T.C.
GAZOSMANPAA ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
DENKLEMNDE SOYUT LNEER OPERATÖR BULUNDURAN BR SINIR-DEER PROBLEMNN
ÖZDEERLERNN ASMPTOTK DAVRANII
Hayati OLAR Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU
2009
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ MATEMATK ANABLM DALI
YÜKSEK LSANS TEZ
DENKLEMNDE SOYUT LNEER OPERATÖR BULUNDURAN
BR SINIR-DEER PROBLEMNN
ÖZDEERLERNN ASMPTOTK DAVRANII
Hayati OLAR
TOKAT 2009
Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU dan³manl§nda, Hayati OLAR tarafndan hazrlanan bu çal³ma 24/07/2009 tarihinde a³a§daki jüri tarafndan oy birli§i/oy çoklu§u ile Matematik Anabilim Dal'nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmi³tir.
Ba³kan: Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU
Üye: Doç. Dr. E³ref ORUCOV
Üye: Yrd. Doç. Dr. Osman ÖZDEMR
mza:
mza:
mza:
Yukardaki sonucu onaylarm (mza)
Prof. Dr. Metin YILDIRIM Enstitü Müdürü
kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin herhangi bir ksmnn bu üniversite veya ba³ka bir üniversitedeki ba³ka bir tez çal³mas olarak sunulmad§n beyan ederim.
mza
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
DENKLEMNDE SOYUT LNEER OPERATÖR BULUNDURAN BR SINIR-DEER PROBLEMNN
ÖZDEERLERNN ASMPTOTK DAVRANII Hayati OLAR
Gaziosmanpa³a Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal
Dan³man : Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU
Bu çal³mada snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran bir diferansiyel-operatör snr de§er geçi³ probleminin baz spektral özellikleri incelenmi³tir. Be³ bölüm halinde düzenlenen bu çal³mann "Giri³" bölümünde ara³trlan konunun güncelli§i, ele alnma nedeni, uygulama alanlar, teorik ve pratik önemi hakknda ksa bilgi verilmi³tir. "Literatür özeti" bölümünde özde§er parametresi içeren lineer diferansiyel denklemler için snr de§er problemlerinin genel tarihine ve tez konumuz ile direkt ilgili olan çal³malarda elde edimi³ sonuçlarn ksa bir özetine de§inilmi³tir. "Genel Bilgiler" bölümünde tez konumuzla ilgili olan ve daha sonraki "Bulgular ve Tart³ma " bölümünde yararland§mz temel tanm ve teoremlere yer verilmi³tir. "Bulgular ve Tart³ma " bölümü 12 alt bölümden olu³maktadr. Bu bölümün ilk 10 alt ba³l§nda bir salt diferansiyel snr-de§er-geçi³ probleminin baz spektral özellikleri bilinen yöntemlerle incelenmi³tir. Bu bölümün esas orjinal ksm sonraki alt bölümlerdir. Onbirinci alt bölümde verilen snr-de§er-geçi³ problemine uygun olan H ve eH ile gösterilen özel uzaylar kurulmu³; bu uzaylarn Hilbert uzaylar oldu§u gösterilerek ara³trlan snr-de§er-geçi³ probleminin bu uzaylar arasnda izomorzm oldu§u ispat edilmi³tir. Ayrca rezolvent operatörünün sonraki ara³trmalar için gerekli olan özellikleri bulunmu³tur. Onikinci alt bölümde; denkleminde farkl özelliklere sahip olan soyut (abstract) lineer operatörler bulunduran snr-de§er-geçi³ problemlerinin özde§erleri için asimptotik formüller bulunmu³tur. Çal³mamzn sonuncu "Sonuç ve Öneriler " bölümünde ise ara³trmamzdan çkarlabilecek sonuçlardan ve bu konuda ileride yaplmas gereken çal³malardan bahis edilmi³tir.
Anahtar kelimeler: Özde§erler, Özfonksiyonlar, Snr de§er problemleri, Geçi³ ³art lar, Sturm-Liouville teorisi, özde§erler ve özfonksiyonlarn asimptoti§i, Diferansiyel operatörler ve interpolasyon teorisi.
ABSTRACT
Undergreduate Thesis
ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF EIGENVALUES OF ONE BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH ABSTRACT LINEAR OPERATOR CONTAINED IN THE
EQUATION Hayati OLAR Gaziosmanpasa University Faculty of Arts and Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU
In this study we have examined the spectral specialties of a differential operator boundary value transmission problem which has eigenvalue parameter in the boundary conditions. This study has arranged in 5 chapters, in the introduction chapter a brief explanation has been given about the theoretic, practice importance, the application areas and the importance of the discussed subject. A brief history and and the solutions obtained from other studies have been mentioned in the literature chapter of boundary value transmission problems for linear differential equations which has eigenvalue parameter. In the general knowledge is chapter, we have mentioned the general knowledge and denitions about the subject of our thesis. "Findings and Discussion" chapter has twelve subchapters. In the rst ten part of this chapter we have examined the spectral specialties of a pure differential boundary value problem. The main part of this chapter which is the original part has been tried to be explained in the following chapters. The suitable special spaces given with H and eH have been constructed to be boundary value transmission problem given in the eleventh subdivision. These spaces have been examined and marked that they are Hilbert spaces. Boundary value transmission problem between these spaces has been proved as isomorphic. Apart from this, the necessary characteristics of a resolvent operator has been found for the later researches. In the twelveth subchapter, asymptotic formulas have been found out for boundary value transmission problems which have abstract linear operator with different specialties in the equation. In the conclusion part of our study, we have mentioned the possible solutions obtained from the study and some suggestions have been offered for the future studies on this subject.iii
Key words: Eigenvalue, Eigenfunction, Boundary-Value problems, Transmission Conditions, Sturm Liouville Theory, The asymptotic eigenvalues and eigenfunctions, Differential operators and Interpolation theory.
TEEKKÜR
Yüksek lisans tezimi hazrlamamda deste§ini, deneyimini ve eme§ini hiçbir zaman esirgemeyen, kymetli zamann, kirlerini ve bilgilerini benimle cömertçe payla³an saygde§er dan³man hocam Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU ' na minnettarl§m sunarm.
Ayrca, tez çal³mam boyunca kar³la³t§m baz problemlerde de§erli kirlerine ba³vurdu §um bölümümüzün de§erli hocalarndan Yrd. Doç. Dr. Ercan TUNÇ ve Yrd. Doç. Dr. Zülgar AKDOAN hocalarma te³ekkür etmeyi bir borç bilirim.
Tezin latex ortamnda yazlmasnda bana uygun bir tez format sa§layan bölümümüz ara³trma görevlilerinden Serdar ENGNOLU 'na te³ekkür ederim. Tez çal³malarm boyunca birlikte tart³malar yapt§mz ve bu konudaki kirlerini benimle açkça payla³an bölümümüz ara³trma görevlilerinden Kadriye AYDEMR'e te³ekkür ederim.
Lisans ve yüksek lisans ö§renimim boyunca maddi ve manevi desteklerini benden hiçbir zaman esirgemeyen bölümümüzün de§erli hocalarna ³ükranlarm sunarm.
Lisans ve yüksek lisans ö§renimim boyunca bilgi ve birikimlerini benimle payla³an, maddi ve manevi desteklerini benden hiçbir zaman esirgemeyen ayrca tez çal³mamn düzenlenmesi ve derlenmesinde de§erli tespitlerde bulunan de§erli hocam Ar³. Gör. Serkan DEMRZ 'e te³ekkür ederim.
Lisans ve yüksek lisans ö§renimim boyunca sonsuz desteklerini esirgemeyen, ö§renim hayatndaki tecrübelerinden her zaman için yararland§m de§erli hocam Ar³. Gör. Necati BAMAN 'a te³ekkür ederim.
Ö§renim hayatm boyunca her zaman yanmda olan, maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen sevgili Aile'me te³ekkür ederim.
ÖZET . . . i ABSTRACT . . . iii TEEKKÜR . . . v 1. GR . . . 1 2. LTERATÜR ÖZET . . . 3 3. GENEL BLGLER . . . 6
3.1 Regüler Sturm-Liouville Problemi . . . 6
3.2 Lineer Diferansiyel fade ve Snr artlar . . . 7
3.3 Lineer Operatörlerin Özde§er ve Özfonksiyonlar . . . 8
3.4 L2[a, b] Uzay . . . 8
3.5 Hilbert Uzaylarnda Simetrik ve Kendine E³lenik Operatörler . . . 9
3.6 SnrlVaryasyonlu ve Mutlak Sürekli Fonksiyonlar ile Riemann-Lebesgue Lemmas . . . 13
3.7 Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin Says . . . 14
3.8 Parametreye Ba§lSnr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§, Tekli§i ve Parametreye Göre Tamlk Teoremi . . . 15
3.9 Asimptotik Davran³lar . . . 15
3.10 Green Fonksiyonu . . . 17
3.11 Rezolvent Operatörü, Snrlve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler 18 3.12 nterpolasyon Uzaylar . . . 21
3.13 Sobolev Uzaylar ve Onlarn nterpolasyon Uzaylar . . . 22
3.14 Kendine E³lenik Operatörlere Yakn Operatörlerin Spektrumu . . . 23
3.15 P-Tabi Lineer Operatörler . . . 25
4. METOTLAR . . . 28
5. BULGULAR . . . 29
5.1 Snr De§er Probleminin fadesi . . . 29
5.2 Verilmi³ Snr-De§er-Geçi³ Problemine Uygun Hilbert Uzaynn ve Diferansiyel
Operatörün Kurulmas . . . 30
5.3 A Operatörünün Simetrikli§i . . . 35
5.4 BazYardmcBa³langç-De§er Problemleri ve Çözümleri . . . 48
5.5 Temel Çözümler ve Karakteristik Fonksiyon . . . 64
5.6 Temel Çözümler için ntegral Denklemler . . . 72
5.7 Temel Çözümlerin Özde§er Parametresine Göre Asimptotik Davran³ . . 77
5.8 Snr Fonksiyonun Asimptotik Davran³lar . . . 89
5.9 Özde§erlerin Asimptotik Davran³lar . . . 92
5.10 Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventinin ve Green Fonksiyonunun Kurulmas . . . 101
5.10.1 Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Rezolventi ve Green Fonksiyonu . 101 5.10.2 Rezolvent Operatörü . . . 109
5.11 Diferansiyel-Operatör Snr-De§er-Geçi³ Probleminin zomoru§u ve Rezolventinin Normunun De§erlendirilmesi . . . 114
5.11.1 Giri³ . . . 114
5.11.2 Snr-De§er-Geçi³ Probleminin zomoru§u . . . 115
5.12 Diferansiyel-Operatör Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Spektrumu. Özde§erlerin Asimptoti§i . . . 121
5.12.1 Diferansiyel-Operatör Snr-De§er-Geçi³ Probleminin fadesi . . 122
5.12.2 Esas Diferansiyel Ksmna Göre Kompakt Olan Operatörle Etkilenmi³ Snr-De§er-Geçi³ Probleminin Özde§erlerinin Asimptoti§i . . . 123
6. SONUÇ VE ÖNERLER . . . 130
KAYNAKLAR . . . 131
ÖZGEÇM . . . 136
Ondokuzuncu asrn ortalarnda ilk olarak Sturm ve Liouville tarafndan incelendi§i için Sturm-Liouville problemi olarak adlandrlan, ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için snr-de§er problemi günümüzde çok yo§un bir ³ekilde ara³trlm³ ve ara³trlmaktadr. Ba³langçta, s iletimi problemlerine uygulanan Sturm-Liouville teorisinin daha sonra çok sayda ziksel problemlere uygulanabildi§i görülmü³tür. Mesela uzunlu§u sonlu ` olan s geçirici ince bir telde s iletimi problemi ve ince bir telin titre³im problemi gibi örnekler verilebilir. Matematik zi§in ihtiyacndan ve teorinin iç talepleri gere§i klasik Sturm-Liouville probleminde bir çok yönde farkl genelle³tirmeler yaplm³tr ve hala da yaplmaktadr. Ba³langcn bu problemden alan ve yeni bir matematik alan olan Lineer Diferansiyel Operatörler teorisi kurulmu³tur.
Di§er adyla de§i³kenlerine ayrma yöntemi olarak da bilinen Fourier yönteminin uygulan mas sonucunda bir çok problem adi diferansiyel denklemler için snr-de§er problemine dönü³türülür. Ancak Fourier yönteminin esaslandrlmas için elde edilen snr-de§er probleminin özfonksiyonlarnn baz olu³turmas ya da en azndan, özfonksiyonlarn ve bu fonksiyonlara ba§lanm³ fonksiyonlarn tam olmas gösterilmelidir. Bu ise, Lineer Diferansiyel Operatörler teorisinin ba³lca konusudur.
Matematik zi§in bir çok probleminin çözümünde kullanlan Fourier yöntemini uygulaya bilmek için, verilmi³ fonksiyonu adi diferansiyel denklemler için snr-de§er probleminin özfonksiyonlar cinsinden açlm ³eklinde ifade etmek gerekir. Di§er bir ifadeyle adi diferansiyel denklem için snr-de§er probleminin özfonksiyonlarnn hangi fonksiyon uzaynda baz oldu§unu incelemek gerekir. Bu soru beraberinde bir kaç problemin incelenmesini gerektirir. Bunlara özde§erler ve özfonksiyonlarn asimptotik ifadelerinin bulunmas, Green fonksiyonunun açlmnn bulunmas ve incelenmesi, rezolvent operatör ünün bulunmas, özelliklerinin incelenmesi ve normunun de§erlendirilmesi v.b. gösterile bilir.
Bu tez çal³mamzn esas konusu da bir diferansiyel-operatör snr-de§er problemi için yukarda bahsetti§imiz spektral özelliklerin incelenmesidir. Bu konunun klasik Sturm
2
Liouville problemlerinden iki esas fark bulunmaktadr. Birincisi özde§er parametre sinin sadece denklemde de§il hem de snr ³artlarnda bulunmasdr. kincisi ve daha önemlisi ise denkleminde sadece diferansiyel terimler de§il, hem de soyut lineer operatör bulundurmasdr. Ayrca, denklemde soyut lineer operatörün (genel olarak snrl olmayan) bulunmas tez konusu olan snr-de§er probleminin uygulama alann teorik ve pratik açdan çok büyük ölçüde geni³letmektedir.
Matematik zi§in bir çok problemlerinin Fourier yöntemi ile ara³trlmasnda ortaya çkan spektral parametreye ba§l snr-de§er problemleri ilk olarak Sturm ve Liouville tarafndan 19. yüzyln ilk yarsnda ara³trlmaya ba³lanm³tr.
Hem diferansiyel denkleminde, hem de snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran snr-de§er problemleri Birkhoff ("On the Asymptotic Character of the Solution of the Certain Linear Differential Equations Containing Parameter, Trans. Amer. Math. Soc.", "Boundary Value and Expantion Problems of Ordinary Linear Differential Equations, Trans. Amer. Math. Soc.")'un 1908 de yaymlanm³ bu çal³malarndan ba³layarak günümüze dek yo§un biçimde ara³trlmakta olup, bu alanda ilk ciddi sonuçlar bu çal³malar dan elde edilmi³tir.
Birkhoff' un yukarda bahsi geçen çal³malarnda özde§er parametresi içeren adi lineer diferansiyel operatörler için temel çözüm sistemini olu³turan fonksiyonlarn asimptotik ifadeleri elde edilmi³, snr ³artlar için regülerlik kavram tanmlanm³ ve regüler snr ³artlar ile verilmi³ snr-de§er probleminin özfonksiyonlar ve özfonksiyonlara ba§l olan fonksiyonlar sisteminin taml§ hakknda teorem ispatlanm³tr.
Daha sonra Tamarkin' in 1928' de ki çal³masnda daha geni³ snftan olan parametreye ba§l lineer diferansiyel denklemler için temel çözüm sisteminin asimptoti§i bulunmu³, regüler ve güçlü regüler snr ³artlar tanmlanm³tr. Bu çal³malarda snr ³artlarnn güçlü regüler oldu§u durum için Green fonksiyonu de§erlendirilmi³ ve düzgün fonksiyonla rn (yeteri kadar sürekli diferansiyellenebilen ve snr ³arlarn sa§layan) verilmi³ snr-de§er probleminin özfonksiyonlar ve özfonksiyonlara ba§lanm³ fonksiyonlar sistem ine göre serilere açlm teoremleri ispatlanm³tr.
Son yllarda gerek Matematik zi§in, özellikle de kuantum mekani§inin ortaya koydu§u yeni yeni somut problemlerin ara³trlmas ihtiyac, gerekse de Diferansiyel operatörler teorisinin iç talepleri gere§i konu hala güncelli§ini korumakta olup bu konuyla ilgili
4
çok sayda çal³ma yaplm³, makale ve kitaplar yazlm³ ve yazlmaktadr. Biz bu çal³mamzda sadece tez konumuzla direkt yaknl§ olan baz çal³malardan bahsedece§iz.
Snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran baz kendine e³lenik snr-de§er problem leri kaynaklar ksmnda yer alan Walter (1973) , Schneider (1974) , Fulton (1977) , Hinton (1970) tarihli çal³malarda incelenmi³tir. Bu çal³malara konu olan snr-de§er problemleri L2(a, b) ⊕ C direkt toplam uzaynda özel olarak tanmlanan lineer A
operatörü için
(λI − A)u = 0
biçiminde operatör denklem haline indirgenmi³tir. Russakovskiy ' in 1975' deki çal³mas nda özde§er parametresi snr ³artlarna polinomal ³ekilde dahil oldu§u için uygun lineer A operatörü L2(a, b) ⊕ C yerine L2(a, b) ⊕ CN ³eklinde uzaylarda tanmlanm³tr.
Bu çal³malarda uygulanan metodun en etkin taraf, Fonksiyonel Analizin "zengin" lineer operatörler teorisinin Adi Diferansiyel Denklemler için snr-de§er problemlerine uygulanabilmesidir.
Shkalikov'un , 1983'deki ve onu takip eden birkaç çal³masnda ise özde§er parametresi nin hem diferansiyel denkleminin katsay fonksiyonlarnda, hem de snr ³artlarnda polinomal ³ekilde içeren kendine e³lenik olmayan snr-de§er problemlerinin ara³trlmas için yeni yorum ve lineerle³tirme yöntemi geli³tirmi³tir. Shkalikov'a göre böyle snr-de§er problemlerini L2(a, b) ⊕ CNtipindeki uzaylarda de§il de herhangi mertebeden diferansiyel
lenebilir fonksiyonlarn uzaynda lineerle³tirmek, ara³trlan snr-de§er probleminin "tabiatna" daha uygundur.
Muhtarov'un , 1988 de ki çal³masnda snr ³artlarnda özde§er parametresi bulundurma yan, ancak denkleminde soyut lineer operatör bulunduran ve esas ksm kendine e³lenik olan snr-de§er probleminin özde§erlerinin asimptoti§i bulunmu³tur. Altn³k' n, Muhtarov' un dan³manl§nda 1998 ylnda yazd§ "snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran süreksiz katsayl snr-de§er problemi" ba³lkl Doktora Tezi'n de ise snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran süreksiz katsayl snr-de§er probleminin spektral özellikleri ara³trlm³tr. Demir'in Muhtarov' un dan³manl§nda 1999 ylnda yazd§ "bir diferansiyel-operatör denklem için snr-de§er problemi" ba³lkl Doktora
Tezi'n de ise hem snr ³artlarnda özde§er parametresi bulunduran hem de denkleminde soyut lineer operatör bulunduran ve esas ksm kendine e³lenik olan snr-de§er probleminin özde§erlerinin asimptoti§i ara³trlm³tr.
Son yllarda ise bu alanda en önemli sonuçlar S.Y. Yakubov ve Y.Y. Yakubov'un çal³malarnda elde edilmi³tir (Yakubov, Y., 1993, 1994, 1998 and Yakubov, S., Yakubov, Y., 1999, 2000). Yakubov'un , 1994' de yaymlanan kitabnda reguler diferansiyel operatörlerin genel teorisi kurulmu³ ve bu teori de yeni yöntemler geli³tirilmi³tir. Bu kitapta ispatlanan soyut teoremler çok geni³ adi ve ksmi türevli diferansiyel snr-de§er problemlerine uygulanabilmesi açsndan ehemmiyet arz etmekte dir. Y. Yakubov' un çal³malarnda p-regülerlik olarak adlandrlan ve klasik Birkhoff anlamnda regülerlikten farkl olan bir regülerlik kavram tanmlanm³ ve bu anlamda regüler olan snr-de§er problemleri için uzay de§i³kenine göre izomoruk, uzay de§i³kenine ve özde§er parametre sine göre koersitivlik, özfonksiyonlar ve özfonksi yonlara ba§lanm³ fonksiyonlar sistemi nin taml§, çok kat taml§, Abel bazl§ v.s. gibi özellikleri ara³trm³tr.
Yakubov' un son yllardaki çal³malarnda ise irregüler snr-de§er problemlerinin spektral özellikleri ara³trlarak elde edilen sonuçlar bir çok ziksel problemlere uygulanm³tr. Yakubov (1995,1998)'un çal³malar örnek olarak verilebilir.
Ancak yukarda bahsetti§imiz bütün çal³malarda snr-de§er problemleri sürekli katsayl diferansiyel denklemler için incelenmi³tir. Muhtarov (1990, 1994, 1998, Mukhtarov ve Demir, 1999)'un çal³malarnda ise süreksiz katsayl diferansiyel (adi ve ksmi türevli) denklemler için snr-de§er-geçi³ problemleri ara³trlm³tr. Bu çal³malarda esasen diferansiyel ve özde§er parametresine ba§l olan snr-de§er-geçi³ problemleri için izomoruk, hem uzay de§i³kenine hem de özde§er parametresine göre koersitivlik, özde§erlerin asimptoti§i, rezolvent operatörünün de§erlendirilmesi, tamlk ve iki kat tamlk, Abel bazl§ v.s. hakknda teoremler ispatlanm³ ve uygun parabolik tipten ksmi türevli diferansiyel denklemler için ba³langç-snr-de§er- geçi³ problemi incelenmi³tir.
3. GENEL BLGLER
3.1 Regüler Sturm-Liouville Problemi
Verilmi³ [a, b] aral§nda
−u00+ q(x)u = λu (3.1.1)
lineer diferansiyel denkleminin,
α1u(a) + α2u0(a) = 0 (3.1.2)
β1u(b) + β2u
0
(b) = 0 (3.1.3)
snr ³artlarn veya periyodik snr ³artlar olarak adlandrlan
u(a) = u(b) (3.1.4)
u0(a) = u0(b) (3.1.5)
snr ³artlarn sa§layan çözümlerin ara³trlmas problemi klasik Sturm-Liouville problemi diye adlandrlr. Burada λ ∈ C parametresidir. E§er herhangi λ = λ0 de§eri için bu
problemin a³ikar olmayan u0 6= 0 çözümü bulunursa, λ0 saysna verilmi³ problemin
özde§eri, u = u0(x) fonksiyonuna ise bu özde§ere uygun özfonksiyon denir. [a, b]
aral§ sonlu, q(x) fonksiyonu bu aralkta integrallenebilir ise, söz konusu problem regüler Sturm-Liouville problemi, aksi halde ise, yani ya [a, b] aral§ sonsuz veya q(x) fonksiyonu [a, b] de integrallenebilir de§ilse (ya da hem [a, b] aral§ sonlu de§ilse hem de q(x) fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenebilir de§ilse) o halde söz konusu problem Singüler Sturm-Liouville problemi olarak adlandrlr. unu da ifade etmek gerekir ki; daha genel
diferansiyel denklemleri (s(x) ikinci mertebeden, p(x) ise birinci mertebeden sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar ise ve s(x) > 0 ise) (3.1.1) biçiminde
−v00+ q(y)v = λv (3.1.7)
denklemine indirgenebilir. Bunun için x ve u = u(x) de§i³kenlerinden
y = Z x a p s(t)dt (3.1.8) v(y) = p4 s(x)exp µ 1 2 Z x a p(t)dt ¶ u(x) (3.1.9)
dönü³ümü ile yeni y ve v = v(y) de§i³kenlerine geçmek yeterlidir. Bu dönü³üm, Liouville dönü³ümü olarak adlandrlr (Titchmars, 1962).
3.2 Lineer Diferansiyel fade ve Snr artlar
pi(x) : R −→ R (i = 0, 1, 2, ..., n), sürekli fonksiyonlar olmak üzere
`(y) := p0(x)y(n)+ p1(x)y(n−1)+ ... + pn(x)y, x ∈ (a, b) (3.2.1)
biçimindeki ifadeye n−mertebeden lineer diferansiyel ifade denir. Genel olarak her x için p0(x) 6= 0 oldu§u kabul edilir.
U(y) := α0y(a) + α1y0(a) + ... + αn−1y(n−1)(a)
+β0y(b) + β1y0(b) + ... + βn−1y(n−1)(b) (3.2.2)
biçimindeki ifadeye ise snr de§er ifadesi denir. Ui(y), i = 1, 2, ..., mifadeleri snr de§er ifadeleri oldu§unda
Ui(y) = 0, i = 1, 2, ..., m (3.2.3) biçimindeki e³itlikler snr ³artlar olarak adlandrlr.
8
Bilindi§i gibi C[a, b] ile, [a, b] aral§nda tanml ve sürekli olan fonksiyonlarn lineer uzay gösterilir.
{f ∈ C[a, b] |f0, f00, ..., f(n)∈ C[a, b]}
lineer uzay ise C(n)[a, b]biçiminde gösterilir. L : C[a, b] −→ C[a, b]
D(L) = D = {y ∈ C[a, b] | y ∈ C(n)[a, b], Ui(y) = 0, i = 1, 2, ..., m}
L(y) = `(y) = p0(x)y(n)+ p1(x)y(n−1)+ ... + pn(x)y
e³itlikleri ile tanmlanan L−lineer operatörüne lineer diferansiyel operatör veya `(y) diferansiyel ifadesi ile
Ui(y) = 0, i = 1, 2, ..., m
snr ³artlarnn üretti§i lineer diferansiyel operatör denir (Naimark, 1967).
3.3 Lineer Operatörlerin Özde§er ve Özfonksiyonlar
H Kompleks Hilbert uzaynda tanm bölgesi D(A) olan A : H −→ H lineer operatörü ve λ kompleks parametresi verilsin. E§er λ = λ0 için
Ay = λ0y (3.3.1)
operatör denkleminin y0 6= 0 çözümü varsa, λ0 saysna A operatörünün özde§eri, y0 ∈ D(A)elemanna ise bu özde§ere uygun özfonksiyonu denir (Titchmars, 1962).
3.4 L2[a, b] Uzay
Verilmi³ [a, b] aral§nda tanml ve Lebesgue anlamnda ölçülebilir olan f(x) fonksiyonu için |f(x)|2fonksiyonu bu aralkta Lebesgue anlamnda integrallenebilir ise f(x) fonksiyon
integrallenebilir fonksiyonlarn lineer uzaynda
< f, g >:=
Z b a
f (x)g(x)dx (3.4.1)
ile gösterilen bu formül bir iç çarpm tanmlar. Bu ³ekilde tanmlanan iç çarpm uzaynn bir Hilbert uzay oldu§u bilinmektedir. Bu uzay L2(a, b) ile gösterilir. [a, b] aral§
sonlu oldu§u durumda L2(a, b)'den olan herbir fonksiyonun (a, b) aral§nda Lebesgue
anlamnda integrallenebilir olaca§ açktr.
3.5 Hilbert Uzaylarnda Simetrik ve Kendine E³lenik Operatörler
Tanm 3.5.1. H Hilbert uzaynda tanm bölgesi D(A) ⊂ H olan A : D(A) ⊂ H −→ H lineer operatörü verilsin. E§er her x, y ∈ D(A) için
hAx, yiH = hx, AyiH
e³itli§i sa§lanyorsa, A operatörüne simetrik operatör denir (Naimark, 1967).
Tanm 3.5.2. H Hilbert uzaynda D(A) = H olacak ³ekilde (yani tanm bölgesi her yerde yo§un olacak ³ekilde ) A : D(A) ⊂ H −→ H lineer operatörü verilsin.
E§er herhangi y ∈ H eleman için öyle zy ∈ H eleman varsa ki,
hAx, yiH = hx, zyiH
e³itli§i bütün x ∈ D(A) elemanlar için sa§lansn, o halde y −→ zy : H −→ H dönü³ümüne A operatörünün e³lene§i denir (Naimark, 1967) ve A∗ ile gösterilir. Bu özelli§e sahip olan bütün y ∈ H elemanlar kümesi A∗ operatörünün tanm bölgesidir ve D(A∗) ile gösterilir.
Sonuç 3.5.1. A∗ operatörü bir lineer operatördür ve her x ∈ D(A) , y ∈ D(A∗) için
10
e³itli§i sa§lanr.
Sonuç 3.5.2. Her A : H −→ H simetrik operatörü için D(A) ⊂ D(A∗) ' dr ve istenilen x ∈ D(A) için
A∗x = Ax
e³itli§i sa§lanr. Yani, her simetrik operatörün e³lene§i bu operatörün bir geni³lemesidir (devamdr).
Simetrik operatörlerle e³lenikleri arasndaki çok önemli bir ba§nty verebilmek için önce a³a§daki tanmlar verelim.
H Hilbert uzay verilsin. HxH := {(x, y)|x ∈ H, y ∈ H} kümesi al³lm³ yöntemle lineer uzaya dönü³türülebilir. Bu lineer uzayda x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ HxH
elemanlar için
hx, yiH⊕H := hx1, y1iH + hx2, y2iH e³itli§i bir iç çarpm tanmlyor ve bu iç çarpma göre
H ⊕ H := (HxH, h., .iH⊕H)
bir Hilbert uzaydr (Naimark, 1967).
Tanm 3.5.3. A lineer operatörü verilsin. E§er
ΓA := {(x, y) ∈ H ⊕ H| x ∈ D(A), y = Ax}
kümesi H ⊕ H Hilbert uzaynda kapal bir küme ise o halde A operatörüne kapal operatör denir. ΓA' ya bu operatörün gra§i denir.
H Hilbert uzaynda A : D(A) ⊂ H −→ H lineer operatörü ve λ ∈ C kompleks says verilsin. A + λI operatörünün de§er bölgesini
ile gösterelim. Ayrca M ⊂ H alt kümesi verildi§inde M⊥ ile M kümesinin ortogonal tümleyenini gösterelim:
M⊥= {x ∈ H | y ∈ M ⇒ hx, yi
H = 0} imdi a³a§daki teoremi ifade edebiliriz (Naimark, 1967).
Teorem 3.5.1. H Hilbert uzaynda tanm bölgesi her yerde yo§un olan simetrik A lineer operatörü verilsin. E§er A kapal operatör ise o halde Imλ 6= 0 olacak ³ekilde her λ ∈ C kompleks says ve her y ∈ D(A∗) eleman için
z = x + y1+ y2, x ∈ D(A), y1 ∈ (R(A + λy))⊥, y2 ∈ (R(A + λy))⊥
olacak ³ekilde (x, y1, y2) üçlüsü var ve tektir.
Bu anlamda D(A∗) tanm bölgesi
D(A∗) = D(A) + (R(A + λI))⊥+ (R(A + λI))⊥
biçiminde gösterilebilir (Naimark, 1967).
Sonuç 3.5.3. H Hilbert uzaynda tanm bölgesi her yerde yo§un olan kapal ve simetrik
A : D(A) ⊂ H −→ H lineer operatörü için
(R(A + λI)) = H ve (R(A + λI)) = H
olacak ³ekilde λ ∈ C ve Imλ 6= 0 says mevcut ise A operatörü kendine e³leniktir, yani A∗ = A' dr.
H Hilbert uzaynda verilmi³ A simetrik operatörünün kendine e³lenik olmas için
12
Teorem 3.5.2. H Hilbert uzaynda A simetrik operatörü verilsin. E§er λ ∈ C says varsa ki (A − λI) ve (A − λI) operatörlerin de§er bölgeleri H uzay ile çak³sn, o halde A operatörü kendine e³leniktir (Naimark, 1967).
spat: Herhangi bir y ∈ D(A∗) elemann alalm. O halde x ∈ D(A) için
hAx, yi = hx, y∗i e³itli§i sa§lanr. Buradan
¡
(A − λI)x, y¢= hAx, yi − hλx, yi = hx, y∗i − hx, λyi = hx, y∗− λyi (3.5.1)
e³itli§i elde edilir. A − λI operatörünün de§erleri bütün H uzay ile çak³t§ için
(A − λI) z = y∗− λy (3.5.2)
olacak ³ekilde z ∈ D(A) eleman bulunur. A operatörü simetrik oldu§u için
hx, y∗ − λyi = hx, (A − λI)zi = h(A − λI)x, zi (x ∈ D(A)) (3.5.3)
e³itli§i sa§lanr. (3.5.1), (3.5.2) ve (3.5.3) e³itliklerinden
h(A − λI)x, yi = h(A − λI)x, zi (3.5.4)
e³itli§i bütün x ∈ D(A) için sa§lanr. (A − λI) operatörünün de§er bölgesi bütün H uzay ile çak³k olaca§ndan sonuncu e³itlikten
y = z ∈ D(A)
3.6 Snrl Varyasyonlu ve Mutlak Sürekli Fonksiyonlar ile Riemann-Lebesgue Lemmas
f, [a, b] aral§nda tanml, reel de§erli bir fonksiyon olsun.
p = {x0, x1, x2, ..., xn}, [a, b] aral§nn bir parçalanmas ve P 'de [a, b] aral§nn bütün mümkün olan
P = {x0, x1, ..., xn: a = x0 < x1 < ... < xn= b, n ∈ N} (3.6.1)
parçalan³larnn kümesini göstersin. Her P parçalan³ için
Vp(f ) = n X k=1 |f (xk) − f (xk−1)| (3.6.2) toplamn olu³turalm.
Tanm 3.6.1. (3.6.2) biçimindeki bütün mümkün toplamlarn en küçük üst snrna f(x) fonksiyonunun [a, b] aral§ndaki varyasyonu(salnm) denir (Natanson, 1957) ve
b _ a (f ) := sup p Vp(f ) (3.6.3)
³eklinde gösterilir. E§er
b _
a
(f ) < +∞ (3.6.4)
ise f(x) fonksiyonuna [a, b] aral§nda snrl varyasyonlu fonksiyon denir (Natanson, 1957).
Teorem 3.6.1. f(x) fonksiyonu [a, b] aral§nda snrl varyasyonlu ise [a, b] aral§nda hemen hemen her yerde sonlu f0
(x)türevi vardr ve f0
(x)fonksiyonu bu aralkta Lebesgue anlamnda integrallenebilirdir (Natanson, 1957).
14 Tanm 3.6.2. ∀ ε > 0 için n X k=1 (bk− ak) < δ ⇒ X k |f (bk) − f (ak)| < ε
olacak biçimde δ > 0 says varsa, o zaman bu f fonksiyonuna [a, b] aral§nda mutlak süreklidir denir (burada n ∈ N; (ak, bk) ⊂ [a, b], k = 1, 2, ...aralklar sonlu sayda key ayrk aralklardr) (Balc, 2000 ).
Sonuç 3.6.1. Her mutlak sürekli fonksiyon hemen-hemen her yerde sonlu f0
(x)türevi varsa, bu türev fonksiyonu [a, b] aral§nda Lebesgue anlamnda integrallenebilir (Lang, 1983).
Lemma 3.6.1. (Riemann-Lebesgue Lemmas)
c 6= 0sabiti ve (a, b) aral§nda mutlak integrallenebilir ψ(z) fonksiyonu verilsin. O halde
λkompleks says Re(cλ) ≤ 0 yarm düzleminde kalmak ³art ile α, β ∈ (a, b) saylarna
göre düzgün olarak lim λ→∞ Z b a ψ(z)ecλzdz = 0 (3.6.5)
e³itli§i sa§lanr (Rasulov, 1967).
3.7 Kompleks Fonksiyonlarn Sfr Yerlerinin Says
Bütün kompleks düzlemde analitik olan fonksiyonlara tam fonksiyon denir. Tam fonksiyon larn sfr yerlerinin sonlu veya en fazla saylabilir sayda oldu§u kompleks analizden iyi bilinmektedir. f : C −→ C ile tanml f(z) fonksiyonu ve z0 ∈ C noktas verildi§inde
f (z0) = f0(z0) = ... = f(k−1)(z0) = 0, f(k)(z0) 6= 0
ise bu durumda z = z0 noktasna f(z) fonksiyonunun k katl sfr yeri denir. Tam
Teorem 3.7.1. Rouche Teoremi
E§er f(z) ve ϕ(z) kompleks fonksiyonlar kapal düzlenebilir Jordan e§risi olan Γ üzerinde ve içinde analitiklerse ve her z ∈ Γ için,
|f (z)| > |ϕ(z)|
³art sa§lanyorsa; o halde Γ e§risinin içinde f(z)+ϕ(z) fonksiyonunun sfr yerlerinin says ile f(z) fonksiyonunun sfr yerlerinin says (her sfr yeri kat sayda hesaplanmak üzere) e³ittir (Ulucay, 1971).
3.8 Parametreye Ba§l Snr-De§er Probleminin Çözümünün Varl§ , Tekli§i ve Parametreye Göre Tamlk Teoremi
Kabul edelim ki q : [a, b] −→ R ile tanml q(x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. O halde
−u00+ q(x)u = λu, x ∈ [a, b]
diferansiyel denkleminin
u(a) = sin α, u0(a) = − cos α α ∈ [0, π)
snr ³artlarn sa§layan bir tek u(x, λ) çözümü vardr, tektir ve bu çözüm her x ∈ [a, b] için λ ∈ C parametresinin tam fonksiyonudur (Titchmarsh, 1939).
3.9 Asimptotik Davran³lar
Verilmi³ f(x) fonksiyonunun x → ∞ için davran³ baz durumlarda bilinen "basit"
g(x) fonksiyonunun x → ∞ için davran³ndan yararlanlarak ifade edilebilir. Böyle durumlarda f(x) ve g(x) in x → ∞ için davran³ "yaknl§" incelenirken "o" , "O" ,
16
"∼" gibi simgelerden yararlanlmaktadr. Ayrca, x → ∞ için g(x) üzerine önceden hiçbir ³art konulmamaktadr.
Kompleks düzlemin herhangi G ⊂ C bölgesinde tanml olan f(z), g(z) ve h(z) fonksiyonlar verilsin. E§er f (z)
g(z) fonksiyonu bu bölgede snrl ise, yani;
|f (z)| ≤ M |g(z)| , z ∈ G ∩ {z : |z| > R}
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde R > 0, M > 0 saylar mevcutsa
f (z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞ (3.9.1)
³eklinde yazlr. Bu ifadeye asimptotik e³itlik denir. E§er,
f (z) − h(z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞
ise o halde
f (z) = h(z) + O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞ (3.9.2)
yazlr. z0 ∈ Gverilsin. Bu takdirde
lim z→z0, z∈G
f (z) g(z) = 0
f (z) = o(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞ (3.9.3)
yazlr ve f(z) fonksiyonu z(0) noktasnn yakn kom³ulu§unda g(z)'ye göre sonsuz küçüktür denir. f (z)
g(z) fonksiyonu z(0) noktasnn herhangi kom³ulu§unda snrl ise
f (z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ z0 (3.9.4) yazlr. E§er lim z→z0 f (z) g(z) = 1 ise f (z) ∼ g(z), z ∈ G, z −→ z0 (3.9.5)
{an} , {bn} ve {cn} reel veya kompleks say dizileri verildi§inde (abnn) dizisi snrl oldu§unda
an= O(bn) (3.9.6)
yazlr. an− cn= O(bn)oldu§unda ise bu
an= cn + O(bn) (3.9.7) ³eklinde gösterilir. lim n→∞ an bn = 0 oldu§unda bu an= o(bn) (3.9.8)
³eklinde gösterilir. an− cn= o(bn)oldu§unda ise bu
an = cn + o(bn) (3.9.9)
³eklinde gösterilir. (3.9.1) − (3.9.9)³eklindeki formüllere asimptotik formüller denir (Titchmars, 1962).
3.10 Green Fonksiyonu
`(y) diferansiyel ifadesinin ve Ui(y) = 0, i = 1, 2, 3, ..., n snr ³artlarnn üretti§i L lineer operatörü için Ly=0 denkleminin bir tek y=0 a³ikar çözümünün bulundu§unu kabul edelim.
Bu halde `(y) = 0 denkleminin her bir y1, y2, ...., yn lineer ba§msz çözüm sistemi için
det kUi(yj)ki,j=1,2,....,n 6= 0
olaca§ndan L operatörünün L−1 ters operatörü olacak ve bu ters operatörün
L−1f = Z b
a
18
biçiminde ifade edilebilece§i bilinmektedir. Bu durumda (3.10.1) integral operatörünün G(x,t) çekirde§ine L lineer diferansiyel operatörünün Green fonksiyonu denir (Naimark, 1967).
Green fonksiyonunun bulunmas için a³a§daki Teorem yaygn bir ³ekilde uygulanmaktadr.
Teorem 3.10.1. E§er Ly = 0 snr-de§er probleminin sadece y = 0 a³ikar çözümü varsa, o halde L lineer diferansiyel operatörünün bir tek G(x, t) Green fonksiyonu var ve bu fonksiyon a³a§daki ³artlar sa§lyor:
1. G(x, t) fonksiyonu süreklidir ve her t ∈ [a, b] için x-de§i³kenine göre bütün [a, b] aral§nda (n − 2). mertebeye kadar (n − 2' ci mertebe de dahil olmak üzere ) sürekli diferansiyellenebilirdir.
2. G(x, t) fonksiyonu her t ∈ [a, b] için [a, t) ve (t, b] aralklarnn her birinde
x-de§i³kenine göre (n−1). mertebeden (n−1' ci mertebe de dahil olmak üzere ) sürekli diferansiyellenebilirdir ve (n−1). mertebeden türev fonksiyonu x = t noktasnda 1
p0(t)
sçramasna sahiptir, yani
∂n−1 ∂xn−1 G(t + 0, t) − ∂n−1 ∂xn−1 G(t − 0, t) = 1 p0(t)
3. [a, t) ve (t, b] aralklarnn her birinde G(x, t) fonksiyonu x-de§i³kenine göre
`(y) = 0 diferansiyel denklemini ve Ui(y) = 0, i = 1, 2, 3, ..., n snr ³artlarn sa§lyor.
Bunun terside do§rudur. Yani, teoremin ³artlar altnda (1.) − (3.) ³artlarn sa§layan bir tek G(x, t) fonksiyonu var ve bu fonksiyon L operatörü için Green fonksiyonudur (Naimark, 1967).
3.11 Rezolvent Operatörü, Snrl ve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler
Tanm 3.11.1. Özde§er olmayan her λ ∈ C için L − λI operatörünün G(x, t; λ) Green fonksiyonu vardr ve her f ∈ C[a, b] için (L−λI)y = f snr-de§er probleminin
bir tek y(x) = Z b a G(x, t; λ)f (t)dt (3.11.1) çözümü bulunur. Bu çözüme `(y) = λy (3.11.2) Uiy = 0, i = 1, 2, ...., n (3.11.3)
snr-de§er probleminin Rezolventi
(L − λI)−1f =
Z b a
G(x, t; λ)f (t)dt
ters operatörüne ise L operatörünün veya (3.11.2), (3.11.3) snr-de§er probleminin Rezolvent operatörü denir (Triebel, 1978) ve R(λ, L) ile gösterilir:
R(λ, L) = (L − λI)−1
Not: Baz kaynaklarda (λI − L)−1 operatörüne Rezolvent operatörü denir.
E§er verilmi³ λ ∈ C kompleks says için λI − L operatörünün snrl ters operatörü varsa λ saysna L operatörünün regüler de§eri denir.
Loperatörünün regüler de§eri olmayan bütün kompleks saylar kümesine L operatörünün spektrumu denir ve σ(L) ile gösterilir. L operatörünün regüler de§erler kümesi ise ρ(L) ile gösterilir (Triebel, 1978).
Tanm 3.11.2. X Banach uzay ve E ⊂ X kümesi verilsin. E içindeki her dizinin E de bir limit noktas varsa E kümesine X de kompakt küme denir (Triebel, 1978).
E§er, E içindeki her dizinin E de yaknsak olan bir alt dizisi varsa E kümesine X de önkompakt küme denir (Triebel, 1978).
Tanm 3.11.3. X ve Y Banach uzay ve L tanm kümesi D(L) ⊂ X ve görüntü kümesi R(L) ⊂ Y olan bir lineer operatör olsun. Yani, L : D(L) ⊂ X −→ R(L) ⊂ Y
20
olsun. E§er L operatörü D(L)' nin X' de snrl her kümesini R(L)' nin Y ' de snrl bir kümesine kar³lk getiriyorsa L operatörüne snrl operatör denir (Yakubov, 1994).
Ba³ka bir deyimle, e§er her x ∈ D(L) için
kLxkY ≤ C kxkX
olacak ³ekilde sabit bir C > 0 says varsa L operatörü snrl bir operatördür (Yakubov, 1994).
Bütün snrl L : X −→ Y operatörler kümesini L(X, Y ) ile, L(X, X)' i ise ksaca
L(X) ile gösterece§iz (Yakubov, 1994).
E§er D(L) = X ise ve her K ⊂ X snrl kümesinin L(K) ⊂ Y görüntüsü Y ' de önkompakt ise L operatörüne X' den Y ' ye giden kompakt operatör denir (Yakubov, 1994).
Tanm 3.11.4. X Banach uzayndan Y Banach uzayna giden bire-bir ve cebirsel i³lemleri koruyan J : X −→ Y dönü³ümü verilmi³se, o halde X , Y ' ye gömülmü³tür denir. Bu halde J(X) ile X ayn uzaylar olarak kabul edilir ve X ⊂ Y olarak gösterilir. J operatörüne ise gömülme operatörü denir (Triebel, 1978).
J : X −→ Y gömülme operatörü sürekli ise X ⊂ Y gömülmesi de sürekli gömülme olarak adlandrlr (Triebel, 1978).
J : X −→ Y gömülme operatörü kompakt ise X ⊂ Y gömülmesi de kompakt gömülme olarak adlandrlr (Triebel, 1978).
E§er J(X) görüntü kümesi, Y ' de her yerde yo§un ise X ⊂ Y gömülmesi de her yerde yo§undur denir (Triebel, 1978) .
1) X ve Y bazlar bulunan birer Banach uzaylardr.
2) X ⊂ Y gömülmesi de her yerde yo§un ve süreklidir.
3) B : X −→ Y operatörü kompakttr. O halde her ε > 0 ve bütün u ∈ X için
kBukY ≤ ε kukX + C(ε) kukY
olacak ³ekilde C(ε) > 0 says vardr (Yakubov, 1994).
3.12 nterpolasyon Uzaylar
E0, E1 ve E Banach uzaylar verilsin. E0 ⊂ E ve E1 ⊂ E sürekli gömülmelerinin
bulundu§unu kabul edelim. Bu durumda {E0, E1} ikilisine interpolasyon çifti denir
(Triebel, 1978).
E0+ E1 ile gösterece§imiz uzay a³a§daki ³ekilde tanmlayalm.
E0+ E1 =
u : u ∈ E, u = u0 + u1, u0 ∈ E0, u1 ∈ E1;
kukE0+E1 = inf {kukE0 + kukE1 : u = u0+ u1}
E0+ E1' in bir Banach uzay oldu§u kolayca ispatlanabilir. Bu uzayda her t ∈ (0, ∞)
için K(t, u) ile gösterce§imiz fonksiyoneli,
K(t, u) = inf {ku0kE0 + tku1kE1 : u = u0+ u1}
formülü ile tanmlyalm.
Her 0 < θ < 1 ve 1 ≤ p < ∞ saylar ve {E0, E1} interpolasyon çifti için E0 + E1'
de kuk(E0,E1)θ,p = µZ ∞ 0 t−θp−1Kp(t, u)dt ¶1 p
22
Bu uzaya {E0, E1} interpolasyon çifti için K− yöntemle tanmlanm³ interpolasyon
uzay denir (Triebel, 1978). spat edilmi³tir ki, öyle Cθ,p says mevcuttur ki, her
u ∈ E0∩ E1 için ku0k(E0,E1)θ,p ≤ Cθ,pkuk 1−θ E0 kuk θ E1 (3.12.1)
e³itsizli§i sa§lanyor. Bu e³itsizlikten ve iyi bilinen
ab ≤ 1 p(εa) p+1 q( b ε) q, a > 0, b > 0, 1 p+ 1 q = 1, ε > 0 (3.12.2) e³itsizli§inden
ku0k(E0,E1)θ,p ≤ ε kukE0 + C(ε)kukE1 , u ∈ E0∪ E1 (3.12.3)
e³itli§ini elde edebiliriz (Triebel, 1978).
3.13 Sobolev Uzaylar ve Onlarn nterpolasyon Uzaylar
(a, b) aral§nda tanml, Lebesque anlamnda ölçülebilir ve mutlak de§erinin karesi integrallenebilir olan fonksiyonlarn lineer uzaynda
hu, viL2(a,b)=
Z b a
u(x)v(x)dx
e³itli§i bir iç çarpm tanmlyor. Bu iç çarpm uzay L2(a, b) ile gösterilir. Bu uzayn bir
Hilbert uzay oldu§u bilinmektedir.
(a, b) aral§nda tanml ve lokal integrallenebilir olan u(x) ve v(x) fonksiyonlar verilsin. E§er sonsuz mertebeden diferansiyellenebilir ve
sup pϕ = {x | ϕ(x) 6= 0} ⊂ (a, b)
³artn sa§layan her ϕ(x) fonksiyonu için Z b a u(x)ϕn(x)dx = (−1)n Z b a v(x)ϕ(x)dx
e³itli§ini sa§lyorsa v(x) fonksiyonuna u(x) fonksiyonunun n (n ∈ N) mertebeden genelle³tirilmi³ türevi denir (Triebel, 1978).
(a, b) ⊂ R aral§ q > 1 reel says ve m > 0 tamsays verildi§inde Wm
q (a, b) ile (a, b) aral§nda Lebesque anlamnda ölçülebilir ve u0
(x), u00(x), ...., u(m)(x) genelle³mi³
türevleri bulunan ve her k = 1, 2, ...., m için u(k) ∈ L
2(a, b) olan fonksiyonlarn lineer
uzayn gösterece§iz. Bu uzayda
hu, viWm 2 (a,b)= Ã m X k=0 h u(k), v(k)iL2(a,b) !1 2
formülü bir iç çarpm tanmlyor. Bu uzaylara Sobolev uzaylar denir. Bu uzaylarn Hilbert uzaylar oldu§u biliniyor (Triebel, 1978).
leride, literatürde de oldu§u gibi L2(a, b) yerine W20(a, b) yazaca§z.
E§er s > 0 says tam de§ilse Ws
q(a, b) ile l > s says tam olmak ³art ile ¡
Wl
q(a, b), Lq(a, b) ¢
l−se,q
interpolasyon uzayn gösterece§iz.
Ws q(a, b) = ¡ Wl q(a, b), Lq(a, b) ¢ l−s e,q (3.13.1)
e³itli§inin s says tam oldu§u durum içinde do§ru oldu§u ispatlanm³tr (Triebel, 1978).
3.14 Kendine E³lenik Operatörlere Yakn Operatörlerin Spektrumu
3.14.1 Diskret Spektrumlu Operatörler
H Hilbert uzay verilsin ve A : H −→ H operatörü kapal olsun ( hatrlatalm ki, e§er un ∈ D(A) (n ∈ N), un −→ u , Aun −→ v ³artlarn sa§layan her un(n ∈ N) dizisi için u ∈ D(A) ve Au = v ise A operatörüne H ' da kapal operatör denir). λ = λ0
24
says A operatörünün özde§eri oldu§unda
Ker(A − λ0I)n= {u ∈ D(A) u 6= 0, (A − λ0I)nu = 0} olmak üzere mλ0(A) = ∞ [ n=1 Ker(A − λ0I)n
kümesi A operatörünün λ0 özde§erine uygun kök lineali, bu küme kapal oldu§u
durumda ise kök alt uzay olarak adlandrlr. Bu kümenin elemanlarna ise kök vektörleri veya kök elemanlar denir. mλ0(A) kümesinin boyutuna ise λ0 özde§erlerinin kat
(veya cebirsel kat) denir (Triebel, 1978).
f 6= 0 kök vektörü oldu§unda (A − λ0I)mf = 0 ³artn sa§layan en küçük m saysna f vektörünün kat denir. Bu sayy m(f) ile gösterelim. E§er m(f) = 1 ise f kök vektörü özvektördür. E§er f kök vektörü için m(f) > 1 ise böyle kök vektörüne ba§lanm³ (associated) vektör denir (Triebel, 1978).
E§er A operatörünün σ(A) spektrumu ancak özde§erlerden ibaret ise; her bir özde§er sonlu katlysa ve özde§erlerin sonlu y§lma noktas bulunmuyorsa A operatörüne diskret spektrumlu operatör denir (Triebel, 1978).
Böyle operatör için N(r, A) ile A operatörünün {λ ∈ C | |λ| ≤ r} kapal yuvarnda bulunan özde§erlerin katlarnn toplamn gösterece§iz. N(r, A) fonksiyonuna A operatörünün özde§erlerinin da§lm fonksiyonu denir (Triebel, 1978). φ ⊂ C herhangi küme oldu§unda N(r, φ, A) = X |λj(A)|≤r, λ∈φ 1 (3.14.1) gösterimini kullanaca§z. Ψ± α = {λ ∈ C : | arg(±λ)| < α} oldu§unda N(r , Ψ±
α , A) yerine N±(r , α , A) yazaca§z. R+ve R− uygun olarak pozitif ve negatif reel saylar kümesini gösterdi§inde N(r , R± , A) yerine sadece
Teorem 3.14.1. E§er hiç olmazsa bir tane λ0 ∈ ρ(A) için R(λ0, A) rezolventi kompakt
operatör ise (bu durumda her λ ∈ ρ(A) için R(λ, A) kompakt operatör olacak), o halde
A operatörü diskret spektrumludur (Kato, 1966).
Teorem 3.14.2. A : H −→ H operatörü kendine e³lenik ise, o halde A operatörünün diskret spektrum olmas için gerek ve yeter ³art R(λ, A) rezolvent operatörünün kompakt operatör olmasdr (Kato, 1966).
A operatörü diskret spektrumlu oldu§unda onun özde§erlerinin |λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| ≥ ....
³eklinde mutlak de§erlerinin artmayan srasna göre sraland§n kabul edece§iz ( bu durumda her özde§erin kat sayda yazld§n da kabul ediyoruz). Her bir mλi(A) ⊂ H
kök linealinde baz vektörleri seçelim ve bütün bu baz vektörlerinden fi ∈ mλi(A), i =
1, 2, .... olmak üzere {fi} , i = 1, 2, ... vektörler sistemini olu³turalm. Bu sisteme A operatörünün kök vektörler sistemi (ba§lanm³ vektörler sistemi) denir.
3.15 P-Tabi Lineer Operatörler
Tanm 3.15.1. E§er D(B) ⊃ D(A) ise ve öyle b > 0 says varsa ki herhangi p ∈ [0, 1] için
kBuk ≤ b kAukp kuk1−p , u ∈ D(A) (3.15.1)
e³itsizli§i sa§lansn, o halde B operatörü A operatörüne p−tabidir denir. p = 1 oldu§unda B, A− ya tabidir denir (Gohberg ve Krein, 1969).
Teorem 3.15.1. B operatörünün A− ya tabi olmas için gerek ve yeter ³art B = QA olacak ³ekilde Q ∈ L(H) operatörünün bulunmasdr (Gohberg ve Krein, 1969).
Teorem 3.15.2. E§er S kendine e³lenik operatör ve bu operatörün spektrumu diskret ise, o halde 0 ≤ p < 1 oldu§unda S operatörüne p−tabi olan her B operatörü için
26
Tanm 3.15.2. E§er A : H −→ H lineer operatörünün hiç olmazsa bir tane λ regular de§eri mevcutsa ve D(B) ⊃ D(A) olacak ³ekilde B : H −→ H lineer operatörü için
BR(λ, A) operatörü kompakt ise o halde B operatörüne A operatörüne göre(nazaran)
kompakt operatör denir.
Teorem 3.15.3. E§er S diskret spektrumlu kendine e³lenik operatör, B operatörü
S'ye p−tabi ve p < 1 ise o halde B operatörü S' ye göre kompakt operatördür denir (Gohberg ve Krein, 1969).
Teorem 3.15.4. E§er S diskret spektrumlu kendine e³lenik operatör ise, o halde S' ye göre kompakt olan her lineer B operatörü için S + B de diskret spektrumludur (Gohberg ve Krein , 1969).
A kendine e³lenik ve diskret spektrumlu operatör, {ϕj}∞j=1 bu operatörün kök vektörleri sistemi, Af = ∞ X j=1 λj cj ϕj , cj = hf, ϕji
ise bu, A operatörün spektral açlm olsun. Her p ∈ R için (p < 0 oldu§unda λj 6= 0 oldu§u kabul edilir.)
Apf =
∞ X
j=1
λpj hf, ϕji ϕj
kabul edelim( biz her yerde λp = |λ|pexp(ip arg λ), −π < arg λ ≤ πkabul ediyoruz ).
p > 0 oldu§unda Ap operatörü diskret spektrumlu , p < 0 oldu§unda ise Ap operatörü kompakt operatör olacak.
E§er B operatörü Ap (0 < p < 1) ye tabi ise o halde B operatörü A ya p−tabidir. Tersi ise her zaman do§ru de§il. Ancak e§er B, A' ya p−tabi ise (0 < p < 1) o halde her q > p için Aq ya tabidir denir (Muhtarov, 1988).
E§er A diskret spektrumlu kendine e³lenik operatör, B de A ya p (0 ≤ p < 1) tabi ise o halde A + B nin de spektrumu diskrettir (Markus ve Matsayev , 1982).
Teorem 3.15.5. S kendine e³lenik diskret spektrumlu lineer opeatörü ve S' ye göre kompakt olan B lineer operatörü olsun. E§er S operatörünün sonsuz sayda pozitif
özde§eri mevcut ise ve lim r −→ ∞ ε −→ 0 N+(r(1 + ε), S) N+(r, S) = 1 ise o halde 0 < α < π
2 olacak ³ekilde her α says için
lim r−→∞
N+(r, α, S + B) N+(r, S)
= 1
4. METOTLAR
Son yllarda özde§er parametresini hem diferansiyel denkleminde hem de snr ³artlarnda bulunduran snr-de§er problemlerine ilgi gittikçe artmaktadr. Bunun da iki esas nedeni bulunmaktadr; Matematik zi§in ortaya koydu§u somut problemlerin ara³trlma ihtiyaçla r ve Diferansiyel operatörler teorisinin iç talepleri neden olarak gösterilebilir. Fulton' un 1977 de yaymlad§ makalede böyle ziki problemler hakknda yeterince ayrntl bilgi verilmi³tir.
Bu çal³mada klasik Sturm-Liouville problemlerinden iki esas fark olan ve sadece esas ksm diferansiyel olan bir orjinal snr-de§er probleminin spektral özellikleri (özde§erler ve özfonksiyonlarn asimptotik ifadelerinin bulunmas, Green fonksiyonunun açlmnn bulunmas ve incelenmesi , rezolventinin bulunmas ve rezolvent operatörünün kurulmas, özelliklerinin incelenmesi ve normunun de§erlendirilmesi v.b.) ara³trlm³tr.
Birincisi, özde§er parametresi sadece diferansiyel denkleminde de§il, ayn zamanda snr ³artlarnn bir tanesinde de bulunmasdr.
kincisi ve daha önemlisi, verilmi³ denklem sadece diferansiyel ifadeleri de§il, hem de soyut lineer B1 operatörünü içermektedir.
Tez çal³mamzda literatürden bilinen a³a§daki materyal ve metotlardan yararlanlm³tr.
Diferansiyel operatörler teorisinden regüler Sturm-Liouville teorisi ve yöntemleri ; fonksi yonel analizden baz temel tanmlar ve simetrik operatörlerin baz temel özellikleri Kompleks analizden tam fonksiyonlarn sfr yerleri ile ilgili olan Rouche teoremi ; Lineer diferansiyel denklemler teorisi Lineer integral denklemlerin çözümlerinin asimptoti§ini bulma yöntemleri ; asimptotik de§erlendirmelerle ilgili yöntemler ; Lineer diferansiyel operatörler ve nterpolasyon teorisi yöntemleri ile birlikte Sturm-Liouville teorisi yöntemle ri ve kaynaklar ksmnda yer alan (Muhtarov, 1988) , (Yakubov, 1994) , (Yakubov, S.Y. ve Yakubov, Y.Y., 1999) ve (Demir, 1999) bu çal³malardan özellikle yararlanlm³ olup gösterilmi³ yöntemlerden faydalanlm³tr.
Çal³mamzn esas konusu; Denkleminde soyut lineer operatör bulunduran
τ u := −u00(x) + (Bu)(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
diferansiyel denkleminden;
cos αu(−1) + sin αu0(−1) = 0, α ∈ [0, π)
u0(1) = λu(1) snr ³artlarndan ve de x = 0 noktasndaki
u(+0) = u(−0) u0(+0) = γu0(−0)
geçi³ ³artlarndan olu³an snr-de§er-geçi³ probleminin özde§erlerinin asimptotik davran³ larnn incelenmesidir. Biz bu çal³ma da yukarda bahsi geçen esas problemimizin spektral özelliklerini (özde§erler ve özfonksiyonlarn asimptotik ifadelerinin bulunmas, Green fonksiyonunun açlmnn bulunmas ve incelenmesi , rezolvent operatörünün bulunmas , özelliklerinin incelenmesi ve normunun de§erlendirilmesi v.b.) incelemek için a³a§daki (5.1.1) − (5.1.5) Sturm-Liouville problemini ele aldk.
5.1 Snr De§er Probleminin fadesi
Bu tez çal³masnda biz L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1)Hilbert uzaynda
30
Sturm-Liouville denklemi ve snr ³artlarnn birinde özde§er parametresi bulunduran
cos αu(−1) + sin αu0(−1) = 0, α ∈ [0, π) (5.1.2)
u0(1) = λu(1) (5.1.3)
snr ³artlar ve
u(+0) = u(−0) (5.1.4)
u0(+0) = γu0(−0) (5.1.5)
geçi³ ³artlarndan olu³an snr de§er probleminin baz spektral özellikleri incelenecektir. Burada q(x);[−1, 0) ve (0, 1] aralklarnda sürekli olan, x = 0 noktasnda ise sonlu q(±0) limit de§erlerine sahip olan bir fonksiyondur. λ ise bir kompleks özde§er parametresidir.
γ > 0ve snr ³artlarnda bulunan α ∈ [0, π) dr.
5.2 Verilmi³ Snr-De§er-Geçi³ Problemine Uygun Hilbert Uzaynn ve Diferansiyel Operatörün Kurulmas
E§er λ = λ0de§eri için (5.1.1) − (5.1.5) snr-de§er probleminin u0 6= 0a³ikar olmayan
çözümü varsa bu de§ere verilmi³ problemin özde§eri diyece§iz.
Bu bölümde (5.1.1) − (5.1.5) snr-de§er problemine uygun olan özel bir Hilbert Uzay kurulacak ve bu uzayda verilmi³ snr-de§er-geçi³ problemi ile ayn özde§erlere sahip olan lineer operatör kurulacaktr.
L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1); Hilbert uzayn , C'de; Kompleks saylarn uzayn göstermek
üzere ; f(x) ∈ L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1), f2 ∈ Colmak üzere F =
f (x)
f2
iki bile³enli elamanlarn lineer uzayn ise H = L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ⊕ C ile gösterelim.
H = F = f (x) f2 : f(x) ∈ L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1), f2 ∈ C (5.2.1)
biçiminde olan elemanlarn lineer uzaynda yani L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1), f2 ∈ C direkt toplamnda F = f (x) f2 ∈ H, G = g(x) g2
∈ H elemanlarnn iç çarpmn
< F, G >= γ Z 0 −1 f (x)g(x)dx + Z 1 0 f (x)g(x)dx + f2g2 (5.2.2)
e³itli§i ile tanmlayalm, γ > 0. (5.2.2) e³itli§inin H üzerinde bir iç çarpm tanmlad§ a³ikardr.
imdi bu uzayda verilmi³ snr-de§er-geçi³ problemi ile ayn özde§erlere sahip olan lineer operatör kurulacaktr. Bu uzayda özde§erleri ve uygun özfonksiyonlar ara³trlan (5.1.1)-(5.1.5) probleminin özde§erleri ve uygun özfonksiyonlar ile çak³an A lineer operatörünü a³a§daki biçimde tanmlayalm.
A : H −→ H (5.2.3)
lineer operatörünün tanm kümesi
D(A) = { F = f (x) f2 ∈ H : f(x) ve f0(x)fonksiyonlar [−1, 0) ve (0, 1] aralklarnda mutlak süreklidirler ve sonlu f(±0) ve f0(±0)limit
de§erleri mevcuttur. − f00+ q(x)f ∈ L 2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) cos αf (−1) + sin αf0(−1) = 0, f (+0) = f (−0), f0(+0) = γf0(−0), f 2 = f (1) } (5.2.4) olmak üzere AF = −f00+ q(x)f f0(1) (5.2.5)
e³itli§iyle tanmlayalm. Burada F ∈ D(A) ve F = f (x)
f (1)
dr. Tanmdan da görülece§i gibi A operatörünün lineer oldu§u açktr. (5.1.1)-(5.1.5) ile verilmi³ snr-de§er problemi
32
biçiminde yazlabilir. Gerçekten; F = f (x) f (1) ve AF = −f00+ q(x)f f0(1) oldu§undan AF = λF =⇒ −f00+ q(x)f f0(1) = λ f (x) f (1) (5.2.7)
³eklinde yazlr. (5.2.7) e³itli§i,
−f00+ q(x)f = λf (5.2.8)
f0(1) = λf (1) (5.2.9)
e³itlikleri biçiminde yazlabilir. Ayrca F = f (x)
f (1)
∈ D(A) oldu§u için,
cos αf (−1) + sin αf0(−1) = 0 (5.2.10)
f (+0) − f (−0) = 0 (5.2.11)
f0(+0) − γf0(−0) = 0 (5.2.12)
e³itlikleri sa§lanr. (5.2.8)-(5.2.12) e³itlikleri birarada yazlrsa; (5.2.6) e³itli§i ile e³de§er olan a³a§daki e³itlikler sistemi elde edilir.
−f00+ q(x)f = λf
f0(1) = λf (1)
cos αf (−1) + sin αf0(−1) = 0 (5.2.13)
f (+0) − f (−0) = 0 f0(+0) − γf0(−0) = 0
Demek ki ara³trd§mz (5.1.1)-(5.1.5) snr-de§er-geçi³ problemi
U = u(x) u(1) =⇒ AU = λU (5.2.14)
³eklinde yazlabilir. Bu ise operatörün özde§erleri ve uygun özfonksiyonlar ile problemin özde§erlerinin ve uygun özfonksiyonlarnn çak³t§n gösterir.
Lemma 5.2.1.
H := L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ⊕ C
ile tanml H iç çarpm uzay Hilbert Uzaydr.
spat: H iç çarpm uzaynn Hilbert uzay oldu§unu göstermek için iç çarpmdan elde edilen normlu lineer uzayn tam oldu§unu göstermek yeterlidir. Bunun için H uzayndan alnacak olan bir Cauchy dizisinin ayn uzayda bir noktaya yaknsad§ gösterilecektir.
H := L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ⊕ C iç çarpmdan üretilen normlu lineer uzay ve (Fn)n∈N,
H'de bir Cauchy dizisi olsun. Fn := F1n(x) F2n ∈ H, Fm := F1m(x) F2m ∈ H, F1n(x),F1m(x) ∈ L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1), F2n, F2m∈ Colmak üzere ∀ε > oiçin ∃n0(ε) ∈ Nvardr ki ∀n, m ≥ n0(ε)için
||Fn− Fm|| < ε2 (5.2.15) yazlabilir. ||Fn− Fm||2H = < Fn− Fm, Fn− Fm >H= γ < F1n− F1m, F1n− F1m >L2(−1,0) + < F1n− F1m, F1n− F1m >L2(0,1) + < F2n− F2m, F2n− F2m >C = γ Z 0 −1 (F1n− F1m)(F1n− F1m)dx + Z 1 0 (F1n− F1m)(F1n− F1m)dx + (F2n− F2m)(F2n− F2m) = γ Z 0 −1 |F1n− F1m|2dx + Z 1 0 |F1n− F1m|2dx + |F2n− F2m|2 (5.2.16) ||Fn− Fm||2H = γ ||F1n− F1m||2L2(−1,0)+ ||F1n− F1m|| 2 L2(0,1) + |F2n− F2m|2C< ε2 (5.2.17) yazlabilir. Buradan γ ||F1n− F1m||2L2(−1,0) < ε2 γ, ||F1n− F1m|| 2 L2(0,1) < ε 2, |F 2n− F2m|2C < ε2 (5.2.18)
elde edilir. Bu ise (Fn)n∈N dizisinin L2(−1, 0), L2(0, 1) ve C de bir Cauchy dizisi
34
L2(−1, 0), L2(0, 1) ve C uzaylar tam olduklarndan bu uzaylardan alnan bir cauchy
dizisi ayn uzayda bir noktaya yaknsar. Yani; Fn := F1n F2n ∈ H, eF := Ff1 f F2 ∈ H, ]F (1) := F1∗ , x ∈ [−1, 0) F∗∗ 1 , x ∈ (0, 1] , fF2 = F2∗ olmak üzere γ ||F1n− F1∗||2L2(−1,0) −→ 0 (n → ∞) (5.2.19) ||F1n− F1∗∗||2L2(0,1) −→ 0 (n → ∞) (5.2.20) |F2n− F2∗|2C −→ 0 (n → ∞) (5.2.21)
yazlabilir. Dolaysyla buradan da
||Fn− eF ||2H = γ ||F1n− F1∗||2+ ||F1n− F1∗∗||2
+ |F2n− F2∗|2 −→ 0 (n → ∞) (5.2.22)
ifadesi elde edilir. Böylece H dan alnan (Fn)n∈NCauchy dizisinin bir noktaya yaknsad§ gösterilmi³ oldu.
imdi (Fn)n∈N∈ HCauchy dizisinin yaknsad§ noktann H n bir elaman olup olmad§ gösterilecektir. eF := fF1 f F2 ∈ H, ]F (1) := F1∗, x ∈ [−1, 0) F∗∗ 1 , x ∈ (0, 1] , fF2 = F2∗ olmak üzere || eF ||H < ∞ (5.2.23)
oldu§u gösterilecektir. H := L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ⊕ Coldu§undan
|| eF ||H = ||^F1(x) + fF2||H ≤ ||^F1(x)||H + ||fF2||H = γ ||F∗ 1(x)||L2(−1,0)+ ||F ∗∗ 1 (x)||L2(0,1)+ |F ∗ 2|C< ∞ (5.2.24)
5.3 A Operatörünün Simetrikli§i
Teorem 5.3.1. H := L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ⊕ C Hilbert uzaynda (5.2.3) − (5.2.4)
e³itlikleri ile tanml A operatörü simetriktir.
spat: ∀ F, G ∈ D(A) ⊂ H, F := f (x) f2 = f (1) ∈ H , G := g(x) g2 = g(1) ∈ H için < AF, G >H = < F, AG >H (5.3.1)
oldu§unu göstermeliyiz. Gerçekten H da ki iç çarpmn tanmna göre
< AF, G >H = γ Z 0 −1 AF (x)G(x)dx + Z 1 0 AF (x)G(x)dx + AF G = γ Z 0 −1 (−f00(x) + q(x)f (x))g(x)dx + Z 1 0 (−f00(x) + q(x)f (x))g(x)dx + f10(1)g1(1) = −γ Z 0 −1 f00(x)g(x)dx + γ Z 0 −1 q(x)f (x)g(x)dx − Z 1 0 f00(x)g(x)dx + Z 1 0 q(x)f (x)g(x)dx + f0(1)g(1) (5.3.2) ³eklinde yazlabilir. γ Z 0 −1 (−f00(x) + q(x)f (x))g(x)dx = −γ Z 0 −1 f00(x)g(x)dx + γ Z 0 −1 q(x)f (x)g(x)dx
Herhangi aralklarda diferansiyellenebilir iki f(x) ve g(x) fonksiyonlarnn Wronskiyen'i
W (f, g; x) = f (x)g0(x) − g(x)f0(x)
36 = −γ {f0(x)g(x) |0 −1 − Z 0 −1 f0(x)g0(x)dx} + γ Z 0 −1 q(x)f (x)g(x)dx = γ Z 0 −1 f0(x)g0(x)dx + γ Z 0 −1 q(x)f (x)g(x)dx − γ (f0(x)g(x) |0 −1) = γ {f (x)g0(x) |0 −1 −γ Z 0 −1 f (x)g00(x)dx} + γ Z 0 −1 q(x)f (x)gdx − γ (f0(x)g(x) |0−1) = γ Z 0 −1 f (x)g00(x)dx + γ Z 0 −1 q(x)f (x)gdx + γ {f (−0)g0(−0) − f (−1)g0(−1)} − γ {f0(−0)g(−0) − f0(−1)g(−1)} = −γ Z 0 −1 f (x)g00(x)dx + γ Z 0 −1 q(x)f (x)gdx + γ W (f, g; −0) −γ W (f, g; −1) = γ Z 0 −1 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + γ W (f, g; −0) − γ W (f, g; −1) (5.3.3) elde edilir. Z 1 0 (−f00(x) + q(x)f (x))g(x)dx = − Z 1 0 f00(x)g(x)dx + Z 1 0 q(x)f (x)g(x)dx + f0(1)g(1)
benzer ³ekilde iki defa ksmi integrasyon uygulanp Wronskiyen'den faydalanlrsa
= −{f0(x)g(x) |1 0 − Z 1 0 f0(x)g0(x)dx} + Z 1 0 q(x)f (x)g(x)dx + f0(1)g(1) = Z 1 0 f0(x)g0(x)dx + Z 1 0 q(x)f (x)g(x)dx − (f0(x)g(x) |1 0) + f 0 (1)g(1) = {f (x)g0(x) |1 0 − Z 1 0 f (x)g00(x)dx} + Z 1 0 q(x)f (x)gdx − (f0(x)g(x) |10) = − Z 1 0 f (x)g00(x)dx + Z 1 0 q(x)f (x)gdx + {f (1)g0(1) − f (+0)g0(+0)} − {f0(1)g(1) − f0(+0)g(+0)} + f0 (1)g(1) = − Z 1 0 f (x)g00(x)dx + Z 1 0 q(x)f (x)gdx + f (1)g0(1) − W (f, g; +0) = Z 1 0 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + f (1)g0(1) − W (f, g; +0) (5.3.4)
bulunur. (5.3.3) ve (5.3.4) (5.3.2) 'de yerine yazlrsa; < AF, G >H = γ Z 0 −1 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + Z 1 0 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + f (1)g0(1) − W (f, g; +0) + γ W (f, g; −0) − γ W (f, g; −1) (5.3.5) elde edilir. < F, AG >H = γ Z 0 −1 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + Z 1 0 f (x)(−g00(x) + q(x)g(x))dx + f (1)g0(1) (5.3.6)
yazlabilir. Buradan (5.3.5) ve (5.3.6) ifadeleri taraf tarafa çkartlrsa;
< AF, G >H − < F, AG >H = γ W (f, g; −0) − γ W (f, g; −1)
− W (f, g; +0) (5.3.7)
e³itli§i elde edilir.
A operatörünün simetrik oldu§unu söyleyebilmek için (5.3.7) e³itli§inin sa§ tarafnn sfra e³it oldu§unun gösterilmesi gerekir. Bunun için f(x) ve g(x) fonksiyonlar A operatörünün tanm bölgesinin elemanlar olduklarndan snr ³artlarn kullanarak
W (f, g; −1) = 0 ve W (f, g; +0) = γ W (f, g; −0)
ifadeleri bulunur. Bunlar (5.3.7) 'de yerlerine yazlrsa sa§ tarafn sfra e³it oldu§u görülür. Sonuç itibariyle
< AF, G >H = < F, AG >H (5.3.8)
e³itli§i elde edilir. Bu da A operatörünün simetrik oldu§unu gösterir. Bu ise ispat tamamlar.
Sonuç 5.3.1. Kabul edelim ki γ > 0 olsun. Bu takdirde (5.1.1) − (5.1.5) e³itlikleri ile verilmi³ snr - de§er - geçi³ probleminin bütün özde§erleri reeldir.