Cebir ve sayılar teorisi

G İ R İ Ş

Cebir ve sayılar teorisinde, Q rasyonel sayılar cisminin sonlu genişlemeleri olan sayı cisimleri ve bu cisimlerin ideal sınıfları grubunun mertebesi olarak tanımlanan sınıf sayılarının belirlenmesi en önemli konulardan birisidir.

Dirichlet sınıf sayısı formülü gibi bir takım formüller sınıf sayısının doğrudan hesabını mümkün kılmaktadır. Ancak ideal sınıfları grubu yardımıyla sınıf sayısının belirlenmesi kolay olmadığından bu formüller dışında çeşitli kriterler de elde edilmiştir.

D kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere, Q rasyonel sayılar cisminin cebirsel genişlemesi olan Q( D) kuadratik cismi D>0 ise “reel”, D<0 ise “imajiner” olarak adlandırılır. İmajiner kuadratik sayı cisimleri için sınıf sayısı 1 problemi 1967 yılında H. M. Stark ve A. Baker tarafından bağımsız olarak çözülerek, bu cisimlerin sonlu sayıda ve D= −1, −2, −3,−7, −11, −19,

163 67, ,

43 − −

− değerlerine karşılık gelen cisimler olduğu belirlenmiştir.

Sınıf sayısı 1 olan reel kuadratik sayı cisimlerinin sayısının sonlu olup olmadığı ise henüz kesinlik kazanmadığından (Gauss Konjektörü), sınıf sayısı 1 problemi reel kuadratik sayı cisimleri için tamamen çözülememiştir. Bu nedenle reel kuadratik sayı cisimlerinde çalışmak daha bir önem kazanmıştır.

Bu cisimlerin sınıf sayısının 1 olması için gerek ve yeter koşulları veren bir takım genel kriterler elde edilmesine rağmen bu kriterlerin Richaut-Degert (R-D) tipinde olmayan cisimlere uygulanması ve bu yolla sınıf sayısı 1 olan cisimlerin tespiti oldukça zor olmaktadır. Aynı zamanda reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayısının belirlenmesinde cismin temel birimi de önemli bir rol oynamakta ancak yine R-D tipinden olmayan sayı cisimleri için, temel birimin biçimi belli olmadığından, belirli kriterlerin bu cisimlere uygulanabilmesi de zor

olmaktadır. Bu nedenle son zamanlarda sınıf sayılarının belirlenmesine yönelik çalışmalar “R-D tipinden olmayan reel kuadratik sayı cisimleri “ üzerinde yoğunlaşmıştır. Bu çalışmalarda bir çok yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden en sık kullanılan üçü; kuadratik diophantine denklemler, sürekli kesre açılım ve dirichlet sınıf sayısı formülüdür.

Bu çalışmada da, genellikle R-D tipinden olmayan bazı sayı cisimleri ele alınarak, sözü geçen yöntemler yardımıyla sınıf sayısının belirlemeye yönelik kriterlerin elde edilmesi amaçlanmıştır.

I. Bölümde konuyla ilgili ön bilgilere yer verilmiştir.

II. Bölümde reel kuadratik sayı cisminin temel biriminin normunun -1 olması durumunda, 1992 yılında S.-G. Katayama ve 1993 yılında H. Yokoi’nin yaptığı çalışmalar göz önüne alınarak sınıf sayısını herhangi bir tek sayıdan büyük kılan bir “invaryant değer” tanımlanmıştır. Bu invaryant değerden küçük pozitif tamsayılara bağlı olarak sınıf sayısının tek olması için gerek ve yeterli koşullar elde edildikten sonra, bu kriterler ve Y. Kida’nın UBASIC86 programı kullanılarak D nin uygun bir değeri hariç 1≤u≤100 sağlayan ve sınıf sayısı 3 olan 31 tane, sınıf sayısı 5 olan 22 tane reel kuadratik sayı cisminin varlığı gözlenmiştir. Bu çalışma sonunda S. Katayama ve H. Yokoi tarafından ve çeşitli yöntemler sonucunda bulunan cisimler de elde edilmiştir.

III. Bölümde, S.D. Lang, H.Yokoi, I. Yamaguchi ve R.A. Mollin’in diophantine denklemlerin çözülebilirliği ile sınıf sayısı 1 olan çeşitli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerini belirlemeye yönelik [12,20,29,36] çalışmaları yardımıyla, 1p=[(2n+1)q]2 _m kare çarpansız tamsayısı için x2 −py2 = _mq diophantine denkleminin çözümü irdelenmiş ve bu çözüme bağlı olarak sınıf sayısı 1 olan yegane cismin Q( 3) olduğunu belirleyen bir gerek ve yeter koşul elde edilmiştir.

IV. Bölümde ise R-D tipinden olmayan çeşitli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin

{

1,w_d

}

tamlık tabanlarının

    ≡ ≡ + = 4) (mod 3 2, d , d 4) (mod 1 d , 2 d 1 w_d

biçiminde tanımlanan, w quadratik irrasyonel sayısının sürekli kesre _d açılımında periyodun 6 olması durumunda, R.A. Mollin [18,21,22,23], K. Tomita [27,28] ve T. Azuhata’nın [2] çalışmaları göz önüne alınarak sürekli kesre açılımın genel biçimi ile temel birimin genel biçimi belirlenmiştir. Ayrıca, temel birimi belirlenen bu katsayılarına bağlı olarak [33,34,35] de tanımlanmış olan invaryant değerleri sıfır ya da sıfırdan farklı kılan gerek ve yeter koşullar elde edilmektedir. Bu çalışmanın sonunda verilen kriterler örneklerle pekiştirilerek sürekli kesre açılımın ve temel birimin belirlenmesindeki pratiklik gözlenmiş ve bu kriterleri sağlayan, sınıf sayısı 1 veya 2 olan cisimler sürekli kesre açılımlarıyla beraber tablolar halinde verilmiştir.

I. BÖLÜM

ÖN BİLGİLER

1.1. TEMEL KAVRAMLAR

1.1.1. Tanım

L ve K, K ⊆ şartını sağlayan iki cisim ise L cismine K cisminin bir L “genişlemesi” denir ve L/K ile gösterilir. L nin K cismi üzerinde vektör uzayı olarak boyutuna “L nin K üzerindeki genişlemesinin derecesi “ denir ve

[

L:K

]

ile gösterilir. Eğer

[

L:K

]

<∞ ise L/K ya “sonlu genişleme”, L nin her elemanı K üzerinde cebirsel ise L/K ya “cebirsel genişleme” denir.

1.1.2. Tanım

L/K bir cisim genişlemesi ve α ceb/K olmak üzere L=K

( )

α biçiminde yazılabilir ise L cismine K cisminin bir “basit genişlemesidir” denir.

1.1.3. Tanım

Q rasyonel sayılar cisminin sonlu bir genişlemesine “cebirsel sayı cismi” denir.

1.1.4. Tanım

L/Q cebirsel bir genişleme olsun. Eğer bir α∈L elemanının Q üzerinde sağladığı polinom katsayıları Z de olan monik bir polinom ise α ya “cebirsel tamsayı” denir. Q nun bir α elemanının cebirsel tamsayı olması için gerek ve yeter koşul α Z olmasıdır. ∈

1.1.1. Önerme

L bir cebirsel sayı cismi olsun. Bir α∈L nin Q üzerindeki eşlenikleri

n 2 1,α ,....,α α α= ise,

( )

_∏

( )

_∑

= = = = n 1 i i n 1 i i ,İzα α α α N

biçiminde tanımlanan ifadeler sırasıyla, “α nın normu” ve “ α nın izi” olarak adlandırılır. Ayrıca, α,β∈ için, L

( )

α.β =N

( ) ( )

α.N β , İz(α+β)=İz

( ) ( )

α +İzβ N ve α Q∈ için

( )

α ₌α2 , İz

( )

α ₌2α N ifadeleri de sağlanmaktadır.

1.2. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİ 1.2.1. Tanım

L/Q cebirsel bir genişleme ve

[

L:Q

]

=2 ise L cebirsel sayı cismine “kuadratik sayı cismi” denir.

1.2.1. Önerme

L bir kuadratik sayı cismi ise en az bir d kare çarpansız tamsayısı için L=Q( d) dir.

Kanıt:

[

L:Q

]

=2 ise L=Q(α) biçiminde basit genişlemedir. Yani α katsayıları Q da olan x2 ₊px₊q _{biçimindeki asal bir polinomun kökü olduğundan} katsayıları Z de olan ax2 ₊bx₊c _{polinomunun da bir köküdür. Öyleyse;}

2a 4ac b b α= − m 2 −

ifadesinde b2₋4ac ₌k _{alınırsa, L=Q}

( )

_{α =Q( k) olur. Polinom Q[x] te asal} olduğundan k nın tam-kare olmayan en az bir asal çarpanı vardır. Bu çarpana d denilirse, L=Q( d)olur. 1.2.2. Tanım ) d Q(

K= kuadratik sayı cismi ise,

} Z / tam α K {α

O_K = ∈ kümesi toplama ve çarpma işlemine göre bir halkadır. O ya K cisminin “tamlık halkası” denir. _K

( )

α Z ve İz

( )

α Z O α∈ _K ⇔ N ∈ ∈ dir. 1.2.1. Teorem ) d Q(

K= bir kuadratik sayı cismi olsun.

     ≡         + + ≡ + = ise 4) (mod 1 d , 2 d 1 Z Z ise 4) (mod 3 2, d , d Z Z O_K biçimindedir. Kanıt : Q y

x, ∈ olmak üzere; α=x+y d olsun. 1.1.1.Önerme ve 1.2.2. Tanımdan Zİz(α+α′)=2x∈ dir. Buna göre; α=2x+2y d olarak alındığında,

( )

α (2x) (2y) d Z

N ₌ 2 ₋ 2 _{∈ olur. En az bir k tamsayısı için (2x)}2 _−(2y)2_d=k

yazılabildiğinden (2x)2 ₌(2y)2d₊k_∈Z _{dir. d kare çarpansız olduğundan} Z 2y∈ bulunur. v 2y , u

2x = = olsun. Bu durumda, x2 ₋y2d_∈Z _olması ) 4 (mod 0 d v

u2₋ 2 _{≡ olmasını gerektirir. Buna göre;}

ise 4) (mod 3 2, d≡ ,

u2 ₋v2d₌u2 ₊2v2 (mod4) _{veya u}2_−v2_d=u2 _+v2 _{≡0(mod4) olacaktır.}

Her iki durumda, u2₊2v2 _≡0 (mod 4) ve u2₊v2 _≡0(mod4) ifadelerinin u ile v nin ikisinin de çift tamsayılar olması halinde sağlanacağı kolayca görülür. Bu ise x ile y nin birer tamsayı olması gerektiğini gösterir. O halde, ) d Z( Z O_K ⊆ + sağlanır. ) 4 (mod 1

d≡ ise u2₋dv2 _≡u2 ₋v2(mod4) _{olur. Bu da, u ile v nin ikisinin} birden tek veya çift sayı olduğunu gösterir.

Bu durumda,       ≡ + = u v(mod2) 2 d v u O_K

şeklindedir. Diğer yandan,

        + +       − = + 2 d 1 v 2 v u 2 d v u biçiminde yazılabileceğinden ve Z 2 v u− _∈ olduğundan, _       + + ⊆ 2 d 1 Z Z O_K olacaktır. N( d)=−d, İz( d)= , 0 4 d 1 2 d 1 ₌ −         + N , 1 2 d 1 İz _=       + ifadeleri

birer tamsayı olduğundan, O_K 2 d 1 , d + ∈ olur. Böylece, K K O 2 d 1 Z Z , O ) d Z( Z _⊆       + + ⊆ +

olduğu görüleceği için,

O_K =Z+Z( d) ve _       + + = 2 d 1 Z Z O_K sağlanmış olur.

1.2.1. Sonuç ) d Q(

K= cisminin OK tamlık halkası sonlu üretilmiş bir Z-modüldür ve üreteçleri kümesi; } d {1, ise 4) (mod 3 2, d≡       ₊ ≡ 2 d 1 1, ise 4) (mod 1 d biçimindedir. 1.2.3. Tanım ) d Q(

K= kuadratik sayı cismi ise,

     ≡ + ≡ = 4) (mod 1 d , 2 d 1 4) (mod 3 2, d , d w

olmak üzere {1, w} ikilisine OK nın “tamlık tabanı “ denir.

1.3. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN İDEALLERİ

1.3.1. Tanımlar

A, K=Q( d) cisminin bir alt kümesi olsun. Eğer A ≠ Ø kümesi, i) Her a,b∈A için a−b∈A

ii) Her a∈A, c∈O_K için a.c∈A iii) ∃0≠α∈O_K için αA ⊆O_K

koşullarını sağlıyorsa, A ya K nın bir “kesirsel ideali” denir. Özel olarak, OK

tamlık halkasının bütün idealleri birer kesirsel idealdir. Bu ideallere “tam idealler” denir.

(0) dan farklı kesirsel idealler, ideallerin çarpma işlemi altında bir grup oluştururlar (

[ ]

25).

A ile B iki kesirsel ideal olsunlar. A=

( )

α B olacak biçimde ∃α∈Q( d) elemanı varsa, A ile B “denk kesirsel ideallerdir” denir ve A ~ B ile gösterilir.

A ve B, Q( d) nin tam idealleri olsun. Eğer

( )

α A =

( )

β B olacak biçimde α,β∈O_K varsa, A ile B “denk tam ideallerdir” denir.

A bir tam ideal ise A∩Z≠Ø dır.

OK tamlık halkası

{ }

1,w ile üretilmiş bir Z-modül olduğundan OK

halkasının her tam ideali de sonlu üretilmiş bir Z-modüldür.

A tam ideali r1, r2 gibi iki cebirsel tam eleman ile üretildiğinden }{r1,r2

ye A “idealinin tabanı” denir. A ideali bu tabana bağlı olarak, Z} b a, | br {ar A = ₁+ ₂ ∈

biçiminde ifade edilir.

OK halkası da OK =(1,w) biçiminde bir idealdir ve OK ya “birim ideal”

denir. ) d Q( K ), r , (r

A= _{1 2} = cisminin bir tam ideali olsun. r′₁,r₁ in, r′₂,r₂ nin eşleniğini göstermek üzere, A′=(r₁′,r₂′) idealine A idealinin “eşleniği” denir.

1.4. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN DİSKRİMİNANTI 1.4.1. Tanım

) d Q(

K = cisminin tamlık halkası OK nın bir tabanı

{

w1,w2

}

=

{ }

1,w

(

i j i,j 1,2 K/Q detİz(w,w ))

∆ = ₌ ifadesine OK tamlık halkasının veya K=Q( d)

cisminin “diskriminantı” denir. Ya da G(K/Q), K/Q genişlemesinin Galois grubu olmak üzere diskriminant;

[

]

2 j i 2 j i K/Q δ(w ) det(δ (w )) ∆ = = biçiminde tanımlanır. 1.4.1. Teorem

d kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere, K=Q( d) kuadratik sayı cismi veriliyor.    ≡ ≡ = ise 4) (mod 1 d , d ise 4) (mod 3 2, d , 4d ∆_KQ biçimindedir. Kanıt: ) d Q( ise 4) (mod 3 2,

d≡ cisminin tamlık halkası OK nın tabanı

} d {1, olduğundan 1.4.1. Tanımdan, 4d 2d 0 0 2 ) ) d (( İz ) d ( İz ) d ( İz (1) İz ∆ ₂ K/Q K/Q K/Q K/Q K/Q = = = bulunur.

Benzer biçimde, d≡1(mod4) ise K =Q( d) cisminin tamlık halkası OK nın tabanı ) 2 d 1 (1, + olduğundan, d 2 d 1 1 1 2 ) ) 2 d 1 (( İz ) 2 d 1 ( İz ) 2 d 1 ( İz (1) İz ∆ 2 K/Q K/Q K/Q K/Q K/Q = + = + + + = olarak bulunur.

1.4.2. Tanım ) d Q(

K= cisminin bir tam ideali A=(r₁,r₂) olsun. 2 2 1 2 1 A (r.r r.r ) δ = ′− ′ değerine “A idealinin diskriminantı” denir.

1.4.3. Tanım

A, K=Q( d) cisminin bir tam ideali olsun. OK /A bölüm halkasının

eleman sayısına “A idealinin normu” denir ve N(A) = #(OK /A) biçiminde

gösterilir. N(A) daima sonlu bir sayıdır.

1.5. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNDE İDEALLERİN AYRIŞIMI

1.5.1. Tanım 2

p≠ bir asal sayı ve a≠ bir tamsayı olsun. 0

     ≡ − = ≡ =       ise a | p , 0 ise çözümsüz p) (mod a x , 1 ise 1 p) (a, ve çözümlü p) (mod a x , 1 p a 2 2 biçiminde tanımlanan       * *

sembolüne “Legendre Sembolü” denir.

1.5.1. Teorem 2

p≠ bir asal sayı ve a, b sıfırdan farklı tamsayılar ise, i) a (modp) p a p−₂1 ≡       ii) _      =             p ab p b p a iii) _      =       ⇒ ≡ p b p a p) (mod b a iv) _      =       =       ⇒ = p b p b a , 1 p a 1 p) (a, 2 2

v) 2 1 p 1) ( p 1 , 1 p 1 − − =       − =       vi) 8 1 p2 1) ( p 2 − − =       koşulları sağlanır ([24]).

1.5.2. Teorem (Gauss Reciprocity Kuralı) Eğer p ve q farklı tek asal sayılar ise, 2 1 q . 2 1 p 1) ( p q q p − − −             sağlanır ([24]). 1.5.2. Tanım       * *

Legendre sembolü olsun. a pozitif bir tamsayı, b pozitif tek bir tamsayı ve b=p₁.p₂...p_n (pi ler asal) biçiminde olmak üzere;

                        =       n 3 2 1 p a ... p a p a p a b a ise       * *

sembolüne “Jacobi Sembolü” denir. 1.5.3. Tanım       * *

Jacobi sembolü olsun. Eğer

       ≡ ≡ − ≡ =       ise hallerde diger tanimsiz, ise 0(mod8) a 0, ise 5(mod8) a 1, ise 1(mod8) a 1, 2 a

özelliği ile genişletilmiş ise       * *

1.5.4. Tanım

∆ , K=Q( d) cisminin diskriminantı ve p bir asal sayı olmak üzere,

          = − ≠       = − ise ∆ | p , 0 ise ∆ | 2 2, p , 1) ( ise ∆ | p , 2 p , p ∆ (p) χ 8 1 ∆ K 2

biçiminde tanımlanan χ_K fonksiyonuna K cisminin “Kronecker Karekteri” denir.

1.5.1. Sonuç ) d Q(

K= cisminin tamlık halkası OK olmak üzere, OK halkasında p

tek asal değerinin ayrışımı; i) 1 p p ∆ _{= ⇔}       ayrışır (decomposed) ii) 1 p p ∆ ⇔ − =      

asal kalır (inert)

iii) 0 p p ∆ ⇔ =       dallanır (ramified) biçiminde ifade edilir ([5]).

1.5.2.Sonuç

K =Q( d) cisminin tamlık halkası O olmak üzere p=2 asalının _K O _K halkasındaki ayrışımı aşağıdaki biçimde ifade edilir.

i) 1 2 2 ∆ ⇔ =       _{ayrışır (decomposed)} ii) 1 2 2 ∆ _{=− ⇔}     

iii) 0 2 2 ∆ ⇔ =       dallanır (ramified) 1.5.3. Teorem ) d Q(

K= kuadratik sayı cismi olsun. Bu durumda, i) OK nın (0) dan farklı her asal ideal maksimaldir.

ii) (0) dan farklı her tam ideal, asal ideallerin çarpım biçiminde tek türlü yazılabilir.

iii) (0) dan farklı kesirsel idealler, ideallerin çarpım işlemi altında çarpımsal bir grup oluşturur.

1.5.4. Teorem

p asal bir sayı, P⊂O_K, p yi kapsayan asal bir ideal ve

{

ρ'|ρ P

}

P

P′= ∈ ≠ olsun. Diskriminantı ∆ olan bir K =Q( d) kuadratik sayı cisminde, bir p asalının ayrışımı;

i) p|∆ _⇔(p)₌ρ2 ve _N

( )

ρ ₌p ii) p>2 olsun

( ) ( )

( )

      − =       = = =       = = ≠ = ⇒ ise 1 p ∆ , p ρ ve ρ (p) ise 1 p ∆ , p ρ' N ρ N ve ) ρ' (ρ ρ' ρ. (p) ∆ | p 2 N iii) p=2

( )

( )

( )

   ≡ = = ≡ = = ≠ = ⇒ ise 8) (mod 5 d , 4 ρ N ve ρ (2) ise 8) (mod 1 d , 2 ρ' ρ ve ) ρ' (ρ ρ' ρ. (2) ∆ | p N N biçimindedir ([3]).

1.6. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN TEMEL BİRİMLERİ

1.6.1. Tanım ) d Q(

K= cisminin OK halkasında tersi olan elemanların oluşturduğu

gruba cismin “birimler grubu” denir ve Ud ile gösterilir.

1.6.1. Önerme K O ε∈ olmak üzere, ε∈U_d ⇔ N

( )

ε =m1 olmasıdır. Kanıt:

⇒ ε birim ise ε |1 ’dir. Bu durumda ε.ε′=1olacak biçimde ε′∈O_K

elemanı vardır. Bu durumda,

( )

ε =N(ε′)=N(1)=1 ⇒N

( )

ε .N(ε′)=1

N

olur. Buradan da N

( )

ε nun Z de birim olduğu yani, N

( )

ε =_m1 olduğu görülür. Q Bu önermeden faydalanarak K=Q( d) kuadratik sayı cisminin birimleri aşağıdaki gibi belirlenir.

d < 0 olsun. d≡2,3(mod4) ise {1, d}, K cisminin tamlık tabanı olmak üzere, α∈O_K elemanı x,y∈ için Z α=x+y d biçiminde ifade edileceğinden,

d y x

α′= − için _N

( )

_{α =(x+y d)(x−y d)=x}2 _−dy2 _{olur. 1.6.1. önermeden}

d y x α= + birim olduğundan 1x2 dy2 m =

− denkleminin sonlu sayıdaki çözümleri K imajiner kuadratik sayı cisminin birimlerini verecektir.

4)d≡1(mod ise ) 2

d 1

(1, + K nın tamlık tabanı olmak üzere, α∈O_K

elemanı x,y∈ için Z

2 d y x

α= + biçiminde ifade edileceğinden,

( )

_       −         + = 2 d y x 2 d y x α N

bulunur. 1.6.1. Önermeden yararlanarak α birim olduğu için 1 4 dy x2 2 m = − bulunur. O halde x2 dy2 4 m =

− denkleminin sonlu sayıdaki çözümü K=Q( d) cisminin birimlerini verecektir.

Bu ifadelere göre imajiner kuadratik sayı cisimlerinin birimleri için aşağıdaki önerme verilebilir.

1.6.2. Önerme ) d Q(

K= imajiner kuadratik sayı cismi olsun. i2 _{= -1 ve}

2 i 3 1 j= − + olmak üzere, i) U₋₁=

{

_m1,_mi

}

}

ii)

{

2

}

}

3 1, j, j U₋ = _{m m m} iii) d≠−1,−3 ise U_d =

{

1, −1

}

}

biçimindedir. 1.6.3. Önerme ) d Q(

K= reel kuadratik sayı cismi olsun. K cisminin Ud birimler

grubu,

}

{

ε | s Z

}

U s d d = m ∈

olacak biçimde bir ε_d > birimi bulunabilir. 1

1.6.1. Sonuç

s keyfi bir tamsayı olduğu için K cisminin Ud birim grubu sonsuzdur. C

sonsuz devirli çarpımsal bir grup olmak üzere, U_d ≅

{

1,−1

}

xC dir. 1.6.2. Tanım

) d Q(

K= bir reel kuadratik sayı cismi olsun. K cisminin 1 den büyük birimlerinin en küçüğü ε ise, _d ε elemanına “temel birim” denir. _d

1.6.4. Önerme ) d Q(

K= reel kuadratik sayı cismi, x,y∈Z için K 2

d y x

η= + ∈ ise aşağıdaki ifadeler gerçeklenir.

i) η bir birimdir x2 dy2 4 m = −

⇔ olmasıdır. Ayrıca η bir birim ise 0 y 0, x 1 η> ⇔ > > ır. ii) 2 d y x η i i i +

= i(=1,2 ve x_i,y_i ∈Z için) birden büyük birimler ise;

2 1 2 1 2 1 η x x ,y y η < ⇔ < ≤ ’dir. (Weiss, s.239)

Reel kuadratik sayı cisimlerinde temel birim, d≡1(mod 4) olması durumunda 4x2 dy2

m =

− ile ifade edilen diophantine denkleminin 1 den büyük en küçük (xo,yo) pozitif tamsayı çözümü yardımıyla belirlenebilmektedir.

1.6.3. Tanım r n

d₌ 2 _{+ kare çarpansız pozitif bir tamsayı r|4n ve −n<r≤n ise}

) d

Q( cismine “Richaut-Degert (R-D) tipinden sayı cismi” denir. ) d Q( ise 4 1,

r=_{m m} cismine “dar (narrow) anlamda”, aksi halde, “geniş (extended) anlamda Richaut-Degert (R-D) tipinden reel kuadratik sayı cismi” denir.

Bu cisimlerin temel birimleri, sgnr, r nin işaret fonksiyonu olmak üzere,

         = ≠ + + − = = + − = = + = 1) ) (ε ( ise 4 1, r , r d 2n r) (2n sgnr) ) (ε ( ise 4 r , 2 d n sgnr) ) (ε ( ise 1 r , d n ε d 2 d d d N N N biçiminde belirlenmiştir.

1.7. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN SINIF SAYILARI

1.7.1. Tanım ) d Q(

K= kuadratik sayı cisminin bütün kesirsel idealleri ideallerin çarpma işlemine göre çarpımsal bir grup oluştururlar. Bu grubu G ile, G nin esas ideallerinin oluşturduğu grubu da E ile gösterelim. G/E bölüm grubu sonlu bir gruptur. G/E bölüm grubuna K cisminin “sınıf grubu” bu grubun eleman sayısına da K cisminin “sınıf sayısı” denir ve hK ile gösterilir.

Bu nedenle cismin kesirsel idealleri grubu sınıflara ayrılmış olur. Bir sınıfın herhangi iki idealine “denk idealler” denir ve A ~ B biçiminde gösterilir. Ayrıca iki kesirsel idealin denkliği,

( )

α B A

B ~

A ⇔ =

olacak biçimde ∃0≠α∈O_K vardır, şeklinde ifade edilir.

Kesirsel ideallerin bir sınıfında tam idealler de vardır. Ayrıca A bir kesirsel ideal ise ∃0≠α∈O_K için αA⊂O_K olduğundan ideal sınıflarının özellikleri ve sınıf sayısı ile ilgili sonuçları elde etmek için yalnızca tam idealleri göz önüne almak yeterlidir.

1.7.2. Tanım

A ve B, K=Q( d) kuadratik sayı cisminin denk ve tam idealleri ise

( )

α A=

( )

β Bolacak biçimde ∃α,β∈O_K vardır.

Eğer N

( )

α.β >0 ise elde edilen sınıflara “dar anlamda sınıf” denir. Bu sınıftaki ideallerin denkliği A≈ ile gösterilir. Dar anlamda sınıf sayısı da B +

K

h ile gösterilir.

Eğer N

( )

α.β >0 koşulu gerekli değil ise elde edilen sınıflara “geniş anlamda sınıf” denir ve sınıf sayısı hK ile gösterilir.

1.7.1. Teorem ) d Q(

K= kuadratik sayı cisminin diskriminantı ∆ ve temel birimi ε _d olsun. Bu durumda, i) ∆<0 ⇒ h_K+ =h_K ii)

( )

( )

   = = − = = ⇒ > ₊+ için 1 ε , 2h h için 1 ε , h h 0 ∆ d K K d K K N N koşulları gerçeklenir. Kanıt: i) ∆<0 durumunda her O_K 2 d b a x= + ∈ için 0 4 d b a (x) 2 2 > − = N

olduğundan, her α,β∈O_K için N

( )

α.β >0’dır. Bu durumda dar anlamda sınıflar ile geniş anlamda sınıflar aynıdır. Öyleyse h_K+ =h_{K ’dır}

ii) ∆>0 olsun. 1 ) (ε_d =−

N durumunda,

( )

α A=

( )

β B=(ε_d.β)B biçiminde yazıldığında

( ) (

α.β N, αβεd

)

N den biri pozitif olacaktır. Bu durumda dar anlamda sınıflar ile geniş anlamda sınıflar aynı olacaktır. Bu nedenle h_K+ =h_K’dır.

N(ε_d)=1 durumunda, ∀α,β∈O_K için N

( )

αβ >0 koşulu her zaman gerçeklenemez. Bu durumda A ≈B veya A ≈B d den biri gerçeklenir. Bu durumda h_K+ =2h_{K dır. Yani, geniş anlamda her denklik sınıfı dar anlamda iki} denklik sınıfının birleşimidir ([4]).

1.7.2. Teorem )

d Q(

K= bir kuadratik sayı cismi, M_K Minkowski Sınırı ve ∆, K cisminin diskriminantı olmak üzere, K cisminin her ideal sınıfında,

      < > = ≤ ise 0 d π ∆ 2 ise 0 d 2 ∆ M (P) _K N

olacak biçimde bir P tam ideali vardır.

Bir cebirsel sayı cisminin ideal sınıfları sayısı sonludur ([25]).

1.7.2. teoremden faydalanarak Minkowski sınırı yardımıyla bazı sayı cisimlerinin sınıf sayıları belirlenmiştir. Ancak MK sınırı büyüdükçe bu yöntemle

sınıf sayısını hesaplamak da zorlaşmaktadır.

1.7.3. Teorem

Bir sayı cisminin diskriminantı tek bir asal çarpan içeriyorsa, sınıf sayısı tektir ([4]).

1.7.4. Teorem ) d Q(

K= cisminin sınıf sayısının 1 olması için gerekli ve yeterli koşul K cisminin OK tamlık halkasının bir esas ideal bölgesi olmasıdır.

Kanıt:

:⇒ h_K =1 ise ∀A⊂O_K ideali için A~O_K dır. Bu durumda

K

O β α,

0≠ ∈

∃ için

( )

α A =

( )

βO_K =

( )

β olur. Bu ise ∃x∈A içinαx=β olduğunu

yani; A α β x= ∈ olduğunu belirtir ki       = α β A esas idealdir. K O :

⇐ bir esas ideal bölgesi ise 0≠α,β∈O_K olmak üzere her A=

( )

α ,

( )

β

B= idealleri için;

( )

β A=

( )

α B yazılabileceğinden A~B olduğu elde edilir ve böylece

1 h_K = dir.

1.7.1. Önerme

A tamlık halkasının bir ideali ve h , K cisminin sınıf sayısı ise, _K A hK

1.8. BASİT SÜREKLİ KESİRLER

1.8.1. Tanım

xo,x1,...,xk reel sayılar 1≤i≤k için xi >0 olsun. Bu sayılar ile belirlenen,

k 1 k 3 2 1 o k 1 o x 1 x 1 ... x 1 x 1 x 1 x x ,..., x , x + + + + + + >= < − O

kesrine “pozitif sonlu sürekli kesir” denir. >

<x_o,x₁,...,x_k pozitif sonlu sürekli bir kesir olmak üzere, x_o∈ ve Z k

i

1≤ ≤ için x_i∈ Z₊ ise <x_o,x₁,...,x_k > kesrine “basit sürekli kesir” denir.

Bu kısımda sürekli kesir denilince sadece pozitif, sonlu ve basit olanlar kastedilecektir.

Sonlu bir sürekli kesir aşağıdaki biçimlerde gösterilebilir: > <x_o,x₁,...,x_k , <x_o,<x₁,...,x_k >>, < > k 1 o x 1 ,..., x , x , > < + k 1 o x ,..., x 1 x . 1.8.1.Teorem

(a, b) = 1, a,b∈Z ve b>0 olmak üzere b a

biçimindeki bir rasyonel sayı sonlu bir sürekli kesre eşittir. Tersine sonlu sürekli kesrin her değeri bir rasyonel sayıdır.

Kanıt

(a, b) = 1, a,b∈Z ve b>0 olmak üzere, b a

r = olsun. a yı b ile Euclide Algoritmasına göre bölersek,

1 k k 2 k i i 1 2 2 1 2 o o 1 1 o 1 o o o r q r ... ... ) Z r , q için 1 i ( r r , r r q r r r , r r q b b r , r b q a − − + = ∈ ≥ ∀ < < + = < < + = < < + = 0 0 0

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler kullanılarak, > =< = q_o,q₁,...,q_n b a r

sonlu sürekli kesri elde edilir. a< olabilir. Bu durumda 0 q_o < uygun bir 0 biçimde seçilerek 1≤i≤k için q_i ≥1 olması sağlanır.

Teoremin tersi, bir merdiven kesrin rasyonel sayı değeri bulunarak elde edilir. 1.8.1. Sonuç Bir b a r= rasyonel sayısı,    ∉ > >=< < ∈ > − >=< < = −,1 ; r Z ise q ,..., q , q ,...q q , q ise Z r ; 1 1, r r r 1 k 1 o k 1 o biçimindedir.

Rasyonel sayılar ile sonlu sürekli kesirler arasında birebir eşleme vardır. Her r∈ için Q r =<q_o,q₁,...,q_k > ve r >1 ise =<0,q_o,q₁,...,q_k >

r 1

dir.

Verilen sonlu bir sürekli kesrin rasyonel sayı değerini bulmak, basamak sayısı arttıkça zorlaşır. Bu nedenle ilk birkaç basamak değeri için doğrudan hesaplama yapılarak aşağıdaki rekurans değerleri elde edilir.

1 .q q q q q q q q , q , q , q 1 .q q q 1 q q , q , 1 q q 2 1 2 o 2 1 o 2 1 o 1 1 o 1 o 1 o o o ₊ + + >= < + = + >= < >= <

olduğu göz önüne alındığında, P₋₂ =0, P₋₁=1, Q₋₂ =1, Q₋₁=0 özel değerleri seçilirse, 2 1 o o o q q P P P = = ₋ + ₋ , P₁ =q₁q_o +1=q₁P_o +P₋₁ 2 1 o o 1 q Q Q Q = = ₋ + ₋ , Q₁ =q₁ =q₁Q_o +Q₋₁ eşitlikleri elde edilir ve k≥ için 0

2 k 1 k k k q P P P = ₋ + ₋ 2 k 1 k k k q Q Q Q = ₋ + ₋

biçiminde

{ }

P_k ve

{ }

Q_k tamsayı dizileri elde edilir. Buradan aşağıdaki sonuçlar söylenebilir.

i) k≥0 için Q_k >0’dır.

ii) ...k>0içinQ_k >0 ise 0<Q_o <Q₁ < ’dır. iii) Q_k ≥k’dır.

1.8.2. Teorem

Herhangi bir x pozitif reel sayısı için,

2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 1 o Q xQ P xP x , q ,...., q , q − − − − − ₊ + >= < gerçeklenir. 1.8.3. Teorem

i) Eğer her k≥ için tamsayısı için 0 c_k =<q_o,q₁,...,q_k > alınırsa, c_k = k k k 1 o _Q P q ,..., q , q >= < olacaktır. ii) Her k≥−1 için,

k1 k 1 k 1 k kQ P Q ( 1) P ₋ − ₋ = − − , 1 k k 1 k 1 k k Q Q 1) ( c c − − − − = − denklemleri ve

k _k k 2 k 2 k kQ P Q ( 1) q P ₋ − ₋ = − , 2 k k k k 2 k k Q Q q 1) ( c c − − − = − eşitlikleri sağlanır. iii) k k Q P

indirgenmiştir ve bu da her k≥0 için (P_k,Q_k)= olmasıdır. 1

1.9. SONSUZ SÜREKLİ KESİRLER

1.9.1. Tanım

Pozitif sonlu sürekli kesir tanımındaki k değeri sonsuz ise elde edilen sürekli kesre “sonsuz sürekli kesir” denir ve <q_o,q₁,...> ile gösterilir.

Sonsuz sürekli kesrin ilk k teriminden oluşan sonlu sürekli kesir =

k

c <q_o,q₁,...,q_k > biçiminde olup buna sonsuz sürekli kesrin k. yaklaşımı denir. Eğer k çift ise c “çift yaklaşım” k tek ise _k c “tek yaklaşım” olarak _k adlandırılır.

1.9.1.Teorem

i) Çift yaklaşımlar dizisi düzgün artar. ii) Çift yaklaşımlar dizisi düzgün azalır.

iii) Tek yaklaşımlar çift yaklaşımlardan büyüktür. Kanıt

Her k çift sayısı için c_k −c_k−1 ve c_k −c_k−2 için 1.8.3 Teoremindeki

k k k 2 k 2 k kQ P Q ( 1) q P ₋ − ₋ = − eşitliğinden 2 k k k 2 k k 2 k k k 2 k 2 k k k Q Q q c c ise Q Q q Q P Q P − − − − − _{+ = +} = bulunur. Her

k>0 için Q_k ve q_k değerleri pozitif olduğundan c_k−2 <c_k elde edilir. Her k 1 tek sayısı için benzer biçimde ≥

2 k k k 2 k k Q Q q c c − − − = bulunur. k k ve q

Q değerleri pozitif olduğundan c_k−2 >c_k olur.

1 k k 1 k 1 k kQ P Q ( 1)

1 2j 2j 2j 1 2j 1 2j 2j 2j 2j 2j 1 2j Q Q 1 c c ise Q Q 1 Q P Q P + + + + _{− = = +} ve c_2j+1 >c_2j bulunur. Bu durumda, her r,s≥ için r=s ise 0 c_k−2 <c_k eşitsizliğinden

2s 2r 1 2r c c c ₊ > > , r<s ise c_k−2 <c_k eşitsizliğinden c_2r+1 >c_2s+1>c_2s ve 2s 1 2r c

c ₊ > eşitsizlikleri elde edilir.

1.9.2.Teorem

<q_o,q₁,q₂...> sonsuz sürekli kesri için i) _k

klim→∞c mevcuttur ve r , s herhangi iki pozitif tamsayı olmak üzere

c_2r < _k klim→∞c <c2s+1 sağlanır. ii) _k klim→∞c = <qo,q1,q2...> olur. iii α=<q_o,q₁,q₂...> ise

[ ]

α =q_o ve > < + = ,.... q , q 1 q α 1 o o dir.

([x] :x elemanının tam değeridir.)

Kanıt

i) 1.91.Teoremden

{ }

c_2k artan ve herhangi bir tek yaklaşımla üstten sınırlı olduğundan, _2k

klim→∞c mevcuttur. Benzer biçimde

{

c2k+1

}

azalan ve

herhangi bir çift yaklaşımla alttan sınırlı olduğundan _{2k 1}

klim→∞c + de mevcuttur. 1.9.1. Teoremden _{2k 1} klim→∞c + = klim→∞c2k+ 1 2k k k Q Q 1 lim + ∞

→ bulunur.

{ }

Q artan bir k

dizi ve Q_k ≥0 olduğundan son limit sıfır olacağından _{2k 1}

klim→∞c + = klim→∞c2k elde

edilir. Bu da tek ve çift yaklaşımlar dizilerinin limitlerinin aynı olduğunu gösterir. Buradan _k

klim→∞c = klim→∞c2k=klim→∞c2k+1 sağlanır ve c2r < klim→∞ck <c2s+1 olacağı

açıktır.

ii) ,iii) c_2r < _k

k c

lim

∞

→ <c2s+1 eşitsizliğinde r=s=0 alınır ise

1 0 o q 1 q α q < < + elde edilir. q₁≥ olduğundan 1 q_o <α<q₀ +1 ve buradan

[ ]

α =q_o bulunur. Ayrıca c = _k <q_o,q₁,q₂...> olduğundan _k klimc α ∞ → = = > < ∞ → + ,.... q , q 1 q 1 o o k = +<q ,q,....> 1 q 1 o o

1.9.3. Teorem

Her sonsuz sürekli kesir bir irrasyonel sayı belirler.

Kanıt:

> =<q ,q ,...

α _{o 1} sonsuz sürekli kesri bir rasyonel sayı belirlesin, n sonlu olmak üzere,

α=<q_o,q₁,...>=<p_o,p₁,....,p_n >

olacaktır. Bu ancak ilk n terimin eşit olmasıyla mümkündür.

Bu durumda, +

+ >=< >= ∈

<q_n,q_{n 1},.... p_n p_n N olur ki, bu bir çelişkidir.

1.9.4. Teorem

Her α irrasyonel sayısı bir tek sürekli kesre eşittir ([24]).

Dolayısıyla α irrasyonel sayısı ile sonsuz sürekli kesirler arasında birebir bir eşleme vardır.

> =<q ,q ,...

α _{o 1} bir sonsuz sürekli kesir olsun.

> =<q ,q ₊,...

α_{k k k 1} biçimindeki sonsuz sürekli kesre α kesrinin “k-ıncı tamlayanı” denir.

> =<

∈

∈Z, q ,q ,....,q ₋ Z₊ ve β p ,p ,...

q_{o 1 2 k 1 o 1} 1 den büyük bir irrasyonel

sayı ise,

> >=<

<q_o,q₁,...,q_k−1,β q_o,q₁,...,q_k−1,p_o,p₁,... sağlanır.

1.10. PERİYODİK SÜREKLİ KESİRLER

1.10.1. Tanım

a ile b sıfırdan farklı rasyonel sayılar ve d kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere,

sayısına “kuadratik irrasyonel sayı” denir.

1.10.1. Önerme

Her α kuadratik irrasyonel sayısı, d kare çarpansız pozitif tamsayı ve

2

r d |

s − , r ve s sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere, s

d r+

biçiminde yazılır. Kanıt: α=a+b d şeklinde olsun. r ile s sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere;

w d v u

α= + şeklinde yazılabilir. Karekökün işareti pozitif olacak biçimde, 1 1 1 2 1 2 w d u w w d w w u w d u w d v u α= + = ′+ = ′ + = +

yazılışı mümkündür. d1 ve d tamkare değildir.

Ayrıca, 2 2 1 2 2 1 2 2 1 w d u w (d u )w u d− = − ′ = − ′ olduğundan 2 1 2 1 w |d u w = − m elde edilir. Bu durumda, r=u₁,s=w₁ alınırsa,

s d r α= + istenen yazılıştır. 1.10.2. Tanım > =<q ,q ,...

α _{o 1} bir irrasyonel sayı olsun. Sonlu bir adımdan sonra qk lar

periyodik olarak eşit değerler alıyorsa bu kesre “periyodik sürekli kesir” denir.

> =<q ,q,q ,...,q ₋ ,q ,q ₋ ,...,q _{+ −}, α _{o 1 2 k 1 k k 1 k L 1}

biçiminde gösterilir ve L sayısına “kesrin periyod uzunluğu” denir.

1.10.1. Teorem

Herhangi bir periyodik sürekli kesir bir quadratik irrasyonel sayıya karşılık gelir, tersine bir quadratik irrasyonel sayının sürekli kesre açılımı periyodiktir ([24]).

1.10.1. Lemma > =<q ,q ,...

α _{o 1} bir kuadratik irrasyonel sayı ve

o o o s d r α α= = + , _{s|d− , r}2

r ve s sıfırdan farklı tamsayılar ise,

k 2 1 k 1 k k k k 1 k s r d s r s q r + + + − = − = (1.1)

rekürans değerleri ve k≥ için, 0 i) r_k ve s_k ≠0 birer tamsayıdır. ii) 2 k k|d r s − dir. iii) k k k s d r α = + dir. özellikleri kullanılarak o o o s d r α

α= = + kuadratik irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesre açılımı elde edilir.

1.10.2. Lemma o o o s d r α

α= = + bir kuadratik irrasyonel sayı ve α elemanının eşleniği

α′ olsun. Eğer n > 1 tamsayısı için α′_n−1<0 ise, i) −1<α′_n <0

ii) 0<r_n < d iii) 0<s_n <2 d koşulları gerçeklenir ([24]).

1.10.3. Tanım

Bir sürekli kesrin periyod dışında kalan elemanı yoksa bu kesre “pürperiyodik (tamamen periyodik) kesir” denir.

1.10.4. Tanım

α bir kuadratik irrasyonel sayı ve α′, α nın eşleniği olsun. Eğer α>1, 0

α 1< ′<

− ise α ya “indirgenmiş kuadratik irrasyonel sayı” denir.

1.10.2. Teorem

Bir α kuadratik irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesrinin pür-periyodik olması için gerek ve yeter koşul α nın indirgenmiş olmasıdır ([24]).

1.10.3. Teorem

d kare çarpansız bir tamsayı olsun. α kuadratik irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesre açılımı;

> < = d ise, q_o,q₁,...,2q_o α > − < ≥ + = ise, (α 7için) q ,q ,...,2q 1 2 d 1 α _{o 1 o} biçimindedir (Hasse [5]). 1.10.5. Tanım d b a

α= + kuadratik irrasyonel sayı olsun. d≡1(mod4) ise ∆= , d 4)

(mod 3 2,

d≡ ise ∆=4d biçimindeki ∆> sayısına “ α nın diskriminantı” 0 denir.

1.10.6. Tanım η

ξ, reel sayıları için ad−bc=_m1 (a,b,c,d∈Z) olmak üzere

d cη b aη ξ + + = sağlanıyor ise ξ ve η ya “denk sayılar denir” ve ξ~η ile gösterilir.

i) ξ ve η gibi iki irrasyonel sayının denk olması için gerek ve yeter şart bunların sürekli kesre açılımlarının sonlu adımlardan sonra tamamen aynı olmasıdır ([14]).

iii) Denk kuadratik irrasyonel sayıların diskriminantı eşittir.

iv) Her kuadratik irrasyonel sayı ayrı diskriminanta sahip bir indirgenmiş kuadratik irrasyonel sayıya denktir.

v) ξ ve η indirgenmiş iki irrasyonel sayı olsun. Aşağıdaki denk koşullardan biri sağlanır ise ξ~η dır.

a) d cη b aη ξ + + = , ad−bc =_m1(a,b,c,d∈Z) b) ξ =<q_o,q₁,...,q_m−1,η>, q_i ∈Z₊ i=0,...m-1 c) η=<p_o,p₁,...,p_n−1,ξ >, p_i ∈Z₊ i=0,...n-1

II. BÖLÜM

TEMEL BİRİMİNİN NORMUNUN -1 OLMASI DURUMUNDA SINIF

SAYISI TEK SAYI OLAN REEL KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN

İNVARYANT DEĞERLER YARDIMIYLA BELİRLENMESİ

Temel birimin normuna bağlı olarak, belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayılarının belirlenmesi için, R. A. Mollin - H. C. Williams, S. Katayama, H. Yokoi, H. Taya - N. Terai, H. K. Kim, M, - G. Leu – T. Ono çeşitli yöntemler geliştirmişlerdir. 1990 yılında Shin-Ichi Katayama ve Shigeru Katayama dirichlet sınıf sayısı formülünü kullanarak temel birimin normu -1 olup sınıf sayısı 1, 3 ya da 5 olan reel kuadratik sayı cisimlerini belirlemişlerdir ([8]). 1998 yılında F. Karaali ve H. İşcan temel birimin normunun +1 olması durumunda 1≤u≤100 için invaryant değerler yardımıyla sınıf sayısı 1 veya 2 olan reel kuadratik sayı cisimlerini belirlemişlerdir ([7]).

Bu bölümde, D kare çarpansız bir tamsayı, 1, Q( D) 2

D u t

ε_D = + >

reel kuadratik sayı cisminin temel birimi olmak üzere, temel birimin normunun -1 olması durumunda 1≤u≤100 için D nin uygun bir değeri hariç sınıf sayısı tek sayı olan reel kuadratik sayı cisimlerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Burada N(ε_D)=−1 olan reel kuadratik sayı cismi k=Q( D), k cisminin sınıf sayısı hk, diskriminantı dk, kronecker karakteri χ ile gösterilecektir. k

Ayrıca, N:Q( D)→Q norm fonksiyonu, [x] ile de herhangi bir x elemanının tam değeri gösterilmektedir.

2.1. Önerme

D kare çarpansız pozitif bir tamsayı olsun. Eğer, 4t2₋Du2 _{=− denklemi}

çözülebilir ise, p_i ve q_j ler mod 4 e göre 1 e denk asal sayılar, ej ler pozitif

tamsayılar ve δ₁, δ₂, 0 yada 1 olmak üzere, D ve u;

∏

= i i δ _p 2 D 1 , =

∏

j e j δ2 q j 2 u

biçiminde asal çarpanlara ayrılır. Ayrıca 4)D≡2(mod ise t≡0 (mod2), 2) (mod 0 u≡ dir. Kanıt: 4 Du

t2 ₋ 2 _{=− Pell Denklemi çözülebilir ise t}2 _{≡−4(modDu}2_{)’dir. p,}

Du2 _{nin herhangi bir asal çarpanı olmak üzere t}2 _{≡−4(modp) elde edilir.}

Buradan 2 1 p 1) ( p 4 1 − − =       −

= olduğu kullanılarak p≡1(mod4) bulunur. Eğer

4) (mod 0

u≡ sağlanırsa 4t2 ₋Du2 _{=− denkleminden t≡0(mod2) olur.} o o , t 2t 4u u= = olarak alındığında 1t 4u2 o 2

o − = elde edilir. Bu durumda

4) (mod 1 t2

o ≡− olur. Bu bir çelişki olduğundan u≡0(mod2) olmalıdır.

2.2. Önerme ) D Q(

k= cismi için N(ε_D)=−1 iken, sınıf sayısı hk tek sayı ise p,

4) (mod 1

p≡ sağlayan bir asal olmak üzere, D = p dir.

Kanıt:

1 ) (ε_D = −

N olduğundan kuadratik sayı cisimlerinin cins teoreminden + k

h , k nın dar anlamda sınıf sayısı *

k

h bir cinsteki sınıfların sayısı ve t, D nin farklı asal çarpanlarının sayısı olmak üzere, [5] den *

k 1 t k k h 2 h h = + = − sağlanır.

hk tek sayı olduğundan 2t−1=0 olmalıdır. Bu t=1 olması sonucunu

vereceğinden ∃ p asalı için D = p bulunur. 2.1. Önermeden p≡1mod(4) olacağı açıktır.

2.1. Lemma

D kare çarpansız bir tamsayı ve N(ε_D)=−1 olmak üzere,

}

{

v 0 v u , v 4(modu )

}

V 2 2 2 D = ≤ < ≡−

}

{

2 2

}

D D (v,w) v V , v 4 w.u W) (V, = ∈ + =

biçiminde iki küme tanımlansın. Herhangi bir D için,

w 2vn n u D v n u t 2 2 2 + + = + =

olacak biçimde tek şekilde tanımlanan n∈N_o =N∪

{ }

0 ve (v,w)∈(V,W)_D

değerleri vardır. Özel olarak u > 2 ise _0≤w<v<u2 _{ve n}

t D =_ 

 _{dir ([31]).}

Kanıt:

D₋ =

{

D∈D N(ε_D)=−1

}

temel biriminin normu -1 olan tüm

) D

Q( cisimlerini belirleyen kare çarpansız tamsayılarının kümesini göstersin. Herhangi bir D D∈ ₋ için n ve t u n v

u t 2 2= = +    _{alınırsa, bu durumda} n ve v sayıları _{n N , 0 v u}2 o ≤ <

∈ olacak biçimde tek şekilde tanımlanır. Buradan, 4 + + + = + + = + = 2 2 2 4 2 2 2 2 _{t 4 (u n v) 4 u n 2u nv v} Du ve ) u (mod 0 4 v2 _{+ ≡} 2

bulunur. Bu da v∈V_D olduğunu gösterir. _v2_+4=wu2 _{alınırsa, w da tek}

şekilde tanımlanmış olacağından (v,w)∈(V,W)_D olacaktır. Ayrıca, 4 v nv 2u n u 4 v) n (u 4 t Du2 ₌ 2 _{+ =} 2 ₊ 2 _{+ =} 4 2₊ 2 ₊ 2 _{+ ve v}2 _+4≡0(modu2₎

ifadelerinden u n 2nv w u 4 v 2nv n u D 2 2 2 2 2 2 _{+ +} + _{= + +} = elde edilir.

u > 2 durumunda, _0≤v<u2 _{eşitsizliğinden 4w.u}2 _=v2 _+4<u4 ₊

olacağından _w≤u2 _{olduğu görülür. w =u}2 _{alınırsa, v}2 _+4=wu2 _ifadesinden

4 v

u4 ₋ 2 _{= , 4(u}2 _−v)(u2 _{+v)= olur. Bu ise u > 2 durumuyla çelişir. Öyleyse} 2

u w

0≤ < olmalıdır. g(x)₌₋x2 ₊u2x₋4 _{polinomu göz önüne alınırsa,} 0 5 u 4 u 1 g(1)_{=− +} 2 _{− =} 2 _{− >} ve , 0 w v g(w) 4, w u w g(w)₌₋ 2 ₊ 2 _{− =} 2 ₋ 2 _{> w}2 _<v2_{, w<v} bulunur. O halde, 2 u v w 0≤ < < eşitsizliği gerçeklenir.

Sonuç olarak, t₌u2n₊v _{ve D=u}2_n2 _{+2vn+w olduğu kullanılarak}

w vn tn w vn vn n u D₌ 2 2 _{+ + + = + +}

olarak yazılabilir. Buradan

    ₊ + =     + + =     t w vn n t w vn tn t D bulunur. 0w+vn> ve 0 w v v) n(u w vn v n u w vn t w) (vn t_{− + = − − =} 2 _{+ − − =} 2_{− + − >} olduğundan, n t D =_   elde edilir. 2.2. Lemma (Tatuzawa) 2 1 α

0< < sağlayan herhangi bir α gerçel sayısı için d , _k

{

1α 11.2

}

k max e ,e

d ≥ sağlayan bir pozitif tamsayı ve χ , modülü _d d olan esas _k olmayan primitif bir karakter olsun. Bu durumda χ karakterine karşılık gelen _d

) χ

L(s, _d L-fonksiyonunun s = 1 noktasındaki değeri için, d_k nın uygun bir değeri hariç, ) d α ( 0,655 ) χ L(1, _α k d > eşitsizliği sağlanır ([27]). 2.3. Önerme

D kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere Q( D) cisminin temel biriminin normu N(ε_D)=−1 ise t<ε_D <u D ve u≠2 ise ε_D < sağlanır. D

Kanıt: 1 2 D u t

ε_D = + > temel biriminin normu N(ε_D)=−1 ise t2 ₋Du2 ₌₋4_dir. Bu durumda, t2 ₌Du2₋4 _⇒ t₌ Du2 ₋4_<u D _{olur ve buradan}

u D 2 D u D u 2 D u t ε_D = + < + = eşitsizliği gerçeklenir. u = 1 için ; D t D t 4 D t 4 D t Du 2 2 2 2 2 < ⇒ < ⇒ − = ⇒ − = − = − t olur. Bu durumda, t D u t 2 = < olduğundan _u 1 t

2 ≥ olarak elde edilir.

2

u> için 2.1.Lemma’dan _0≤w<u2 _{ve t=u}2_{n+v olduğu kullanılarak}

2 2 _u v n u t + = yazılır. n≠0 olduğundan 1 u v n u t 2 2 − = < olur. Buradan da _u 1 t 2 > olduğu görülür. 4 Du t2 ₋ 2 _{=− denklemi )} u 2 )(D u 2 (D u 4 D u t 2 2 2 + − = − = biçiminde yazılırsa,

2 1 D u t t. D> ₂ > − (2.1)

eşitsizliği elde edilir. u=1 için 1, u 2 u

t

2 ≥ > için _u 1

t

2 > ve (2.1) eşitsizliğinden

t < D bulunur. Ayrıca 2u≠ durumunda _t2_+4=Du2 _{ifadesinde t<D alınırsa} 2

2 2

2 _{D 4, Du D}

Du < + < buradan da u D<D elde edilir. Sonuç olarak, D D u ve D u ε

t< _D < < olduğundan ε_D <D eşitsizliği gerçekleşmiş olur.

2.3. Lemma (Davenport-Ankeny-Hasse-Ichimura) 1

D> kare çarpansız rasyonel bir tamsayı ve 1 2

D u t

ε_D = + > , Q( D) cisminin temel birimi olsun. m> doğal sayısı için, 1

4m Dy x2 2 m = −

diophantine denkleminin en az bir aşikar olmayan çözümü varsa,

     = − − = ≥ 1 ) (ε , u 2 t 1 ) (ε , u t m D 2 D 2 N N sağlanır

( )

[ ]

20 . 2.4. Önerme

m tek, pozitif bir tamsayı olmak üzere, sabit bir u elemanı için, h_k > m olacak biçimde bir c gerçel sayısı ve temel birimin u değerine bağlı n ν≥ (u) olduğunda mh_k > sağlayan bir ν(u) gerçel sayısı vardır. (D nin uygun bir değeri hariç)

Kanıt:

Dirichlet sınıf sayısı formülünden, y≥11,2 gerçel sayısı ve y k e

d ≥ sağlayan dk nın uygun bir değeri hariç, k dk 1/y

y 0,655 )

χ

D 1/y k k k D k k 2ylogε .d d 0,655 ) χ L(1, . 2logε d h − > =

eşitsizliği elde edilir. 1 ) (ε_D =−

N durumunda, ε_D <u D ve D≡1(mod 4) iken, D=d_k olduğu kullanılarak, ) logd y(2logu 0,655.d h k 1/y 1/2 k k > ₊ −

eşitsizliği elde edilir. Özellikle y k e d = için 2 2/2 y y 2ylogu 0,655.e ) y , f(logu +

= − olarak ele alındığında y≥11.2 için f(logu, y ) fonksiyonunun monoton artan bir fonksiyon olduğu görülür.

m c 2clogu 0,655.e ) c , f(logu ₂ 1 2 c ≥ + = −

eşitsizliğinden c gerçel sayısının alacağı en küçük ve en büyük değerler ; 1≤u≤100 olmak üzere, m c 0,655.e c) c(2log1 0,655.e c) f(logu, h ₂ 1 2 c 1 2 c k > = ₊ = ≥ − − (2.2) m c 9,21c 0,655.e c) c(2log100 0,655.e c) f(logu, h ₂ 1 2 c 1 2 c k > = ₊ = ₊ ≥ − − (2.3) eşitsizliklerinden bulunur. Aynı zamanda,

4 Du t n ifadesinde 4 Du t2 ₋ 2 _{=− =} 2 _{− bulunacağından} 2 2 2 _u 4 Du u t − = elde edilir. Buradan e D d u2 2vn w

K c _{≤ = = + + olduğu kullanılarak 2} c 2 2 _u 4 e u u t _≥ − (2.4) eşitsizliğine ulaşılır. (2.3) den

0,0576 ) c (9,21c m e 0,24 ) c m(9,21c e m ) c e(9,21c 0,655.e 2 2 2 c 2 c 2 2 c + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ +

eşitsizliği elde edilir.

Bu eşitsizlik kullanılarak, 2 ut ≥ 4 2 2 2 2 2 c 2 u 4 0,0576 m ) c (9,21c u u 4 e u − + ≥ − _{2 4} 2 2 2 u 4 (0,0576)u m ) c (9,21c − + = (2.5) olduğu görülür. (2.4) ve (2.5) eşitsizliklerinden _{2 4} 2 2 2 2 _u 4 (0,0576)u m ) c (9,21c u t − + =

elde edilir. ν(u)= ₂ u

t

olarak alınırsa, ν(u) invaryant değeri

(u)ν = _{2 4} 2 2 2 u 4 (0,0576)u m ) c (9,21c − + olacaktır.

Buradan, n≥ν(u) sağlayan n değerleri için h_k > olduğu sonucuna m ulaşılır.

O halde n≥ν(u) olan n değerleri için h_k >m (m: tek sayı) olduğundan

4 2 2 2 2 u 4 (0,0576)u m ) c (9,21c ν(u) n

0≤ < = + − invaryant değeri için D₌u2n2₊2vn₊w

2.4. Lemma 1

D> kare çarpansız bir tamsayı ve q≠ bir asal olsun. Bu durumda 2 aşağıdaki koşullar denktir,

i) e, _x2 _Dy2 _4qe

m =

− denklemi en az bir tam çözüme sahip olacak biçimdeki en küçük tamsayıdır. ii) 1 q D =_     

dir ve e doğal sayısı Q( D) nin ideal sınıf grubunda q nun q₁,q₂ (q₁ ≠q₂) asal çarpanlarının mertebesidir ([20]).

2.5. Lemma 1

D> kare çarpansız bir tamsayı, q, 1 q D =_     

olan bir tek asal ve e,

) D

Q( cisminin ideal sınıf grubunda q nun q_i (i=1,2) asal çarpanlarının mertebesi olsun. Bu durumda _x2 _Dy2 _4qe

m =

− Diophantine denklemi en az bir tam çözüme sahiptir.

Kanıt: 1 q D =_     

olduğundan q=q .₁q₂ biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

(w) , = =_{q q}e q₁ ve 2 D y x w = + biçiminde alındığında, qe_=N(q)e 4 Dy x2 ₋ 2 = olduğu görülür ve böylece _x2 _Dy2 _4qe m =

− denklemi bir tam çözüme sahiptir.

2.5. Önerme ) D Q(

k= reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı h_k =m gibi bir tek sayı ise ve q 1 q D =_     

Kanıt: 1 q D =_      olduğundan _x2 _Dy2 _4qe m =

− Diophantine denkleminin aşikar

olmayan en az bir tam çözümü vardır. 1 q D =_      olduğundan q=q .₁q₂ biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

(w)_q =_q, _qe = 1 ve ₂ D y x w = + biçiminde alındığında, qe_=N(q)e 4 Dy x2 ₋ 2 = olduğu görülür. Buradan _x2 _Dy2 _4qe m =

− denkleminin bir çözüme sahip olduğu çıkar. 1N(ε_D)=− olduğundan 2.3. Lemmadan e ₂

u t q ≥ olur. _qhk ≥_qe olduğuna göre h ₂ u t

q k ≥ yazılır. u = 1 ise t = n olur ve h m

k = den n

u t

qm _{≥ 2 = sağlanır.}

u=2 için t=4n dir ve n

4 4n u

t

qm _{≥ 2 = = eşitsizliği de sağlanır. 2u> için}

v n u t₌ 2 _{+ ve 0≤w <v<u}2 _{olduğu kullanılarak} 2 2 2 2 m u v n u v n u u t q ≥ = + = + olur. 0 u v 2 ≤ olduğundan nq

m _{≥ eşitsizliği elde edilir.}

2.1. Teorem 1 ) (ε_D =−

N durumunda 1≤u≤100 için h_k = olan D nin uygun bir 3 değeri hariç, 31 tane k=Q( D) reel kuadratik sayı cismi vardır.

Kanıt:

2.2. Önermede verilen yöntemler m tek sayısı olarak m=3 alındığında, (u)

n ν≥ olan n değerleri için h_k > olacağından 33 h_k >f(logu,c)≥ eşitsizliğinden c≥16.18007 olduğu kullanılarak,

4 2 16.18.007 2 16.18007 2 2 c 2 u 4 u e u 4 e u u 4 e u (u)≥ − ≥ − = − ν ifadesinden ₂ 2 ₄ u 4 u (3261) (u)= − ν alınabilir. Öyleyse, 4 2 2 u 4 u (3261) (u) n 0≤ <ν = −

eşitsizliğini sağlayan n değerleri için D₌u2n2 ₊2vn₊w _{olmak üzere,} )

D Q(

k= reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı h_k =3 olabilir. Buna göre; h_k = ise, 3

i) 4)p≡1(mod olmak üzere, D = p asaldır.

ii) 1 q D =_     

olan bir q tek asal değeri için q3 _{≥ ’dir. (2.5.Önermenin} n kanıtına benzer olarak elde edilir.)

iii) ₂ 2 ₄ u 4 u (3261) (u) n 0≤ <ν = −

koşulları sağlandığından bu biçimdeki D değerleri bu kısmın sonunda verilmiş olan bilgisayar programı ve Y. Kida’nın UBASIC86 [10] programı kullanılarak tespit edildikten sonra 1≤u≤100 sağlayan u değerleri için D nin uygun bir değeri hariç h_k =3 sağlayan 31 tane reel kuadratik sayı cismi elde edilmiştir. Bu teoremi sağlayan u, v, w, n ve D değerleri 2.1.Tablo ile verilmektedir.

1 ) (ε_D =−

N durumunda sınıf sayısı h_k = olan bu cisimler arasında 3 H.Yokoi’nin [31], S-I, S-G Katayama’nın [8,9] çalışmalarında belirlediği cisimlerde bulunmaktadır. Bunlar2.1.Tabloda sırasıyla *, ● ve ▲ sembolleriyle belirtilmiştir. Tabloda, hiçbir sembolle belirtilmeyen cisimler literatürde rastlamadığımız bu yöntemle elde edilmiş yeni cisimlerdir. Ancak bunlar başka bir yöntemle önceden belirlenmiş de olabilir.

2.1.Tablo u v w n D 1 0 4 15 * ● 1 1 5 14 229 1 0 4 27 *● 1 1 5 26 733 1 0 4 35 *● 1 1 5 34 1229 1 0 4 37 *● 1 1 5 36 1373 1 0 4 47 *● 1 1 5 46 2213 1 0 4 67 *● 1 1 5 66 4493 1 0 4 73 ● 1 1 5 72 5333 1 0 4 97 *● 1 1 5 96 9413 2 0 1 8 *● 2 4 5 7 257 2 0 1 27 *● 2 4 5 26 2917 2 0 1 37 ● 2 4 5 36 5477 2 0 1 47 ● 2 4 5 46 8837 5 11 5 26 17477 5 14 8 13 4597 * 5 14 8 15 6053 5 14 8 23 13877 10 36 13 4 1901 *▲ 10 36 13 10 10733 10 64 41 9 9293 ▲ 13 140 116 5 5741 25 261 109 4 12197 ▲ 29 82 8 3 8069 ▲ 34 76 5 2 4933 *▲ 58 1600 761 0 761 50 2136 1825 1 8597 ▲ 65 1661 653 2 24197 ▲ 65 3689 3221 0 3221 *▲ 65 3689 3221 2 34877 ▲ 73 3777 2677 0 2677 *▲ 82 5968 5297 0 5297 ▲ 82 5968 5297 1 23957 ▲ (h_k =3, N(ε_D)=−1)

2.2. Teorem

1 ) (ε_D =−

N durumunda 1≤u≤100 için h_k =5 olan, D nin uygun bir değeri hariç 23 tane k =Q( D) reel kuadratik sayı cismi vardır.

Kanıt:

2.1 Teoreminin kanıtına benzer olarak 2.3.Önermede m=5 alındığında, )

(u

n ν≥ olan n değerleri için k =Q( D) olacağından 5h_k >f(logu,c)≥ eşitsizliğinden 17.5201c≥ olduğu kullanılarak,

2 17.5201 2 2 c 2 u 4 e u u 4 e u (u)≥ − ≥ − ν ifadesinden, (u)ν , _{2 4} 2 u 4 u (6374) (u)= −

ν olarak alınabilir. O halde 0≤n≤ν(u) eşitsizliğini sağlayan n değerleri için D₌u2n2₊2vn₊w _{olmak üzere k =Q( D)} reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı h_k = olabilir. 5

Buna göre, h_k =5 ise,

i) 4)p≡1(mod asal olmak üzere, D = p dir. ii) 1 q D =_     

olan bir q tek asal değeri için q5 _{≥ dir. (2.5. Önermenin} n kanıtına benzer olarak elde edilir.)

iii) _{2 4} 2 u 4 u (6374) (u) n 0≤ <ν = −

koşulları sağlandığından bu biçimdeki D değerleri aynı bilgisayar programında katsayılar değiştirilmek suretiyle tespit edilmiş ve 1≤u≤100 sağlayan u değerleri için D nin uygun bir değeri hariç 23 tane reel kuadratik sayı cismi elde edilmiştir. Bu teoremi gerçekleyen u, v, w, n ve D değerleri 2.2.Tablo ile verilmektedir.

1 ) (ε_D =−

N olmak üzere, sınıf sayısı h_k = olan cisimleri belirledikten 5 sonra bunların içinde H.Yokoi’nin [31], S-I, S-G Katayama’nın [8] ve [9]

çalışmalarındaki cisimlerin de aynen elde edildiği gözlenmiştir. Bunlar 2.2.Tabloda *, ● ve ▲ sembolleriyle belirtilmiştir. Aynen h_k =3 probleminde olduğu gibi, hiçbir sembolle belirtilmemiş olan cisimler bu çalışma sonucunda belirlenmiş cisimler olup, literatürde gözlemediğimiz ancak önceden belirlenme ihtimalinin de olabileceği yeni cisimlerdir.

2.2.Tablo u v w n D 1 0 4 33 1093 *● 1 0 4 57 3253 *● 1 0 4 85 7229 ● 1 0 4 103 10613 ● 1 0 4 115 13229 ● 1 0 4 137 18773 ● 1 0 4 167 27893 ● 1 0 4 193 37253 ● 2 0 1 10 401 *● 2 0 1 33 4357 *● 2 0 1 55 12101 ● 2 0 1 73 21317 ● 2 0 1 103 42437 ● 5 11 5 18 8501 5 11 5 32 26309 5 11 5 54 74093 13 29 5 12 25037 26 140 29 8 45533 ▲ 58 1600 761 3 40637 ▲ 61 1364 500 1 6949 ▲ 65 536 68 5 111053 ▲ 85 2236 692 3 79133 ▲ 97 1305 181 2 43037 ▲ (h_k =5,N(ε_D)=−1)

III. BÖLÜM

[

(2n 1)q

]

1

p= + 2_m

İÇİN

x2−py2 =_mq

DENKLEMİNİN

ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ VE

K =Q( p)

CİSMİNİN SINIF SAYISI

) p Q(

K=

reel kuadratik sayı cismi hK, K cisminin sınıf sayısı olsun.

Ankeny, Chowla, Hasse p=(2nq)2+1 asalı için (q: asal, n> 1), hK>1

olduğunu kanıtlamışlardır (

[ ]

1). S.-D.Lang, p=[(2n+1)q]2 +4 asalı için (q: tek asal, n≥ ) h1 K>1 olacağını kanıtlamıştır (

[ ]

12 ). 1983 yılında Yokoi

2 q] 1) [(2n

p= + 2_m asalı ve q tek asalı için x2 −py2 =_mq diophantine denkleminin çözümüne bağlı olarak K=Q( p) cisminin sınıf sayısını veren bazı kriterler elde etmiştir (

[ ]

37).

Bu bölümde, Yokoi’nin bu çalışmasından ve yukarıdaki çalışmalardan faydalanılarak, 0n≥ ve q tamsayılar olmak üzere p=[(2n+1)q]2 _m1 kare çarpansız tamsayı için x2 −py2 =_mq denkleminin çözülebilirliği incelenerek elde edilen kriterler yardımıyla K=Q( p)

cisminin sınıf sayısının 1 olması için

bir teorem verilecektir.

3.1. Tanım

D>1 kare-çarpansız tamsayısı ve m>1 tamsayısı için m=s2 ve s)

(mod 0 y

x_o ≡ _o ≡ ise (x_o,y_o) a x2 −Dy2 ≡_m4m diophantine denkleminin “aşikar tam çözümü” denir. Denklemin bu çözümünden farklı çözümleri “aşikar olmayan tam çözümler” olarak adlandırılır.