Kısmi integral

(1)

Mahmut KOÇAK

c

2008mkocak@ogu.edu.tr http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/

(2)

Kısmi İntegrasyon Yöntemi

I açık bir aralık olmak üzere f , g : I→ sürekli türevi olan iki fonksiyon olsun. Bu durumda f(x) g(x)dx = f (x) g (x) − f(x) g (x)dx +C (C ∈ ) dir. Not (i). f(x) g(x)dx = f (x) g (x) −

f(x) g (x)dx +C ifadesi kısmi integral formülü olarak bilinir.

(ii). Pratikde kısmi integral formülü şu şekilde uygulanır. u= f (x), dv = g(x)dx denilirsed u= f(x)dx, v = g (x)ve u(x)v(x)dx = u (x)v (x) − v(x)u(x)dx +C kısaca u vdx= u v − v ud x+C veya u d v= u v − v d u+C olur.

(iii). Kısmi integral tekniği uygulanırken dikkatli olunmalıdır. Aksi taktirde tekrar aynı integralle veya daha zor bir integralle karşılaşılabilir.

(3)

3/7

(iv). P(x)bir polinom,α,β ∈ vem∈ olmak üzere kısmi integral yöntemi P(x)eαx +βd x , P(x)sin(αx + β)d x, P(x)cos(αx + β)d x, P(x)arctan(x)d x, P(x)lnm(x)d x tipindeki integrallere uygulanabilir.

Örnekler: Aşağıdaki integrallerde u vev nin nasıl seçildiğine dikkat ediniz.

1.x ex_{d x} _{integralini bulalım.} u = du = dx dv = dx v = denilirse x ex_{d x} ₌ ₋ _{d x} = − +C = +C olur. Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil

(4)

2.arctan(x)d x integralini bulalım. u = du = dx dv = dx v = denilirse arctan(x)d x = − d x = − = olur. 3.ln(x)d x integralini bulalım. u = du = dx dv = dx v = Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil

(5)

5/7 denilirse ln(x)d x = − d x = − d x = − +C = +C olur. 4.x2_{ln(x)d x} _{integralini bulalım.} u = du = dx dv = dx v = denilirse x2_{ln(x) =} ₋ d x = −1 3 d x = −1 3 +C olur. Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil

(6)

5.(x + 2)e−x_{d x} _{integralini bulalım.} u = du = dx dv = dx v = denilirse (x + 2)e−x_{d x} ₌ ₋ _{d x} = − d x = +C olur.

6.x cos(x)d x integralini bulalım.

u = du = dx dv = dx v = Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil

(7)

7/7 denilirse x cos(x)d x = ₋ d x = − d x = +C olur.

7.x2_{sin(x)d x} _{integralini bulalım.}

u = du = dx dv = dx v = denilirse x2_{sin(x)d x =} ₋ _{d x} = + 2 d x = + 2 +C

= −x2_{cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x) +C} olur. Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil Cevap Sil