisi.
Baykul, Y. (1999). Matematik öğretimi. Anı Yayıncılık, Ankara.528.
Barr, G. (1980). Graphs, gradients and intercepts. Mathematics in School.
Barr, G. (1981). Some student ideas on the concept of gradient. Mathematics in School.
Beck, E. K. (2000). An evaluation of student learning and engagement in a technology- enhanced algebra unit on slope (Doctor of Education, University of North Texas).
Bell, A. and Janvier, C. (1981). The interpretation of graphs representing situations. For the Learning of Mathematics.
Canbazoğlu, S. (2008). Fen bilgisi öğretmen adaylarının maddenin tanecikli yapısı ünitesine ilişkin pedagojik alan bilgilerinin değerlendirilmesi. Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İlköğretim Ana Bilim Dalı, Fen Bilgisi Bilim Dalı.
Champagne, A. B., Klopfer, L. E.,and Gunstone, R. F. (1982). Cognitive research and the design of science instruction. Educational Psychologist.
Charles, R.I., Thompson, A. G., Garland, T.H., Moresh, S.E., and Ross, K.A. (1996). Secondary math: Focus on algebra. Menlo Park, CA: Addison-Wesley.
Chiu, M. M. ,Kessel, C. , Moschkovich, J. N., and Munoz-Nunez, A. (2002). Learning to graph linear functions: A case study of conceptual change. Cognition and Instruction.
Clements, D. H. and Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan.
Confrey, J. (1987). The constructivist. Proceedings of PME XI, Vol. III, pp. 307–317, Montreal.
Çelik, D. (2001). Matematik öğretmenlerinin grafik hesap makineleri ile geometri öğretimine bakışları. Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Trabzon. 129.
Day, R. P. (1995). Using functions to make mathematical connections. In P. A. House & A.F. Coxford (Eds), Connecting mathematics across the curriculum. Reston, VA: National Council of Techers of Mathematics.
Demir, M. F. (2009). Effects of virtual manipulatives with open-ended versus structured questions on students‟ knowledge of slope. (Doctoral Dissertation, Michigan State University).
Demirel, Ö. (2000). Eğitimde program geliştirme. PegemA Yayıncılık, Ankara.
Develi, H. ve Orbay, K. 2003. İlköğretimde niçin ve nasıl bir geometri öğretimi. Milli Egitim Dergisi. Sayı:157. Ankara.
Dindyal, J. (2003). Algebraic thinking in geometry at high school level (Doctoral dissertation, Illinois State University).
Dönmez, A. (2002). Matematiğin öyküsü ve serüveni. İstanbul: Toplumsal Dönüşüm Yayınları.
Dreyfus, T. (1991). Advanced mathematical thinking processes. In D, Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp, 25–41). Dordrecht. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Duatepe, A. (2000). An investigation of the relationship between van Hiele geometric level of thinking and demographic variables for pre-service elementary school teachers. Unpublished Masters‟ Thesis, Middle East Technical University.
Duatepe, A. (2004). The effects of drama-based instruction on seventh grade students geometry achievement, van Hiele geometric thinking levels, attitudes toward mathematics and geometry. Unpublished Doctorate Thesis, Ankara: Middle East Technical University.
Duatepe, A. ve Ersoy, Y. (2001). Teknoloji destekli matematik öğretimi- 1: Hesap makinesi ve okullarda geometri öğretimi. Matematik Etkinlikleri 2001 Sempozyumu, Ankara.
Durmuş, S., Olkun, S., ve Toluk, Z. (2002). Matematik öğretmenliği 1. Sınıf öğrencilerinin geometri alan bilgi düzeylerinin tespiti, düzeylerinin geliştirilmesi için yapılan araştırma ve sonuçları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi‟nce düzenlenen 5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi‟nde sunulmuş
bildiri, 16–18 Eylül: ODTÜ, Ankara. [Online]:
Eraslan, A. (2005). A qualitative study: Algebra honor students‟ cognitive obstacles as they explore concepts of quadratic functions. (Doctoral dissertation, The Florida State University).
Eric, D. (1989). Hispanic and Anglo students‟ misconceptions in mathematics. http://ericae.net/ED313192.htm adresinden 10 Mayıs 2010‟da alınmıştır.
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D.Reidel.
Fuson, K. C., Kalchman, M., and Bransford, J. D. (2005). Mathematical understanding: An introduction. In M. S. Donovan & J. D. Bransford (Eds.).
Ginsburg, H. P., Jacobs, S.F., and Lopez, L.S. (1998). The teacher‟s guide to flexible interviewing in the classroom: Learning what children know about math. Needham Heights, MA: Allyn and Bacon.
Giraldo, V.A. (2006). Generic organizer for the enrichment of the concept image of derivative. Brazil: Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Gülkılık, H. (2008). Öğretmen adaylarının bazı geometrik kavramlarla ilgili sahip oldukları kavram imajlarının ve imaj gelişimlerinin incelenmesi üzerine fenomenografik bir çalışma (Yüksek Lisans tezi, Gazi Üniversitesi).
Hacısalihoğlu, M. Mirasyedioğlu, S., ve Akpınar, A. (2004). Matematik öğretimi, işbirliğine dayalı yapılandırıcı öğrenme ve öğretme. Ankara: Asil Yayın Dağıtım.
Hart, K. M. (1981). Children's understanding of mathematics: 11–16, John Murray, London.
Hartter, B. (1995). Concept image and concept definition for the topic of the derivative. Illinois State University, Department of Mathematics.
Hauger, G. (1995). Rate of change knowledge in high school and college students. Paper presented at the Anuual Meeting of the American Educational research Association, San Fransisco, CA.
Hiebert, J. and Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1–28). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Işıksal, M. (2006). A study on pre-service elementary mathematics teachers‟ subject matter knowledge and pedagogical content knowledge regarding the multiplication and division of fractions (Doktora Tezi, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara).
Kerslake, D. (1981). Graphs. In K. Hard (Ed), Children‟s understanding of mathematics. London: John Murray.
Kerslake, D. (1986). Fractions: Children's strategies and errors, NFER-Nelson, Windsor.
Kesici, A. (2005). Lise öğrencilerinin geometri–1 dersinde geçen bazı kavramları öğrenme düzeyleri üzerine bir araştırma. (Yüksek Lisans Tezi, Yüzüncü Yıl Üniversitesi).
Kirk, J. and Miller, M. L. (1986). Reliability and validity in qualitative research. Beverly Hills: Sage.
Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 27– 32). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Matsua, N. (2000). States of understanding relations among concepts of geometric figures: Considered from the aspect of concept image and concept definition.
Proceeding of The 24th Conference of the International Grup for The Psychology of Mathematics Education, Japan. V.3, 271–278.
Mayberry, J. (1983). The van hiele levels of geometric thought in undergraduate preservice teachers. Journal for Research in Mathematics Education.
McDiarmid, G. W., Ball, D. L., and Anderson, C. W. (1989). Why staying one chapter ahead doesn‟t really work: Subject-specific pedagogy. In M. C. Reynolds (Ed.), Knowledge base for the beginning teacher (pp. 193–205). Oxford, UK: Pergamon Press.
Merriam, S.B. (1998). Qualitative research and case study applications in education. San Francisco: Jossey-Bass Publishers.
Mooney, C., Fletcher, M., and Jones, K. (2003). Minding your ps and cs: subjecting knowledge to the practicalities of teaching geometry and probability. Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics Day Conference held at the University of Birmingham, Saturday 15th Nov. 2003. pp.67–72.
Moschkovich, J. N. (1999). Students use of the x-intercept as an instance of a transitional conception. Educational Studies in Mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standarts for school mathematics. Reston, VA: Author.
National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standarts for teaching mathematics. Reston, VA: Author.
National Council of Teachers of Mathematics (2006). Curriculum focal points for prekindergarten through grade 8 mathematics: A quest for coherence. Reston, VA: Author.
Nesher, P. (1986). Are mathematical understanding and algorithmic performance related? For the Learning of Mathematics, Vol. 6, No. 3 (Nov., 1986), pp. 2–9.
Önür, Y. (2008). Effects of graphing calculators on eight grade students‟ achievement in graphs of linear equations and concept of slope (Yüksek Lisans Tezi, Ortadoğu Teknik Üniversitesi).
Patton, M. Q. (1990). Qualitative evaluation and research methods (2nd ed.). Newbury Park, CA: Sage Publications, Inc.
Pirie, S. E. B. (1988). Understanding: Instrumental, relational, intuitive, constructed, for- malised . . . ? How can we know?. For the Learning of Mathematics 8.
Pirie, S. E. B. and Schwarzenberger, R. L. E. (1988). Mathematical discussion and mathematical understanding. Educational Studies in Mathematics, Vol. 19, No. 4 (Nov., 1988), pp. 459–470.
Pirie, S. E. B. and Kieren, T. E. (1989). A recursive theory of mathematical understanding. For the Learning of Mathematics, Vol. 9, No. 3 (Nov., 1989), pp. 7–11.
Pirie, S. E. B. and Kieren, T. E. (1994a). Beyond metaphor: Formalising in mathematical understanding within constructivist environments. For the Learning of Mathematics, Vol. 14, No. 1 (Feb., 1994), pp. 39–43.
Pirie, S. E. B. and Kieren, T. E. (1994b). Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it? Educational Studies in Mathematics, Vol. 26, No. 2/3, Learning Mathematics:Constructivist and Interactionist Theories of Mathematical Development (Mar., 1994), pp. 165–190.
Przenioslo, M.(2002). Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university. (Akademia Swietokrzyska, Instytut Matematyki, ul. Swietokrzyska)
Reiken, J.J. (2008). Coming to understand slope and the cartesian connection: An invesitigation of student thinking (Doctoral dissertation, University of California).
Schoenfeld, A., Arcavi, A., and Smith, J. (1993). Learning. In R. Glaser (Ed.), Advances in Instructional Psychology (Vol 4). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Skemp, R. R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics Teaching 77, 20–26.
Soğancı, Ö. (2006). Matematik öğreniminde ve öğretiminde öğretmen adaylarının matematiksel tanımlara yaklaşımları üzerine fenomenografik bir çalışma. (Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi).
Strauss, A. L. and Corbin, J. (1990). Qualitative analysis for social scientists. Cambridge, UK: University Press.
Stump, S. L. (2001). High School precalculus students understanding of slope as a measure. School Science and Mathematics.
Stump, S.L. (1996). Secondary mathematics teachers‟s knowledge of the concept of slope (Doctoral dissertation, Illinois State Unıversity).
Şensoy, Ö., Aydoğdu, M., Yıldırım, H.İ., Uşak, M., Hançer, ve A.H., (2005). İlköğretim öğrencilerinin fotosentez konusundaki yanlış kavramların tespiti üzerine bir araştırma. Milli Eğitim Dergisi, 166: 213–223.
Tall, D.O. (1981). Intuitions of infinity. Mathematics in School.
Tall, D. O. and Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151–169.
Türk Dil Kurumu (1983). Türkçe Sözlük. Türk Tarih Kurumu Basımevi. Ankara
Thompson, P. W. (1994). The development of the concept of speed and its relationship to the concepts of rate. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, NY: SUNY Press.
Usiskin, Z. (1989). Building mathematics curricula with applications and modelling. Paper presented at ICTMA-4, Roskilde University. Denmark.
Uşak, M. (2005). Fen bilgisi öğretmen adaylarının çiçekli bitkiler konusundaki pedagojik alan bilgileri. Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İlkoğretim Ana Bilim Dalı, Fen Bilgisi Eğitimi Bilim Dalı, Ankara.
Ülgen, G. (1999). Öğretmenler için Piaget ilkeleri. Anı Yayıncılık, Ankara.
Ülgen, G. (2001). Kavram geliştirme kuramlar ve uygulamalar. Pegem A Yayıncılık, Ankara.
Van Hiele Geldof, D. (1984). The didactics of geometry in the lowest class of secondary school. In D. Fuys, D. Geddes & R. Tischler (Eds.), English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele (pp. 1–214). Brooklyn NY: Brooklyn College.
Vinner, S. 1991. The Role of Definitions in Teaching and Learning in Tall, D.,(red.) Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Vinner S. and Dreyfus T. (1989) Images and definitions for the concept of function, JRME, 20, 356-366.
Vural, C. (2003). Fen eğitiminde 8. sınıf öğrencilerinin fen problemleri çözme başarılarına matematik ön bilgilerinin, mantıksal düşünme yeteneklerinin ve kavram haritası metodunun etkisi. (Yüksek Lisans Tezi, İstanbul).
Yaşar, I. Z. (2006). Fen eğitiminde zihin haritalama tekniğiyle not tutmanın kavram öğrenmeye ve başarıya etkisi. (Yüksek Lisans Tezi, Marmara Üniversitesi).
Yıldırım, A. ve Şimşek, H. (2005). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri. Seçkin Kitabevi: Ankara.
Yılmaz, S., Keşan, C., Turgut, M., ve Kabakçı, D. (2005). Kavram Haritaları Destekli Problem Çözme Merkezli Geometri Öğretiminin 7. Sınıf Öğrencilerinin Van Hiele Geometri Düşünme Düzeylerine Etkisi. XIV. Ulusal Eğitim Bilimleri Kongresi, Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Denizli.
Zaslavsky, O., Sela, H., and Leron, U. (2002). Being sloppy about slope : The effect of changing the scale. Educational Studies in Mathematics 49: 119–140, 2002.
EKLER